CCINP Physique 1 PC 2012

SESSION 2012

PCP1003

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
____________________

PHYSIQUE 1
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont autorisees
Les deux problemes sont independants. On fera l'application numerique chaque 
fois que
cela est possible, en veillant a l'unite et aux chiffres significatifs du 
resultat.

P ROBL EME I
O PTIQUE
Il existe de petits gobelets amusants (figure I.1.a) possedant la propriete 
suivante :
­ en l'absence de liquide, le fond du gobelet est constitue d'une lentille 
spherique qui ne laisse rien
apparaitre (figure I.1.b) ;
­ en presence de liquide, une image nette apparait (figure I.1.c).

(a)

(b)
Figure I.1
1/12

(c)

Tournez la page S.V.P.

L'objet de ce probleme est de proposer une modelisation simple de ce phenomene 
optique. Les conditions de l'optique de Gauss seront supposees satisfaites tout 
au long du probleme. Les figures ne sont
pas a l'echelle. Les valeurs numeriques considerees dans ce probleme sont 
realistes. L'approximation
des lentilles minces n'est, en revanche, pas vraiment justifiee dans le 
contexte.
I.1 Visibilite d'un objet situe dans le plan focal objet
Sur un banc d'optique (figure I.2) sont alignes un objet plan BB', coupant 
l'axe optique en un point
A et une lentille mince convergente L1 situee au point S. B et B' sont 
symetriques l'un de l'autre par
rapport a l'axe optique. La figure represente le foyer principal objet F, 
confondu avec A, ainsi que le
foyer principal image F'. L'oeil d'un observateur est place en un point O de 
l'axe optique. La pupille de
l'oeil est representee comme un disque centre en O, de diametre PP'. Le bord de 
la lentille est un cercle,
assimilable a un diaphragme DD'. Le diametre de l'objet BB' est identique a 
celui du diaphragme DD'.
Donnees : SA = -12 mm, SO = 200 mm, BB = DD = 20 mm, PP = 6 mm.

B'
A F
B

D'
S

P'
O

F'

P

D

Figure I.2 : montage de la lentille L1 (echelle non respectee)
- I.1.1
Rappeler les hypotheses de l'approximation de Gauss en optique geometrique.
- I.1.2
Reproduire soigneusement la figure I.2. Construire graphiquement l'allure de 
deux rayons issus
de B et traversant la lentille.
Faire de meme avec deux rayons issus de B'. Realiser un trace de taille 
suffisante, de l'ordre de la
moitie de la largeur de la feuille.
- I.1.3
Lorsque l'objet est situe dans le plan focal objet de la lentille, l'image se 
forme a l'infini et seule
une fraction minime des rayons issus de l'objet est captee par la pupille de 
l'oeil PP'. Il s'agit
d'estimer cette fraction. Soit un point E, defini par :
­ E appartient au plan de l'objet BB' ;
­ le rayon issu de E, passant par le bord inferieur D du diaphragme, est 
refracte en un rayon DP'
passant par le bord superieur P' de la pupille de l'oeil.
De meme, le point E', symetrique de E par rapport a l'axe optique, est defini 
par les proprietes
suivantes :
­ E' appartient au plan de l'objet BB' ;
­ le rayon issu de E', passant par le bord superieur D' du diaphragme, est 
refracte en un rayon
D'P passant par le bord inferieur P de la pupille de l'oeil.

2/12

Reproduire soigneusement la figure I.2. Placer les points E et E', obtenus a 
l'aide du trace des
rayons PD'E' et P'DE. Pour plus de clarte, on tracera une figure distincte de 
celle de la question
I.1.1.
- I.1.4
A l'aide du schema precedent, deduire l'expression de la distance EE' en 
fonction des distances
SF, SO, DD' et PP'. Calculer numeriquement EE'. Puis donner la fraction d'aire, 
definie par le
rapport 1 = (EE'/BB')2 , de l'objet visible par l'oeil place au point O.
I.2 Visibilite d'un objet situe entre le plan focal et la lentille

B'
F

D'

A

S

B

D

P'
F'

O
P

Figure I.3 : montage de la lentille L2 (echelle non respectee)
La figure I.3 represente un montage analogue a celui de la figure I.2. La 
lentille L1 a ete remplacee
par une lentille L2 moins convergente. L'objet BB' coupe l'axe en un point A 
distinct du foyer principal

objet F. La distance SA est encore egale a -12 mm, tandis que la distance 
focale f  = SF de la lentille
L2 est desormais de 36 mm (figure I.3).
La formule de conjugaison d'une lentille convergente, de distance focale f  
situee en S, entre un
point objet A1 de l'axe et son image A2 est rappelee :
1
1
1
=
-
.

f
SA2 SA1
- I.2.1
Determiner par le calcul la position de l'image B2 B2 ' de l'objet BB'.
Calculer le grandissement B2 B2 '/BB' et la taille de l'image B2 B2 '.
L'image est-elle reelle ou virtuelle ?
- I.2.2
Calculer la distance entre l'oeil et le plan image B2 B2 '.
En deduire que le diaphragme DD' masque une partie de l'image B2 B2 ' a 
l'observateur dont l'oeil
est situe en O.
Estimer, dans l'approximation ou les points O, P et P' sont confondus, la 
fraction surfacique 2 de
l'image B2 B2 ' visible par l'oeil de l'observateur situe en O.
I.3 Distance focale de lentilles minces accolees
Le modele propose pour decrire la situation representee sur la figure I.1.b 
(absence de liquide) est
celui d'une lentille mince plan-convexe de rayon de courbure R (figure I.4.a, 
page suivante). La lentille
est constituee de verre d'indice n2 entouree d'air d'indice n1 . Le modele 
propose pour decrire la situation
representee sur la figure I.1.c (presence de liquide) est la succession d'un 
dioptre plan entre un milieu
d'indice n1 et d'indice n2 , d'un dioptre spherique de rayon de courbure R 
entre un milieu d'indice n2 et
un milieu d'indice n3 , puis d'un second dioptre plan entre le milieu d'indice 
n3 et le milieu d'indice n1
(figure I.4.b).
3/12

Tournez la page S.V.P.

A'

n1

n1
n2

n3

S

n2
n1

n1

C
A

(a)

(b)

(c)

Figure I.4
- I.3.1
On donne la formule de conjugaison correspondant a la succession de dioptres 
representes sur la
figure I.4.a :

1
n2 - n1
1
-
=
.
n1

SA
CS
SA
ou CS represente la distance algebrique entre le centre de courbure et le 
sommet du dioptre
spherique, represente sur la figure I.4.c.
Reconnaitre la distance focale f1 de la lentille convexe dans l'expression 
ci-dessus et calculer sa
valeur numerique.
Donnees : n1 = 1, 00, n2 = 1, 50 et R = 6, 0 mm.
- I.3.2
On donne la formule de conjugaison correspondant a la succession de dioptres 
representes sur la
figure I.4.b :

1
1
n2 - n3
-
.
=
n1
CS
SA SA
ou CS represente la distance algebrique entre le centre de courbure et le 
sommet du dioptre
spherique, represente sur la figure I.4.c.
Reconnaitre la distance focale f2 de la lentille plane dans l'expression 
ci-dessus et calculer sa
valeur numerique.
Donnees : n1 = 1, 00, n2 = 1, 50, n3 = 1, 33 et R = 6, 0 mm.
- I.3.3
L'objet a observer est situe a une distance de 12 mm sous la lentille (voir 
schema de la vue en
coupe du gobelet sur la figure I.5).
Pourquoi ne voit-on rien en l'absence de liquide ?
Pouquoi l'image devient-elle visible lorsque l'on remplit le verre ?
intérieur du gobelet
lentille en verre
air
objet à observer

Figure I.5

4/12

P ROBL EME II
M OD ELES D ' ELECTRON ELASTIQUEMENT LI E ET POUVOIR
ROTATOIRE D ' UN MILIEU
Les grandeurs pointees X et X designent respectivement les derivees temporelles 
premiere et seconde de la grandeur X consideree. Les grandeurs complexes sont 
soulignees. Dans tout le probleme, c
represente la celerite des ondes electromagnetiques dans le vide.
Donnees :
- masse de l'electron : me = 9, 1 × 10-31 kg ;
- 1 eV = 1, 6 × 10-19 J ;
- vitesse de la lumiere c = 3, 0 × 108 m.s-1 .
II.1 Oscillations unidimensionnelles
Un electron assimile a une charge negative ponctuelle q = -e, de masse me , est 
anime d'un
mouvement rectiligne le long d'un axe Oz. L'electron est soumis a un champ 
electrique sinusoidal
~ 0 cos(t) a l'origine d'une force electrique f~e = qE0 cos(t)~ez , a une force 
de rappel
E0 cos(t)~ez = E
elastique f~r = -z~ez et a une force d'amortissement visqueux f~v = -~v , ou ~v 
est le vecteur vitesse
et qui s'exprime dans cette partie comme f~v = - z~ez . La force de rappel 
elastique represente et remplace, de facon qualitative, l'attraction 
electrostatique qu'exerce une charge positive immobile situee a
l'origine z = 0 de l'axe Oz tenant lieu de noyau atomique (figure II.1).

E0

O

z
Figure II.1

- II.1.1
L'electron est soumis uniquement a la force de rappel elastique f~r . Donner 
l'expression, en fonction de  et me , de la pulsation caracteristique 0 des 
oscillations libres de l'electron. Que se
passe-t-il si un champ electrique de frequence  = 0 est applique ?
- II.1.2
Donner l'expression de l'energie potentielle elastique Er (z), associee a la 
force de rappel f~r et
definie de facon a ce que Er (0) = 0.
Determiner la valeur numerique qu'il faut donner a la constante de raideur  
pour que l'energie
potentielle Er d'un electron situe a distance z = 1, 0 × 10-10 m soit egale a 
13,6 eV. En deduire la
pulsation caracteristique 0 et la frequence fondamentale f0 de vibration 
associees a cette valeur
de .
- II.1.3
Exprimer le principe fondamental de la dynamique applique a l'electron lorsque 
celui-ci est
soumis aux trois forces f~r , f~v et f~e . Projeter la relation sur l'axe Oz. 
On pourra introduire le
parametre  = /(2me ).
- II.1.4
Une solution du mouvement de l'electron est recherchee sous la forme z(t) = 
Re(z(t)) ou
z(t) = Zejt est une grandeur complexe, en presence d'un champ electrique 
complexe E0 ejt et
ou j 2 = -1.
5/12

Tournez la page S.V.P.

Determiner, pour une frequence quelconque  du champ electrique applique, 
l'expression de Z
en fonction de E0 , me , q, ,  et 0 .
En deduire l'amplitude des oscillations de z(t).
- II.1.5
Alors que l'electron oscille, on introduit le vecteur moment dipolaire p~(t) = 
qz(t)~ez , ainsi que la
grandeur complexe ~p(t) = P ejt~ez associee.
Donner l'expression du facteur de polarisabilite p = P /E0 associe au modele 
d'electron elastiquement lie considere dans cette partie.
II.2 Induction dans une boucle circulaire
Soit une boucle conductrice circulaire plane, de rayon R et d'epaisseur 
negligeable, placee perpen~ 1 (t) = B1 cos(t)~ez (figure II.2).
diculairement a un champ magnetique B

ez

B (t)
1

R

i(t)

Figure II.2
- II.2.1
La boucle conductrice est soumise a un flux magnetique variable. La boucle est 
assimilee a un
circuit electrocinetique associant en serie une resistance interne (r), une 
inductance (L) et un
generateur de tension variable (e(t)). La tension e(t) represente la force 
electromotrice (f.e.m)
~ 1 (t). Le sens conventionnel du
d'induction associee au champ magnetique variable exterieur B
courant dans le circuit est choisi de facon a ce que le vecteur unitaire normal 
a la boucle plane
fermee orientee soit egal a ~ez .
Tracer le schema electrocinetique correspondant a une resistance, un generateur 
et une inductance
en serie.
Donner l'equation differentielle a laquelle obeit le courant i(t) induit dans 
la boucle par la f.e.m
d'induction e(t).
- II.2.2
Definir le flux magnetique (t) traversant la boucle.
Exprimer la relation liant e(t) au flux (t) traversant la boucle conductrice. 
Preciser la convention
utilisee : generateur ou recepteur.
- II.2.3
En raisonnant a l'aide des grandeurs complexes associees, determiner 
l'intensite i(t) = Iejt par~ 1 (t).
courant la boucle en presence de B

6/12

- II.2.4
~
Le moment magnetique M(t)
de la boucle parcourue par un courant i(t) est defini comme :
~
M(t)
= R2 i(t)~ez .
~
Comment, pour une frequence  donnee, la grandeur complexe M ejt~ez associee a 
M(t)
est-elle
liee a B1 ?
II.3 Mouvement circulaire d'une charge electrique
On rappelle l'expression des equations de Maxwell dans le vide, en l'absence de 
charges et de
courants :
~ = 0
divB
~
B
-
~
rotE
= -
t
~
divE = 0
~
1 E
-
~
.
rotB
= 2
c t
~ 1 (t) = B1 cos(t)~ez uniforme
Le but de cette partie est d'etudier l'effet d'un champ magnetique B
et oscillant sur le mouvement d'une charge electrique q astreinte a se deplacer 
sur un cercle de rayon R
(figure II.3). Le mouvement de la particule est repere a l'aide de coordonnees 
cylindriques (r, , z) et
les grandeurs vectorielles exprimees, soit a l'aide du repere local associe aux 
coordonnees cartesiennes
(~ex , ~ey , ~ez ), soit a l'aide du repere local associe aux coordonnees 
cylindriques (~er , ~e , ~ez ).
y
B1

R

x

Figure II.3
- II.3.1
Soit un champ electrique :
~ 1 (x, y, t) = 1 B1  sin(t)~ez  (x~ex + y~ey + z~ez )
E
2
ou (x, y, z) sont les coordonnees cartesiennes d'un point quelconque de 
l'espace considere et le
symbole  represente le produit vectoriel.
~ 1, B
~ 1 ) verifie les trois premieres equations de Maxwell.
Verifier que la paire de champs (E
- II.3.2

~1
1 E
est
Montrer que la quatrieme equation n'est verifiee que si le terme de deplacement 
2
c t
neglige.
7/12

Tournez la page S.V.P.

~1
1 E
A quelle approximation classique de l'electromagnetisme correspond l'hypothese 
ou 2
est
c t
negligeable ?
- II.3.3
La charge reste a distance R de l'origine du repere. L'estimation 
dimensionnelle, dans le cas
~
~ est B1 /R. Quelle est l'estimation dimensionnelle du terme ||  E1 || ?
~ B||
general, du terme ||rot
t
En deduire que le rapport :
~1
1 E
||
||
2
t
= c
B1
R
demeure inferieur a 10-2 pourvu que la frequence de variation  de B1 soit 
inferieure a c ,
frequence caracteristique que l'on exprimera. Donner la valeur numerique de c 
lorsque
R = 10-10 m.
- II.3.4
~ 1 ,B
~ 1 ) constitue une solution acceptable des equations de Maxwell. La
On admet que la paire (E
question se pose de determiner l'influence de ce champ electromagnetique sur le 
mouvement circulaire de la charge q, de coordonnees cylindriques r = R, (t), z 
= 0.
Donner l'expression de la force de Lorentz f~L qui s'exerce sur la charge 
lorsque celle-ci est animee
~ 1 , ~v et q.
~ 1, B
d'une vitesse ~v , en fonction de E
- II.3.5
Le mouvement de la particule chargee le long de sa trajectoire circulaire se 
ramene a l'etude de
l'angle polaire (t) en fonction du temps.
Exprimer, dans le repere local de coordonnees cylindriques (~er , ~e , ~ez ), 
les composantes de la
vitesse et de l'acceleration.
- II.3.6
La particule chargee est soumise a la force de Lorentz f~L , a la force 
d'amortissement visqueux
f~v ainsi qu'a une force de reaction normale a la trajectoire f~R , dont la 
composante suivant ~e est
nulle.
En projetant le principe fondamental de la dynamique suivant la direction ~e , 
etablir l'equation
differentielle du mouvement de la particule portant sur (t).
- II.3.7
L'intensite d'un courant electrique parcourant une trajectoire circulaire n'est 
rien d'autre qu'une
quantite de charge electrique passant en un point de reference de la boucle par 
unite de temps.
Cela suggere une relation entre la vitesse angulaire de deplacement de la 
charge  et l'intensite
i(t) parcourant la boucle :
q
(t).
i(t) =
2
Montrer que l'equation differentielle portant sur  est equivalente a l'equation 
obtenue aux questions II.2.1 et II.2.2, a condition de definir de facon 
appropriee la valeur de la resistance r et de
l'inductance L. Donner les expressions, en fonction de me , q, R et , des 
resistance et inductance
equivalentes r et L.

8/12

- II.3.8
Justifier, a l'aide de l'analogie precedente, la definition suivante du moment 
magnetique instantane
~
M(t)
associe au deplacement de la charge le long de sa trajectoire circulaire :
~ = q R2 ~ez .
M
2
II.4 Mouvement helicoidal d'une charge electrique
Une courbe helicoidale (en helice, figure II.4) est definie par le jeu 
d'equations parametriques cylindriques (r, , z) suivant :

r = R
z = A

z

y

x

Figure II.4
La courbe helicoidale se confond avec une boucle circulaire lorsque le 
parametre A est nul. Elle tend
vers une courbe rectiligne lorsque A/R  1. La courbe helicoidale ne possede 
aucun plan de symetrie
ni centre d'inversion. Cela confere au mouvement d'une charge electrique, le 
long de son contour, des
proprietes remarquables vis-a-vis de l'excitation par un champ 
electromagnetique.
La trajectoire helicoidale represente une approximation classique du mouvement 
d'un electron autour d'un atome appartenant a une molecule chirale, susceptible 
de conferer, lorsqu'une des formes
enantiomeres est pure, un pouvoir rotatoire a une solution transparente 
contenant cette molecule.
Soit une charge mobile le long de l'helice soumise simultanement a une force de 
Lorentz f~L , a une
force d'amortissement visqueux f~v = -(R~e + z~ez ) et a une force de rappel 
elastique
f~r = -(r~er + z~ez ). De plus, une force de reaction normale a la trajectoire 
f~R maintient la particule
chargee sur sa trajectoire helicoidale.
La force de Lorentz provient de la contribution de deux composantes 
electromagnetiques : d'une
~ 0 (t) = E0 cos(t)~ez etudie au cours de la partie II.1 et d'autre part la 
paire de champs
part le champ E
~ 1 (t) =  B1 sin(t)~ez  (x~ex + y~ey + z~ez ), B
~ 1 (t) = B1 cos(t)~ez ) etudiee dans la partie II.3. Il existe
(E
2
~ 0 associee au premier des deux champs electriques. Mais elle n'intervient
bien sur une composante B
pas dans l'etude de la trajectoire de la charge, si bien que l'on n'en tient 
pas compte.
~ 1 s'exprime egalement dans le repere local associe aux coordonnees 
cylindriques
On notera que E
comme :
~ 1 =  B1 R sin(t)~e .
E
2
9/12

Tournez la page S.V.P.

- II.4.1
Exprimer la vitesse de la particule chargee dans le repere local de coordonnees 
cylindriques. En
deduire la valeur de l'energie cinetique de la particule en fonction de A,R, me 
et .
- II.4.2
Donner les expressions de la puissance de la force de rappel elastique f~r , de 
la puissance de
la force de reaction normale a la trajectoire f~R et de la puissance de la 
force d'amortissement
visqueux f~v .
- II.4.3
~ 0, E
~ 1 et B
~ 1.
Donner l'expression de la puissance de la force de Lorentz f~L associee aux 
champs E
- II.4.4
Enoncer, puis appliquer le theoreme de la puissance cinetique a la particule 
chargee. Montrer que
l'equation differentielle a laquelle obeit la variable (t) est donnee par :

B1
2
2
2
2
2
2
me (A + R ) + (A + R ) + A  = q AE0 cos(t) +
R sin(t) .
2
- II.4.5
Calculer l'amplitude complexe  des oscillations de (t) = Re(ejt ) induites, en 
regime permanent, par les composantes E0 et B1 du champ electromagnetique 
exterieur.
- II.4.6
Le deplacement spatial de la charge est decompose en une composante de moment 
dipolaire p~(t)
~
et une composante de moment magnetique M(t)
definies comme suit :
p~(t) = Re(P ejt )~ez = qz(t) ~ez ;
q
~
M(t)
= Re(M ejt )~ez = R2 (t) ~ez .
2
Montrer que P et M obeissent au systeme lineaire suivant :
P = p E0 - jB1 ;
M = jE0 + m  2 B1 .
Donner l'expression des trois coefficients complexes p , m et . On posera, pour 
simplifier
l'ecriture des resultats : D(j) = A2 02 + 2j(R2 + A2 ) -  2 (R2 + A2 ).
- II.4.7
Comment changent les coefficients p , m et  lorsque le pas de l'helice est 
inverse, c'est-a-dire
lorsque l'on change A en -A ?

10/12

11/12

Tournez la page S.V.P.

- II.5.5
Etablir de la meme facon la relation de dispersion associee a la propagation de 
l'onde :
~ - = B- (~ey - j~ez )ej(t-k- x) .
B

- II.5.6
2
2
Exprimer la difference k-
- k+
en fonction de µ0 , r , ,  et   dans la limite ou  et   sont
suffisamment petits pour etre consideres comme des termes de perturbation.
~ - se propagent a des celerites differentes, et que le milieu
~ + et B
En deduire que les ondes B
possede donc un pouvoir rotatoire.
- II.5.7
Justifier, par des considerations de symetrie, qu'un milieu possedant un centre 
d'inversion ou un
plan de symetrie ne peut avoir de coefficients  et   non nuls.

12/12

IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1241 ­ D'après documents fournis

Fin de l'enonce