Mines Maths 2 PC 2021

A2021 - MATH II PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2021
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMEP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Polynômes à racines toutes réelles

Notations

Pour tout 0 < k < n, on notera (r) -- HE le coefficient binomial où nl = n(n --1)-..2.1. On note C©(R) les fonctions f : R -- R de classe C®. On dit que a est un zéro d'ordre m > 0 de f EUR C(R) si

f(a)= Pa)=.= fr 0 (a)=0 et (a) #0
Dans la suite du texte quand on liste les zéros d'un polynôme on répètera chaque

racine autant de fois que sa multiplicité : ainsi les racines de XY(X -- 1)* 
sont
0,0,0,1,1.

On note D : CP(R) --> C©(R) l'opérateur de dérivation, i.e. D(f) = f'. Pour
Q=5;_par XF EUR R[|X|, on note Q(D) l'opérateur défini par
Q(D) : C'(R) -- CR)

J-- 5 ax D*(f).

k=0
c'est-à-dire que

Q(D) f(x) = > ax f (x)

où f(* est la fonction dérivée k-ème.

Log-concavité des suites

Soit (&o,:°- ,a,) une suite à valeurs réelles. On dira qu'elle est

unimodulaire s'il existe 0 < 3 < n tel que ao  @j-14j+1 ;

ultra log-concave si ONE est log-concave.
k

Montrer que la suite binomiale (5) k=0,... n est log-concave.
Montrer que si (ax)x-o.....n est ultra log-concave, alors elle est log-concave.

Montrer que si (ag)x-o....n est strictement positive et log-concave, alors elle 
est
unimodulaire.
Polynômes réels à racines toutes réelles

Soit P(X) = ao + aX +--.+a,X" EUR RÎX] avec a, # 0. Il est dit à racines toutes
réelles si toutes ses racines complexes sont en fait réelles, i.e. P(z) = 0 
implique z EUR R.
On suppose dans cette question que P est à racines toutes réelles.

4 > Montrer que P' est à racines toutes réelles.
Indication : on pourra utiliser le théorème de Rolle en veillant aux 
multiplicités des
racines.

5 > Montrer que Q(X) = X"P(1/X) est un polynôme à racines toutes réelles.
Indication : on commencera par préciser le degré de Q(X).

6 > Pour 1 Soit a EUR R. Montrer que e®D(e 7% P{x)) est un polynôme à racines toutes 
réelles.
Indication : on pourra à nouveau utiliser le théorème de Rolle en considérant en
outre le comportement en +oco.

8 > Soient P(X) = > ou X" et Q(X) = 1,0; X7 des polynômes réels à racines
toutes réelles. Montrer que Q(D)P(X) est un polynôme à racines toutes réelles.

Dans la question 27 & , nous utiliserons le théorème de composition de Schur 
suivant,
que nous admettons.

Théorème 1 Soient P(X) = Ya X* et Q(X) = >"250;X7 des polynômes réels à
racines toutes réelles. On suppose en outre que les racines de Q ont toutes le 
même signe.
Alors le polynôme

min(n,m)

k=--0

est à racines toutes réelles.
Quelques exemples

Soit À une matrice symétrique réelle de taille n.

9 > Montrer que son polynôme caractéristique Y4(X) est à racines toutes réelles.

10 > On suppose que toutes les racines de x4(X) sont positives. Montrer 
l'existence
d'une matrice symétrique C' telle que À = C*.

11 > Soit B une matrice symétrique et on suppose comme dans la question 
précédente
que les racines de Y1(X) sont positives. Montrer que les valeurs propres de AB
sont toutes réelles.

On considère

| RIX]XRIX] -- R
7. (P,Q) = n° P(x)Q(x)e "dr.

12 > Montrer que & définit un produit scalaire sur R|[X|.

13 © Justifier (on ne demande pas de les calculer) qu'il existe une famille 
(L,),en de
R|X| vérifiant les propriétés suivantes :

-- les L; sont de degré 1 ;
-- pour tout 0  Montrer que pour tout n > 1, le polynôme /Z,, est à racines toutes réelles.

Soit 2.) une suite de variables aléatoires de Bernouilli B(b;) indépendantes
sl, ,n

de paramètres respectifs b;, ie. P(B; = 1) = b; et P(B; = 0) = 1 -- b;. Soit 
alors
B =; B, et soit

P(X) -- SX"
k=0

où px = P(B = k).

15 > Montrer que P(X) est à racines toutes réelles.

16 > Soit P(X) = Y}_,pX" EUR RIX] à coefficients positifs, Le. px > 0 pour tout
k -- 0,--: ,n. On suppose en outre que P est à racines toutes réelles et que
P(1) = 1. Montrer alors qu'il existe des variables de Bernouilli indépendantes 
B;
telles que pour tout & = 0,-:- ,n,ona pm = POS, B; =k).
Théorème de Hermite-Sylvester

Soit P EUR RÎX) de degré n. On note a1,--:,a, les racines réelles distinctes de 
P et
Bi, B1°°:,0, 0, Ses racines complexes non réelles, où 5; désigne le conjugué de 
B;. On

note m; la multiplicité de a; et n; celle de b; et 5;.
Pour tout k& > 0, on introduit

T S _+
se = D moi + D on;(8; + B;).
i=1 j=1
On introduit les applications linéaires (x : C" --=> C définies par
PR(ti, te" En) = Diag
i=1

ainsi que

n
DACAE °°  Tn) -- Y ab
i=1

-- il
On notera aussi d,(21,:-- ,2n) = D mi

17 > Montrer que (@1,:::,4,,%1,%,,::: ,%,, 0.) est une famille libre.
Indication : on pourra utiliser les matrices de Vandermonde.

18 > Montrer que

q(æ,: "° ,Tn) -- D Mrpr(ti. "T° Tr) +

k=1
5 --
> TE (ua, T° Tn)" + DACAE _- En) );
k=1
s'écrit sous la forme q(t1,::+ ,%n) = 35,21 Sir -otits.

19 > Montrer que si P est à racines toutes réelles, alors g : R? ---- R définie 
par
Qt," ,Tn) = Yi; Sir5-2tit;, est à valeurs positives.

On suppose à présent 7 < n et on écrit pour tout 4 = 1,---,s V2 + = 2Re(y) -- 21m(u;)°. 20 > Montrer que les applications linéaires R° -- R suivantes sont 
R-linéairement
indépendantes :

Pi: >: Pr; Re(:), Im(x:), TT , Res), Im(x.).
21 > Conclure que P est à racines toutes réelles si et seulement si q est à 
valeurs positives

sur R7.
Indication : on pourra utiliser, sans justification, l'existence d'un vecteur
(t1,--- ,4n) EUR R' qui annule toutes les formes linéaires de la question 
précédente

sauf une au Choïx.

Suite multiplicative de Polya-Schur

Étant donnée une suite réelle (jy)reN, on considère l'opérateur F : R[X] --+ 
R|X]
défini par la formule
k=0 k=0
Une suite (Jh)nen est dite multiplicative au sens de Polya-Schur si l'opérateur 
l préserve

l'ensemble des polynômes à racines toutes réelles, 1.e. si P a toutes ses 
racines réelles alors
l'(P) aussi.

22 > Montrer que la suite définie par 7, = n est multiplicative au sens de 
Polya-Schur.

23 > Montrer que si (}»)h>0 est multiplicative au sens de Polya-Schur alors 
pour tout
k > 0, la suite (y )n>r = (9%, Yk21,°-*) l'est aussi.

Soit P(X) = ag + a X +... +a, XX" avec a, % 0. On suppose que P a toutes ses
racines réelles : on les note æ1 < %2 < --- < x,. On rappelle que -- = D}, ty; et on An-2 __ admet que 2 = D'iéicjen tit; de sorte que nm 2 2 2 A _1 -- ZAnAn-2 = y ) T3. k=1 24 & Soit (y»}n>0 une suite non nulle, multiplicative au sens de Polya-Schur et 
on suppose
qu'il existe k > 0 tel que 7; = 0 avec 5-1 Æ 0. Montrer que 411 = O0 puis que
Ym = 0 pour tout m > K.
Indication : on pourra utiliser les expressions de T((14+X)*T1) et EXT XFN),
puis, pour m > k +2, raisonner sur les racines de T'((1+X)").

25 > On suppose que la suite multiplicative (y,),>0 ne s'annule jamais. Montrer 
alors
quelle est soit de signe constant, soit alternée.
Indication : on pourra utiliser encore l'expression de TXT -- XE1.
Théorème de Polya-Schur

On considère à présent une suite (/»)1>0 strictement positive, i.e. 7, > 0 pour 
tout
n > (0.
On suppose que (y»)1>0 est multiplicative au sens de Polya-Schur.

26 > Montrer que Q,(X) = 59% ()X * a toutes ses racines réelles et négatives.

Réciproquement supposons que Q,(X) = 30% (x * a toutes ses racines réelles
négatives. On fait le changement de variable x = z/n, de sorte que

P()= DES) (1

k
e 2:

a toutes ses racines réelles et négatives.

27 © En utilisant le théorème 1, montrer que (,)1>0 est multiplicative au sens 
de Polya-
Schur.

On suppose que (y»)1>0 est multiplicative au sens de Polya-Schur.

28 > Montrer que (y)}nen est log-concave, ie. 42 > 119% 1 pour tout # > 1.

29 > En déduire que la série entière > ,-0/n2" à un rayon de convergence 
strictement
positif.

30 © En déduire que »},:9 2" à un rayon de convergence infini et peut s'obtenir 
comme
la limite uniforme sur tout intervalle fermé borné de R, de polynômes à racines
toutes réelles et négatives.

31 > Réciproquement montrer que si »,>0 x" a un rayon de convergence infini et
peut s'obtenir comme la limite uniforme, sur tout intervalle fermé borné de R,, 
de
polynômes à racines toutes réelles et négatives, alors (4,)1>0 est 
multiplicative au
sens de Polya-Schur.

Indication : pour cette question, toute tentative de réponse, partielle ou 
purement
qualitative, sera considérée par le Jury.

FIN DU PROBLÈME