Mines Maths 2 PC 2023

A2023 --- MATH II PC

Cm

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énontcé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.
Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Chaîne de Markov en temps continu

Dans tout le sujet on se fixe un entier naturel N > 2.

-- Soit AE #,4(R). Pour tout (i,j) E [1; p] xX]1; q], on note Afi, j] le 
coefficient
à la ligne + et la colonne j de A. Par abus, si À est une matrice colonne (q = 
1)
on note Ali] pour A{i, 1}. De même si À est une matrice ligne (p = 1) on note 
Ai]
pour Af1,i].

-- On identifie R° avec .#v1(R). Pour tout k EUR [1; N] on note F4 EUR .#x1(R) 
la
matrice colonne dont tous les coefficients sont nuls sauf la k-ième qui vaut 1. 
On
rappelle que (£:,..., En) est une base de .#v1(R)).

On note U EUR .ÆAn1(R) le vecteur colonne dont toutes les coordonnées sont 
égales
à 1. On à donc pour tout ie [1; N],Uli] = 1.

-- On appelle noyau de Markov une matrice K EUR .#N(R) telle que

(M) V(i,5) EL: NI, Ki, > 0

(M2) Vie[L NI. D Klij]=1

J=1
-- On appelle probabilité un vecteur ligne 4 EUR .#i n(R)) tel que

(Pi) ViEÏT; N];,uli] z 0
(P) Eau] =

-- On notera 14 EUR .AN(R) la matrice identité.

Préliminaires
15 Soit AE .ÆN(R). Montrer que À vérifie (M) si et seulement si AU = U.

En déduire que si À et B sont deux noyaux de Markov alors AB est encore un
noyau de Markov.
On se fixe un noyau de Markov K.

2> Montrer que pour tout n EUR N, KT est un noyau de Markov.

3b SoitteRet(i,j)e[1;: N°, justifier que la série X PA" Bi converge.
n>0 |

On notera H, EUR .Mn(R) la matrice définie par

_. _. 2 Ki, j
Vüi,n el NT, Ali,j=etS ï. À
n--=0

nl!
4 > Montrer que pour tout réel t EUR R., FH, est un noyau de Markov.

5 > Montrer que pour (t,s) EUR R°, H;,, = H,H..

On pourra faire apparaître un produit de Cauchy.

Partie 1 - Modélisation probabiliste

On cherche à modéliser un système ayant N états numérotés de 1 à N. À l'instant
initial le système est dans l'état 1. Le système est soumis à des impulsions.

On suppose que pour tout (4,j)EEUR [1; N J'. à chaque impulsion, si le système 
est dans
l'état 2, il se retrouve dans l'état 7 avec une probabilité p;; qui ne dépend 
que de l'état
où il était avant l'impulsion.

Ce système est modélisé par un espace probabilisé (Q,.7, P).

Pour tout entier k EUR N, on note 74 la variable aléatoire à valeurs dans [ 1: 
N ] qui
correspond à l'état du sytème après k impulsions. Pour tout (4,3) EUR [1; N l 
et tout
kE N tels que P(Z% = i) £ 0 on à donc P(Zz41 = j|Zx = à) = pij. En particulier, 
cela
ne dépend pas de k. De plus, la variable Z est la variable certaine de valeur 1.

On considère la matrice K EUR .Æn(R)) définie par

V(i,5) ET: NT, Kt,5] = pi,

6 > Justifier que À est un noyau de Markov.

7> SoitneN.Soit jEEUR[1; N] montrer que P(Z, = j) = K"[1, |.

On pourra procéder par récurrence.

8 > Soitt EUR R.. On suppose que le nombre d'impulsions après un temps { est 
donné
par une variable aléatoire Y, suivant la loi de Poisson de paramètre t. Pour 
tout
jEURf[1; N] on note À,; l'événement « le système est dans l'état j après un 
temps
t ». Justifier que P(A,;) = H,[1, 5].
Partie 2 - Étude d'un endomorphisme autoadjoint

Soit Æ un espace euclidien de dimension N. On note ( | ) le produit scalaire et 
|| |]
la norme euclidienne associée. Soit uw un endomorphisme autoadjoint de Æ. On 
pose
Qu : E -- R défini par 4, :xr (u(x)|x) et on suppose que pour tout x EUR E, 
q(x) > 0.

9 > Énoncer le théorème spectral pour l'endomorphisme u. Que peut-on dire des 
va-
leurs propres de u ?

On suppose que 0 est valeur propre simple de u et on note À la plus petite 
valeur propre
non nulle de u. On note p : E -- E la projection orthogonale sur la droite 
vectorielle

ker(u).

10 > Montrer que pour tout x EUR E, qu(x -- p(x)) > Àllx -- p(x)||*.

Partie 3 - Convergence de Xi, j]

On considère un noyau de Markov K. On suppose que 1 est une valeur propre simple
de K.
On suppose qu'il existe une probabilité 7 EUR #1 n(R)) telle que :

(a) Pour tout j E[1; N], ri] # 0.
(b) Vüi,j)eli: NT ,rllKl{i, 5] = K{j, ün{5]; on dit que K est x-reversible.

Un rapide calcul montre alors que pour tout réel { positif H, est aussi un 
noyau de
Markov T-réversible c'est-à-dire que

Vi, 5) T1: NT rfi Ai, j] = Hi(j, ir (5)

On ne demande donc pas de démontrer ce résultat.
Pour finir, pour X,Y EUR .#Æn1(R)°, on pose

(X,Y) = 2 X(Y Hit

Dans cette dernière partie, on cherche à déterminer pour (4, j) EUR [1; N]° la 
limite de
H,li, j] quand t tend vers + et à majorer la vitesse de convergence.

11 > Montrer que TK = 7.
12 > Montrer que (X,Y )+ (X,Y) est un produit scalaire sur .#xv1(R).

Dans la suite on note E l'espace l'espace euclidien .#xv1(R) muni de ce produit 
scalaire.
13 > On considère l'endomorphisme de Æ défini par u : X + (IN -- K)X. Montrer 
que
ker(u) = Vect(U) et que u est un endomorphisme autoadjoint de E.

On admet que pour tout { EUR R,, l'endomorphisme X + H,X est aussi un endo-
morphisme autoadjoint de E.

14 > Montrer que pour tout À EUR FE,
1 N ON

mA) = DEA - XGA, jfrfi

i=1 j=1

Que dire des valeurs propres de u ?

Soit À EUR FE, on note Yx la fonction définie de R dans E par Yx :t+ H,X et wx 
la
fonction définie de R dans R par 6x :tr || H,X||°

15 > Justifier que dx est dérivable et que pour tout t dans R,
xt) = ---(x - K)HX
16 > En déduire que vx est dérivable et exprimer w',(t) à l'aide de qi.

On note p: E -- E la projection orthogonale sur ker(u).

17 > SoittEe R.. Montrer que p(H,X) = p(X).

18 > On pose Y = X -- p(X). On note À la plus petite valeur propre non nulle de 
u.
Montrer que pour tout réelt EUR R,, (EUR) < --2Avy(t). En déduire que VE R., ||H,X -- p(X})|f?  Soitie]1; N]JetteR.. Montrer que |LHE; -- r'iU||  Montrer que pour tout (4,j)e[1; N]JettoutteR..
N

Hili, 5] -- ri] = 2 (Hire ik] -- TK] (Hilk, 5] -- 751)

On pourra utiliser la question 5.

21 > En déduire que pour tout (i,5) e[1: N]ettoutteR.,

lé 5] ri