CCINP Physique 1 PC 2009

 

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SESSION 2009

A PCPIOO3

CONCOURS (OlRMUNS POlYÏECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l 'application numérique chaque 
fois
que cela est possible, en veillant à l'unité et aux chiffres significatifs du 
résultat.

***
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la
concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui 
sembler être une
erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa 
composition en expliquant

les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre.
***

PROBLÈME I
VOILE SOLAIRE

Ce problème traite de la possibilité de rallier l'orbite de Mars depuis 
l'orbite terrestre à l'aide
d'une voile solaire. Les deux premières parties sont indépendantes.

I.1 Orbites héliocentriques

Le référentiel héliocentrique est considéré comme Galiléen. Le mouvement des 
astres y est décrit
dans un repère de coordonnées polaires (r, 9) dont le Soleil occupe l'origine 
S. Les grandeurs vec-
torielles seront exprimées dans le repère orthogonal associé (à}, ê'g) 
représenté sur la figure 1.1. Le
Soleil est assimilé à un corps parfaitement sphérique et son champ de gravité 
est donc un champ de
force central. Tous les mouvements orbitaux de ce problème sont plans.

Données :

-- masse du Soleil : M5 = 2,0 >< 1030 kg -- constante de gravitation : Q = 6, 67 >< 10"11 m3.s"2.kg"1 -- célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00 >< 108 ms"1 -- distance moyenne Terre-Soleil : rT : 1, 5 >< 1011 m -- distance moyenne Mars--Soleil : rM : 2, 3 >< 1011 m 1/10 Figure 1.1 - 1.1.1 Rappeler l'expression générale de la vitesse 17 et de l'accélération ä' d'un corps ponctuel dans un repère de coordonnées polaires. - 1.1.2 Exprimer la force de gravitation Ëç exercée par le Soleil sur un corps de masse m situé à distance 7" du centre de l'astre. Citer deux grandeurs conservées lorsque le corps est soumis à la seule force de gravitation Fg. - 1.1.3 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un corps soumis à la seule force de gra-- vitation FS trouvée en I. 1.2. Calculer, en jours, la durée de révolution d'un corps suivant une orbite héliocentrique circu- laire de rayon TM : 2,3 >< 1011 m. - 1.1.4 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un corps soumis à la seule force de gravitation Fg, montrer que dans le cas général, l'équation du mouvement pour la distance radiale r(t) se réduit à : où EÉ, désigne la dérivée par rapport à 7° de l'énergie potentielle effective Ep(r) : 2 Ep(7") -- £ _ "__--ng... 2mr2 7" Que représente la grandeur L dans l'expression ci--dessus ? 2/10 Figure 1.2 - 1.1.5 L'énergie potentielle effective E,,(r) est représentée sur la figure 1.2. Décrire qualitativement la nature des trajectoires suivies par des corps dont les énergies totales seraient respectivement égales à E A, EB et EC schématisées par des lignes horizontales sur la figure. 1.2 Une voile solaire Une voile solaire, supposée légère, est assimilée à une surface plane d'aire S, pourvue d'un revêtement réfléchissant, dont la fonction est de tirer profit de la pression de radiation associée au rayonnement lumineux du Soleil. Figure 1.3 - 1.2.1 Une particule incidente de quantité de mouvement ji}; subit une collision élastique sur la sur- face et repart avec une quantité de mouvement p}, située dans le plan d'incidence (qui coïncide avec le plan de la figure 1.3). L'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence oz et les impul- sionsÿ}; et fi,... sont égales en norme: ||p;|| : ||p}|| : p. Exprimer, en fonction de p et a, d'abord dans le repère (ü, ñ) lié à la voile, puis dans le repère (à}, ê};) lié à la direction de la particule incidente, la quantité de mouvement ôp' cédée à la surface par la particule réfléchie. - 1.2.2 La voile est plongée dans un flux de particules incidentes, dont les directions sont toutes pa- rallèles entre elles, c'est-à--dire suivant la direction du vecteur é} de la figure 1.3. On appelle QS,- 3/10 le nombre de particules incidentes traversant une surface unité normale à la direction d'inci- dence ê} par unité de temps. Ces particules n'interagissent pas entre elles et subissent toutes la réflexion décrite à la question précédente. Un calcul simple montre que le nombre de particules N,- qui subissent la collision avec la voile solaire par unité de temps, est égal à : N, : çb,--Scos(a) Exprimer la quantité de mouvement Afi/At transmise àla voile solaire par unité de temps. En déduire la force moyenne F exercée par les particules incidentes sur la voile. Exprimer F dans le repère (ü', ñ'), puis dans le repère {é}, 633). - 1.2.3 Les particules incidentes sont des photons. L'énergie E et la norme de la quantité de mouve-- ment p d'un photon sont liées par la relation E = pc. Etablir une relation entre le flux incident d'énergie lumineuse  : Eçb, et 
le nombre de pho-

tons subissant la collision N,, puis réexprimer la force F en fonction de (I), 
a, S, c et 755.

- 1.2.4
Comment faut-il orienter la voile solaire pour que la composante Fg : Ë'.ë'g 
soit la plus grande

possible ?
Calculer, en degrés, la valeur de l'angle &... pour laquelle cette condition 
est réalisée.

- 1.2.5
Calculer la valeur de l'accélération & : Fa / m subie par une voile solaire de 
surface

S = 1000 m2, de masse m = 100 kg, inclinée de a..., située au voisinage de 
l'orbite terrestre
(r : TT) et recevant un flux incident de lumière égal à (I) = 1350 W.m"2.

1.3 Temps de transit
- 1.3.1

--
--
----
--
--
--
_
----_
_
--
--
--.
--.
_
_
--

Figure 1.4
On se place dans les conditions de la partie 1.1, et on considère un corps 
suivant une orbite
héliocentrique circulaire r(t) : T0. A un instant donné, on exerce sur le corps 
une force

supplémentaire Ë' : F,...ë} purement radiale, dirigée vers l'extérieur, et 
d'intensité constante
très faible. Le potentiel associé à cette force radiale est représenté sur la 
figure ci--dessus (fi--
gure 1.4) par une droite décroissante en traits pointillés. On cherche à 
déterminer la modifica-

tion de trajectoire résultant de cette force supplémentaire.

4/10

L'énergie potentielle "radiale" totale, représentée en trait gras sur la figure 
ci-dessus résulte de

l'addition de la fonction représentée en trait fin et de la droite en pointillé.
En s'appuyant sur ce schéma, justifier qu'une force purement radiale et de 
faible intensité

n'est pas de nature à modifier de façon significative le rayon de l'orbite 
héliocentrique.

- 1.3.2
On se place dans les conditions de la partie 1.1, et on considère un corps 
suivant une orbite

héliocentrique circulaire de rayon ro. A un instant donné, on exerce sur le 
corps une force
supplémentaire F : F9 ê}; purement orthoradiale, dirigée vers l'avant de la 
trajectoire, et d'in--

tensité constante très faible.
Exprimer la variation temporelle de moment cinétique du corps par rapport au 
Soleil en fonc-

tion de F9 et du rayon r(t).

- 1.3.3
Une voile solaire subissant la force calculée à la question 1.2.4 se déplace 
autour du Soleil.

On néglige désormais le terme d2r/dt2 dans la relation issue du principe 
fondamental de la

dynamique, ainsi que l'effet de la composante radiale F,... de la force F. On 
suppose aussi
que l'orbite reste en permanence proche d'une orbite circulaire (c'est une 
spirale lentement
croissante). Montrer qu'alors le rayon r(t) de l'orbite s'accroît avec le 
temps, obéissant à

l'équation différentielle :

d.?" (t) Fg
= Cr t 3/2--
dt ( ) m
où C est une constante que l'on déterminera.

Indication : on cherchera une relation entre E et r pour le cas d 'une orbite 
circulaire.

- 1.3.4
Dans le cas de la voile solaire, la force Ë' provient de la pression de 
radiation, et dépend donc

de la distance à l'astre 7°, à travers le flux d'énergie lumineuse (r). 
Comment (r) dépend-il
de la distance au Soleil en l'absence de toute absorption d'énergie lumineuse 
de la part du
milieu interplanétaire ?

Si le flux lumineux est de (rT) : 1350 W.m"2 à distance rT : 1, 5 >< 1011 m du Soleil, combien vaut-il àla distance de Mars rM : 2, 3 >< 1011 m '? Montrer que l'équation différentielle pour le rayon de l'orbite devient : dr(t)_ , a dt _C r(t) avec a : F9 /m défini et calculé à la question 1.2.5, et C' une autre constante à déterminer. - 1.3.5 Intégrer l'équation précédente et calculer le temps de transit tTM nécessaire pour rallier à la voile solaire l'orbite de Mars (r : rM), en partant de l'orbite terrestre (r : TT), en ne considérant que la force de gravité du Soleil et la force de pression de radiation. Indication : la solution de l'équation différentielle du premier ordre : ' dr K dt _ \/F entre les instants 0 et t vérifie : r(t)3/2 -- 7«(0)3/2 = â--Kt 5/10 PROBLÈME II VIBRATIONS TRANSVERSES Ce problème porte sur la variation de fréquence d'un dispositif vibrant lorsque l'on y dépose une masse perturbatrice. Il aborde également le principe de fonctionnement d'un instrument très précis : la microbalance à quartz (QCM : quartz crystal microbalance). II.1 Ondes stationnaires le long d'une corde tendue Une fine corde métallique homogène, quasi--inextensible et sans raideur, de masse linéique ,u, est soumise à une tension d'équilibre T. Ses déformations dans le plan (a:, y) sont décrites par une fonction de hauteur y : h(æ, t). Dans tout le problème, les déformations de la corde par rapport à l'axe horizontal sont supposées suffisamment faibles pour que : -- l'angle d(æ, t) que fait la courbe h avec l'horizontale soit un infiniment petit d'ordre 1, tout comme la dérivée Ôh / 6:13. -- les déplacements d'un point matériel lié à la corde n'aient qu'une composante verticale, les déplacements horizontaux étant négligeables. Les extrémités de la corde sont dénommées A et B, d'abscisse respective 513,4 et 1135. Le milieu de la corde est noté C, d'abscisse :cC (Figure 11.1). Tout au long du problème, on négligera les effets de pesanteur devant les forces de tension de la corde. Figure II.] -- II.1.1 Soit un point 0 d'abscisse 5130 situé dans l'intervalle [AB] (a:A < 330 < a: B). La partie de la corde située à droite du point 0 (a: > 330) exerce à chaque instant sur la 
partie de la corde
située à sa gauche une certaine force Ê(æg, t).
Comment s'exprime, en fonction de T et d'une dérivée de h(oe, t), la composante 
verticale

(suivant y) de cette force Ê' '?

- II.1.2
Etablir, dans le cadre des hypothèses énoncées ci--dessus, l'équation de 
d'Alembert vérifiée
par h(:c, t). Exprimer la célérité c associée en fonction des paramètres # et T.

- II.1.3
Peut--on observer des discontinuités spatiales de la dérivée Ôh/Ôæ en des 
points autres que A
et B ? Justifier votre réponse.

- II.1.4
La corde est fixée en ses deux extrémités A et B à une hauteur nulle, soit 
h(oeA, t) = 0 et
h(æB, t) = 0. La longueur de la corde entre ces deux points est 2L, et l'on 
choisit l'origine du

6/10

repère de façon à avoir æA : 0 et 5133 = 2L.
On recherche les ondes stationnaires de vibration de la corde sous la forme :

h(a:, t) : Z sin(koe + (b) cos(wt)

où Z est une amplitude arbitraire.
Donner, en la démontrant, la relation existant entre au, le et C.

11.15
Les valeurs admissibles de !: (norme du vecteur d'onde) forment une suite de 
valeurs discrètes

k... où n = 1, 2, 3 . . . est entier positif.
Donner l'expression des k,, admissibles, des pulsations propres au..., et des 
fréquences f,, as-

sociées.
Comment choisir la phase gb '?

II.1.6
Tracer soigneusement l'allure de la déformation associée au mode de vibration 
fondamental

k1, telle qu'on pourrait l'observer à l'aide, par exemple, d'une caméra rapide 
ou d'une lampe

stroboscopique.
Tracer de la même façon l'allure des déformations associées à la première, 
deuxième et

troisième harmonique (respectivement @, kg, 164).
Compter et faire figurer sur votre schéma, à chaque fois, le nombre de "noeuds" 
et de "ven--

tres" associés à ces modes de vibration.

II.1.7
On peut montrer que l'énergie mécanique par unité de longueur e(oe, t) associée 
à l'onde est

égaleà:
_H_ @ 2 z ÊΣ 2
e(""')" 2 [(ât) " (83:

Calculer la valeur moyenne temporelle (EUR) en un point quelconque a: de la 
corde, pour le mode
de vibration fondamental.

II.1.8
En déduire l'énergie totale associée à la vibration du mode fondamental. On 
exprimera le

résultat en fonction de la tension T de la corde, de sa demi-longueur L et de 
l'amplitude Z des

vibrations.
Application numérique : Que vaut l'amplitude Z des vibrations lorsque l'énergie 
totale du

mode est égale à 0,1 ], avec L =1m, T = 100 N'?

7/10

II.2 Perturbation par une masse

On accroche à la corde une perle de masse m, située exactement au milieu de la 
corde, au point
d'abscisse £L'C : L. Cette masse est supposée ponctuelle (sans épaisseur).

Figure II.2

- Il.2.l
En considérant les schémas tracés à la question 11. 1.6, déterminer les modes 
de vibration sus-
ceptibles d'être modifiés (changement de fréquence propre) par la présence de 
la masse m.
Déterminer de la même façon les modes qui ne devraient pas être modifiés par la 
présence de
la masse.

- II.2.2

En présence de cette masse supposée ponctuelle, les dérivées à gauche et à 
droite de 8h / 8113
ne sont pas nécessairement égales (la dérivée ô'h/ôæ est discontinue en L).
En appliquant le principe fondamental de la dynamique (PF D), trouver une 
relation entre T,

m, Ô2h/Ôt2(L, t) (accélération suivant y de la masse), Ôh/ÛOE(L' , t) et 
Ôh/Ôæ(L+, t), où l'on

a défini : Ôh
L" = l' -- t
Ôh/ÔOE( %) OE_{g}_ Ôæ(rv, )
lorsque a: tend vers L par valeur inférieure, et :
Ôh
L+ : 1° ---- t
Ôh/Ôflv( ,t) oe_'ÎÊ+ al,--("" )

lorsque 3: tend vers L par valeur supérieure.
Illustrer votre relation par un schéma.

- II.2.3
On recherche le mode de vibration fondamental sous la forme d'une fonction 
symétrique par
rapport à L, c'est-à--dire telle que h(oe, t) : h(2L --- a:, t), et donnée sur 
l'intervalle de gauche
0 5 a: < L par : h(a:, t) : sin(Kæ) cos(wt) où K est un vecteur d'onde à déterminer, et w et K vérifient la relation de dispersion habituelle. Montrer que les conditions aux limites imposent désormais la condition de quantification sui- vante sur les valeurs possibles de w et K : cos(K L) mw2 t KL = ___---- : °° ... ) sin(KL) 2KT 8/10 - II.2.4 Tracer la courbe représentative de cotan(æ) sur l'intervalle ]O, 37r[. Montrer que si la masse m est nulle, on retrouve comme cas particulier de l'équation ci-dessus le vecteur d'onde [cl de la fréquence de vibration de la corde homogène. - II.2.5 Lorsque m est faible, on recherche un développement limité à l'ordre 1 en m du vecteur inconnu K : Koek1+flm où fi est une constante à déterminer en fonction de au, c, T et L. On utilisera en particulier le développement limité suivant de la fonction cotangente, valable pour de petites valeurs de 5 : 7r cotan(--2-- + EUR) : ----5 K est-il plus grand ou plus petit que 141 ? - II.2.6 Déduire de la question précédente le changement relatif de fréquence Af1/f1 du mode de vibration fondamental de la corde lorsque l'on passe du vecteur la au vecteur K. Exprimer le résultat en fonction de m, u et L. La détermination expérimentale de la nouvelle fréquence de vibration permet donc de déter- miner la masse m déposée sur la corde. Application numérique : Calculer m lorsque L = 1 m, T = 100 N, ,a = 10"2 kg.m"1, Af1 : --1 HZ. II.3 Une application : la microbalance à quartz Les oscillations transversales d'un cristal de quartz taillé peuvent être mesurées et entretenues à l'aide de deux fines électrodes métalliques placées de part et d'autre de la lame (propriété piézoélec- trique). La face supérieure du quartz est libre, et par un calcul généralisant celui de la question précédente, on montre que toute masse m déposée sur la face supérieure du quartz modifie sa fréquence de résonance f1 en raison de la loi : A =-- f1 pchS connue sous le nom d'équation de Sauerbrey, dans laquelle pq désigne la masse volumique du quartz, cq la célérité des ondes ultrasonores associées à cette vibration, et S la surface du cristal vibrant. Données : -- masse volumique du quartz : pq : 2650 kg.m" -- célérité des ondes de vibration du quartz : cq : 3340 ms" 3 1 9/10 dépot de masse Figure 11.3 Le phénomène ci-dessus est mis à profit pour mesurer de façon très sensible la variation de masse déposée sur la surface vibrante : c'est le principe de la microbalance à quartz, représentée sur la fi-- gure 11.3. Toute masse m déposée sur la surface entraîne une diminution de la fréquence de résonance du quartz, qui peut être déterminée précisément à l'aide d'un circuit électronique approprié. - [1.3.1 Montrer que l'équation obtenue à la question 11.2.6 est équivalente à l'équation de Sauer-- brey, à condition de remplacer la masse linéique a de la corde par celle pqS du cristal. En l'absence d'autre source d'amortissement, le cristal de quartz peut-être considéré comme un circuit résonant de fréquence f1 : 5 MHz, et de facteur de qualité élevé Q = 2 >< 106. Que vaut alors la largeur en fréquence de la bande de résonance du cristal ? Illustrer le résultat par un schéma. " 110302 En se basant sur la largeur de la courbe de résonance, estimer la variation minimale de fréquence Afl qu'un tel dispositif est susceptible de détecter. En déduire la valeur minimale du rapport m / S (masse déposée par unité de surface) ainsi détectable. Application numérique : donner la sensibilité, en nanogrammes, d'une microbalance à quartz dont la surface de vibration est S = 0,1 cm2. Remarque : Dans la pratique, on utilise pour la mesure des fréquences de vibration harmoniques f3, f5. . . plus élevées que f1. Fin de l'énoncé 10/10