X Maths PC 2011

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2011

PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ (XEULC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Matrices infiniment divisibles
Notations :
On désigne par R le corps des nombres réels et par R+ l'ensemble des réels 
positifs ou nuls.
Soit n un entier > 1. On désigne par Mn (R) l'espace vectoriel réel des 
matrices carrées à n
lignes et n colonnes. Si M  Mn (R), on note det(M ) son déterminant. On désigne 
par SMn (R)
le sous-espace vectoriel de Mn (R) des matrices symétriques. On note In  Mn (R) 
la matrice
identité. On identifie Rn et l'espace des matrices à n lignes et 1 colonne.
Première partie : la fonction 
1a. Montrer que
pour réel s > 0, la fonction x 7 e-x xs-1 est intégrable sur [ 0, + [. On
Z +
pose alors (s) =
e-x xs-1 dx.
0

1b. Calculer (m) pour m entier strictement positif.
1c. Montrer que  est continue sur ]0, +[.
Å

2a. Montrer que pour tout entier strictement positif m et pour x  [ 0, m ], 1 -
Montrer que

lim
m+

1-

x
m

Z m

(1 -

Å

ãm

x
m

ãm

6 e-x .

= e-x .

x m s-1
m! ms
) x dx =
, pour tout réel s > 0 et pour
m
s(s + 1) · · · (s + m)
0
tout entier m. (On pourra procéder par intégrations par parties successives).
2b. Montrer que

2c. Montrer que pour tout réel s > 0, (s) =
1

m! ms
.
m+ s(s + 1) · · · (s + m)
lim

Deuxième partie : matrices positives et produit de Hadamard
Soit A = (aij )  Mn (R). On dit que A est positive si A est symétrique et
X = t (x1 , · · · , xn )  Rn ,

hX, AXi = t XAX =

X

aij xi xj > 0

16i,j6n

où h., .i désigne le produit scalaire euclidien standard sur Rn .
3. Soit A =

Ç

å

a b
b d

 SM2 (R). Montrer que A est positive si et seulement si a > 0, d > 0,

det(A) > 0.
4. Soit A = (aij )  SMn (R). Montrer que A est positive si et seulement si ses 
valeurs propres
sont des réels positifs ou nuls.
5. Soit A = (aij )  SMn (R) une matrice positive, et 1 , · · · , n des réels. 
Montrer que,
posant bij = i j aij , la matrice B = (bij ) est positive.
6. Soit H un espace vectoriel préhilbertien réel, pour lequel le produit 
scalaire de deux
éléments x, y  H est noté hx, yi. Soient u1 , · · · , un  H. On pose aij = hui 
, uj i. Montrer que la
matrice A = (aij ) est positive.
Soient A = (aij ), B = (bij )  Mn (R). Leur produit de Hadamard est la matrice 
C = (cij ) 
Mn (R) donné par : cij = aij bij . On désignera cette opération par le signe  : 
C = A  B.
7. Montrer que si A  SMn (R) est une matrice positive et si B est une matrice 
diagonale à
coefficients diagonaux positifs ou nuls, alors A  B est une matrice positive.
8a. Montrer que si A  SMn (R) est une matrice positive, elle peut s'écrire 
comme somme
de matrices de la forme Y t Y = t (y1 , · · · , yn )(y1 , · · · , yn ), où Y = 
t (y1 , · · · , yn )  Rn . On pourra
commencer par le cas où A est diagonale.
8b. Montrer que si A, B  SMn (R) sont des matrices positives, alors A  B est 
une matrice
positive.
Troisième partie : matrices infiniment divisibles
On considère maintenant des matrices A = (aij )  SMn (R) dont les coefficients 
sont des
réels positifs ou nuls. Il résulte de la question 8b. que si A est positive, 
alors pour tout entier
r > 0, la matrice Ar = (arij ) est positive. On dit qu'une matrice symétrique A 
à coefficients aij
positifs ou nuls est infiniment divisible si pour tout réel r > 0, la matrice 
(arij ) est positive. On
désignera encore, lorsque r est un réel strictement positif, par Ar la matrice 
(arij ).
9a. Soit A  M2 (R) une matrice symétrique positive à coefficients positifs ou 
nuls. Montrer
qu'elle est infiniment divisible.

2

Ö

è

1 1 0
9b. Soit A = 1 2 1
0 1 1
lesquelles Ar est positive.

. Montrer que A est positive. Déterminer les valeurs de r > 0 pour

10. Montrer que si A = (aij ) est infiniment divisible et si 1 , · · · , n sont 
des réels strictement
positifs, alors posant bij = i j aij , la matrice B = (bij ) est infiniment 
divisible.
11. Soit A une matrice symétrique à coefficients positifs ou nuls. Montrer que 
si pour tout
1
entier m > 1, A m est positive, alors A est infiniment divisible.
12. Soient 1 , . . . , n des réels strictement positifs. On forme la matrice C 
= (cij ) avec
1
et on se propose de montrer qu'elle est infiniment divisible.
cij =
i + j
Soit H l'espace vectoriel des fonctions continues sur R+ à valeursZ réelles, 
dont le carré est
+

intégrable. On munit H du produit scalaire : pour f, g  H, hf, gi =

f (t)g(t)dt. On pose,

0

pour tout t > 0, ui (t) =

e-i t .

12a. Calculer hui , uj i et en déduire que C est positive.
1
1
12b. Montrer que pour r > 0 et  > 0, r =

(r)

Z +

e-t tr-1 dt.

0

12c. Soit, pour r > 0, Hr l'ensemble des fonctions continues u sur R+ à valeurs 
réelles
telles que la fonction t 7 u(t)2 tr-1 est intégrable Zsur R+ . On admet que 
c'est un espace vectoriel.
+

Montrer que si on pose, pour u, v  Hr , hu, vi =

u(t)v(t)tr-1 dt, on munit Hr d'un produit

0

scalaire.
12d. Montrer que C est infiniment divisible.

13. Soient 1 , · · · , n des réels strictement positifs. Pour 1 6 i, j 6 n on 
pose kij =
(i + j + 1)
. On se propose de montrer que la matrice K = (kij ) est infiniment
(i + 1)(j + 1)
divisible.
13a. Montrer que kij =

Y (i + p)(j + p)
1 m+1
.
m+ m.m!
(i + j + p)
p=1

lim

Ç

13b. Montrer que pour tout entier p > 1, la matrice
divisible. Conclure.

3

(i + p)(j + p)
(i + j + p)

å

est infiniment
16i,j6n

Quatrième partie : matrices conditionnellement positives
On dit qu'une matrice A = (aij ) de Mn (R) est conditionnellement positive si 
elle est symétrique et si pour tout X = t (x1 , · · · , xn )  Rn tel que

n
P

xi = 0, on a

i=1
t

XAX =

X

aij xi xj > 0 .

16i,j6n

14. Soient 1 , · · · , n des réels strictements positifs. Posons aij = - ln(i + 
j ). Montrer que
A = (aij ) est conditionnellement positive. (Pour X = t (x1 , · · · , xn )  Rn 
tel que

f (r) =

xi xj

16i,j6n

xi = 0, on

i=1

pourra introduire la fonction définie sur R+ par :
X

n
P

Ç

1
i + j

år

et utiliser les résultats de la question 12.).
15. Notons J la matrice de Mn (R) dont tous les coefficients sont égaux à 1. 
Soit B 
SMn (R). Considérons les deux conditions suivantes :
( i) B est conditionnellement positive.
( ii)  > 0,  > 0 tel que la matrice B +  In + J est positive.
Montrer que ( ii) implique ( i).
On admettra dans la suite que ces deux conditions sont en fait équivalentes.
16a. On suppose que A = (aij ) est infiniment divisible et que tous les 
coefficients de A sont
strictement positifs. Montrer que la matrice (ln aij ) est conditionnellement 
positive.
16b. Réciproquement, supposons que la matrice B = (bij ) est conditionnellement 
positive.
En considérant pour tout  > 0 une matrice C = (cij ) = B + In + J comme au 15., 
montrer
que pour tout r > 0, la matrice (exp(rcij )) est positive. En déduire que la 
matrice (exp(rbij ))
est positive.
2

17a. Soient z1 , · · · , zn des nombres complexes. Montrer que la matrice 
(e-|zi -zj | ) est infiniment divisible.
17b. Soient z1 , · · · , zn des nombres complexes. Montrer que pour tout t > 0, 
la matrice de coZ +
2
1
- 12 |zi - zj |
efficients
est
positive,
puis
que
la
matrice
de
coefficients
-
t
dt
t + |zi - zj |2
t + |zi - zj |2
0
est conditionnellement positive.
17c. Montrer que la matrice (e-|zi -zj | ) est infiniment divisible.

4