ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI
ECOLES NORMALES SUPERIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2024
LUNDI 15 AVRIL 2024
08h00 - 12h00
FILIERE PC - Epreuve n° 1
MATHEMATIQUES (XEULS)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas
autorisée pour cette épreuve
NOTATIONS
-- Dans toute la suite, d désignera un entier strictement positif. On désignera
par
MafR) l'espace vectoriel sur R des matrices carrées de taille d X d à
coefficients
dans R. Pour tous À, B EUR .Æ#a(R) on notera
(A, B) = tr(ATB),
où tr(M) = ST, M est la trace de la matrice M EUR AÆMA(R) et MT sa transposée.
Selon la convention habituelle, 1/;; désigne le coefficient de la :-ème ligne
et de la
j-ème colonne de la matrice M pour tout 1 < 2,7 < d. -- Pour tout vecteur u EUR R', on notera [u| sa norme euclidienne canonique. Un tel vecteur sera considéré comme un vecteur colonne et u? sera le vecteur ligne associé. On notera (u,v)ma = ul v le produit scalaire usuel sur IR lorsque w et v sont dans R%. En particulier on aura [ul? = (u,u)ga = ul u. -- On notera 14 la matrice identité de .Æ4(R). On désignera par Où(R) ={ M E AMAR) | MM = I;} le groupe orthogonal sur R' et par SOa(R) = { M EUR OG(R) | det(M) = 1} le groupe spécial orthogonal, où det(WM) désigne le déterminant de M EUR ÆalR). On notera Dep(R*) = R° x SO{(R). -- Pour toute famille (a;)145<4 de vecteurs de R°, on notera À = (ai|...|{ay) la matrice de .#4(R) dont la i-ème colonne de À est formée des coordonnées du vecteur à;. -- Pour toute famille de réels (@;)14;<4, on notera Diag(a1,...,a4) la matrice diagonale de .Æ4(R) de coefficients diagonaux (@;)15<4. 1. PRÉLIMINAIRES (1) Soit À EUR OUR). Vérifier que det(R) EUR {--1,+1}. (2) Vérifier que (A, B) + (A, B) est un produit scalaire sur l'espace vectoriel .Æ4(R). On notera | A| = 4/(A, À) la norme associée. (3) (a) Montrer que pour tous u,v EUR R' et À EUR AR), on a (u, Av)pa = (uv! , A). (b) Montrer que tr(AB) = tr(BA) pour À, B EUR MAifR). (c) En déduire que pour tous À, B et C dans .Æ4(R) on a (A, BC) = (B'A,C) = (AC ,B). (4) Soit D = Diag(a1,...,a4) une matrice diagonale à coefficients positifs et soit À EUR Oa(R). (a) Montrer que pour tout 1 0.
Soit Z EUR .Aa(R) une matrice inversible. On note S= 777.
(16) Montrer qu'il existe une famille décroissante (À;)14;<4 de réels strictement positifs et une base orthonormée (u1,...,u4) de R° telle que Su; = ju; pour tout 1 <1< d. On appellera valeurs singulières de Z la famille (4/À1,..., Va). (17) On considère v; -- Zu pour tout 1 <1< d. (a) Montrer que (v1,...,v4) est une base orthonormée de R. (b) Vérifier que si U = (ul... ua), V = (wil...lug) et D = Diag(V\,..., Va) alors Z = V DU. (18) Mettre sous la forme précédente Z = V DUT, en spécifiant vos choix de U, V et D, les matrices Zi = (, ,)* 72 -- ! » ) (19) On considère que det(Z) > 0.
(a) Montrer que si R EUR SO{(R) alors V RU EUR SO{(R).
(b) Montrer que
sup (Z,R) = sup (D,R).
RESOAR) RESO4(R)
(20) Donner la valeur de ô(æ, y) en fonction de V,(æ), V,(y) et des valeurs
singulières
de Z(æx, y) dans le cas où det(Z{(æ,y)) > 0.
6. LE CAS OÙ det(Z(æx,y)) < 0 On considère R EUR Oj{R). (21) (a) Montrer que si À est une valeur propre de R alors À EUR {+1,-1}. (b) Montrer que det(R + 1) = det(R)det(I + R1). (c) En déduire que si det(R) = --1 alors det(R + 1) = 0. On suppose dorénavant que det(R) -- --1. (22) (a) Montrer qu'il existe une base orthonormée (u1,...,u4) de R° telle que l'on a Ru = --Ug et us Rx -- 0 pour tout x EUR E1 où F1 = Vect(u1,...,uq_1). (b) En déduire que R(F:) EUR F1 puis que R(E\) = Ex. On considère une matrice D = Diag(ai,...,ag) EUR .MalR) diagonale de coefficients diago- naux @; > 0 décroissants. On note U = (u:1|.../ua).
(23) (a) Vérifier que (D, R) = (S, R') où R' = UT RU et $S = U! DU.
(b) Montrer que si Ro = (R;;)1
