Mines Maths 2 PC 2022

A2022 --- MATH II PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Le théorème matriciel de Kreiss

Soit n EUR N*. Pour (x1,...,2,) EUR C", le vecteur colonne X = (x1,...,2,)! 
appartient

à Mh1(C); on pose
XI = >
i=1

On admet que l'application X EUR M,1(C) -- || X |] est une norme sur M,,1(C). 
On note
5, = {X EUR Ma(C) : IX] = 1}

On identifie M:(C) à C. Ainsi, si (X,Y) EURE M,1(C)* et M EUR M,(C), XT MY est

un nombre complexe.

Si M EUR M,(C), on note Ym le polynôme caractéristique de M, o(M\) l'ensemble 
des
valeurs propres de M. Si1 < 4,3 < n, on note (M); ; le coefficient de M situé à la i-ième ligne et à la j-ième colonne. Pour z EUR EUR \ o(M), on note R,(M) = (zl, -- M) *. Soient U={z2eC:;fz:l=i1} et D--={z2eC;lz:l<1}. Les parties 4 et 5 sont indépendantes des parties 1, 2 et 3. Dans la partie 3, les questions 7 à 10 sont indépendantes des questions 5 et 6. 1 Norme d'opérateur sur M,(C) 15> Justifier que si M EUR M,(C), l'application
X EX, | MX)

atteint son maximum, que l'on notera ||[A/|..

Établir les deux propriétés

M X
VM E M,(C), Mon = max Cr ; X E Ma(C) \ to)
V(M, M) EUR M,(C), MM op < M op M op: On admettra dans la suite que l'application M EUR M,(C) -- M, est une norme sur M,(C). 25 SiUEURE M,1(C), montrer que max{|V?U Ver, } = U|. En déduire que, si M est dans M,(C), alors max{|[X MY |; (X,Y)EX, x En} = Mb. 2 L'ensemble PB, Soit B, l'ensemble des matrices M de M,(C) telles que la suite (ILM "lon)en soit bornée. Pour M EUR B,,, on pose DM) = sup{||M"Iop : k EUR N}. 3 > Soient M EUR B,, X EUR M, 1(C). Montrer que la suite (||M°X1||)£en est 
bornée.

Si À EUR o(M), si X est un vecteur propre de M associé à À, exprimer pour k EUR 
N,
le vecteur MX en fonction de À, k et X. En déduire que o(M) C D.

4 > On suppose que n > 2. Indiquer, avec justification, une matrice M de M,(C),
triangulaire supérieure, telle que o(M) EUR D, mais n'appartenant pas à B,.

3 Résolvante d'un élément de M, (C)

On dit que l'élément M de M, (C) vérifie P si, pour tout (1,7) de {1,...,n}°, 
il existe
un élément Puy: de C;-_1[X] tel que
_ Pmi5(e)

VzEeC\o(M), (R,(M))i; = ED (P)

5 > Montrer que les matrices diagonalisables de M,(C) vérifient P. On commencera
par le cas des matrices diagonales.
6 > On admet que toute matrice de M,(C) vérifie P. En déduire que, si M EUR M, 
(C)
et (N,Y) EURE M,i(C)", il existe un élément Pyxy de C,_1[X] tel que
Pu,x,y (2)

VE C\o(M), ARMY =

Mi
7 & Soient M EUR B, et z EUR C \ D. Montrer que la série de matrices ÿ_
2ITI

converge.

On admettra le fait suivant : soit (E, N) un espace vectoriel normé de dimension
finie; si (v;)jen est une suite d'éléments de E telle que la série à N(v;) 
converge,

alors la série > v; converge dans E.

Si m EUR N, donner une expression simplifiée de (21, -- M) 5 2

j+1
j--0 £

En déduire que
+00 M?
R,(M) -- >, 23+1.

j--Û0

Pour M EUR B,,, on définit la fonction
pu :2EC\DE (211) RM) op
8 > Déduire de la question précédente l'inégalité

(A) VMEB, V2EeC\D, pue)  c; converge 
absolument.
On pose

VER, u(t) = SJ c;e "Tr,

9 & Justifier l'existence et la continuité de la fonction u.

Pour k EUR N, montrer que
1

5 |. u(t) RTE dt = cy.

10 > Soient M EUR B,, r EUR]l,+ooef et (X,Y) EUR M,1(C)°. Déterminer une suite 
de
nombres complexes (c;);en telle que la série > c; converge absolument et que

+00
VER, XTR,eu(M)Y = YScje UNE

Si k EUR NN, en déduire, en utilisant la question 9, une expression intégrale de
XTMFY.
4 Variation totale et norme uniforme

Soit C! l'espace des fonctions de classe C? de [-7, 7] dans C. Pour f EUR C}, 
on pose

If =max{ifl: tem} et VO = f If

11 > En considérant une suite de fonctions bien choisie, montrer qu'il n'existe 
pas d'élé-
ment C de RT* tel que

VfEC,  V(f) 1, on
désigne par t1 < --: < t, les éléments de C{(f). On pose to = --T et tyr1 =. 12 > Montrer que
L
VF) = DIF) -- f(6)|.
j=0

Pour 0 < j < 4, soit 4; la fonction de R dans {0,1} égale à 1 sur [f(t;), f(t;+1)| et à 0 sur R \{f(t;), f(t;+1)[. Montrer que IF se VD=X JT 6, j--0 -- || fÎlo0 135> SiyeR, montrer que l'ensemble f-1({y}) N[-7x,7| est fini de cardinal majoré
par { +1; on note N(y) ce cardinal.

Si y EUR R, exprimer N(y) en fonction de #(y),...,%(y). En déduire l'inégalité

(2) V(f) <2 max{N(y); yER} |flle. 5 L'inégalité de Spijker P On appelle fraction rationnelle tout quotient F = -- où P EUR C[X] et Q EUR CIX]\ {0}. Une telle fraction peut s'écrire sous la forme précédente de façon que P et Q n'aient pas de racine commune dans EUR : si tel est le cas, les racines de Q dans EUR sont, par définition. les pôles de F. On note R,, l'ensemble des fractions rationnelles sans pôle dans Ü de la forme -- où P et Q sont deux éléments de C, [X1. Soient, dans la suite de cette partie, F EUR R,, P et Q deux éléments de C, {X] vérifiant P F = -- et Q Vz EU, Q(z) £ 0. Pour t E [--T,7|), on pose ft) = F(e7) = gt) +ih(t) où (gt). ht) e R° Pour u EUR |--7,7|, on définit une fonction f, de [--T,7] dans R par VtE[-T,T| fatt) = g(t) cos(u) + R(t) sin(u) = Re(e-"F(e")) = Re(e-"f(#)). 14 > Dans cette question, on fixe u EUR [--T,7] et on suppose que f, n'est pas 
constante.
On fixe également y EUR R. En utilisant éventuellement l'expression de f,(t) 
comme

partie réelle de e-"""F{e") et la formule d''Euler pour la partie réelle, 
déterminer
S EUR Cr[X| tel que

VE [-7T,T|, fa) = y = S(e*) = 0.
En déduire que l'ensemble f, 7 ({y}) N[-7,rl est fini de cardinal majoré par 2n.

15 > En observant que la fonction | cos | est 27-périodique, calculer, pour w 
EUR R, l'inté-
grale

| | cos(u -- w)| du.

En déduire que, si (a,b) EUR R*,

| la cos(u) + bsin(u)| du = 4 Va? + b2.

TT

16 > Exprimer l'intégrale

[_ ([° EMO] du) dé

en fonction de V(f).

17 > On admet l'égalité

LCL au) ar = [Cf O1 at) au

On admet aussi que, pour u EUR |--T, 7] tel que f, ne soit pas constante, 
l'ensemble
des points de | -- r,x| en lesquels la fonction f," s'annule est fini (ce que 
l'on
pourrait établir en raisonnant comme dans la question 14 D).
En déduire l'inégalité

(3) V(f)£27n | flle.

6 La version de Spijker du théorème matriciel de Kreiss
Soit M EUR B,. L'inégalité (1) de la question 8 justifie la définition de
bd'(M) = sup {om(z) ; zEe C\D}.

et entraîne que b'(M) < b(M). On se propose de majorer b(M) en fonction de b'(M). Dans les questions 18 et 19&, on fixe r EUR]1, +o! et (X,Y) EUR X,". Pour p EUR R**, on note D,={zeC; 21< op}. 18 > Montrer qu'il existe un élément F, de R,, dont les pôles sont tous dans D, 
et tel
que les deux propriétés suivantes soient satisfaites :

b'(M)
V C\D,,. F, << ------ z EUR \ 1/ | (2) rlzl -- 1 r£+i Vk EUR N. XI MY = 2T | FE, (et jet dt. 19 > En utilisant la question précédente, une intégration par parties et 
l'inégalité (3) de
la question 17 >, montrer que

k+1

Vke N. XTMFY| < |  Démontrer finalement l'inégalité

(4) b(M) < en b'(M). Ce résultat de M.N. Spijker (1991) améliore un théorème de H.0. Kreiss (1962). La constante en est asymptotiquement optimale. FIN DU PROBLÈME