X/ENS Maths PC 2023

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

LUNDI 17 AVRIL 2023
08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 1

MATHEMATIQUES (XEULS)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour
cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations

L'objectif du problème est l'étude de modèles matriciels de dynamique de 
populations. Nous
l'illustrerons avec des populations structurées en âge.
Soit d EUR N*. Pour des vecteurs x = (21,...,24),y = (y1,...,ya) de RY (qui 
pourront être
des vecteurs lignes ou colonnes dans la suite), on note

d
lei = > lil, fklle =
i=1

les normes 1 et 2 usuelles et ,
i=1

le produit scalaire canonique sur Rf.

On note R, l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls et R° l'ensemble des 
nombres réels
strictement positifs.

Si m et n sont deux éléments de N* et si À est une partie de R, on note .#mn(A) 
l'ensemble

des matrices à m lignes et n colonnes et dont les coefficients sont dans À. 
Lorsque m = n,
on note .#m(A) l'ensemble .Æin,m(A).

Les parties 1, 2, 3 et 4 sont dépendantes. Dans l'ensemble du sujet, pour 
répondre à une
question, on pourra admettre les résultats des questions précédentes.

Première partie

Soit Z l'ensemble des vecteurs lignes de taille d à coefficients positifs dont 
la somme des
coordonnées vaut 1 :

d
P=AUEMiatRr): D Ou; =1).
j=1

On considère une matrice carrée P EUR Æa(R) telle que pour tout à EUR {1,...,d},

d

d Pj=l
j=1

On suppose de plus qu'il existe v EUR Pet c > 0 tels que pour tous à, 7j EUR 
{1,...,d},

Pi 2 CVj.

1. Justifier que c < 1. 2. Montrer que si u EUR Y, alors uP EUR P. 3. Montrer que pour tous u,v EUR À, luP--vPlh <(-- cu -- ll. (On pourra introduire R = P--cN où N = (n; j)10

5. En déduire que (x,), converge vers un élément de Z.
6. Montrer qu'il existe un unique élément y de Z tel que uP = u.

7. Montrer que pour tout n EUR Net tout x EUR P,

IP" -- pli <2( -- c)7. Deuxième partie Soit M E ÆMaAfR+). On suppose que la matrice M possède une valeur propre À > 0 
et qu'il
existe h EUR .#41(R°) vecteur colonne tel que :

MR = Àh.

On suppose aussi qu'il existe v EUR Pet c > 0 tels que pour tous à,7 E 
{1,...,d},
M; 2 Cv;.

On introduit la matrice P EUR .#a(R+) définie pour 1 < 4,7 < d par M;;h; Pie ns. 8. Justifier que pour tout à EUR {1,...,d}, > P;,; = 1.

9. Soit n > 1. Donner une expression des coefficients de P" en fonction des 
coefficients de
M, h et À.

10a. Montrer qu'il existe pu EUR P, C'>O0et y E [0,1{, tels que uP = y et pour 
tout n > 0,

d d |
Dam nl < cv" i=1 j=1 10b. Prouver qu'il existe un unique x EUR Z tel que TM = À7. 11. Considérons (c0,...,Cq_1) EUR (R: ) et P le polynôme xd cg X -- ce -- C1 À -- Co. Montrer que le polynôme P possède une unique racine dans R7. Considérons a = (a1,...,ag) EUR (R*)Y et b = (b1,...,b4_1) EUR (R)! et introduisons la matrice / a b: 0 ..... 0 \ a2 0 bo ..... 0 az 0 0 ... 0 O0 M -- Lo à ag-1 OÙ OÙ 0 by 1 ay O0 0 0 0) 12a. Justifier qu'il existe un unique couple (À,7T) EUR R° x? tel que TM = À. On exprimera explicitement r en fonction de a et b et À. 12b. Montrer qu'il existe un unique À EUR .#a1(IR°) tel que (T,h) = 1 et Mh = À. 12c. En déduire que la suite (À "M"),>1 converge quand n tend vers l'infini et 
donner
une expression de sa limite en fonction de À et ji.

Troisième partie

Dans toute la suite du sujet, (Q,.27, P) désigne un espace probabilisé sur 
lequel seront définies
les différentes variables aléatoires du sujet. On admettra que toutes les 
variables aléatoires
introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On notera P(A) la 
probabilité d'un
événement À EUR Q et E(X) l'espérance d'une variable aléatoire X sur (Q,.4,P) à 
valeurs
réelles. On note également Var(X) la variance d'une telle variable aléatoire. 
Si À EUR & est
un évènement, on notera 14 la variable aléatoire définie comme la fonction 
indicatrice de cet

évènement.
On suppose que pour tous à, EUR {1,...,d}, N; ; est une variable aléatoire à 
valeurs dans N et
telle que N?. est d'espérance finie. Pour tout à EUR {1,...,d}, on introduit la 
variable aléatoire

à valeurs dans #1 4(N) :
Li = (Ni1,..., Na).
On considère maintenant une famille de variables aléatoires indépendantes à 
valeurs dans
M a(N\) :
(LÉ = (LE LT) at>t.
De plus, pour tous à EUR {1,...,d}, n > 1 et k > 1, on suppose que L" a même 
loi que L;.

Soit Xo = (Xoi)1 0 une suite de variables aléatoires X, = (X»1,..., Xn.d) :
d X ni
) ) n,k
i=1 k=1
La variable X,,; pourra s'interpréter comme le nombre d'individus de type à à 
la génération n

et LS comme le nombre d'enfants de type j pour le k-ième individu de type à à 
la génération
n.
On introduit M E .#H4(R1+) la matrice définie pour 4,7 EUR {1,...,d} par

On introduit %n = (n,j)10et j EUR {1,...,d} par

Tn,j -- E(X»5).

13a. Montrer que, pour tous y EUR #1 4(N) et 1 < j < d, E(Xn41,51x4=y) = (YM);P(X» = y). On pourra utiliser sans démonstration le fait que les variables aléatoires L'$ et 1 X,--y Sont t ny indépendantes.) 13b. En déduire que, pour tout n > O0,

14. Soit .Z un ensemble fini et (Y;);<7 une famille de variables aléatoires indépendantes deux à deux, à valeurs réelles et dont les carrés sont d'espérance finie. Montrer que 2 2 E 5 x) -- (Esco) + D Var(ri) ieS ieS ieS Pour u EUR My1(R), on note Tu) = (Ti(u))1si 0,

E ((Xn41, 0) 1x,2y) = P(Xn = y) (y, Mu)" + (y, T(u))).

(On pourra utiliser sans démonstration le fait que, pour tout n > 0, les 
variables aléatoires

d
Ù uj Li x, = Sont deux à deux indépendantes lorsque k et à varient.)
J=1

15b. Montrer que pour tous u EUR #41(R) et n > 0,

E ((Xn+1,u)*) =E((X,, Mu)*) + (xoM",T(u)).
16. Montrer que pour tout n > 0,

E ((Xn:u)) =E((Xo, M'u)") + (rom T(M Fu)
k=--0

(avec la convention que la somme indexée par k est nulle si n = 0).

Quatrième partie

On utilise les notations de la partie précédente. En particulier le symbole M 
désigne la
matrice introduite dans la troisième partie. On suppose maintenant qu'il existe 
une valeur
propre À > 0 et un vecteur propre colonne associé h EUR .#a1(R° ) :

MR = Ah
et qu'il existe v EUR Pet c > 0 tels que pour tous 4,7 EUR {1,...,d},

Mi; ; > CV;.

17. Montrer qu'il existe r EUR Z'et h EUR Ha1(Ri) et C'>0et 7EUR [0,1{, tels 
que rM = An
et pour tout n > 0,

d d
DO ATOMT 5 -- him; < Cy". i=1 j=1 18. On suppose, dans cette question uniquement, que À EUR |0, 1|. Montrer alors que E(||[X, ||1) tend vers O0 quand n tend vers l'infini et P(an > 0: X, = 0) = 1. On dit que la 
population
s'éteint presque surement en temps fini.

19a. Montrer qu'il existe co > 0 tel que pour tout u EUR .#41(R), on a |T(u)|1 
< co[u||£. 19b. En déduire l'existence de EUR; Z 0 tel que pour tout u EUR .#41(R), on a |T(u)l:1 < cil}ul|f. 20a. Montrer que pour tous n > 0 et u EUR .#a1(R) tel que (u,r) = 0,

M ulh < CAT)" full. 20b. En déduire qu'il existe C1 > 0 tel que pour tous n z 0 et u EUR .#41(R) 
vecteur colonne
tel que (u,T) = 0,

n--1

E ((Xn,u)?) < Cillulf pe 5 A 4] : one] | k=--0 On suppose dans le reste de cette partie que À > 1 et on introduit le vecteur 
ligne aléatoire

Wa = XX -- Xl).
n--1
21a. Montrer que la série > 5 ka 4] converge.
n>21 \k=0

21b. Soit w EUR (R.)T et soit ep -- (1,...,1). Montrer que
(uw -- wiT,m) = (w,T -- (T,T)e0)

et que le vecteur 7 -- (T,r)eo est orthogonal à 7.

21c. Montrer que la série > },0E (||W,||5) est convergente. En déduire que la 
suite (E(|[W{15))n>0
tend vers 0. (On pourra par exemple décomposer X,, dans une base orthonormale 
bien choisie
de R'.)

21d. Montrer que pour tout EUR > Ü,

im P(IWlle > EUR) =0.
N-- oO

22. Montrer que l'évènement { lim W, = Ordi} est presque sûr. (On pourra 
commencer
N-- +00

par calculer la probabilité de l'évènement
{Vm 20, k>zm|[|Wilo > EUR}

pour tout EUR > 0.)