ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2008
FILIÈRE
PC
COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Répartition modulo 1 de suites de nombres réels
Première partie
Ö
On considère la matrice M =
è
0 0 -1
0 1 1
1 1 -1
. On désigne par I la matrice identité de M3 (R).
1. Montrer que M possède une unique valeur propre réelle , et que est comprise
entre 1 et 2.
2. Soit une valeur propre complexe, non réelle, de M . Calculer ||2 et
comparer les réels
1
||, 1 et .
2
3.a) Montrer que I, M et M 2 sont linéairement indépendants dans l'espace
vectoriel M3 (R).
3.b) Calculer M 3 et l'exprimer comme combinaison linéaire à coefficients
entiers de I et M .
3.c) En déduire qu'il existe deux entiers et tels que, pour tout entier n > 0,
M n+3 = M n+1 + M n . (Par convention M 0 = I et M 1 = M .)
Pour tout entier n > 0, on pose un = Tr(M n ) et vn = cos(un ).
4.a) Pour 0 6 n 6 10, calculer un et vn .
4.b) Montrer que la suite (vn )nN est périodique, et préciser sa période.
4.c) Montrer que la suite (wk )kN définie par wk =
1
Pk
n=0 vn
n'est pas bornée.
5.a) Exprimer un en fonction de , et n.
5.b) La suite (yk )kN définie par yk =
Pk
n
n=0 cos( )
est-elle bornée ?
Dans la suite du problème, on note la fonction périodique de période 1 qui à
tout nombre
réel x ] - 12 , 21 ] associe |x|.
Deuxième partie
6.Z Soient et deux nombres réels tels que 1 6 < . Pour n > 1, on pose
In =
cos(2xn ) dx.
6.a) On suppose dans cette seule question 6.a) que, pour tout x de l'intervalle
[ , ], on a
limn+ ((xn )) = 0. Montrer que limn+ In = - .
6.b) À l'aide d'un changement de variable et d'une intégration par parties,
déterminer la
limite de la suite (In )nN quand n tend vers l'infini.
6.c) Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?
Troisième partie
7.a) Calculer les coefficients de Fourier (cq ())qZ de la fonction .
7.b) En déduire que, pour q > 0, on a |cq ()| 6
On note
Sp ()(x) =
p
X
1
.
2q(q + 1)
cq ()e2iqx
q=-p
la somme partielle d'indice p de la série de Fourier de la fonction .
8. Montrer que pour tout réel x et tout entier p > 1, on a
|(x) - Sp ()(x)| 6
1
.
p
9. Montrer que le réel défini dans la question 1 n'appartient pas à Q. [On
pourra utiliser
le fait que si u est un nombre rationnel positif non entier, on peut écrire u
comme quotient de
deux entiers strictement positifs a et b tels qu'aucun facteur premier de b ne
divise a.]
10. Soit le réel défini dans la question 1. Montrer que pour tout entier q 6=
0 et tout entier
N > 1, on a
N
X
1
e2iqn | 6
|
.
| sin(q)|
n=1
2
11. Déduire des questions précédentes que, pour tout entier p > 1 et tout
entier N > 1, on a
N
1 X
1
1
1
1
sup
.
(n) -
6 +
N n=1
4
p N 16q6p | sin(q)|
12. Déduire de ce qui précède que la suite (
N
1 X
(n))N N a une limite que l'on précisera.
N n=1
13. Le résultat de la question 12 reste-t-il valable si l'on remplace par un
nombre irrationnel
quelconque ?
3
