CCINP Physique 1 PC 2005

SESSION 2005 PCPIOO5

A

CONCOURS COMMUNS POLYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - F ILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées. Les deux problèmes sont indépendants. On 
fera l'application
numérique chaque fois que cela est possible. Le symbole SI désigne l'unité 
homogène à la

grandeur physique considérée, dans le cadre du Système International d'unités.
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N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu'il a été

amené à prendre.
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PROBLÈME I
L'ASCENSEUR SPATIAL

L'ascenseur spatial appartient au domaine de la science-fiction. Le concept, 
imaginé en 1960 par
l'ingénieur soviétique Youri N. Artsutanov, fut popularisé par le romancier 
anglais Arthur C. Clarke
en 1979 ("The fountain of paradise"). L'idée consiste à envoyer un câble très 
résistant au dessus de
l'équateur et à s'en servir pour lever des charges en direction de l'orbite 
terrestre, tel un ascenseur
géant. Le but de ce problème est d'étudier quelques aspects physiques d'une 
telle réalisation.
Données: Masse de la Terre MT = 5, 98 >< 1024 kg, rayon équatorial de la Terre RT = 6, 38 >< 106 m, constante de gravitation g = 6, 67 >< 10"11 m3.s"2.kg"1, accélération de la pesanteur moyenne àla surface de la Terre (équateur) g = 9, 78 m.s'1, vitesse angulaire de rotation de la Terre par rapport aux étoiles lointaines Q = 7, 29 >< 10'"5 rad.s"'. 1.1 Mouvements orbitaux La Terre est assimilée à un corps de symétrie sphérique. On néglige ici la masse et l'influence de la Lune, considérée comme un satellite léger. Les distances radiales r sont mesurées par rapport au centre de la Terre. -- 1.1.1 Trouver la valeur du champ de gravité GO régnant àla surface de la Terre en fonction de Q , MT et RT. On pourra appliquer, par exemple, le théorème de Gauss pour GO àla surface de la Terre. Y a-t-il une différence entre GO et g ? - 1.1.2 Rappeler la relation entre le rayon r de l'orbite circulaire d'un satellite et sa période 7' de révolution. Exprimer ce rayon en fonction de GO. -- 1.1.3 Calculer, en jours, la période de révolution de la Lune, en assimilant son orbite à un cercle de rayon 384 000 km. -- 1.1.4 Pour quelle distance Ras un satellite est--il immobile dans le référentiel de la Terre RT ? Comment s'appelle cette orbite ? Figure 1 L2 Equilibre du câble Le câble de l'ascenseur (Figure 1) possède une masse par unité de longueur u(r) qui peut éventuellement dépendre de l'altitude (dans le cas où la section du câble varie, ou si le câble est élastique). Le câble est positionné exactement à la verticale de l'équateur. On supposera qu'un équilibre stable du câble est possible, résultant d'un équilibre entre la force de gravité, la force d'inertie de rotation dans le référentiel Terrestre RT, et la force tensile T (7°) du câble. -- 1.2.1 Rappeler la différence entre le référentiel géocentrique R} et le référentiel Terrestre RT. Lequel des deux est le plus proche d'un référentiel Galiléen ? - 1.2.2 Donner dans un repère de coordonnées sphériques (Figure 1), lié au référentiel RT, l'expression de la force d'inertie d'entraînement EQ", 9) et de la force de gravité terrestre Ë;(r) en fonction de la distance ,,. d'un objet de masse m. - 1.2.3 En tout point N d'altitude r, la partie supérieure du câble exerce sur la partie inférieure une force T(r) : T(r)ê}, où T(r) est une fonction de signe positif, dont l'effet est de s'opposer à un allongement du câble. Montrer que l'équilibre du câble implique l'équation suivante: , R2 T(r + dr) -- T(r) + ,u(r)dr (TQZ --- Clg--7%) : 0 - 1.2.4 Le câble se termine à une altitude Rt0p supérieure à Rgg par une masse Mtop. En supposant la masse linéique ,u du câble constante, calculer la valeur de la tension T (7°) en fonction de Mm}, et Rtop, pour toute valeur supérieure à Rbase : RT : 6380 km. -- 1.2.5 Montrer que si la masse Mt0p est trop faible, ou l'altitude Rt0p insuffisante, la tension T (7°) prendra une valeur négative. Cette valeur négative, synonyme de travail en compression, se traduirait vraisemblablement par un effondrement du câble. En déduire donc un critère de stabilité du câble de l'ascenseur. On s'appuiera sur l'étude des variations de la fonction T (7) - 1.2.6 Un câble de hauteur R..., = 145 000 km est-il stable en l'absence de masse MtoP '? 1.3 Masse et résistance du câble Le câble possède un rayon rc et une section A : 7rrî. On appelle contrainte E, la valeur de la force T (7°) par unité de section (m2) du câble. La résistance d'un matériau -hOmOgènedépend de la" valeur de E qui ne doit pas dépasser une valeur critique EC propre à chaque matériau. L'application d'une contrainte supérieure à EC entraîne une déformation non--élastique, irréversible du matériau, puis éventuellement ensuite sa rupture. - 1.3.1 En quelle unité bien connue s'exprime Z? - 1.3.2 Le matériau a une masse volumique p. Exprimer la masse linéique en fonction de p et A puis de p et rc. -- 1.3.3 On considère un câble, de section'bonstante, dont la tension est toujours positive. Mon-- trer que la tension du câble passe par un maximum. En déduire que l'équilibre du câble im-- plique que le matériau doit résister à une contrainte au moins égale à E...,, que l'on exprimera en fonction des données du problème. Comment le rayon du câble rc influe--t-il sur la solidité de l'édifice '? -- 1.3.4 Les valeurs numériques de p et EC sont respectivement: * Acier: p = 7800 kg.m'3et EC 2 109 SI. * Kev1ar: p = 1440 kg.m"3 et EC : 3, 6 >< 109 81. La résistance de l'acier et du kevlar vous semble-t--elle suffisante pour assurer la stabilité de l'édifice ? Le module de Young de l'acier est de 200 GPa et celui du kevlar de 35 GPa (1GPa : 109 Pa). Calculer dans chaque cas l'allongement relatif 6Ë/Æ qu'impliquerait un câble utilisant ces matériaux au voisinage de Emacs. - 1.3.5 Les espoirs actuels sont fondés sur les nanotubes de carbone, supposés résister àE...OE : 100 >< 109 81, pour une masse volumique d'environ 1300 kg.m"3. Un câble spatial en nanotubes de carbone serait-il assez solide ? -- 1.3.6 Pour fabriquer un câble de masse optimale, il suffit de faire varier la section A du câble avec la hauteur 7" de façon à ce que la résistance du câble soit juste suffisante pour supporter une tension T (7°) En faisant intervenir la contrainte critique EC et la masse volumique ;) du matériau, montrer que la masse linéique ,u(r) devient proportionnelle à la tension T. -- 1.3.7 Ecrire et résoudre l'équation différentielle de 1.2.3 dans cette situation. -- 1.3.8 Tracer l'allure de la fonction T(r) obtenue en fonction de r. T(r) peut--elle devenir négative '? On estime que pour lever une charge de 10 tonnes, la tension du câble doit être au moins égale à 106 N, de sorte que la surcharge dûe à la masse supplémentaire ne dépasse pas 10% de T au sol. Calculer le rapport entre la tension maximale du câble et la tension du câble au niveau du sol dans le cas de l'acier et d'un câble en "nanotubes". Nota Bene : les plus longues fibres de nanotube de carbone actuelles ne mesurent pas plus de 1 mn de long, et l 'e'pissage d'un câble de nanotubes nécessite encore une révolution tech- nologique. I.4 Stabilité du dispositif Figure 2 -- 1.4.1 Pour étudier la propagation des vibrations le long du câble, nous assimilons celui-ci à une corde homogène de masse linéique constante ,u et de tension constante T. La gravitation ne perturbe pas les oscillations transverses du câble. La déviation 50", t) du câble par rapport àla verticale ê} (Figure 2) obéit à l'équation : 2 "* 2 " ,,âfi _ Tâfi : , Ôt2 Ôr2 A quelle vitesse les ondes se propagent-elles le long du câble ? - 1.4.2 La base et l'extrémité du câble, à la hauteur Rtop : 50 000 km sont supposées fixes (si nécessaire au moyen d'un dispositif stabilisateur en haut du câble). Pour simplifier, on suppose que T et ,u sont constantes et que le rapport T / ,u vaut 6 >< 107 SI. Trouver la fréquence fondamentale de vibration du câble. Quelles sont les autres fréquences de vibration possibles '? - 1.4.3 Comparer ces fréquences au phénomène périodique des marées lunaires (de période environ 12 heures). Quel phénomène physique est susceptible de se produire si les périodes de vibration propres du câble sont trop proches de 12 h ? - 1.4.4 Effet du vent : un vent de vitesse u = 100 km/h souffle régulièrement sur le câble entre le sol et H = 5000 m d'altitude Si le câble mesure d = 10 cm de diamètre, sachant que la masse volumique de l'air est pa == 1, 3 kg.m"3, et sa viscosité de 77 = 1, 85 >< 10"5 Pas, calculer le nombre de Reynolds Re de l'écoulement autour du câble. On montre qu'à Re de l'ordre de, ou inférieur à l'unité, la force de friction de l'air Sur le câble est de : 47muH F... = 0.5 + ln(4/Re) alors qu'à nombre de Reynolds élevé, la force de friction de l'air est environ : 2 Fvent : OOE >< (ÊE'âL) >< dH avec C,, N1 Choisir l'expression adéquate et calculer la force exercée par le vent sur le câble, l'inclinaison qui en résulte et le déplacement induit à l'altitude H = 5000 m. Prendre T/,u : 107 SI au voisinage du sol, et un câble de masse volumique p = 1300 kg.m"3. -- 1.4.5 Séisme : lors d'un séisme, un train d'ondes d'amplitude 1 m est engendré à la base du câble pendant 10 5. Sur quelle longueur s'étend le train d'ondes ? Considérer la même valeur de T / ,a, de diamètre et masse volumique du câble qu'à la question précédente. -- 1.4.6 L'énergie mécanique (cinétique et potentielle) du câble vaut, par unité de longueur, &?Ë2+ÏQË2 ° 2813 287" L'ébranlement est sinuso'1'dal de fréquence 1 Hz. Quelle est l'énergie moyenne totale du train d'ondes '? 1.5 Freinage électromagnétique Nous venons de voir que l'un des problèmes est de dissiper l'énergie associée aux vibrations du câble (marées, séismes, tempêtes. . . ). L'idée est de mettre à profit l'existence du champ magnétique permanent de la Terre pour créer dans le câble des courants induits "de Foucault". Le câble est donc parcouru de fils de cuivre de conductivité 0 = 5, 9 >< 107 Q"l.m"l, ou, de façon équivalente, de résistivité pEUR == 1, 7 >< 10"8 Q.m. La section totale du fil de cuivre est supposée égale à S = 2 cm2, et on néglige l'influence du cuivre sur la masse linéique du câble, de diamètre d = 10 cm et de densité p = 1300 kg.m--3. -- 1.5.1 La dynamo Terrestre engendre un champ magnétique ressemblant à un dipôle magnétique orienté suivant l'axe de rotation de la Terre. Dessiner l'allure des lignes de champ magnétique autour de la Terre. - 1.5.2 Dans un repère de coordonnées sphériques dont l'axe 2 coïncide avec l'axe de rotation de la Terre, la valeur du champ magnétique est : --» M .. . .. B : _}î(2 cos(0)e, + sm(9)eg) Sachant que l'intensité du champ magnétique Terrestre est de l'ordre de HËH : 5 >< 10"5 T à Paris (500 de latitude Nord), calculer la valeur de M. Donner la valeur en tesla de HB à l'altitude Egg, dans le plan équatorial. -- 1.5.3 On appelle y l'axe Nord--Sud et sa l'axe Est--Ouest du plan tangent à la surface du sol, au voisinage de la base du câble (cf Figure 2). La déviation à la verticale s'écrit h(r, t) : h,,(r, t)ë} + hy(r, t)é'y. Le champ magnétique est localement uniforme et dirigé suivant @. Donner l'expression du champ électromoteur Êem induit par un déplacement du câble ÔÂ/Ôt. -- 1.5.4 Calculer l'intensité [ induite dans le câble conducteur de section 8 par ce déplacement, en supposant que le champ électromoteur est seul présent. - 1.5.5 En considérant la force de Laplace, justifier que l'équation pour hx devienne : 6%. 32h. ah,.(r, t) "au "Ta--2 "K Ôt avec K que l'on déterminera. Que devient l'équation pour hy '? -- 1.5.6 Calculer la puissance de la force de Laplace pour un segment de câble compris entre r et 7" + dr. Que devient cette puissance ? Comparer la puissance dissipée à l'énergie mécanique donnée ci--dessus, dans le cas d'un ébranlement sinuso'1'dal (question 1.4.6). Sur quelle échelle de temps caractéristique ce mode d'amortissement agit-il ? Les vibrations suivant ê'y sont--elles amorties ? - 1.5.7 En fait, la dynamo Terrestre n'est pas exactement ali gnée suivant l'aXe de rotation de la Terre. Il en résulte que le champ magnétique possède une petite composante verticale suivant ë}. Justifier que les équations pour hoe(r, t) et hy(r, t) deviennent couplées. Notes finales : Les problèmes techniques liés à une telle réalisation sont multiples. Citons entre autres la résistance aux débris spatiaux, la corrosion due aux radicaux libres de la haute almo-- sphère, la mise en place du câble . .. L 'hypothèse d'une décharge de la haute atmosphère par un câble conducteur a été évoquée, et doit être évitée. PROBLÈME II OPTIQUE PHYSIQUE ET PHOTOGRAPHIE Données : célérité de la lumière dans le vide 0 = 3 >< 108 m.s"1, constante de Planck h = 6,62 >< 10--34J.s, h : h/27r, perrnittivité diélectrique du vide eo : 8,85 >< 10"12 F.m"l, splitéabilité magnétique ...) : 47r >< 10"7 H.m"1. L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct (MO, ë}, EUR.... 62). 11.1 L'énergie lumineuse Une onde plane monochromatique de longueur d'onde A = 0,6 nm se propage dans le vide. Le champ électrique en un point (cc, y, z) et à l'instant t est, en notation complexe : Ê(a:, y, z, t) : EO ei B, de constante 
cinétique l--c, où
A désigne le réactif, B le produit et 7 un photon. On suppose que l'on peut 
traiter les photons
comme une espèce chimique de concentration ..._ La réaction est élémentaire, et 
sa cinétique est du
second ordre. Le milieu est soumis à une irradiation constante de la part d'un 
faisceau lumineux, de
sorte que la "concentration" [7] peut être considérée comme constante et 
proportionnelle àla valeur

moyenne du carré du champ électrique (Ê2).

-- 11.2.1 Ecrire une équation cinétique pour les concentrations [A] (t) et [B] 
(t) des espèces A et
B. '

- 11.2.2 A l'instant t = 0, la concentration de A est [A]... uniforme, et [B]O 
== 0. On appelle
T le temps d"exposition, c'est-à--dire le temps durant lequel la réaction 
photochimique a lieu.
Exprimer les concentrations [A](T) et [B](T) des espèces A et B en fonction de 
[A]... T, ... et

k.

- Il.2.3 La réaction 7 + A -----> B provoque le noircissement d'un film 
photographique. On ap--
pelle "opacité" du film, après déve10ppement, le rapport entre l'intensité 
lumineuse transmise
à travers le film et l'intensité lumineuse incidente. Le développement du film 
ne révèle une ex-
position que si la concentration {B] est supérieure à une valeur de seuil b, et 
on fait l'hypothèse
que l'opacité est proportionnelle àla différence [B] -- b. Un film non exposé 
présente toujours
un léger voile d'opac--ité égale à 1}. Montrer que ce modèle rend compte 
qualitativement de la
courbe de noircissement d'un film photographique schématisée sur la Figure 3.

Op cité

Exposition [y}ç
Figure 3

11.3 Montage

Un laser de longueur d'onde A est utilisé dans le montage de la Figure 4 
ci--dessous. Un dispositif
optique forme une onde plane monochromatique, puis une lame 
semi--réfléchiSsante (en A) sépare
le faisceau endeux. Après une réflexion en B, le faisceau numéro 2 vient 
interférer en M avec le
faisceau numéro 1. On néglige le déphasage dû àla lame semi--réfléchissante sur 
le trajet du faisceau
numéro 1, et on admet que les réflexions en A et B ne changent pas la phase du 
faisceau numéro 2.
On introduit les distances L : AM et d = AB. Tous les effets dûs à la 
polarisation de la lumière
sont négligés et le champ électrique est traité comme un champ scalaire.

Figure 4

-- Il.3.l Qu'observe--t--on sur l'écran ? Illustrer par un schéma.

- II.3.2 Pourquoi utilise--t-on une seule source de lumière et une lame 
semi--réfléchissante plutôt
que deux sources de lumière pour les rayons l et 2 ?

-- [1.3.3 Soit le point MO de coordonnées y = 0 et z = 0. Calculer la 
différence de marche
entre le rayon 1 (AM) et le rayon 2 (AB et BM). En supposant que les faisceaux 
1 et 2 sont
des ondes planes monochromatiques dont les directions font entre elles un angle 
9 (Figure 5),
calculer la différence de phase % -- çbl entre les deux ondes pour un point de 
coordonnées

(y, z) voisin de M. Démontrer que :

çb2--@1=C--y/a

où a est une longueur que l'on exprimera à l'aide de A et 9.

Figure 5

-- [1.3.4 Le champ électrique en y vaut

E(y) : E0REUR (ei(d>i(y)--wt) + EURi($z(y))--wtl)

Calculer l'intensité lumineuse moyenne, proportionnelle à <Ê(y)2>, en un point 
M (y, z)
proche de Mo. On notera 10 : Eâ.

-- 11.3.5 On place sur l'écran un film photographique. Après développement, le 
film présente
une succession de bandes transparentes et opaques. Combien de bandes 
transparentes par
millimètre apparaissent sur le film ? Application : 9 : 30°.

11.4 Dispersion de la lumière

Le film photographique de la question 11.3.5, après développement, est éclairé 
par l'arrière (à
gauche sur la Figure 6) par un faisceau monochromatique cohérent de longueur 
d'onde À. On
s'intéresse à l'onde transmise (à droite sur la figure), et on applique le 
théorème de Huy ghens-Fresnel
à la surface du film. Chaque point du film se présente comme une source 
secondaire cohérente
d'amplitude :

A(y, z) = C + D cos (@)
Py

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-- II.4.1 Justifier que l'onde transmise est équivalente à une superposition de 
trois ondes planes,
l'une se propageant horizontalement, les deux autres respectivement suivant un 
angle 04 et --a
avec l'horizontale. Indication : on pourra, soit faire un calcul, soit 
considérer 1 'amplilua'e du
champ électrique que produiraient ces trois ondes dans le plan (M, y, z) en ! 
'absencè du film.

-- 11.4.2 On remplace le faisceau de longueur d'onde À par un faisceau de 
longueur d'onde /\'
différente. Montrer que l'angle oz est modifié en a' . Ecrire une relation 
entre À, À', oz et a' .
En déduire que ce film photographique possède le pouvoir de disperser la 
lumière blanche ou
polychromatique. Comment s'appelle un tel dispositif optique ?

Fin de l'énoncé