X/ENS Maths PC 2015

ECOLE POLYTECHNIQUE ­ ECOLES NORMALES SUPERIEURES
ECOLE SUPERIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES
CONCOURS D'ADMISSION 2015

FILIERE PC

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES ­ (XEULC)
(Duree : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisee pour cette epreuve.
Toute affirmation doit etre clairement et completement justifiee.

Dans ce probleme, n est un entier strictement positif. L'espace vectoriel reel 
Rn est muni
du produit scalaire canonique h·, ·i et de la norme euclidienne associee k · k 
; on l'identifie a
l'espace Mn,1 (R) des vecteurs colonnes a n coordonnees. Ainsi, pour deux 
vecteurs x et y de
Rn , hx, yi = t xy.
Mn (R) est l'algebre des matrices n × n a coefficients reels et Sn (R) est le 
sous-ensemble de
Mn (R) compose des matrices reelles symetriques. On notera t M la matrice 
transposee de M et
In la matrice identite. Par abus de notation, on identifiera hx, yi au vecteur 
a une ligne et une
colonne t x y.
Les coordonnees d'un n-uplet m de reels (considere comme vecteur ligne) seront 
notees
m1 , . . . , mn .
Si m est un n-uplet de reels, m est le n-uplet obtenu a partir de m par 
permutation de ses
coordonnees de sorte que m1 > m2 > · · · > mn . Autrement dit, il s'agit du 
n-uplet obtenu en
ordonnant dans l'ordre decroissant les coordonnees de m. Par exemple, si m = 
(3, 2, -1, 6, 2, 9),
m = (9, 6, 3, 2, 2, -1).
L'ensemble des valeurs propres d'une matrice M de Mn (R) sera appele, comme a 
l'habitude,
spectre de M . On notera s l'application de Sn (R) dans Rn qui a une matrice M 
symetrique
associe le n-uplet (appele spectre ordonne) de reels dont les cordonnees sont 
les elements ordonnes
dans l'ordre decroissant du spectre de M (repetes autant de fois que leur ordre 
de multiplicite).
Ainsi, par exemple, si le spectre de la matrice M  S4 (R) vaut {-1, 3, 3, 7}, 
on a s (M ) =
(7, 3, 3, -1).
Pour M  Mn (R), on pose
kM k = sup kM xk.
kxk=1

On admet qu'il s'agit d'une norme sur Mn (R).

Premiere partie
1a. Rappeler pourquoi Sn (R) est un espace vectoriel reel et quelle est sa 
dimension. Pourquoi
l'application s est-elle bien definie sur Sn (R) ?
1b.

L'application s est-elle lineaire ? Justifier votre reponse.

1c.

Si M  Sn (R), exprimer s (-M ) en fonction des coordonnees (m1 , . . . , mn ) 
de s (M ).
1

1d.

Soit M =

 h
h µ

une matrice de S2 (R). Calculer s (M ).

2a. Soit M  Sn (R), on note m = s (M ) son spectre ordonne. Montrer qu'il 
existe une base
orthonormee (v1 , . . . , vn ) de Rn telle que
M=

n
X

mi vi t vi .

i=1

Une telle decomposition de M sera appelee dans la suite resolution spectrale de 
M .
2b.

Calculer
sup hx, M xi
kxk=1

en fonction des coordonnees de m. Cette borne superieure est-elle atteinte ? 
(On pourra
decomposer x et M x sur la base orthonormee (v1 , . . . , vn ) de la question 
2a).
2c. Les notations sont celles de la question 2a. Soit j un entier, 1 6 j 6 n. 
On note Vj le
sous-espace vectoriel de Rn engendre par (v1 , . . . , vj ), et Wj celui 
engendre par (vj , vj+1 , . . . , vn ).
Montrer les egalites
inf

xVj , kxk=1

3a.

hx, M xi =

sup

hx, M xi = mj .

xWj , kxk=1

Soient U et V deux sous-espaces vectoriels de Rn tels que
dim U + dim V > n.

Montrer que U  V ne se reduit pas a {0}.
3b. Soit M  Sn (R), on note m = s (M ). Soient j un entier, 1 6 j 6 n, et V un 
sous-espace
vectoriel de Rn de dimension j. Montrer que
inf

hx, M xi 6 mj .

xV, kxk=1

(On pourra utiliser les questions 2c et 3a, en choisissant U = Wj .)
3c.

En reprenant les notations de la question 3b, en deduire que
sup
VRn , dim V=j

inf

xV, kxk=1

hx, M xi = mj .

Cette borne superieure est-elle atteinte ?
4.

Soient m et  deux n-uplets de reels. On note
4m

si et seulement si, pour tout entier j, 1 6 j 6 n,

j 6 mj .

Soient L, M  Sn (R) telles que (0, . . . , 0) 4 s (M - L). Montrer que s (L) 4 
s (M ).

4b. Montrer que pour toute matrice M  Sn (R), (0, . . . , 0) 4 s kM kIn - M .
4a.

4c.

Soit L, M  Sn (R), on note m = s (M ) et  = s (L). Montrer que
max |j - mj | 6 kL - M k.

16j6n

2

4d.

Conclure que la fonction s : Sn (R)  Rn est continue.

5. On note Sn (R) l'ensemble des matrices symetriques n × n dont toutes les 
valeurs propres
sont simples.
5a. Soit M  Sn (R). Determiner un reel r > 0 tel que la boule ouverte de Sn (R) 
centree en
M et de rayon r soit incluse dans Sn (R). En deduire que Sn (R) est un ouvert 
de Sn (R).
5b. Montrer que la premiere composante s1 de s est de classe C 1 sur S2 (R), 
mais pas sur
S2 (R). (On pourra utiliser la question 1d.)

Deuxieme partie
Dans toute cette partie, on considere deux matrices symetriques reelles A, B  
Sn (R) et leur
somme C = A + B. On note a = s (A), b = s (B) et c = s (C).
6a.

Montrer que

n
X

ci =

i=1

n
X

ai +

i=1

n
X

bi .

i=1

6b.

Montrer que a1 + b1 > c1 .

6c.

Montrer que an + bn 6 cn .

7a.

Soient U , V et W trois sous-espaces vectoriels de Rn tels que
dim U + dim V + dim W > 2n.

Montrer que U  V  W ne se reduit pas a {0}.
7b. En utilisant des resolutions spectrales de A, B et C, montrer que si les 
entiers strictement
positifs j et k verifient j + k 6 n + 1, on a
cj+k-1 6 aj + bk .
En deduire pour tout entier j, 1 6 j 6 n,
aj + bn 6 cj .
8.
8a.

On note aii pour 1 6 i 6 n les elements diagonaux de A.
Demontrer que a11 6 a1 .

8b. Soient j et k des entiers positifs tels que 1 6 j < k et s1 > s2 > · · · > 
sk des reels. On
definit Dj,k = {(t1 , . . . , tk )  [0, 1]k | t1 + · · · + tk = j} et f la 
fonction de Dj,k dans R definie par
f (t1 , . . . , tk ) =

k
X

s i ti .

i=1

Demontrer que pour tout (t1 , . . . , tk )  Dj,k ,
j
X

si - f (t1 , . . . , tk ) >

i=1

j
X
i=1

3

(si - sj )(1 - ti ).

En deduire que
j
X

sup f =
Dj,k

8c.

i=1

Montrer que, plus generalement qu'en 8a, on a pour tout entier 1 6 j 6 n
j
X

aii 6

i=1

8d.

si .

j
X

ai .

i=1

En deduire que pour tout entier 1 6 j 6 n
j
X

ai =

j
X

sup

(x1 ,...,xj )Rj i=1

i=1

hxi , Axi i,

ou Rj est l'ensemble des familles orthonormales de cardinal j dans Rn .
8e.

En conclure que l'on a pour tout entier 1 6 j 6 n
j
X
i=1

ci 6

j
X

ai +

j
X

bi .

i=1

i=1

Troisieme partie
Dans toute cette partie, on etudie le cas n = 2. Pour deux reels u et v tels 
que u > v, on
note :
S(u, v) = {M  S2 (R) | s (M ) = (u, v)}.
On fixe a1 > a2 et b1 > b2 , quatre reels verifiant la relation
a1 - a2 > b1 - b2 .
On cherche a identifier l'ensemble
 = {s (A + B) | A  S(a1 , a2 ), B  S(b1 , b2 )},
autrement dit, l'ensemble des spectres possibles de somme de deux matrices 
symetriques reelles
de spectres respectifs donnes.

9. Montrer que  est inclus dans un segment de droite L de longueur 2(b1 - b2 ), 
et dont on
precisera les extremites. On pourra etudier d'abord le cas ou A et B sont 
diagonales.
10a.

Montrer que

a1 0

, B  S(b1 , b2 ) .
 = s (A + B) | A =
0 a2

10b.

Determiner une fonction continue definie sur [-, ] dont l'image vaut S(b1 , b2 
).

10c.

Montrer que  = L.

4