X Maths 2 PC 2000

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2000 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

***

Le but de ce probléme est l'étude d'approximations discrètes de solutions 
d'équations
différentielles avec conditions aux extrémités de l'intervalle de définition.

Première partie

Soit n un entier fixé, n 2 1. On note MAR) l'espace vectoriel des matrices 
carrées réelles à
n lignes, et I la matrice identité à n lignes. On note Xij, 1 S 71 5 n, 1 5 j 5 
n, les coefficients

d'une matrice X EUR MAR). On identifie un vecteur V de R", de composantes vl, . 
.. ,un dans
111

la base canonique, à la matrice colonne ; . On désigne par || ' || la norme 
euclidienne de R".
'Un

1. Pour toute matrice X EUR MAR), on pose

IIXVII)

NX = _-- .

( ) vÎl£n< ||V|l V;£O a) Montrer que N est une norme sur MAR). b) Montrer que, pour toutes matrices X, Y EUR MAR), N (X Y) S N (X ) N (Y) . Cette propriété est-elle vérifiée si l'on remplace la norme N sur MAR) par la norme Noo définie par Noo(X) : sup |Xij| ? 1$iSn 15an 2. Soit (Xp)p=1,2,... une suite de matrices de MAR) et X une matrice de MAR). On suppose que X est inversible et que lim Xp = X. p-->+oo

a) Montrer que, pour ]) assez grand, X}) est inversible.

1

b) Soit V E R". Montrer que, si Xp est inversible,
"Xp--1 V -- X_1VH S N(X_1)N(X -- Xp)IIX51VH-

En déduire qu'il existe un entier po et un nombre C indépendant de p tel que, 
pour p _>_ pg,

IIX51VII £ CI]X"1VH --

c) Montrer que lim N(X;1 -- X"1) = O.
p--++oo

3. On dit qu'une matrice X = (Xij) de M,,(R) possède la propriété (P) si les 
trois conditions
suivantes sont satisfaites

Xii>0 pour touti=1,.... ,n (P1)
X,-j S 0 pour tous i,j = 1, . .. ,n tels que 71 7£j (Fg)
EÏ=1XÜ > 0 pour tout i = 1, . .. ,n . (P3)
Soit X une matrice qui possède la propriété (P) et soit V EUR R", de 
composantes v1, . . . ,un.
a) Montrer que si XV = 0, alors V = 0. [On considérera % tel que [v...] = . 
nliax [v,--].]
z= ,... ,n

b) On suppose que XV a toutes ses composantes positives ou nulles. Montrer que 
V a

toutes ses composantes positives ou nulles. [On considérera il tel que Uz'1 = . 
min v,.]
1= ,... ,n

4. Soit X EUR M,,(R). On suppose que X est inversible et que X = lim Xp, où 
chaque
p--> 00

X,, est une matrice de M,,(R) qui possède la propriété (P). Montrer que les 
coefficients de la
matrice inverse X _1 sont positifs ou nuls.

Deuxième partie

Soit f une fonction à valeurs réelles, de classe C2 sur l'intervalle [O, 1].

5.a) Montrer qu'il existe une unique fonction u de classe C4 sur [O, 1] telle 
que

_ Il : f
u(0) = 0 (l)
u(1) = 0 .

b) Montrer que si f 2 0, alors u 2 O.

A

0) On choisit pour f la fonction constante égale à 1. Déterminer la solution u 
du
problème (1) dans ce cas.

1

n + 1
de l'intervalle [O, 1] telle que æg = O, æn+1 = 1 et oei+1 -- a:,- = h pour i = 
O, 1, . .. ,n

Soit 71. un entier, n 2 1. On pose h =

et l'on considère la subdivision (OEi)i=0,l,...,n+l

6.a) Soit il. une fonction à valeurs réelles de classe C4 sur [0,1]. Montrer 
que, pour tout
i = 1, . . . , n,

1 h2
IU"(OE)-- --2(u(oe,--_ 1) --2u(æ,) +U(%+1))l < -- sup lu(4'(æ)l , h 12 æ_e[0 1] où il... désigne la dérivée quatrième de u. b) Que devient cette inégalité dans le cas où u est la fonction û trouvée àla question 5.c) ? 7. Soit F EUR R", de composantes f1, . .. , fn. On désigne par U un vecteur de R", de compo-- _ santes u1,. . . ,un et l'on pose ...) = 0, un+1 = 0. a) Écrire sous forme matricielle AU = F le système (2) linéaire en les inconnues ul, . . . , un : 1 . h2(_Ui--1+2ui-- "i+l)=fi, 1515n. (2) b) Montrer que, pour tout vecteur V de R", le produit scalaire canonique (AVIV) peut s'écrire comme une somme de carrés de nombres réels. c) En déduire que la matrice A est inversible. 8.a) Soit B = A"1 l'inverse de A. Montrer que les coefficients Bij de B sont positifs ou nuls. b) Soit F le vecteur de composantes toutes égales à 1. Déterminer les composantes de BF à l'aide des valeurs de la fonction u trouvée à la question 5. c). En déduire que, pour tout i-- -- 1,. n, O<ÊIBÜ <_1 j1= <8 9. On suppose que (ul, . .. ,un) est la solution du système (2) avec fi = f (x.), 1 5 i S n, et l'on désigne par u(oe1),.... ,u(oen) les valeurs prises en cm,... ,æn par la solution u du problème (1). a) Donner une majoration de luz -- u(æ,--)|, valable pour tout i = 1,...,n, en fonction de h et de la fonction f" . b) En quel sens peut-on dire que la solution du problème linéaire (2) avec f,- = f (x,) approxime la solution du problème (1) ? 25 c On choisit la fonction définie ar a; = ---- . Trouver une valeur de l'entier n qui assure lui -- u(æ.)l < 10_4 , pour tout i = 1, . . . ,n . Troisième part ie Soit f une fonction de classe C'2 sur [O, 1] comme dans la deuxième partie. Pour tout entier p 2 1, on considère le problème 1 _ull + ?"! = f u(O) = 0 (3) u(1) : 0 . 10.a) Montrer que, pour tout entier p 2 1, il existe une unique fonction ulp] de classe C4 sur [O, 1] qui est solution du problème (3). b) Montrer que la suite de fonctions (ulPl ),,21 tend simplement, quand p tend vers +00, vers une fonction u de classe C4 sur [O, 1], et que u est solution du problème (1) de la deuxième partie. 11. On choisit pour f la fonction constante égale à 1 et l'on note û[Pl la solution du problème (3) dans ce cas. 3) Déterminer ûlP]. b) Pour tout entier p 2 1, étudier les variations de la fonction oe EUR [O, 1] l--> ûlp](æ) E R.
c) Montrer que, pour tout entier p 2 1 et pour tout a: E [0,1], 0 S ûlpl(æ) < % . 12. On reprend les notations de la deuxième partie. a) Montrer que pour chaque entier 19 Z 1, le système linéaire 1 (A + --21)U : F (4) p a une solution unique, notée U [P]. Que peut-on dire de lirJn U [P] ? p--> 00
b) Soit (u[p], . .. ,uTLÎI) la solution du système (4) avec f, = f ($,), 1 S i 
5 n. Donner une
majoration de [u]" -- ulpl(æi)[, valable pour tout i = 1, . .. ,n, en fonction 
de h, p, f et f".
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