CCINP Physique 1 PC 2010

SESSION 2010 PCP1003

A

coucouns connus Pouncamou:s

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque 
fois

que cela est possible, en veillant à l'unité et a ux chiffres si gnifica tifs 
du résultat.
* * *

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la
concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui 
sembler être une
erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa 
composition en expliquant

les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre.
* * *

PROBLÈME 1
OSCILLATEURS A RELAXATION

Cette partie traite d'un modèle d'oscillateur hydraulique.
On notera p la masse volumique de l'eau, g l'accélération de la pesanteur, et 
on prendra pour valeurs

numériques :
p == 103 kg.m"3
9 == 9, 8 ms"2

(2)

Figure 1.1

SESSION 2010 PCP1003

A

coucouns connus Pouncamou:s

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque 
fois

que cela est possible, en veillant à l'unité et a ux chiffres si gnifica tifs 
du résultat.
* * *

N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la
concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui 
sembler être une
erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa 
composition en expliquant

les raisons des initiatives qu 'il a été amené à prendre.
* * *

PROBLÈME 1
OSCILLATEURS A RELAXATION

Cette partie traite d'un modèle d'oscillateur hydraulique.
On notera p la masse volumique de l'eau, g l'accélération de la pesanteur, et 
on prendra pour valeurs

numériques :
p == 103 kg.m"3
9 == 9, 8 ms"2

(2)

Figure 1.1

I.1 Vidange d'un réservoir

On considère un réservoir cylindrique dont la section horizontale est un disque 
d'aire S. Les
hauteurs sont repérées à l'aide d'un axe vertical (Oz) orienté vers le haut, et 
dont l'origine coïncide
avec le fond du réservoir (voir figure 1.1 à gauche). Ce réservoir est rempli 
d'eau jusqu'à une certaine
hauteur h. et percé d'un orifice situé au niveau du point B, à hauteur 23. Cet 
orifice possède une sec-
tion droite a. On nomme D, le débit volumique d'eau sortant par l'orifice B 
associé à l'écoulement
de vidange du réservoir. La surface libre du réservoir (d'aire S) et 
l'extrémité de l'orifice B sont en
contact avec l'air entourant le réservoir, à pression atmosphérique PO 3 1 bar. 
Tous les écoulements
considérés dans cette partie seront assimilés à des écoulements non visqueux, 
incompressibles et
laminaires. La variable de temps est notée t.

-- 1.1.1

On assimile la vidange du réservoir à un écoulement stationnaire, en faisant 
l'hypothèse que
la hauteur h(t) de la surface libre varie lentement par rapport aux vitesses 
caractéristiques de
l'écoulement. Tracer l'allure plausible des lignes de courant associées à cet 
écoulement.

-- 1.1.2

Énoncer et appliquer le théorème de Bernoulli le long de ces lignes de courant, 
et déterminer,
dans le cadre des hypothèses ci-dessus, et pour des sections droites S et a 
quelconques, la
vitesse du fluide UB au niveau de l'orifice B.

Que vaut alors le débit D, '?

--- 1.1.3
En déduire la valeur algébrique de h : dir/dt.

Que deviennent les expressions de "03 et h dans la limite où la section droite 
0' est très petite

devant S ?
Dans toute la suite on considère valide l'approximation 0 << S . --- 1.1.4 Calculer la valeur numérique du débit D, lorsque h = 2 m, 23 = 0,1 m et a == 2 cm". Exprimer votre résultat dans les unités du système international (81), puis en litre par seconde ( L.s"'). 1.2 Influence du siphon Un siphon est une portion coudée de conduite, de section constante 0, dont la hauteur maximale, représentée par le point C de la figure 1.1, page précédente à droite, se trouve à une hauteur .zc supérieure àla hauteur Z}; de l'orifice d'entrée de la conduite. Un siphon peut se trouver dans deux états. Dans l'état amorcé, le siphon ne contient pas d'air, et l'on peut considérer que le théorème de Bernoulli s'applique d'une extrémité à l'autre du siphon. L'extrémité D située à l'opposé du réservoir se trouve alors en contact avec l'air à pression atmosphérique PO. Dans l'état désamorcé, le siphon contient de l'air, la continuité de l'écoulement dans le siphon est rompue, et le débit à travers la conduite est nul. On supposera qu'une fois amorcé, le siphon reste dans cet état jusqu'à ce que de l'air pénètre par l'orifice situé en B. Le siphon est toujours amorcé lorsque le niveau d'eau excède zC. _ 10201 Lorsque le siphon est amorcé, le réservoir se vide avec un débit sortant D,, que l'on exprimera en fonction de h., 9, 0 et de la hauteur d'un des trois points B, C ou D. - 1.2.2 Donner une équation différentielle du premier ordre en t pour l'évolution temporelle de la hau-- teur h de la surface libre, dans le régime où le siphon est amorcé. Le réservoir n'est alimenté par aucune source. -- 1.2.3 Trouver la solution de cette équation différentielle, en partant d'une condition initiale h.(0) : ]'LQ __>__ zo.
En déduire la durée nécessaire tl pour que le siphon se désamorce.

1.3 Réservoir alimenté

Le réservoir est désormais alimenté en permanence par un filet d'eau de débit 
D,, arrivant par
l'orifice A, et qui ne perturbe pas l'écoulement de vidange (figure 1.2).

Figure 1.2

- 1.3.1

Comment doit--on modifier l'équation différentielle portant sur h.. en présence 
d'un débit D,
venant alimenter le réservoir, le siphon étant amorcé '?

' - 1.3.2

Montrer que l'équation différentielle obtenue admet une solution stationnaire, 
de hauteur hs
constante, que l'on exprimera en fonction de zD, D,, a et 9.

Cette solution paraît--elle acceptable si la valeur de hs associée à un débit 
D,; est telle que
hg < 33 '? Justifier votre réponse. --- 1.3.3 Décrire l'évolution de la hauteur h(t) lorsque le siphon est désamorcé. --- 1.3.4 Montrer que si le débit D,; est plus faible qu'une valeur critique D.,, le système représenté sur la figure 1.2 se comporte comme un oscillateur, dont le débit de sortie est une fonction périodique du temps. Déterminer la valeur de D.,. - 1.3.5 On suppose D,-- < DC. Représenter schématiquement l'allure temporelle de la hauteur h.(t) en fonction du temps t. Déterminer, en fonction des paramètres du problème, la période T du phénomène, en négligeant, lorsque le siphon est amorcé, le débit incident D,-- par rapport au débit sortant D,. - 1.3.6 Application Numérique : Calculer DC et T pour les valeurs suivantes des paramètres, dans le cadre de l'approximation de la question précédente : zD : ----0, 2 m, zc : O, 3 m, 23 = O, 1 m, a == 2 cm2, D,- = 4 >< 10'"4 m3.s"1, S ==1m2. I.4 Analogie électronique Le circuit représenté sur la figure 1.3 est construit autour d'un amplificateur opérationnel (AO) supposé idéal et fonctionnant en régime saturé. La tension de sortie V, est donc égale à iV,at suivant la différence de tension observée entre les homes V.,. et V... Un condensateur C et trois résistances R de même valeur sont assemblés autour de l'amplificateur opérationnel; le condensateur et la résistance apparaissant sur le coté gauche du schéma sont reliés àla masse du circuit. C V.. R _ .... VS - - R V+ R //_ Figure 1.3 --- 1.4.1 Établir, pour une valeur donnée constante de la tension de sortie V,, l'équation différentielle que vérifie V.... (t). - 1.4.2 Après un très bref régime transitoire, le circuit produit des oscillations périodiques de la ten- sion de sortie de l'AG. Représenter, en fonction du temps, l'allure temporelle du signal de sortie V,(t), ainsi que celle de la tension V...(t). On justifiera la réponse sans entrer dans le détail des calculs. - 1.4.3 Donner l'ordre de grandeur de la période T de l'oseillateur lorsque R = 100 Ml et C = 1 ,uF. --- 1.4.4 L'oscillateur électronique et l'oseillateur hydraulique ont un fonctionnement analogue. Quel composant joue le rôle du réservoir '? Quelles grandeurs électriques peut-on associer aux hau- teurs ::Bet ch ? D'où vient, dans chaque cas, l'énergie permettant aux oscillateurs de fonction-- ner ? PROBLÈME II EFFET DOPPLER ET ONDES SONORES L'objet de cette partie est d'établir, de deux façons différentes et indépendantes, la variation de fréquence apparente d'un signal périodique associée au mouvement relatif d'une source et d'un observateur. Données : -------- constante des gaz parfaits : R = 8, 31 J .K'"'1.mol""1 -------- masse molaire de l'air : M = 28, 8 g.mol""1 --------- masse volumique de l'air à température T = 298 K et pression P0 =----- 1,01 >< 105 Pa : [)0 =: 1, 30 kg....w3 II.1 Approche heuristique de l'effet Doppler Dans cette partie, on détermine de façon heuristique (c'est--à--dire en simplifiant volontairement le raisonnement) le changement de fréquence associé au mouvement relatif d'une source sonore S et d'un détecteur M (oreille humaine ou microphone), bien connu sous le nom d'effet Doppler. Une source S émet un signal sonore, de période TO, sous forme de « bips » réguliers. On note t,, i entier positif, l'instant où est émis le i-ème bip. La suite des instants t,-- est donc donnée par un terme général : ÏL-z == iTo -- II.1.1 Une source S est immobile en :): = 0. Un observateur M immobile, situé à la distance d, perçoit ce signal. sonore, avec un retard lié au temps de propagation du signal sonore à la vitesse (.: (figure 11. l , cas A). Définir la fréquence fo de ce signal périodique. Calculer le délai séparant l'émission d'un bip sonore par S de sa détection par M. Cas A S M .....-- ..---..-..-......-..-......-..-..-..-..-..-..-.. ...>
0 d X
Cas B S M
-.....-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-+..-..-..-..-..-..-..--___>..-..- 
.-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-...-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-. -..-..-..-.. ..3,
0 (1 X
Cas C S M
..-..-..4_-....-..-..-+..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-...-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..-..>
0 d X
Cas D S M
-..-..-..-..-..... ' .-..-..4__.-..-....-..+-..-..-..- ;,
0 d X
Cas E S M
. ..-..-..-{-..-..-..-..-...___>.....-. >
0 d X

Figure II.]

--- II.1.2

La source S, initialement en a: == 0, se déplace à vitesse constante 77 : 
"z,r0êÎæ en direction de
l'observateur M, immobile et situé en a: = d (figure 11. 1 , cas B). La vitesse 
vo est inférieure à.
c. La source émet le même signal sonore périodique. Donner l'expression des 
instants 9,- cor--
respondant à la réception, par l'observateur, de chacun des signaux sonores, la 
source restant
à gauche de l'observateur.

Calculer l'intervalle de temps T(UO) séparant la réception de deux bips 
consécutifs par l'obser--
vateur immobile.

En déduire la fréquence apparente f (vo) du signal périodique perçu par 
l'observateur. Expri--
mer le résultat en fonction de f... -uO etc.

---- II.1.3

La source S, initialement en 1: = 0 à l'instant t = 0, se déplace à vitesse 
constante 5 == -------v0 é},
en direction opposée à celle de l'observateur M, immobile et situé en zz: == (1 
(figure II.. 1 , cas C).
La source émet le même signal. sonore périodique.

En procédant comme àla question précédente, calculer l'intervalle de temps 
T(----'UO) séparant
la réception de deux bips consécutifs par l'observateur immobile.

En déduire la fréquence apparente f (-------vo) du signal périodique perçu par 
l'observateur. Ex--
primer le résultat en fonction de fo, vo et c.

- [1.1.4

La source 8 est immobile en a: == 0 et émet le même signal sonore. 
L'observateur M, initiale---
ment situé en a: : ci, se déplace à vitesse -----*z.vOë'æ en direction de la 
source (figure 11. l , cas D).
Déterminer la suite 9; des instants correspondant à la réception du bip t' par 
l'observateur en
mouvement, la source restant à gauche de l'obervateur.

En déduire l'intervalle de temps 7" (no) séparant la réception de deux bips 
consécutifs par l'ob--
servateur en mouvement.

Donner la fréquence f' (og) du signal périodique perçu par l'observateur. 
Exprimer le résultat
en fonction de fo, co et c.

-- 11.15

La source S est immobile en a: x 0 et émet le même signal sonore. L'observateur 
M, initia--
lement situé en a: = ci, se déplace à vitesse v0ë'OE en direction opposée à 
celle de la source

(figure II.], cas E).

Calculer l'intervalle de temps 7" ( ----«vo) séparant la réception de deux bips 
consécutifs par l'ob-
servateur en mouvement.

En déduire la fréquence f' (-----vo) du signal périodique perçu par 
l'observateur. Exprimer le
résultat en fonction de f(), vo et 0.

11.2 Thermodynamique des ondes sonores

-- II.2.1

Un gaz parfait diatomique subit une transformation adiabatique réversible entre 
un état initial
de pression PO et de masse volumique po, et un état final de pression P1 et de 
masse volumique
P].-

Donner une relation entre P0, P1, [)0, pl et 7 == Cpîm/CU,..., rapport des 
capacités thermiques
molaires à pression constante Cp}... et à volume constant C,,)....

Comment varie l'entropie S du gaz lors de cette transformation ?

- II.Z.Z

On définit le coefficient de compressibilité isentropique XS comme la variation 
relative, à
entropie constante, de la masse volumique par rapport à la pression :

...} Ê_P_
XS...p ÔP 3

À l'aide du résultat obtenu à la question 11.2.1, calculer XS dans le cas de 
l'air assimilé à un
gaz parfait diatomique (")/ == 1, 40) à température T = 298 K et à pression PO 
== 1, 01 >< 105 Pa. Approximation acoustique Dans l'approximation acoustique, un fluide est décrit par un champ de masse volumique p(f' , t), de vitesse Ü(ñ t) et de surpression p(f', t) = P (F, t) ------- PO, vérifiant les équations : 85 -------->
---- : ----O'rad --
Ôp
---- : ------ div 17
81EUR Po ( )
où po désigne la masse volumique moyenne, F est le vecteur position et t le 
temps. On rappelle que

le Laplacien scalaire est défini par A : div(grad).

-- II.2.3

Trouver une relation thermodynamique linéaire entre la surpression p(ff' , t) 
(différence entre
pression locale instantanée et pression moyenne) et la variation de masse 
volumique au voisi--
nage de P0, 5K)(ñ t) : P("Ï t) "'" Po-

Montrer que la surpression p(ff', t) obéit alors à une équation de d'Alembert, 
caractérisée par
une célérité (: que l'on déterminera, defaçon littérale, puis numérique, dans 
les conditions de
pression et de température de la question 112.2.

11.3 Ondes longitudinales dans un tube

L' écoulement unidimensionnel et unidirectionnel d'un fluide compressible, 
confiné dans un tube,
est décrit par un champ de vitesse iÏ(:r t) = v(:r, t)ë}, un champ de masse 
volumique p(a:, t) et une
surpression p(:c, 16) (figure 11.2).

_Â___......
ll ! : ...... ...... | | |...... ||... |
\.-..-..--..-..-..--..-..-..-..---.-..-..-..--..-..-..--..-..--..--..-..-...--..--.---..--..--..--.._..--.---..-..-. "_..- _..--

Figure II.2

-- II.3.1
On suppose que se propage, sans réflexion dans le tube, une onde sonore créée 
en a: == 0 par

une membrane acoustique. L'onde se propage en direction des a: positifs. La 
surpression se

met sous forme
p(æ, t) = P... cos(w0t ---- kom)

Donner la relation entre wo et ko. Définir la fréquence fo de l'onde sonore.

-- [1.3.2
Exprimer le champ de vitesse v(æ, t) associé au champ de surpression ci-avant.

En déduire la valeur du rapport p(æ, t) /v(æ, t). Ce rapport dépend--il du 
temps t ou de la posi--
tion æ ?

-- [1.3.3

Montrer, dans le cas particulier de l'onde sonore unidimensionnelle considérée 
ici, que la com--
posante v(a:, t) suivant a: du champ de vitesse obéit àla même équation de 
d'Alembert que le
champ de pression p(:c, t).

--- [1.3.4

Figure 11.3
Un microphone M, intialement situé en a: = ci, se déplace à vitesse me}, 0 < vo < 0, sans toutefois perturber l'onde sonore qui se propage autour de lui (figure 11.3). La position du mi-- crophone est donc donnée par :c(t) : d + v0t. Déterminer la pression p...(t) mesurée par le microphone au cours de son mouvement. Montrer que le signal p...(t) est sinusoïdal. Déterminer sa pulsation w...(v0) et sa fréquence fm(U0)° Exprimer f...(vo) en fonction de fo, vo etc. - [1.3.5 Figure 11.4 ' La source S initialement située en a: = 0 se déplace à vitesse mé}, 0 < vo < 0, en direction du microphone immobile (figure 11.4). On suppose que pour tous les points situés entre la source et le microphone, la vitesse du fluide s'exprime comme : 'v' a: _>_ v0t ; v(oe,t)ê,, : V... cos(wflî ---- k1æ)ë'æ

la vitesse moyenne du fluide restant nulle. Quelle relation vérifient & et cul 
'?

Comment choisir ... pour que l'onde sonore, qui se propage, corresponde à une 
vibration à
fréquence fo de la surface de la source sonore S en mouvement '?

En déduire la fréquence f... de l'onde sonore perçue par le microphone.

II.4 Vélocimétrie

On s'intéresse à la reflexion d'une onde sur une cloison rigide mobile, au 
voisinage de laquelle
la vitesse du fluide suivant a: s'annule. Pour déterminer la vitesse de la 
cloison rigide, on envoie
une onde incidente et on mesure les propriétés de l'onde réfléchie (figure 
ILS). On recherche donc
"une solution de l'équation de d'Alembert comme la superposition d'une onde 
incidente v,--(a:, t) =
V}, cos(w,t -------- le,--r) et d'une onde réfléchie v,...(æ, t) === % cos(w.rt 
+ ka). Les grandeurs V,; et le,; sont
supposées connues, tandis que les grandeurs V,... et le,... sont à déterminer.

Figure II.5

--- II.4.1

La cloison est dans un premier temps immobile, placée en a: == 0. Déterminer 
w... le,... et W pour
que la condition aux limites soit satisfaite.

--- [1.4.2
La cloison se déplace maintenant en direction de l'expérimentateur 0 à vitesse 
constante
à" == -------uEUR,,. Sa position est donc :cc(t) == ----ut. On néglige les 
effets de l'écoulement ma-

croscopique de fluide engendré par le déplacement du fluide autour de la 
cloison, pour ne
considérer que les ondes incidente et réfléchie se propageant comme si le 
fluide environnant
était au repos.

Déterminer les grandeurs w... k,... et V,... sachant que la condition aux 
limites est satisfaite.

En déduire que les pulsations des ondes sonores incidente et réfléchie sont 
différentes. Expri--
mer la pulsation ca,. de l'onde réfléchie en fonction de celle au, de l'onde 
incidente, de la vitesse
u de déplacement de la cloison et de la célérité (: des ondes acoustiques.

-- II.4.3
Donner la fréquence de l'onde sonore réfléchie f,... en fonction de celle de 
l'onde incidente f,,

de u et de 0.
Montrer que ce résultat coïncide avec celui que l'on obtiendrait en combinant 
les résultats des
questions ll.l.4 et Il.l.2, c'est--à--dire en supposant que le signal émis par 
la source est perçu

par un observateur en mouvement (la cloison) puis réémis par celui--ci en 
direction de la source.

- II.4.4
Application numérique. Calculer la fréquence fr et la variation de fréquence 
f,... ---- f,-- pour les

valeurs suivantes des paramètres de la question précédente : u = 10 cms--1, 
f,--_ = 2 >< 104 Hz, (: = 340 m.s"1. 11.5 Conclusion Pourquoi ne trouve-t--on pas le même résultat lorsque la source est en mouvement et l'obser-- vateur immobile, et lorsque la source est immobile et l'observateur en mouvement ? Cela contredit-il le principe d'invariance galiléenne ? Ces calculs s'appliquent-ils aussi aux ondes électromagnétiques dans le vide ? Fin de l'énoncé