Mines Maths 2 PC 2024

A2024 --- MATH II PC

Cmp

Concours commun

Mines-Ponts

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH,
ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS,
TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS,
MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY,
IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS,
CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom,
Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2024
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de 
la licence
Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de 
Modification 3.0 France.

Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun 
Mines Ponts.

Problème inverse pour les matrices de distance euclidienne

Notations et rappels

Soit n un entier supérieur ou égal à 1.

-- On note (x,y) (resp. XYY) le produit scalaire euclidien usuel de deux 
vecteurs
x et y de R? (resp. X et Y de M, 1(R) identifié canoniquement à R") et [x] la
norme de x (resp. [[X {| la norme de X) associée au produit scalaire.

-- Etant donnés deux points P et P' de R", on note d(P, P') la distance entre P 
et
P" associée à la norme euclidienne usuelle :

d(P, P°) = [OP - OP/|
où © est le point origine.
-- Un endomorphisme symétrique f de R'" est dit positif si
Vx E R",(x, f(x)) > 0
Une matrice symétrique À de M,(R) est dite positive si

VX EUR M,ai(R), X° AX > 0.

-- Soit B une base orthonormée de R". Un endormorphisme symétrique f de R" est
positif si, et seulement si, sa matrice (symétrique) dans B est positive.

-- On appelle matrice de distance euclidienne (on notera MDE pour abréger) une
matrice carrée D = (d;;) d'ordre n telle qu'il existe un entier naturel non nul 
m
et des points A1, ... A4, de R""' tels que pour tout (1,3) EUR {1,...,n}° on à :

di 5 = d(As, A;P.

On se propose dans ce sujet d'apporter une réponse partielle au problème 
consistant
à déterminer, étant donnés des réels A, ..., À,, une MDE de spectre (À1,....., 
An).

On admet sans démonstration dans ce sujet que des endomorphismes symétriques de
R" sont positifs si et seulement si leur spectre est inclus dans [0, +].
1 Matrices de Hadamard

On appelle matrice de Hadamard d'ordre n toute matrice A carrée d'ordre n dont
tous les coefficients sont égaux à 1 ou à --1 et telle que 7H soit orthogonale.

Donner des exemples de matrices de Hadamard d'ordre 1 et 2.

Montrer que si À est une matrice de Hadamard alors toute matrice obtenue en
multipliant une ligne ou une colonne de A par --1 ou en échangeant deux lignes
ou deux colonnes de À est encore une matrice de Hadamard.

Montrer que si À est une matrice de Hadamard d'ordre n alors il existe une 
matrice
de Hadamard d'ordre n dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux
à 1. En déduire que si n > 2 alors n est pair.

Montrer que si À est une matrice de Hadamard d'ordre n supérieur ou égal à 4,
alors n est multiple de 4. On pourra commencer par montrer que l'on peut 
supposer
la première ligne de À uniquement composée de 1 et sa deuxième ligne composée
de n/2 coefficients égaux à 1 puis n/2 coefficients égaux à --1.

2 Quelques résultats sur les endomorphismes
symétriques

Soit f un endomorphisme symétrique de R". On note À, < ...... < À, les valeurs propres classées par ordre croissant de f. Pour k EUR [1,n], on introduit l'ensemble 7% des sous- espaces vectoriels de R" de dimension k. On admettra ici que les min et max considérés existent bien (cela découle de la continuité des expressions considérés). 5 >

6 >

75

Justifier l'existence d'une base (e:,.....,e,) orthonormée de R' formée de 
vecteurs
propres de f, le vecteur e; étant associé à À; pour tout à EUR {1,...,n}. On 
garde par
la suite cette base.

Soit k EUR [1,n] et Sy; un sous-espace vectoriel de R" de dimension k. On pose
Ty = Vect(ez, ..., en).
Justifier que S, NT, £ {0}.

En considérant x EUR Sx N 7%, justifier que :

| > À
ax (E f(x)) Z À
8 > Soit kE ]1,n]. A l'aide de S = Vect(e;,.....,ez) EUR mx, montrer l'égalité :

x = min max (x. 10)

SErTx \xEURS,|x||=1

C'est le théorème de Courant-Fischer. On aura également besoin par la suite du
résultat de factorisation suivant :

9 > Soit M une matrice symétrique de M,(R). Montrer que si M est positive, 
alors il
existe B EUR M, {R) telle que M = B1.B. En déduire que si M n'est plus supposée
positive, mais admet une unique valeur propre strictement positive À d'espace

propre de dimension 1 et de vecteur propre unitaire u, alors il existe B EUR M, 
(R)
telle que M = Au.u! -- B!.B.

3 Caractérisation des MDE

On note e la matrice de M, 1(R)) dont tous les coefficients sont égaux à 1. On 
note À,
l'ensemble des MDE d'ordre n et (), l'ensemble des matrices M symétriques 
positives
d'ordre n telles que M.e = 0. On note enfin P la matrice d'ordre n définie par

1
P=I, --e.el
n

On note T l'application de À,, dans M, (R)) qui à D associe

1
T(D) =-=PDP
D

et À l'application de Q, dans M,(R) qui à une matrice À associe
K(A) =e.a! +a.e! --2A

où a est la matrice colonne de M, 1(R) dont les coefficients sont les 
coefficients diago-
naux de À.

10 > Montrer que P est symétrique et que l'endomorphisme de R" canoniquement as-
socié est une projection orthogonale sur Vect(e)+.

11 > Soit D EUR AÀ,. Soient A:, ... , À, des points dont la matrice D est la 
matrice
de distance euclidienne. On note x; les vecteurs coordonnées des A;. Soit M1 la
matrice dont les colonnes sont les x; et C' la colonne formée des |{|x;[[*. 
Ecrire D

comme combinaison linéaire de Cef, eCT et Mi.M1. En déduire que pour toute
matrice D de À, on a T(D) EUR Q,.
12 > Montrer que pour toute matrice À de Q,, on a K(A) EUR À,.

13 > Montrer que les applications T': À, -- Q,, et K°: (0, -- À, vérifient :
To k -- Ido, .

On peut montrer (mais ce n'est pas demandé) que l'on a également KoT = Id\,
et que ces deux applications sont bijections réciproques l'une de l'autre.

14 > Montrer qu'une matrice symétrique D d'ordre n à coefficients positifs ou 
nuls et
de diagonale nulle est MDE si et seulement si --;PDP est positive.

15 > Montrer que toute matrice symétrique à coefficients positifs, non nulle et 
de dia-
gonale nulle, ayant une unique valeur propre strictement positive d'espace 
propre
de dimension 1 et de vecteur propre e est MDE.

4 Spectre des MDE

On conserve ici les notations de la partie précédente.

16 > Préciser la somme D ;_., À; des valeurs propres d'une MDE d'ordre n.

17 > Soit D une MDE d'ordre n non nulle. Montrer que pour tout x EUR Vect(e)!, 
on a
x! Dr < 0. 18 > Soit D une MDE d'ordre n non nulle. Soient À, .... ,À, ses valeurs 
propres, ordon-
nées dans l'ordre croissant. Montrer
Àn--1 < 0 et en déduire que D a exactement une valeur propre strictement positive. 5 Problème inverse pour les MDE Soit Æ une matrice de Hadamard d'ordre n et de première ligne constante égale à 1. Soient À1 , ..., À, des réels tels que M>0> bb >..>A,

et

On note Ü la matrice 7e H et À la matrice diagonale dont les coefficients 
diagonaux sont
les À;. On note enfin D = UTAU.
19 > Montrer que D est symétrique, à coefficients positifs et à diagonale 
nulle, et a pour
valeurs propres À, ..., À,, avec À, d'espace propre de dimension lÎ.

20 > Montrer que D est MDE.

21 > Donner une matrice de distance euclidienne d'ordre 4 telle que son spectre 
soit
{5,--1,--2, --2}.

Remarquons pour finir que la portée de ce résultat est à nuancer, car outre les 
condi-
tions sur les ordres possibles pour les matrices de Hadamard, on ne sait même 
pas s'il
existe de telles matrices pour tout ordre multiple de 4! D'autre part, il 
existe évidemment
des matrices de distance euclidienne d'ordre impair.

FIN DU PROBLÈME