X Maths PC 2010

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2010

FILIÈRE

PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Une méthode de Fredholm
pour l'étude de certaines équations intégrales
Si f est une fonction continue de R dans C, 2-périodique, on note, pour tout n  
Z, son
n-ième coefficient de Fourier par
1
fb(n) =

2

Z 

f (t)e-int dt .

-

On note D(0, R) le disque fermé du plan complexe de centre 0 et de rayon R.
On pourra se servir du résultat suivant, admis sans démonstration. Si A = (aij 
)i,j=1,... ,n est
une matrice carrée de taille n à coefficients complexes, alors
| det A|  n

n
2

Ç

ån

sup |aij |
i,j

(inégalité de Hadamard).
Première partie : étude de quelques équations intégrales
1. Soit f : [0, 1]  C une fonction continue. Considérons l'équation intégrale 
de paramètre
z  C, z 6= 1, et de fonction inconnue z : [0, 1]  C continue :
(Ez )

z (x) - z

Z 1

ex-y z (y) dy = f (x) .

0

1a. Posons z =
et f .

Z 1

e-y z (y) dy. Écrire une relation simple exprimant z en fonction de z

0

1b. En déduire que si z 6= 1, (Ez ) possède une et une seule solution que l'on 
explicitera.

1

2. Soient f et K deux fonctions de R dans C, 2-périodiques, f étant de classe C 
2 et K
de classe C 1 . Considérons l'équation intégrale de paramètre z  C et de 
fonction inconnue
z : R  C continue et 2-périodique :
(Fz )

z (x) -

z
2

Z 

K(x - t)z (t) dt = f (x) .

-

2a. Soit g une fonction de R dans C continue, 2-périodique. Montrer que la 
fonction h
définie sur R par
h(x) =

1
2

Z 

K(x - t)g(t) dt

-

est continue, 2-périodique et que ses coefficients de Fourier b
h(n) vérifient
b
c gb(n) .
h(n)
= K(n)

c
2b. Montrer que si z  C est tel que pour tout n  Z, z K(n)
6= 1, l'équation (Fz ) possède
une et une seule solution dont on donnera le développement en série de Fourier.

3. Considérons l'équation intégrale de paramètre z  C et de fonction inconnue z 
: R  C
de classe C 1 :
(Hz )

z (x) - z

Z x

z (t) dt = ex .

0

Montrer que si z est solution de (Hz ), z vérifie une équation différentielle 
linéaire du premier
ordre à coefficients constants. En déduire les solutions de (Hz ).
Deuxième partie : quelques considérations d'algèbre linéaire
4a. Soit A un endomorphisme d'un C-espace vectoriel E vérifiant A2 = A. On note 
IdE
l'identité de E. Montrer que lorsque z 6= 1, l'endomorphisme IdE - zA de E est 
inversible et
donner son inverse.
4b. On note C([0, 1], C) l'espace des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs 
complexes. Considérons l'opérateur :
A:

(

C([0, 1], C)
 7 A,

 C([0, 1], C)
.
R
A(x) = 01 ex-y (y) dy

Montrer que A est linéaire et vérifie A2 = A. Montrer que si z 6= 1, Id - zA 
est inversible et
retrouver le résultat de la question 1b.
5. On note C2 (R, C) l'espace des fonctions continues sur R à valeurs complexes 
et 2périodiques. Plaçons-nous sous les hypothèses de la question 2, et 
considérons l'opérateur :
A:

(

C2 (R, C)  C2 (R, C)
R
1
A 7 A, A(x) = 2
- K(x - t)(t) dt
2

.

c
5a. Montrer que A est linéaire et que ses valeurs propres sont les K(n),
n  Z.

c
5b. Supposons que pour tout n  Z, z K(n)
6= 1. Proposer une condition suffisante pour que
Id - zA soit inversible.

Troisième partie : équations intégrales, le cas général
Dans la suite du problème, on considère un intervalle fermé borné [a, b], une 
fonction continue
f : [a, b]  C, et une fonction continue N : [a, b] × [a, b]  C. On note M = sup 
|N (x, y)|.
(x,y)[a,b]2

On considère l'équation intégrale de paramètre z  C et de fonction inconnue z : 
[a, b]  C :
(Iz )

z (x) - z

Z b

N (x, y)z (y) dy = f (x)

a

Posons, pour (x, y)  [a, b]2 ,
N0 (x, y) = 1,

N1 (x, y) = N (x, y) ,

et par récurrence, pour tout entier k  2, Nk (x, y) =

Posons pour z  C, x, y  [a, b], A(x, y, z) =

X

Z b
a

N (x, s)Nk-1 (s, y) ds.

Nk (x, y)z k-1 .

k=1

6a. Montrer que les fonctions Nk sont bien définies et continues.
6b. Montrer qu'il existe un réel R > 0 tel que la série A(x, y, z) converge 
normalement sur
[a, b]2 × D(0, R). (On pourra majorer |Nk (x, y)| indépendamment de x et y dans 
[a, b] en fonction
de la constante M introduite plus haut.)
6c. Pour tout z  D(0, R) et x  [a, b], posons z (x) =
est bien définie, continue sur [a, b] et que
z

Z b

N (x, y)z (y) dy = z (x) -

a

Z b

Rb
a

A(x, t, z)f (t) dt. Montrer que z

N (x, t)f (t) dt .

a

En déduire que pour tout z de module strictement plus petit que R, z (x) = f 
(x) + zz (x) est
solution de l'équation (Iz ).
Le but de la fin du problème est de montrer l'existence (sous certaines 
conditions) d'une
solution de (Iz ) en dehors du disque {z  C, |z| < R}. Soit n un entier naturel non nul. Notons pour xi , yi , i = 1, . . . , n dans l'intervalle [a, b], N Ç x1 , . . . , xn y1 , . . . , yn å le déterminant de la matrice dont le coefficient de la k-ième ligne et l-ième colonne est N (xk , yl ). 3 7. Montrer que N Å x, s1 , . . . , sn y, s1 , . . . , sn ã = N (x, y)N Å ã s1 , . . . , sn s1 , . . . , sn n X + (-1)k N (x, sk )N k=1 Å s1 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , sn y, s1 , . . . , sk-1 , sk+1 , . . . , sn ã et en déduire que ã X ã Å ã Å Å n x, s1 , . . . , sn s1 , . . . , sn sk , s1 , . . . , sk-1 , sk+1 , . . . , sn N = N (x, y)N - N (x, sk )N . y, s1 , . . . , sn s1 , . . . , sn y, s1 , . . . , sk-1 , sk+1 , . . . , sn k=1 Définissons (j) Cn pour tout entier naturel non nul n, et tout entier j, 1  j  n, par Å ã x, s1 , . . . , sn (n) Cn (x, y; s1 , . . . , sn ) = N y, s1 , . . . , sn et, pour tout k = 1, . . . , n - 1, Cn(n-k) (x, y; s1 , . . . , sn-k ) = Z b Cn(n-k+1) (x, y; s1 , . . . , sn-k+1 ) dsn-k+1 . a Posons aussi puis c0 (x, y) = N (x, y) et si n  1, cn (x, y) = Z b a0 = 1, et si n  1, an = cn-1 (s, s) ds . Z b Cn(1) (x, y; s1 ) ds1 , a a 8. Montrer que pour tout n  1, cn (x, y) = N (x, y)an - n Z b N (x, s)cn-1 (s, y) ds . a (On intégrera chacun des termes de la formule obtenue en 7 par rapport à des variables judicieusement choisies, dans un ordre judicieusement choisi.) X an n z a un rayon de convergence infini. (On pourra n! n=0 majorer |an | en partant de la majoration |N (x, y)|  M et utiliser l'inégalité de Hadamard rappelée dans le préambule). 9. Montrer que la série entière D(z) = (-1)n cn (x, y) n 10. On fixe R > 0. Pour tout entier n, majorer |
z | pour tout (x, y, z)  [a, b]× [a, b]× D(0, R)
n!
par une constante mn qui soit le terme général d'une série convergente.
11. Considérons la série entière Sx,y (z) =

X

(-1)n

n=0

Établir l'égalité Sx,y (z) = N (x, y)D(z) + z

Z

cn (x, y) n
z .
n!

b

N (x, s)Ss,y (z) ds.

a

12. En déduire que pour tout z  C tel que D(z) 6= 0,
Z b
Sx,s (z)
z (x) = f (x) + z
f (s) ds
D(z)
a
est l'unique solution de l'équation intégrale (Iz ).

4

,