CCINP Physique 1 PC 2007

 

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Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque 
fois que cela est
possible, en veillant à préciser l 'unite' et a ne donner que les chifi'res 
significatifs du résultat.
>x<>x<>x< N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. >x< >x< >x< PROBLÈME I \ JEUX D'EAU ET DE LUMIERE 1.1 Vérification des niveaux glace d'eau eau liquide eau liquide Figure 1.1 - 1.1.1 Un glacon d'eau solide, a 00EUR, flotte dans un verre d'eau a la même température (Fi- gure 1.1 a gauche). La fonte du glacon s'accompagne-t-elle d'une variation du niveau il de l'eau dans le verre ? On néglige la masse volumique de l'air devant celle de l'eau. - 1.1.2 Un morceau de bois flotte dans un verre d'eau (Figure 1.1 a droite). Sur le morceau de bois est posée une pièce métallique. La pièce métallique glisse au fond du verre. Ce mouve- ment s'accompagne-t-il d'une variation du niveau h' de l'eau dans le verre ? 1/13 I.2 Réfraction W/W// ///W// ///W// ///W// ///W// WWW ///, WWWWWWW Ecran Figure 1.2 Un solide transparent d'indice de réfraction m, est plongé dans un liquide transparent d'indice de réfraction @ (Figure 1.2). Un faisceau lumineux, en incidence normale, vient éclairer le solide, et après la traversée de celui--ci, illumine un écran situé sous le solide. - 1.2.1 En reproduisant fidèlement la figure ci-dessus, tracer l'allure du prolongement des rayons réfractés issus de A, B, C et D, jusqu'à l'écran, dans le cas où l'indice de réfraction m est supérieur a @, puis dans le cas où l'indice de réfraction m est inférieur a @. On ne tiendra pas compte des rayons réfléchis. En déduire les zones de plus forte et de plus faible intensité lumineuse sur l'écran. 1.3 Application Un collectionneur de gemmes possède trois petites pierres transparentes et incolores : une mois- sanite, un zircon et un morceau de verre a fort indice (flint), ainsi qu'un flacon de iodure de méthylène liquide. Les propriétés physiques de ces quatre substances sont résumées dans le tableau ci-dessous : Substance Masse volumique (kg.m_3) Indice de réfraction Zircon 4690 1,95 Moissanite 3210 2,70 Verre flint 3740 1,64 Iodure de méthylène 3330 1,75 Les trois pierres ont été interverties, si bien que leur proprétaire doit conduire une série d'expé- riences pour les reconnaître. - 1.3.1 L' immersion des trois pierres dans le iodure de méthylène, permet de reconnaitre immédia- tement l'une des trois pierres. Laquelle ? - 1.3.2 lumière J/ J/ J/ pierres @ /Ç)% ' iodure de méthylène verre dépoli Figure 1.3 2/13 Pierre numéro 1: Pierre numéro 2: contour clair, contour sombre, arêtes sombres. arêtes claires. Figure 1.4 Les deux pierres restantes sont posées sur un morceau de verre dépoli, recouvertes de iodure de méthylène, puis éclairées depuis le haut. Un miroir incliné situé sous le verre dépoli per- met d'observer le verre dépoli par en dessous (Figure 1.3). La pierre numéro 1 est entourée d'un contour brillant, et ses arêtes vives sont sombres. La pierre numéro 2 est entourée d'un contour sombre, et les arêtes paraissent brillantes (Figure 1.4). Identifier les pierres numéro 1 et numéro 2. , PROBLÈME Il MESURE ET ETUDE DE LA PROPAGATION DES VIBRATIONS SISMIQUES 11.1 Partie préliminaire : le mouvement pendulaire On considère un pendule constitué d'une masse m supposée ponctuelle, reliée au point d'oscil- lation O fixe, par une tige rigide de longueur EUR et de masse négligeable. Le mouvement se fait dans le plan vertical sz (voir Figure 11.1), rapporté à un repère de coordonnées polaires, dont l'angle 9 = 0 correspond àla position de repos, verticale, du pendule. On supposera que la force Î exercée par la tige sur la masse est toujours dirigée vers le point O. Les forces de frottement sont supposées suffisamment faibles pour être négligées. On notera g l'accélération de la pesanteur. Z Y @ 0 X Q î \_/ 6 "!(Îe 61" Figure 11.1 3/13 - II.1.1 Exprimer, dans le repère de coordonnées polaires associé au pendule (Figure 11.1), la force T, de norme T, la force de pesanteur P, ainsi que l'accélération Zi de la masse. - II.1.2 Etablir l'équation différentielle du mouvement du pendule, dans le cas général, puis dans le cas des oscillations de faible amplitude (@ << 1 radian). - II.1.3 Donner l'expression de l'énergie mécanique du pendule. Comment peut--on, a partir de l'expression de l'énergie mécanique du pendule, retrouver l'équation du mouvement? - II.1.4 Exprimer le moment cinétique oy par rapport à l'axe (Ov), orienté par le vecteur @, du pendule en mouvement. Donner l'expression des moments du poids MOy(Ë) et de la force MOy(Ï") par rapport a cet axe. Retrouver l'équation du mouvement a partir de ces expressions. Y Figure II.2 - II.1.5 On s'intéresse désormais aux oscillations d'un pendule dont le plan d'oscillation a été incliné de facon a ce que l'axe (Ov) fasse un angle B, quelconque, avec la verticale, l'axe (Ox) restant horizontal (Figure 11.2). La tige maintient la masse sur sa trajectoire oblique, sans exercer de frottement appréciable. La position du pendule est exprimée dans le repère de coordonnées polaires du plan sz comme ci-dessus. Exprimer, en fonction de EUR, 9, g, B, m et de / dt, l'expression de l'énergie mécanique du pendule incliné. - II.1.6 Donner, à partir de l'expression de l'énergie mécanique, la nouvelle équation du mou- vement du pendule. - II.1.7 En déduire l'expression du moment MOy(Ë) de la force de pesanteur par rapport à l'axe de rotation (Ov), orienté par @. Montrer que dans la limite des oscillations de faible amplitude, 9 << 1 radian, l'action de la pesanteur est équivalente à un ressort de torsion de constante de raideur C, que l'on exprimera en fonction de g, B, EUR , m et 9. 4/13 II.2 Vibration horizontale Pour enregistrer les vibrations du sol, les ingénieurs sismologues ont développé de nombreux dispositifs mécaniques ou électromécaniques appelés sismographes (ou sismomètres). Le but des questions suivantes est d'étudier le principe de fonctionnement de quelques--uns de ces dispositifs. Dans tous les cas, l'appareil de mesure repose sur un socle (ou support) très rigide, solidaire du sol sur lequel l'appareil est posé. Ainsi, on peut considérer que les vibrations du sol sont transmises au socle sans délai et sans atténuation. Le socle peut être considéré comme un corps solide dont le mouvement est étudié dans le référentiel terrestre, assimilé à un référentiel galiléen. En l'absence de toute vibration, le socle est au repos dans ce référentiel. (1 D / / V + / / / / ' Î @ felH®* >
\, / /
\ \ _
» * % T Axe de rotat1on et
ressort de torsion

eZ® y
EURXJ

Un bras est assujetti à tourner dans le plan horizontal (x,y) autour d'un axe 
vertical solidaire
du socle. La position du bras est repérée par un angle 9. A une extrémité du 
bras, et à une distance
d de l'axe, est fixée une masse élevée m, supposée ponctuelle. Un ressort de 
torsion de constante
C, exerce un couple de moment égal à --C9 qui a pour but de rapprocher le bras 
de sa position
d'équilibre 9 = 0, tandis qu'un mécanisme d'amortissement exerce sur le bras un 
couple de moment

Figure II.3

é al à -- -- (Fi ure 11.3). C et sont des constantes ositives.
g Y d t g Y P

A l'autre extrémité du bras, et à distance D de l'axe, une plume trace (sans 
frottements appré-
ciables) un signal sur un cylindre enregistreur, si bien que l'on peut 
considérer que le signal de sortie
du dispositif mécanique est égal au déplacement de l'extrémité de la plume, 
soit s(t) : D 9(t). Deux
butées empêchent le bras de s'écarter au delà d'une valeur limite \9\ < 9maX. - II.2.1 A laquelle des grandeurs physiques, vitesse ou accélération du sol, un tel dispositif est-il sensible ? - II.2.2 Le socle est soumis à une vibration horizontale uniforme, mais dépendante du temps. Le déplacement du socle est x(t)ê'x par rapport au référentiel terrestre. On se place dans le référentiel du socle et on néglige la masse du bras de mesure devant la masse m, supposée ponctuelle. Exprimer la force d'inertie d'entraînement Îe(t) s'appliquant àla masse m. - II.2.3 En déduire, toujours dans le référentiel du socle, l'équation différentielle à laquelle obéit l'angle 9. On appliquera, dans ce référentiel, le théorème du moment cinétique àla masse m. - II.2.4 On se restreint désormais à un déplacement x(t) : x0 cos(Qt) purement sinusoïdal, et on laisse au système mécanique un temps suffisant pour ne pas avoir à tenir compte du régime transitoire. On suppose également que l'angle 9 effectue des oscillations de petite amplitude, et 5/13 bien inférieures à 1 radian. Exprimer alors l'amplitude E du signal de sortie, comme le produit de l'amplitude Ee du signal d'entrée, et d'une fonction de transfert Ii(Q), où fiexp(th) et & exp(th) sont les représentations complexes respectives des fonctions sinusoïdales s(t) et fe(t) (avec fe(t), projection de la force d'inertie Îe(t) sur l'axe Ox). - II.2.5 Tracer le diagramme de Bode asymptotique (amplitude et phase), et reconnaître la nature du << filtre >> Ii(Q).

- II.2.6 Une vibration d'amplitude x0 = 1 cm et de fréquence 1 Hz fait-elle 
sortir l'appareil de
mesure de son régime normal de fonctionnement 191 < EUR"... ? Données : Gmax : O, 1 rad, 7: 0,2 J.s.rad_1, m = 1 kg, d = 10 cm, D = 1 m, C = 0,3 Jrad--1. II.3 Sismomètre de Lehman Le schéma de fonctionnement du sismomètre de Lehman est représenté sur le schéma de la Figure 11.4. axe de rotation cable masse m CE "| | |FM I_I |_l Socle, support Îy \e m e @" l à " CE (1 Figure II.4 Il se compose d'un bras articulé pouvant tourner dans le plan horizontal autour d'un axe vertical so- lidaire du socle (ou support). Une masse de plomb m, assimilée à une masse ponctuelle, située à une distance d de l'axe, confère au bras une inertie élevée. Le moment d'inertie de la masse par rapport à l'axe de rotation est] : md2. Un câble métallique permet d'ajuster l'horizontalité du bras mobile. L'enregistrement du mouvement du bras se fait a l'aide d'un capteur électromagnétique (CE), facili- tant ainsi l'acquisition du signal à l'aide d'un dispositif électronique ou informatique approprié. Un dispositif de freinage magnétique (FM) permet d'ajuster la valeur du coefficient d'amortissement y du dispositif, défini comme dans la partie 11.2 précédente. Un ressort de torsion de constante C ramène le bras à sa position d'équilibre. 6/13 II.3.1 Fonctionnement du capteur électromagnétique (CE). Le capteur électromagnétique est constitué d'un aimant solidaire du bras mobile, qui se déplace par rapport a une bobine d'induction solidaire du socle. Pour étudier l'interaction entre l'ai- mant et la bobine, nous nous plaçons, dans les questions qui suivent, dans le référentiel de l'aimant permanent. II.3.1.1 Un segment métallique MN de longueur EUR =MN dirigé suivant l'axe ê}, se déplace à vitesse contante ? : v0ê'x, dans un champ magnétique uniforme B : B0ê'y, avec BO > 0 et
indépendant du temps. Donner l'expression de la force électromotrice induite 
aux bornes MN
du segment.

II.3.1.2
@, A

P2 P / N

_' \

P1

\
+C
B =Î Vo B =BÛeÎ

: X
0:
Figure 11.5

La bobine est maintenant modélisée par une boucle carrée PQMN, située dans le 
plan sz, a
laquelle sont reliés deux fils conducteurs horizontaux et parallèles (voir les 
points P1, P2 sur la
Figure 11. 5). On suppose que règne dans le demi- -espace x > () un champ 
magnétique constant,
B= BOey, tandis que le champ magnétique régnant dans le demi- -espace x < 0 est nul: B: 0. La boucle carrée est animée d' un mouvement de translation a vitesse constante v0-- _ voex. Le segment MN, de longueur 6, se trouve dans le demi-espace x > () et le segment 
PQ dans le
demi-espace x < 0. La position du circuit est définie par la position (xc, 375) de son centre C. Donner l'expression de la force électromotrice ep1 [32 entre les bornes P1 et P2 du circuit. II.3.1.3 ®}, Z /\ L / + / \ ? C R x 05 Figure II.6 7/13 La bobine est désormais modélisée par un circuit, situé dans le plan sz, constitué de deux portions rectilignes, de longueur L, fermées par deux portions semi--circulaires de rayon R (Figure 11.6). Le circuit est coupé en un point de facon a laisser passer deux fils conducteurs proches et parallèles, l'orientation du circuit va de P1 vers P2. Donner l'expression du flux > ainsi obtenu.

II.3.2.4 Le signal excitateur fe(t) est brusquement coupé. Quels sont les 
différents régimes
possibles présentés par le signal s(t) ? Accompagner votre réponse de schémas 
indiquant l'al-
lure des courbes représentatives des différentes fonctions s(t), après la 
coupure du signal ex-
citateur.

II.3.2.5 Pour un fonctionnement optimal, le détecteur doit présenter un signal 
d'amplitude
suffisante, tout en bénéficiant d'un amortissement suffisant pour ne pas 
engendrer d'oscilla-
tions indésirables (c'est-à-dire d'oscillations de s(t), qui seraient absentes 
du signal excitateur
fe(t)). Dans quel régime de la question précédente est-il préférable de se 
placer ?

On donne les valeurs suivantes : coefficient d'amortissement y = ] J.s.rad_1, 
masse m = 1 kg
et distance de la masse à l'axe de rotation cl : 0,5 m.

Calculer la valeur de la constante de rappel C qui vous semble optimale.

Remarque : Pour créer l'équivalent mécanique d'une constante de rappel C, il 
n'y a pas besoin
de ressort. Comme le prouve la partie préliminaire, il sufit d'incliner 
légèrement l'axe de rotation
du bras de mesure, dans le plan (y,z), de façon a ce qu'il fasse un angle B 
avec la verticale, en
direction de @, ainsi que représenté sur la Figure 11.2.

11.4 Propagation d'ondes de vibrations acoustiques

On rappelle que le laplacien d'une fonction de l'espace, rapporté à des 
coordonnées sphériques
(r, 9,(1)), est:

_ l 82 l 82 cotan9 &) l 82
AP(ïaea'?) _rôî(rp)+rîfip+r--ZÊP+MOEP

- II.4.1 Que devient l'expression du laplacien dans un problème a symétrie 
sphérique ? En
déduire l'équation de propagation de d'Alembert d'une onde de pression p a la 
vitesse cs,
dans un espace homogène et isotrope.

- II.4.2 Montrer que la fonction représentant la surpression p(r, t) :

sin(kr -- (Qt)

[' :
p(r,) po kr

est solution de l'équation de d'Alembert, a condition que k, 00 et c vérifient 
une certaine rela-
tion que l'on donnera. Quelle est la forme des surfaces d'ondes dans ce cas 
particulier ?

9/13

- II.4.3 A grande distance, la vitesse de déplacement du milieu V(r, t), dans 
lequel se propage
l'onde, est reliée au champ de pression p(r, t) par la relation

p(r,t)s

V(r,t)= Z er

où l'on a défini Z comme le produit de la masse volumique ,u() du milieu, et de 
la célérité de
l'onde cs. Quel nom porte la quantité Z ?

- II.4.4 On introduit le vecteur Îe : p(r,t)î(r,t). Ce vecteur représente le 
flux instantané
d'énergie acoustique associé à l'onde p(r,t). Calculer la valeur moyenne 
temporelle du flux
d'énergie traversant, par unité de temps, une surface sphérique de rayon R, 
centrée sur l'ori-
gine O du repère de coordonnées sphériques. Exprimer le résultat en fonction de 
po, k, Z et
R.

- II.4.5 Comment la puissance transportée par l'onde décroît-elle en fonction 
de la distance a
la source ?

II.5 Propagation d'ondes sismiques

Les vibrations sismiques se composent, d'une part d'ondes de compression, et 
d'autre part
d'ondes de cisaillement. Ces ondes ne se propagent pas a la même vitesse, ce 
qui permet de les
distinguer. Enfin, il y a également des << ondes de surface >>.

La source de ces ondes peut être naturelle (tremblement de Terre), ou 
artificielle (explosion sou-
terraine de forte puissance, camion vibreur). L'étude du temps de propagation 
de ces ondes apporte
des renseignements précieux sur la nature du sous--sol et des couches internes 
de la Terre. Dans cette
partie, on montre dans un cas simple comment le temps de propagation de ces 
ondes permet de
connaitre la vitesse de propagation en profondeur.

Dans ce qui suit, le sous--sol est modélisé comme une succession de couches 
horizontales, au sein
desquelles la vitesse de propagation de l'onde sismique V(z), dépend de la 
profondeur z, supposée
positive. Dans cette partie, l'axe Oz caractérise la verticale orientée vers le 
bas, contrairement aux
parties précédentes où il caractérisait la verticale ascendante.

Pour étudier la propagation des vibrations dans le sous-sol, on a recours a une 
analogie avec
l'optique. Une source de vibration émet a la surface du sol, en un point 0, un 
train d'ondes sismiques.
On appelle rai sismique la trajectoire normale à toutes les surfaces de l'onde 
émise. Le rai sismique
est l'analogue du rayon lumineux.

- II.5.1 Rappeler la loi de Snell-Descartes pour la réfraction d'un rayon 
lumineux à l'interface
de deux milieux transparents d'indice de réfraction respectivement égaux à l et 
n > 1. Illustrer
votre réponse par un schéma.

- II.S.2 Par analogie avec l'optique, on définit 1' << indice de réfraction >> 
des ondes sismiques

comme égal à l'inverse de la v1tesse : n(z) : m. L'indice de réfraction a1ns1 
defini a donc la
z

dimension de l'inverse d'une vitesse, contrairement à l'indice optique qui est 
sans dimension.
Définir pour les ondes sismiques, l'analogue du chemin optique dans un milieu 
d'indice va-
riable, et montrer que cette quantité T. est égale au temps de propagation de 
l'onde sismique le
long du rai sismique.

10/13

- 11.5.3

X
0 Surface du sol
m=l \
m=2 \;

m=5 --e'l 14 j\
v Z Z 15
Figure 11.8

Le rai sismique peut être vu comme une trajectoire z(x). On introduit i, angle 
en radian entre la
tangente à la trajectoire et la verticale définie par ê}. En raisonnant sur un 
milieu constitué de
couches horizontales d'indice n... (Figure 11.8), et en appelant i... l'angle 
du rai avec la verticale
dans la couche m, montrer que le produit n... sin(i...) reste constant le long 
du rai (les lois sont
les mêmes qu'en optique).

En déduire que dans un sol où l'indice dépend continûment de la profondeur z, 
la grandeur
sin(i (x)) / V(z(x)) reste constante le long de la trajectoire.

Exprimer sin(i(x)) en fonction de la dérivée dz / dx de la trajectoire du rai 
sismique.

11.5.4
A

0 Surface du sol A B X

A?

Figure 11.9

On considère un rai OA issu d'une source 0 située à l'origine x = 0, z = () du 
repère. Ce rai
est incurvé de façon à revenir vers la surface en un point A situé a une 
distance A : xA de la
source des ondes, après être passé par un point A' de profondeur maximale z = h 
(Figure 11.9).
Quel doit être le sens de variation de l'indice avec la profondeur, et par voie 
de conséquence,
de la vitesse V(z), pour qu'une telle situation soit observée ?

A quel phénomène optique fréquent dans les régions chaudes et désertiques du 
globe, la situa-
tion ci-dessus est-elle comparable ?

1155 Si A' est le point de profondeur maximale h, la quantité sin(i) /V(z) 
reste égale à ] /V(h)
le long de la trajectoire. Déduire de cette relation, de la question 11.53, et 
en fonction de V(z)
et de V(h), l'équation différentielle a laquelle obéit la trajectoire z(x) du 
rai sismique.

11/13

- II.S.6 En supposant que la vitesse de propagation des vibrations sismiques 
obéit à la loi
V(z) = V0 + Kz, et en se limitant aux rais sismiques dont la profondeur il 
reste suffisamment
faible pour que la quantité Kz/VO soit petite devant ], vérifier que la 
trajectoire d'équation

z(x)=h-- (Æ--xÆ>Z

est solution de l'équation différentielle obtenue.

Quelle est la forme géométrique de ce rai sismique ?

Pour quelle valeur de x, z(x) s'annule-t-il ?

Remarque : la constante Vo n'est autre que la vitesse de propagation des ondes 
au voisinage
de la surface, et K le premier coeflicient du développement limité de V(z) au 
voisinage de la
surface.

- II.S.7 La figure 11.9 représente deux rais issus de 0 sous des incidences 
très proches de i0
(angle entre le rai et la verticale), émergeant en deux points voisins A et B, 
et contenus dans
un même plan vertical. Le point C appartenant au rai émergeant en B, forme avec 
A et B un
triangle (presque) rectangle. Il en résulte que A et C appartiennent a la même 
surface d'onde,
vibrent en phase, et que le temps de propagation de l'onde depuis la source est 
identique pour
A et C.

Exprimer la distance CB en fonction des coordonnées xA et xB des points A et B 
et de sin i().
Sachant que dans cette zone proche de la surface du sol, la vitesse reste quasi 
égale à

V0 = V(z : ()), exprimer la différence entre le temps de propagation T(A) le 
long du rai OA et
"((B) le long du rai OB.

- II.S.8 Montrer que la vitesse apparente des ondes en surface, définie comme

XB --XA
"t(xB) -- T(XA)

va:

pour deux rais sismiques émergeant en deux points A et B proches, est égale à 
la vitesse de
l'onde au point A' de profondeur maximale z = h.

- II.5.9 Cette question peut être traitée indépendamment des questions 
précédentes.
Le résultat de la question précédente suggère qu'il doit être possible de 
déduire la vitesse de
propagation des ondes en profondeur V(h), a partir de mesures faites en 
surface. Malheureu-
sement, la profondeur h du rai reste inconnue.

Le principe de la détermination de la vitesse V(z), fonction de la profondeur 
z, repose sur la
formule d'inversion de Herglotz-Wiechert :

Va (A) )

h(A) : è/0AduArgCh (Va...)

où ArgCh est la fonction réciproque du cosinus hyperbolique, A la distance a la 
source, Va(A)
la vitesse apparente des ondes en surface, fonction de la distance A, u une 
variable muette
d'intégration, et G une constante qui reste à déterminer.

12/13

D'autre part, le résultat de la question 11.5.6 permet d'établir facilement la 
relation entre h et
A. On trouve que :

K
h A = --A2
( ) %
1<2A2 En substituant a Va(A), l'expression Va(A) : V(h(A)) : V0 + Kh : V0 + W' puis 0 2 2 K Va(u) = V(h(u)) : V0 + % dans la formule de Herglotz-Wiechert, et en ne retenant que les 0 1<2A2 K2u2 termes d'ordre les plus bas en ? et ? , calculer la valeur numérique de la constante G. 0 0 Données : ArgCh(x) : 2(x -- 1) au voisinage de x : 1. Fin de l'énoncé 13/13