X Maths PC 2012

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ­ ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

FILIÈRE

CONCOURS D'ADMISSION 2012

PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES ­ (XEULC)
(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
 
Ce sujet porte sur l'étude qualitative des solutions des systèmes d'équations 
différentielles
autonomes y  = f (y) avec f : Rn  Rn de classe C 1 . On s'intéressera en 
particulier au comportement asymptotique de ces solutions.
Notations, définition, rappel
Dans tout le sujet, Rn est muni de son produit scalaire canonique noté h , i et 
de la norme
euclidienne associée, notée k k, c'est-à-dire que pour
Ö

x=

x1
..
.
xn

è

Ö

et y =

y1
..
.

è

 Rn ,

hx, yi =

n
X

xi yi et kxk =

»

hx, xi .

i=1

yn

L'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans R est noté Mn 
(R). L'ensemble des
matrices inversibles de taille n à coefficients dans R est noté GLn (R). 
L'ensemble des matrices
orthogonales de taille n à coefficients dans R est noté On (R). La matrice 
identité de taille n est
notée In .
L'ensemble des fonctions de classe C 1 de Rn dans Rn sera noté C 1 (Rn ).
Soient f : R  R et  : R ]0, +[ deux fonctions. On note f = o+ () si
 > 0 M > 0 x  [M, +[

|f (x)|  (x).

Les lettres I et J désigneront toujours un intervalle de R.
Définition (Solution maximale). Soit I 6= . Une solution y : I  Rn de
(E) y  = f (y)

1

est une solution maximale si y est une fonction de classe C 1 et si pour toute 
autre fonction de
classe C 1 z : J  Rn solution de (E) avec z = y sur I  J 6=  on a J  I.
On pourra utiliser le résultat suivant que l'on ne demande pas de démontrer :
Théorème 1. Soit f : Rn  Rn de classe C 1 . Pour tout t0  R et pour tout y0  Rn 
, il existe
une unique solution maximale du problème de Cauchy
(

y  = f (y)
y(t0 ) = y0

et cette solution maximale est définie sur un intervalle ouvert de R qui 
contient t0 . Si f (y) est
linéaire en y, alors la solution maximale est définie sur R.
Préliminaire
Pour une matrice A  Mn (R), on note
|||A||| =

sup

kAxk.

xRn ,kxk1

1. Montrer que ||| ||| définit une norme sur Mn (R).
2. Montrer que pour tous A et B dans Mn (R), on a |||AB|||  |||A||| |||B|||.
Première partie : un exemple en dimension 1
On considère le problème de Cauchy suivant

ã
Å

y  = ay 1 - y

b

(P )

y(0) = y
0

où a > 0, b > 0 et y0  R.

3. Montrer que (P ) admet une unique solution maximale y : I  R.
4. Soit y0  ]0, b[.
a) Montrer que pour tout t  I, y(t)  ]0, b[.
b) Montrer que pour tout t  I, on a
Z

y(t)

y0

du
 = at .
u 1 - ub

c) En déduire que I = R et donner y(t) pour t  R en fonction de y0 , a et b.
d) Donner les limites de y(t) pour t  + et pourt  -.
2

Deuxième partie : le cas linéaire
Dans cette partie, on étudie le problème

Y  = AY

(L)

où A  Mn (R) et Y0  Rn .

Y (0) = Y0

On définit A : R × Rn  Rn par A (t; Y0 ) = Y (t) où Y est la solution maximale 
de (L).
5. Montrer que pour tout t  R, Y0 7 A (t; Y0 ) est linéaire injective. En 
déduire qu'il existe
eA : R  GLn (R) tel que pour tout (t, Y0 )  R × Rn , A (t; Y0 ) = eA (t)Y0 .
6.a) Montrer que eA est de classe C 1 sur R et que pour tout t  R, eA (t) = AeA 
(t).
b) Montrer que eA (0) = In et que pour tout (t, s)  R2 , eA (t+s) = eA (t)eA 
(s) = eA (s)eA (t).
c) Montrer que pour tout t  R, eA (-t) = eA (t)-1 .
7.a) Soit P  GLn (R). Montrer que eP -1 AP (t) = P -1 eA (t)P .
b) Montrer que si A est une matrice diagonale dont les coefficients sont notés 
1 , . . . , n
alors eA (t) est une matrice diagonale dont les coefficients sont et1 , . . . , 
etn .
c)Dans le cas où A =

Ç

å

4 -2
, calculer eA (t) pour tout t  R.
1 1

8.a) Soit  et  des constantes positives dans R. Soit  : [0, +[ R une fonction 
continue
qui vérifie
Z
t

t  [0, +[ (t)   + 

(s)ds .

0

Montrer que pour tout t  [0, +[, on a (t)  et .
R
Indication : On pourra étudier la fonction F (t) = ( +  0t (s)ds)e-t .
b) Montrer que pour tout t  R, |||eA (t)|||  e|||A||||t| .

9. Soit g : R  Rn une fonction C 1 . Soit Z0  Rn . On considère le problème de 
Cauchy
(U )

(

Z  (t) = AZ(t) + g(t),
Z(0) = Z0 .

a) Montrer que pour tout t  R,
Ç

Z(t) = eA (t) Z0 +

Z

0

est bien défini et solution du problème (U ).
3

t

eA (-s)g(s)ds

å

b) Montrer que si Z : I  Rn est une solution de classe C 1 de (U ) sur un 
intervalle ouvert
contenant 0, alors Z(t) = Z(t) pour tout t  I.
10.a) Soit a > 0. Soit  ] - , -a[. Soit g : R  R une fonction de classe C 1 
telle que
g(t) = o+ (e-at ). Soit y : R  R une fonction de classe C 1 qui vérifie y  = y 
+ g. Montrer que
y(t) = o+ (e-at ).
b) On suppose dans cette question que A est une matrice triangulaire supérieure 
de
coefficients diagonaux 1 , . . . , n . On suppose qu'il existe a > 0 tel que 
pour tout i  {1, . . . , n},
i < -a. Montrer que kY (t)k = o+ (e-at ) où Y est la solution maximale du problème (L). c) On suppose ici que le polynôme caractéristique de A est scindé sur R. On suppose de plus que toutes les valeurs propres de A sont strictement négatives. Montrer qu'il existe a > 0
tel que |||eA (t)||| = o+ (e-at ).
11. On suppose que A est dans On (R) et que A2 + In = 0.
a) Donner les valeurs propres de A dans C et montrer que n est pair.
b) Montrer que pour tout t  R, |||eA (t)||| = 1.
Troisième partie : linéarisation
Soit f  C 1 (R2 , R2 ). Dans cette partie, on s'intéresse à la solution de
(S)

(

Y  = f (Y )
Y (0) = Y0

pour Y0  R2 .
12. Soit Y : [0, +[ R2 une solution de (S). On suppose que lim Y (t) = l  R2 
existe.
t+

On souhaite montrer que f (l) = 0. On suppose donc par l'absurde f (l) 6= 0.
a) Montrer qu'il existe M > 0 tel que
1
t  [M, +[ hY  (t), f (l)i  kf (l)k2 .
2
b) Montrer que
t  [M, +[ hY (t), f (l)i  (t - M )

kf (l)k2
+ hY (M ), f (l)i .
2

c) En conclure que f (l) = 0.
13. Dans cette question, on suppose que
2
f : Ç Rå2  R
Ç
å
y
z + y(y 2 + z 2 )
7
z
-y + z(y 2 + z 2 )

4

où   R. Soit Y : I  R2 la solution maximale de (S).
a) Si  = 0, montrer que I = R et identifier la solution maximale. Quelle est la 
nature de
la courbe t 7 Y (t) ?
b) On admet dans cette question que [0, +[ I lorsque  < 0. Montrer que pour  < 0, on a lim Y (t) = 0. t+ Indication : On pourra étudier la fonction t 7 kY (t)k2 . c) On suppose Y0 6= 0,  > 0 et on pose T = 2kY1 0 k2 . Montrer que, si Y est 
définie sur
[0, T [, alors lim kY (t)k = +. En déduire I ] - , T [.
tT

14. Dans cette question, on suppose qu'il existe une matrice A  M2 (R) dont le 
polynôme
caractéristique est scindé sur R, dont toutes les valeurs propres sont 
strictement négatives et telle
que kf (x) - Axk = o(kxk) quand x  0.
a) Montrer que A est la matrice jacobienne de f en 0.
b) Soit Y : I  R2 la solution maximale de (S). On supposera que [0, +[ I.
Montrer qu'il existe a > 0 et K  0 tels que pour tout  > 0 et tout t > 0 on a
-ta

kY (t)k  Ke

Ç

kY0 k +

Z

t
sa

e kY (s)kds
0

å

dès que
s  [0, t]

kf (Y (s)) - AY (s)k  kY (s)k .

c) En déduire qu'il existe b > 0,  > 0 et C > 0 tels que pour Y0  R2 avec kY0 k 
 , on
a
t  [0, +[ kY (t)k  Ce-bt .
d) Soit y : [0, +[ R et z : [0, +[ R des fonctions de classe C 1 qui vérifient

y = zy (1 - y)

z = y - z

où y0  R et z0  R.

y(0) = y ,
0

z(0) = z0

Montrer qu'il existe  > 0 tel que si |y0 - 1|2 + |z0 - 1|2  2 , alors y(t) et 
z(t) tendent vers
1 lorsque t tend vers +.

5