X Maths 2 PC 2001

ÉCOLE POLYTECHNIQUE .
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2001 FILIÈRE PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

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Les propriétés démontrées dans ce problème ont des applications à la mécanique 
classique
et quantique et a l'optique géométrique.

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Pour tout entier p > 1, on désigne par Mp l'espace vectoriel des matrices 
réelles a p lignes et p
Colonnes, et l'on désigne par Ip la matrice unité de Mp. Si M EUR Mp, on note M 
l'endomorphisme
| de Rp de matrice M dans la base canonique. La transposée d'une matrice M est 
notée "M . On

' note ( | ) le produit scalaire canonique et || || la norme euclidienne de RJD 
.

Pour tout entier pair n : 2m, on considère la matriceèJ EUR M2... définie par 
blocs par
J = 0 --I...
I... 0 '

Première part ie
Matrices symplect iques

1. On fixe l'entier pair n : 2m. On appelle matrice symplectique toute matrice 
M EUR M2...

telle que
tMJM=J.

&) Que peut-on dire du déterminant d'une matrice symplectique ?
b) L'ensemble des matrices symplectiques est--il un groupe pour la 
multiplication ?
c) La matrice J est--elle symplectique ?

d) La transposée d'une matrice symplectique est--elle symplectique ?

AB

2. On écrit toute matrice M EUR M2... par blocs, M = (C' D

),où A,B,C,DEM....

a) Montrer que la matrice M est symplectique si et seulement si les matrices A, 
B, C, D
vérifient les conditions
1'AC et tBD sont symétriques ,

1'AD-- 'CB : I... .

b) Montrer que si D est inversible, il existe Q E M... telle que M : (lan IQ ) 
(A _CQC [D]) .
m

En déduire que, si M est symplectique et D inversible, alors det M = 1.

0) Soient B, D E M... telles que "BD est symétrique. On suppose qu'il existe 
31, 32 E R,
31 # 32, et vl,v2 E R'" tels que (_D_ -- 31_B_)v1 : O et (Q -- 32fi)Ug : 0. 
Montrer que le produit
scalaire (Qv1 |Qv2) est nul.

d) On suppose que M est symplectique. Montrer que tout 7) E R'" tel que QU = 0 
et
fiv : 0 est nul. Montrer qu'il existe 3 E R tel que D ---- SB est inversible. 
En déduire que
I 0

det M = 1. [On pourra introduire la matrice m
--sIm [...

) et vérifier qu'elle est symplectique]

3. Soit M une matrice symplectique et soit P son polynôme caractéristique.
a) Montrer que, VÀ E C, /\ # O, P(À) : À2mP (à).

1 _ 1
b) Montrer que si À0 E C est valeur propre de M, de multiplicité d, alors --, 
À0, _-- sont

AG /\0
valeurs propres de M, chacune de multiplicité d.

0) Que peut--on dire de l'ordre de multiplicité de --1 et de 1 ?

d) On suppose dans cette question que m = 2. Donner des exemples de matrices 
symplec-
tiques 6 M4, diagonalisables sur C et ayant

( 1) une seule valeur propre;

(2) deux valeurs propres doubles distinctes;

(3) une valeur propre double et deux valeurs propres simples;

(4) quatre valeurs propres distinctes non réelles et de module # 1.

Dans chaque cas, dessiner les valeurs propres dans le plan complexe, sur lequel 
on tracera
d'abord le cercle de centre 0 et de rayon 1.

e) Toute matrice symplectique est--elle diagonalisable sur C ?

Deuxième partie
Formes symplectiques et endomorphismes symplectiques

Soit n un entier _} 1. On appelle forme symplectique sur R" une application w : 
R" >< R" --> B
qui est

. bilinéaire : Vy E R", :1: EUR R" &--> w(oe,y) EUR Rest linéaire et Va: E R", 
y E R" l----> w(oe,y) E R
est linéaire; '

. antisymétrique : Væ,y E R", w(oe,y) = --w(y,£fi);

. non dégénérée : la condition « w(a:, y) = 0 pour tout y E R" >> implique a: = 
O.

4.a) Soit 77 un endomorphisme de R" tel que

*

77=_77

où 77* est l'adjoint de 77 par rapport au produit scalaire euclidien. On pose

Voe,yEURRn , _w(oeay)=(n(w)ly)- (1)

Montrer que w est une forme symplectique sur R" si et seulement si 77 est 
inversible.

b) Soit au une forme symplectique sur R'". Montrer qu'il existe un 
endomorphisme 77 de
R" tel que la relation (1) soit vérifiée. Montrer que 77* = ----77 et que 77 
est inversible.

5. Montrer que s'il existe sur R" une forme symplectique, alors n est pair.

6. On suppose dans cette question que n : 2m. On pose
Væ,y E R% , wo(æ,y) = (J_OE | y)--

a) Montrer que wo est une forme symplectique sur R2m.
b) Soit (EURk)1gkg2... la base canonique de R2m. Calculer w0(ek, BE), 1 { k { 
2m, 1 { EUR < 2m. c) Soit cp un endomorphisme de R2m, et M sa matrice dans la base canonique. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : w) = wo<æ,y), (ii) la matrice M est symplectique. Un endomorphisme de R2... qui vérifie la propriété (i) ci--dessus est appelé endomorphisme symplectique. 7. Un endomorphisme cp de R" est dit stable si, pour tout :D E R'", la suite (||fi(æ)l|) N 196 est bornée, où gap désigne la composée de l'application g0 avec elle-même p fois. &) Montrer que si un endomorphisme 90 de R" a toutes ses valeurs propres distinctes et de module 1 dans C, alors 90 est stable. b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur 9 E M... pour que l'endomorphisme 0 --Q 2m ° de R de matr1ce (Q 0 ) dans la base canonique soit symplectique et stable. 0) Montrer que si un endomorphisme symplectique go de R2..." possède une valeur propre dans C de module # 1, alors cp n'est pas stable. 8. On note 5121, . .. ,æ2m les coordonnées de a: E R2m dans la base canonique. On considère 2m les ensembles B = {a: E R2m | Z(oek)2 { 1}, k=1 CR={OEER2m|OEi+OEËÉR2} et FR={OEER2m|oeÎ+OEÏn+1 2. Montrer que pour tout R > 0, il existe un endomorphisme 
sym-
plectique cp de R2... tel que g0(B) C CR.

b) Soit cp un endomorphisme symplectique de R2m et soit g0* l'adjoint de go par 
rapport
au produit scalaire euclidien. Montrer que ou bien ||go*(eflll ; 1, ou bien 
||90* (em+1)|l ; 1.

En déduire que, si R < 1, il n'existe aucun endomorphisme symplectique @ de R2m tel que 90(B ) C PR.