X/ENS Maths PC 2020

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ÉCOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D ADMISSIO N 2020

LUNDIZ2OAVRIL 2020 - 8h00 - [2h00
FILIERE PC - Epreuven lÎ|

MATHEMATIQUES
(XEULC)

Durée: d'heures

L'utilisation des calculatrices n estpas autorisée pour cette épreuve
NOTATIONS

Dans tout le problème, pour tout (a, b) e N° tel que a & b, on notera [a,b] = 
{ie N | a  0 pour

tout u EUR M,,1(R). L'ensemble des matrices symétriques positives de M,(R) sera 
noté Sym" (p).

DÉPENDANCES DES PARTIES

Les parties IIT et IV sont indépendantes des parties I et II et la partie V 
dépend des parties

précédentes.

PARTIE I

(1) Montrer que pour toutes matrices À et B dans Sym"(p) et tous réels positifs 
a et b, on a
aA + bB EUR Sym"(p)
p -- ...,. fini _ yyT
? à E
(2) Montrer que si v EUR RP alors la matrice À = (A;;)(; j)ep1,p]2 définie par 
À = vu est dans
Sym" (p).
(3) (a) Montrer que pour tous u,v e RP, on a (uu!)O{(vu!) = (uOv)(uOv)!.
b) Soit À e Sym'(p). On note À,-::,X, les valeurs propres (avec multiplicité) 
de À
p
et (u1,--- ,u,) une famille orthonormale de vecteurs propres associés. Montrer 
que
X& > 0 pour tout ke [1,p] et que À = 97, Axuguy.
(c) En déduire que si À, B e Sym'(p) alors AO B EUR Sym"(p).

PARTIE II

Pour f:R--Ret AE M,(R), on note f[A] EUR M,(R) la matrice définie par f[Al;; = 
f(4;;)
pour tout (i,j)e [1,pl]°.
(4) SoientneNet P:R--R défini par P(x) = DL axæ" où ax > 0 pour tout k EUR [0,n]
un polynôme à coefficients positifs.
(a) Vérifier que P[A] = YF, ax A) pour toute matrice À EUR M, (R).
(b) Montrer que si À EUR Sym" (p) alors P[A] e Sym"(p).
1
2

On pose, pour tout n > 0ettoutxeR, P,(x) =D; 0 2 où k! désigne la factorielle 
de k.

(5) Soit À e Sym' (p).
(a) Montrer que pour tout (i,j)e [1,p]°, on a

lim Ph|Ali; -- exp(A;;) :
n--00

(b) Montrer que exp[A] EUR Sym" (p).
(c) Soit u e R?. Montrer que exp[A] © (uu!) e Sym" (p).

(6) Soit de N*. On considère un p-uplet (x;)14;<9 d'éléments de R° et la matrice A = (ri, T5))(i,pel1p]? où  0 et K° EUR M,(R) la matrice définie par K;; = exp(-- ul) pour 
tout
(i,j)e [1,p]°. Montrer que K EUR Sym" (p).

PARTIE III

Soit À > 0 fixé. On considère ici l'espace S(R,R) des fonctions continues de R 
dans R. Dans
toute la suite, on désigne par EUR le sous-espace vectoriel de &(R, R) (on ne 
demande pas de vérifier

ce fait) défini par
& = { FE C(R,R) | Aa, À) EUR (RY)° tel que VyeR |f(y)| < Aexp(--y°/a) }. Pour tout x EUR R, on note 7; : &(R,R) -- &{(R,R) l'application définie pour tout f EUR &(R, R) par Ta(J)(y) = f(y -- x) pour tout y EUR R. Enfin on définit la fonction 7; : R -- R par na (y) = exp(--y*/X). (7) Pour tout (f,g) EUR EUR&*, montrer que fg est intégrable sur R. Pour tous f,ge EUR, on définit + 00 (f| 9) = f(y)g(y)dy . (8) (a) Montrer que pour tout fe &,on a (f| f) > 0 avec égalité si et seulement 
si f = 0.
(b) Montrer que pour tout x ER, 7;(yx) appartient à &.

(9) (a) Soit a > 0. Montrer qu'il existe c > 0 tel que pour tout xERona

[ep AUEOR EXP _ dy = cexp | -- r°
_o À a & + À

Indication : On pourra montrer l'égalité

y--ax) y _atA ax

: 2
X max Ua ann

(b) Soit ge EUR. On considère C{(g) : R -- R définie pour tout æ ER par

C(g)(x) = (9x) | 9):

Montrer que C(g) EUR EUR.
(c) Montrer que C : & -- EUR définit un endomorphisme de &#.

PARTIE IV

Soit À > 0 fixé. On considère maintenant l'ensemble G des fonctions g 
s'écrivant sous la
forme g = D; OEiTr, (9x) où n est un entier strictement positif et 
((x;,a;))1 0 telle que pour tout (x,x')eRxRona

(rx (a) | Ta (9) = Ex (x -- x).

Indication : On pourra remarquer que +((y -- x)? +(y--x/)?) = £(y-- (x +x/)/2)? 
+
(x --x)?.
(b) En déduire que pour tout x e R

C(Tx(91)) = CATx (922)

et que
H = { Y QiTx, (2x1) |nEN*, Vieli,n] (x,@«)eRxR }.
i=1
(12) (a) Soient n EUR N* et (xi)isien une famille de réels telle que pour tous 
à, EUR [1,n] on
a x; Æ x; lorsque à Æ 7. Montrer que la fonction D QiTx, (2x) est nulle si et
seulement si a; = 0 pour tout 1 < à < n {Indication : On pourra procéder par récurrence sur n). (b) En déduire qu'il existe une unique application linéaire D de # dans G telle que D o C(g) = g pour tout ge G et C'o D(h) = h pour tout h EUR H. (c) Montrer que pour tout h EUR H, on à pour tout x e R que h(x) = (r:(71) | D(h)). (13) Pour tout (h1,h2) EUR H x H, on note (h1| h2)y = cx(D(h:1)| D(h2)) où EUR est introduit dans la question (11a). (a) Vérifier que ( | )4 définit un produit scalaire sur #. (b) Montrer que pour tous xeRet he on a (x) = (r:(%21) | h)#. (c) Montrer que pour tout h EUR H on a Il < A|# où on a posé |A] = super lk(x)| et |hly = (h| h}ae. PARTIE V On fixe dans cette partie deux p-uplets (t;);en,p] EURt (@i)iepi,p] de réels. On suppose que les x; sont deux à deux distincts. On note S ={ he H | h(x;i) = à; } l'ensemble des h EUR H qui valent a; en x; pour tout à EUR |1,p] (on dira qu'une telle fonction est une interpolante). On note J:H --R défini par J(h) = 5hl?, et J, = inf{ J(R)|RES }. 2 On veut montrer dans cette partie qu'il existe une unique interpolante h+; EUR S qui atteint le minimum de J c'est-à-dire telle que J(h4) = J,4. On notera S; ={heS | J(h) = J,4 }: (14) (15) (16) (17) Montrer S, a au plus un élément. Soient Ho = {he H|h(x;) =0Viel1,p] } et h EUR S4 (on suppose ici S+ non vide). Montrer que (| ho)x = 0 pour tout ho EUR Ho. On note H5 = {heH]|Vho e Ho (h| ho)x = 0 } le sous-espace orthogonal à Ho dans H. (a) Montrer que S4 = S n Hg. (b) Montrer que Hà contient le sous-espace vectoriel de # engendré par les fonctions Tx,(92x) pour 4 EUR [1,p]. Soient à EUR R? (resp. a EUR R?) le vecteur de coordonnées (@;)iepi1,p] (resp. (@i)ieqi,pq) et ha = D iTx: (V2). (a) Montrer que h, est une interpolante si et seulement si Ka = a où K est la matrice introduite dans la question (6) (ici dans le cas d = 1). (b) Montrer que K est inversible. En déduire qu'il existe a. EUR IR? tel que S+ = {h4, } et calculer la valeur de J, en fonction de K et a.