ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2001 FILIÈRE PC
PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
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Les polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques
étudiés dans ce
problème ont des applications à la détermination des équilibres de température
et des distribu--
tions de char es électri ues ainsi u'à la mécani ue uanti ue.
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Les fonctions considérées sont à valeurs dans R. On identifie une fonction
polynomiale avec le
polynôme associé.
Première partie
Pour tout n E R, on considère la fonction polynomiale P... définie par
pour :D E R. Il résulte des conventions habituelles que P0 (33) = 1 pour a: E R.
La) Montrer que le polynôme Pn est de degré n. Quel est le coefficient du terme
de degré n
dans Pn ?
b) Pour quelles valeurs de n la fonction Pn est--elle paire ? impaire ?
c) Calculer Pn(1) et Pn(--1).
2. Soit n > 1. Montrer que pour tout m E N tel que 0 < m { n ---- 1, 1 / Pn(oe) oemdæ : 0 .4 --1 3. On désigne par 8 l'espace préhilbertien réel des fonctions continues sur [--1,1] muni du produit scalaire (u | v) = /11u<æ>v<æ>dæ ,
pour u, ?) EUR 5 .
a) La famille (Pn)nEURN est--elle une famille orthogonale dans 8 ?
b) Calculer (Pn | Pn) pour chaque n E N.
. d 2
4.21) 801t n > 1. Montrer que Æ((æ
dPn
-- 1 d--(oe)) est orthogonal a :L'm pour tout m E N
cc
telque0 2, A(ÏN) C ÎN_2. En déduire que
dimHN } 2N + l'.
b) On pose ,,...2 = 513% + 33% + 33%. Soit [EUR E N, 0 < 21EUR < N, et soit g E ÎN_2k. Calculer A(r2kg) en fonction de g, Ag,r, N, le. 10. Soit f E HN, N > 2. On suppose qu'il existe g E ÎN_2 tel que f = 729.
&) Montrer qu'il existe une fonction h de classe 62 sur R3 telle que f = 7°2Kh,
où K est
N 2
la partie entière de ; .
b) Montrer que f = 0.
11.31) Montrer que, si N > 2, dim HN { dimfN -- dim ÎN_2.
b) Quelle est la valeur de dim H N ?
Quatrième part ie
On conserve les notations de la troisième partie. On introduit les coordonnées
sphériques
(7°, 9, go) sur R3 définies par
fil = rsin6'cosgo
5122 = rsin9sincp
5133 = 7° cos 6
pour ,,. EUR]O,+oo[, 9 EUR]0,7r[, @ EUR]0,27r[. On négligera le fait que ces
coordonnées ne sont pas
définies pour les points d'un demi--plan de R3. On écrira
N
f(ælaoe27oe3) : f(T797 (70)
(expression de f en coordonnées sphériques). Soit
S = {(£C1,ZIZ2,OE3) E R3 |oeÎ +:13â +:câ = 1}
la sphère de centre 0 et de rayon 1. On pose
A 82 + c t 9 8 + 1 82
= ---- 0 an -- --
S 392 39 sin29 8g02
et l'on admettra que
N 62 2 a 1
A = -- + ---- + --2AS
N
A(f) = A(f)-
Soit 77. E N et m EUR N. On considère les fonctions sur S définies par
0 { m < n , Y......(9, 90) = cos(mgo)f......(cos @) 0 < m { n , Yn,_m(9, 90) = sin(mgo)f......(cos @) où les fn,... sont les fonctions étudiées dans la deuxième partie. 12. Montrer que pour tout n E N et m EUR Z tel que --n { m < n, AS Y")... : --n(n + 1)Y...... . 13. Soit n EUR N et m EUR Z tel que --n { m < n. Soit H...... la fonction sur R3 telle que N Hn,m(ra 97 90) : Tn Yn,m(97 90) ' &) Montrer que ÂÏ-Ïnm = O. N b) Montrer, en regroupant dans Hmm les termes en rsinâcos go, rsin9sing0 et rcos9, que H...... est un polynôme homogène harmonique sur R3 de degré n.
