X/ENS Maths PC 2022

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

LUNDI 25 AVRIL 2022
08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES (XEULS)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve

Notations

Si z est un nombre complexe on note |z| son module.

Si {est un entier strictement positif, on munit l'espace vectoriel C' de la 
norme définie
par

pour æ -- (%1,...,%%).
On note M,(C) l'ensemble des matrices de taille £ x £ à coefficients complexes.

Si À EUR MC), on désigne par o(A) (le spectre de À) l'ensemble des valeurs 
propres
complexes de À, et

p(A) = max{|A| ; À EUR 0(4)}
le rayon spectral de À.

Étant donné un ensemble E , un point fire d'une application © : E -- E est un 
élément x
de E tel que d(x) = x.

Les trois premières parties sont mutuellement indépendantes. La quatrième 
partie utilise
des résultats établis dans la troisième.
Première Partie. Points fixes

. Soit |a, b] un intervalle fermé borné de R. Si © : |a,b] -- [a, b] est 
continue, montrer que
p possède au moins un point fixe.

. Sid:R-- Rest de classe C! et vérifie

(1) sup{[g'(x)|: x EUR R} <1, montrer que & possède au moins un point fixe (on pourra étudier le signe de x -- @(x) pour |x| assez grand). Montrer que ce point fixe est unique. . Au moyen de la fonction Y(x) -- V1+x2, montrer que dans la question précédente l'hypothèse (1) ne peut pas être remplacée par Vx ER, ld'(x)| <1. . Soit { un entier strictement positif. On se donne une suite (v,):>0 de 
vecteurs dans R'
telle que la série D, [[us41 -- v,|| converge.

(a) Montrer que la suite (v,)1>0 est convergente.

(b) Notons v* la limite de cette suite. Majorer [v, -- v*|| au moyen d'un reste 
de la

somme de la série à, [Uunz1 -- va]:

. Soit { un entier strictement positif. Soit F une partie fermée de R° et soit 
9 : F -- F une
application. On suppose qu'il existe k EUR [0, 1] tel que

VrEF,VyEeF, ]o(y) -- é(x)] < Ally -- x (a) On choisit un point x0 EUR F. Montrer que la formule 7,11 = @(x,) définit une suite (Xn)n>o d'éléments de F, et que cette suite est convergente dans F.

(b) En déduire que ® possède un unique point fixe dans F.
(c) Ce point fixe étant noté x*, majorer |x, -- x*|| en fonction de [70 -- x*||.
(d) Dans ce qui précède, on suppose que

p=@o...006,
es,

m fois

où 0 : F -- Fest une application et m > 2 est un entier. Montrer que Ô possède 
un
point fixe, et un seul, dans F°.
6. Soit g : [0,1] -- [0,1] une fonction croissante (mais pas nécessairement 
continue). Montrer
que g possède au moins un point fixe. {ndication: on pourra considérer 
l'ensemble

E = {xEURe [0,1]; x < g(x)}. Deuxième Partie. Matrices contractantes à 1) EUR MAC), calculer explicitement les puis- sances successives 71" pour n entier strictement positif. 1. Pour une matrice triangulaire T -- 2. Soit À EUR M2(C) une matrice et soit EUR > 0 un nombre réel.
(a) Montrer l'existence d'un nombre réel & > 0 tel que pour tout entier positif 
n les
valeurs absolues des coefficients de 4" soient majorées par a(p(A) + EUR)".

(b) En déduire l'existence d'un nombre réel 5 > 0 tel que pour tout entier 
positif n et
tout x EUR C° on ait

A xl < B(p(A) + EUR) fx 3. Soit À EUR M:(C) une matrice et soit 7 un nombre réel strictement positif. (a) Pour x EUR C?, montrer que la série > ((A) +7) "|A" |

n

est convergente.

On note n

N(æ) = D (o(A) +n) "| A"x|

n--=0
la somme de cette série.

(b) Montrer que x > N(x) est une norme sur C?, qui satisfait l'inégalité 
suivante
Vx EC", N(Ax) < (p(A) +n)N(x). (c) Montrer qu'il existe un réel EUR > 0 tel que pour tout x EUR C° on ait

cl < N(x) < Cri. À. (a) Si B EUR M/(C) est diagonalisable, montrer qu'il existe une norme || -||3 sur C telle que ||Bxr||g < p(B)\fx|lz pour tout x EUR C'. Indication: on pourra vérifier que si P EUR GL/(C), alors x + ||Px|| est une norme sur Cf. (b) Montrer qu'il existe une matrice C EUR M:(C) telle que, pour toute norme N sur C? il existe y EUR C*° tel que N(Cy) > p(C)N(y).

Soit © : R° -- R° une application et soit x* un point fixe de @. Soit À EUR 
M2(R) une
matrice vérifiant p(A) < 1, et soit M > 0 un nombre réel. On suppose que 9 
satisfait

VT ER", |ld(x) -- (x) -- A(x --a)]| < Mr | Montrer qu'il existe £ > 0 tel que pour tout z9 EUR R° satisfaisant |[x9 -- 
x*|| < EUR, la suite Ln)n>0 ACIMIE PAT Ln+i1 -- Un pour n Z CONVETBE VETS T  QUANC 7 -- +0.
= défini 1 = 6 >0 * quand

Troisième Partie. Fonctions de deux variables réelles

. Soient à.b.c.d quatre nombres réels tels que a < b et c < d. Soit U un ouvert de R° contenant [a, b] x [c, d]. Soit À : U -- R une fonction de classe C?. (a) Montrer l'identité b h(b, d) -- h(a,d) -- h(b,c) + h(a,c) -- | h(s1) ds1, où h est définie par d à oh h(s1) = | Da0 (51, 52) ds. (b) En déduire qu'il existe un point (51, #) de [a, b] x [c, d] tel qu'on ait les deux égalités a SR ,_ R(b, d) = h(a, d) = R(b, c) + h(a, c) -- (D = a)h(s1) -- (D = a)(d = Ce (51, 52). 081089 Soit Î un intervalle ouvert de R. On se donne une fonction f : 1 -- R de classe C*, telle que f'(x) > 0 pour tout x EUR 1. Montrer que f est bijective de 7 sur 
l'intervalle ouvert
(1).

On note g : f(1) -- I sa fonction réciproque. Rappeler la valeur de g'(f(x)). 
Exprimer
g"(f(x)) en fonction des dérivées successives de f en x.

. On conserve, jusqu'à la fin de cette troisième partie, les hypothèses et la 
notation de la

question précédente. Pour x,y EUR I tels que y £ x, on pose

x f(y) -- yf(x)
f(y) -- f(x)

H};(x,y) =
(a) Montrer que pour tous x,y EUR I tels quueyfxona

Hjlesu) = 2 -- 10) | 9 F( + (1 XX

(b) En déduire que 4}; admet un unique prolongement par continuité à 7 x 1 tout 
entier.
On note encore ce prolongement À}; : 1 X 1 -- KR.

(ce) Montrer que H}, est de classe C? sur I x I.
(d) Calculer H}(x,x).

4. On suppose maintenant 0 EUR f(1) et on note x* = g(0). Pour x EUR 1 on note 
J, l'intervalle
fermé d'extrémités x et x*.

(a) Soient x,y EUR 1. Montrer qu'il existe (x, ÿy) EUR I, x L,,, tel que

| | AdHÿ,
(b) Calculer
PH,

en fonction des dérivées de f.

Quatrième Partie. Méthode de la sécante

Soit Î un intervalle ouvert, borné ou non, de R. Soit f : 1 -- R une fonction 
de classe C*.
On désire calculer une approximation d'une solution de l'équation f(x) -- 0. 
Pour cela on met
en oeuvre un procédé itératif appelé méthode de la sécante. En voici le 
principe :

Initialisation. On choisit deux nombres réels xo,x1 EUR .

Itération. Soit n > 1. On suppose que les valeurs x; sont bien définies pour 1 
 0 
sur Z, exprimer
Tn+1 en fonction de %,_1,7, au moyen de la fonction 4}; définie dans la 
question 3 de la
troisième partie.
2. Dans cette question, on examine le cas particulier d'une fonction 
polynomiale du second
degré f définie par la formule f(x) = (x -- a)(x -- B) où a et 5 sont réels et 
à > 6. On
prend 1 =|(a + 5)/2, +oæl.

Pour x EUR R on définit h(x) = #3, avec la convention A(5) = co.

(a) Pour x EUR R montrer qu'on a |h(x)| < 1 si et seulement si x EUR J. (b) Expliciter la relation de récurrence satisfaite par la suite u, := h(x,) et en déduire que la suite (x, )1>0 est bien définie quels que soient x9 et x dans J.

(c) Montrer que la suite (u,)1>0 tend vers 0 et en déduire que (x,),>0 tend 
vers a.

d) Soit © -- 1V5, Montrer qu'il existe un nombre réel strictement négatif s tel 
que
2 8
tn -- a = O(e® ).

3. On revient au cas général, f étant une fonction quelconque de classe C*. On 
suppose que
f s'annule en un point x* EUR 1, pour lequel f'(x*) > 0.

(a) Montrer qu'il existe EUR > 0 tel que [x* -- e,x* + EUR EUR T'et f" > 0 sur 
l'intervalle
1* -- EUR, x* + EUR]. On fixe un tel EUR pour la suite et on définit

0°H
L (a, y) |

Ox0y

M = sup
(x,y)EÏx* --EUR,2* +]?

(b) On suppose que z»_1,%n EUR [x* -- EUR, x* + EUR). Montrer que

1

Mn -- ET LM xp 1 -- 2" -|xn -- x

(c) On fixe EUR EUR]0, EUR] tel que Me < 1. Montrer que si %0, æ1 appartiennent à |x*--e/, x*+eEUR| alors la suite (7,)1>0 est bien définie et converge vers x*.