CCINP Physique 1 PC 2014

SESSION 2014 PCP1003

.::=_ CONCOURS COMMUNS
POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque 
fois que
cela est possible, en veillant à l'unité et aux chiffres significatifs du 
résultat.

PROBLEME 1
UN VOL EN BALLON

Données :

-- accélération de la pesanteur g = 9, 80 m.s_2 ;
-- constante des gaz parfaits R = 8, 31 J.K_1.mol_1 ;

-- masse molaire de l'air A = 29,0 g.mol_]L ;

-- masse volumique du mercure dans les conditions standard ,qu : 1, 35 >< 104 kg .m_3 ; -- rayon moyen de la Terre RT : 6 380 km; -- coefficient thermique molaire à pression constante Cp)... : 7R/2. L'espace est repéré a l'aide de coordonnées cartésiennes (a:, y, z) et d'un repère (EUR... @, @) associé. Rappel : Le centre de masse G, d'un corps C de masse volumique homogène ,u, est l'unique point de coordonnées (fig, va, Zç) Vél'lfiâfit : ///(æ--oeç)dædydz= ///(y--y@dædydz= ///(z--z@dædydz=0_ Le moment d'inertie J,, d'un corps solide homogène, par rapport à l'axe passant par le centre de masse G et dirigé suivant le vecteur EUR... est défini par l'équation : J, = u///[(u--m)' + 2tdædydz.

1/9

On a de même, par rapport aux directions EUR}, et EUR; :

4f=M/j/Kæ--ægÿ+lz--agïdææflu

J. = u ///m -- yG>2 + <æ -- æG>2idædydz.

Les moments d'inertie d'une boule (sphère pleine) homogène de masse M et de 
rayon R sont :

@=@=L=fiWfiä

1.1 Statique des fluides incompressibles

- 1.1.1
On considère un fluide incompressible, de masse volumique ,a, au repos dans un 
champ de pesan-
teur uniforme ÿ' . Les hauteurs sont rapportées a un axe vertical (Oz) dirigé 
vers le haut.
En considérant, par exemple, un volume da: dy dz de fluide, établir la relation 
différentielle liant
la pression P, ,a, g (norme de 5?) et ?: (équation de l'hydrostatique).

- 1.1.2
Donner l'expression de la fonction P(z), pression fonction de la hauteur, 
solution de l'équation
précédente, en prenant comme constante d'intégration P(O) : PO.

- 1.1.3
Enoncer le théorème d'Archimède pour un corps solide quelconque totalement 
immergé dans le
fluide représenté sur la figure 1.1.

fluide

Figure 1.1 Parallélépipède rectangle plongé dans un fluide

Recopier sommairement la figure 1.1 et y représenter graphiquement la 
résultante des forces de
pression exercées sur un objet de forme parallélépipède rectangle homogène, 
représenté vu de
profil sur la figure.

Les forces de pression exercent--elles un couple de torsion sur l'objet ?

2/9

1.2 Modèle d'atmosphère isotherme

- 1.2.1
L'air est assimilé à un fluide compressible, obéissant à l'équation des gaz 
parfaits, dont la tempéra-
ture est uniforme et constante, indépendante de la hauteur 71.
Donner la relation existant entre la masse molaire A, la masse volumique ,u, la 
pression P, la
température T et la constante des gaz parfaits.

- 1.2.2
Montrer que, dans ce cas, la solution de l'équation obtenue à la question 1.1.1 
est de la forme :

P(z) : PO exp (--Ê)

où H est une longueur que l'on exprimera en fonction de A, R, T et g, puis que 
l'on calculera
numériquement pour T = 280 K.

- 1.2.3
Quelle valeur de la pression ce modèle prédit-il au sommet du Puy de Dôme, 
d'altitude
Zp : l 465 m, lorsque T = 280 K et P0 = l 013 hPa ?

- 1.2.4
A l'époque de Blaise Pascal, l'instrument de mesure de la pression 
atmosphérique le plus com-
mode était le tube de Torricelli. Rappeler le principe de fonctionnement d'un 
tube de Torricelli, en
s'aidant d'un schéma. Déterminer la hauteur de la colonne dans le tube si le 
dispositif est installé
au sommet du Puy de Dôme.

- 1.2.5
Déduire, du profil de pression P (71), l'expression de la masse volumique ,u(z) 
en fonction de la
hauteur. En supposant que l'on puisse négliger la courbure de la Terre, 
calculer la masse totale de
gaz occupant une colonne semi--infinie, de section horizontale & = 1 m2, 
s'étendant de la hauteur
?: : 0jusqu'à l'infini.
Montrer que cette masse s'exprime simplement en fonction de P0, de a et de g 
supposé constant
et uniforme.
Ce résultat est-il surprenant?

- 1.2.6
Déduire de la question précédente une estimation numérique de la masse totale 
de l'atmosphère
de la Terre.

1.3 Poussée d'Archimède dans un profil exponentiel de pression

Le but de la partie 1.3 est de vérifier la validité du théorème d'Archimède 
dans le cas où le profil de
pression est de la forme établie à la question 1.2.2.

- 1.3.1
La résultante A des forces de pression s'exprime comme une intégrale autour de 
la surface
extérieure E du corps C , avec 775 vecteur normal sortant de la surface et dS 
l'élément d'intégration

sur la surface :
 = Ê/- P ñdS.

2

3/9

On s'intéresse à la composante verticale AZ : ê'Z -  de la résultante  .
Montrer que AZ est égale au flux du vecteur --P(z)ëz a travers la surface 2.

- 1.3.2
A l'aide du théorème de Green-Ostrogradsky pour tout champ de vecteurî :

!%yÏ-ñdS=ïXX/dhæfidoedydz
E C

exprimer AZ comme une intégrale triple sur le volume occupé par le corps C .

- 1.3.3
Développer l'exponentielle exp(--z / H ) autour de la hauteur zG du centre de 
masse du corps C,
au deuxième ordre en (7: -- zG) / H .
En utilisant l'identité :

2(Z _ ZG)2 : (Z _ ZG)2 + (33 _ OEG)2 + (Z _ ZG)2 + (y _ yG)2 _ (y _ yG)2 _ (33 
_ OEG)2

et la définition des moments d'inertie donnée en préambule, montrer que la 
résultante AZ des
forces de pression se met, a cet ordre du développement, sous la forme :

@+@--@
+

A=M
Z 4H2

où M et J,,, Jy, JZ représentent respectivement la masse et les moments 
d'inertie d'un corps ho-
mogène de masse volumique ,u(zG) (identique a l'air ambiant) et de forme 
identique a C .

- 1.3.4
Estimer l'erreur relative commise sur la résultante AZ lorsque l'on applique le 
théorème d'Archi--
mède a un ballon sphérique plein de rayon R = 20 m évoluant dans un profil 
d'atmosphère
isotherme.

1.4 Ballon à air chaud dans une atmosphère isotherme

Soit un aérostat de volume V supposé constant et dont l'enveloppe et la nacelle 
sont de masse totale
m (la masse de l'air chaud n'étant pas comptée et le volume de la nacelle étant 
supposé négligable).
La pression régnant à l'intérieur du ballon reste égale, à tout instant, à la 
pression extérieure.
La température de l'air a l'intérieur du ballon, supposée uniforme, est plus 
élevée que la température
extérieure de l'atmosphère isotherme. On notera, dans cette partie, la 
température de l'atmosphère
T : Tf. La masse volumique de l'air au niveau du sol, à pression P0 est notée 
...) : ,u(0) et on in-
troduit la masse m0 : MOV, égale à la masse d'air présente dans le ballon 
lorsque celui-ci est posé au
sol et que la température interne est égale à Tf.

- 1.4.1
La température régnant a l'intérieur du ballon est TC, et la masse volumique de 
l'air situé a
l'intérieur est ,de. Déterminer la relation existante entre ,de, TC, Tf et la 
masse volumique ,u(z)
de l'air a l'extérieur du ballon, situé a une altitude ?: quelconque.

- 1.4.2
Le ballon se trouve à l'altitude nulle ?: = O, pour laquelle la pression 
alentour est PO. Déterminer la

4/9

température minimale T...... (m) devant régner dans le ballon, de masse m (air 
chaud non compris)
pour que celui-ci s'élève spontanément. On pourra exprimer le résultat en 
fonction de Tf, m0 et m.

1.4.3
L'air du ballon est chauffé jusqu'à une température TC > T......(m). Déterminer 
dans ces condi-
tions la hauteur maximale Zmaoe (m, TC) atteinte par le ballon.

1.4.4

Calculer, sur la base du résultat précédent, le volume minimal V d'un ballon 
permettant d'élever
deux passagers, une enveloppe et une nacelle, de masse m = 500 kg, à une 
hauteur de Z = l 000 m
au dessus du sol, sachant que la température maximale de l'air chaud a 
l'intérieur du ballon est

de 60 K plus élevée que la température extérieure Tf : 280 K et que la pression 
extérieure est de
P0 = 1,0 bar.

1.4.5

On cherche à déterminer la quantité d'énergie thermique Q......(TC) nécessaire 
pour élever la
température de l'air régnant dans le ballon de sa valeur initiale Tf a sa 
valeur finale TC.
Déterminer la quantité de chaleur Q1 nécessaire pour élever, de façon 
quasistatique et à pression
constante PO, la température de la quantité de fluide initialement présente 
dans le ballon. Exprimer
le résultat en fonction de m0, A, C,,)..., TC et Tf.

1.4.6

La grandeur Q1 déterminée précédement surestime la quantité Q......(Tc) 
désirée. Lorsque de
l'énergie thermique est communiquée au gaz situé a l'intérieur du ballon, la 
pression augmente
progressivement et un excès d'air doit alors être extrait du ballon, au moyen 
par exemple d'une
trappe servant de soupape. Le chauffage de l'air situé dans le ballon a lieu au 
voisinage du sol
(7: = 0), a altitude constante. Une modélisation plus fine de la transformation 
thermodynamique
requise consiste à considérer une suite de N transformations isobares 
élémentaires associées à
des intervalles de température 5Tj , j = l, . . . N , au cours desquelles seule 
est considérée la masse
d'air restant dans le ballon, l'excès étant éliminé au fur et a mesure.

Exprimer, d'après la relation établie à la question 1.4.1, la masse volumique 
... restant à l'étape j
en fonction de ,u0, T, et Tf.

En déduire la chaleur (SQ,-- communiquée au fluide lorsque le fluide est 
chauffé de T, a Tj+1.

1.4.7
En intégrant les accroissements infinitésimaux (SQ,-- jusqu'à l'état final de 
température TC, détermi-
ner la quantité d'énergie thermique Q2 permettant, dans le cadre des 
approximations précédentes,

d'élever la température intérieure du ballon jusqu'à TC. La quantité Q2 est 
assimilée à la grandeur
recherchée Q......(TC).

5/9

PROBLEME II
QUELQUES PROBLEMES DE DIFFUSION THERMIQUE

Données :
-- Laplacien a 3 dimensions d'une fonction f ne dépendant que de la distance a 
l'origine 7° :
2 d d2
A = ---- _ _
f(7") , de + d,, (T)

11.1 Gradient de température

- II.1.1
Soit un profil de température unidimensionnel T (33), où a: désigne la 
coordonnée le long d'un
axe horizontal. La température est supposée uniforme, égale à T,- sur tout le 
domaine a: S 0 et
uniforme, égale à TEUR sur tout le domaine a: 2 6, où 6 représente une certaine 
longueur.
L'espace situé dans l'intervalle () S a: S e est occupé par un matériau 
homogène de conductivité
thermique À. Le profil de température est supposé stationnaire.
En considérant un bilan d'énergie en régime stationnaire, déterminer la nature 
du profil T(æ) pour
tout a: appartenant à l'intervalle [D, 6], puis représenter graphiquement la 
fonction T (a:) dans le
cas où T,- > Te.

- II.1.2
Donner l'expression du vecteur densité de courant thermique ÎQ et déterminer le 
flux thermique
(A) traversant une section transversale normale à l'axe a:, d'aire A, située 
en a: = e / 2, en fonc-
tion des données du problème.
Préciser la dimension ou l'unité du coefficient de conductivité À.

- II.1.3

. ///
///

(a) (b)
Figure II.] Assemblée de parallélépipèdes représentant des manchots

Un manchot se modélise par un parallélépipède rectangle, de section carrée, de 
côté a et de hau-
teur Æ (figure II.1.a). Le manchot, animal à sang chaud, maintient sa 
température interne T,- au
moyen d'un apport métabolique 731 qui compense les pertes par conduction 
thermique au travers
d'un revêtement de plumes d'épaisseur e et de conductivité À, face a une 
température extérieure
T6.

Le modèle de transfert thermique proposé à la question précédente est supposé 
valide dans le cas
d'un manchot de géométrie parallélépipédique et la fonction  (A1) rend 
compte de la déperdition
thermique d'un manchot d'aire corporelle A1.

Déterminer l'aire totale A1 du parallélépipéde représenté sur la figure II.1.a.

6/9

- II.1.4
Déterminer la valeur de la conductivité thermique A du revêtement de plumes 
correspondant a un
métabolisme 731 = 50 W, pour une température intérieure T,- = 37 °C, une 
température extérieure
TEUR : -- 20 °C (y compris au niveau du sol), une épaisseur 6 = 1 cm, un côté a 
= 0, 10 m et une
hauteur EUR = 0, 50 m.

- II.1.5

Pour faire face a ces températures extrêmes, neuf manchots se serrent comme 
représenté sur la
figure II.1.b. Le pavage carré étant parfait, seules les faces supérieures, 
inférieures et latérales
péripheriques sont sujettes aux pertes thermiques Calculer l'aire Ag exposée à 
la température TEUR
et la puissance métabolique 739 totale nécessaire au maintien de la température 
interne des neuf
manchots.

De combien le métabolisme nécessaire au maintien de la température interne, 
rapporté à un man-
chot, est-il réduit lorsque les neuf manchots se serrent les uns contre les 
autres (comportement
social thermorégulateur) ?

II.2 Equation de la chaleur

Soit un corps homogène de masse volumique ,u, de coefficient thermique massique 
cp et de conducti-
vité thermique À. Ces coefficients sont supposés indépendants de la 
température. Lorsque la conduction
thermique est seule en jeu, il est possible de montrer que le champ de 
température obéit à l'équation de
diffusion suivante (équation de la chaleur) :

T
8-- -- DAT : 0
87EUR
où D : À/ (,ucp), coefficient de diffusion thermique, d'unité m2.s_1, s'exprime 
en fonction de ,a, A et

cp.

- II.2.1
Rappeler la différence entre la diffusion thermique par conduction et la 
diffusion thermique par
convection. Lequel des deux mécanismes est-il considéré comme plus efficace ?

- II.2.2
Vérifier que la fonction Tg(7°, t) ci-dessous est une solution de l'équation de 
la chaleur, où
7° : \/a:2 + y2 + z2 est la distance euclidienne a l'origine du repère et C : 
7117, le produit de la
constante de diffusion par un nombre entier n à déterminer.

2
TG(r,t) : (th)_3/2 exp (_ L).
Ct

- II.2.3
La solution TG représente l'évolution temporelle d'une distribution de 
température initialement
localisée autour du point 0 de coordonnées 3: = 0, y = 0 et z = 0.
Déterminer la fonction TO(t) représentant l'évolution temporelle de la 
température Tg(0, t) du
point 0.
Déterminer le comportement aux grandes valeurs de t de Tg(0, t).
Déterminer le rayon R(t) de la sphère, centrée sur l'origine 0, des points dont 
la température est
supérieure ou égale à TO (t) /2.
En déduire que l'énergie thermique diffuse au bout d'un temps t sur une 
distance d'ordre (Dt)°',
où oz est un exposant fractionnaire a déterminer.

7/9

II.3 Diffusion en présence de convection

Une sphère pleine métallique homogène de rayon RS est placée au contact d'un 
milieu a température
T6. La présence de convection assure le maintien au voisinage de la surface de 
la boule d'une température
constante T6. La diffusion thermique à l'intérieur de la boule se fait par 
conduction uniquement. La
température a la surface extérieure de la boule est notée T3(t) : T (RS, t). On 
admet que les pertes
thermiques à la surface de la sphère vers le milieu extérieur vérifient la loi :

OEs(t) : h(Ts(t) _ Te)

où h est un coefficient de transfert thermique qui dépend de l'état de 
convection du fluide environnant,
\113 la puissance quittant la sphère par unité de surface et T3(t) > Te.

- II.3.1
Ecrire l'équation de la chaleur en un point 7° quelconque de l'intérieur de la 
boule.

- II.3.2
Justifier par un argument physique la relation ci-dessous :
ÔT
--À-- =hX(TS--Te).
Ô?" T=R3
- II.3.3

Réécrire l'équation de diffusion et la condition de continuité en R8 pour la 
différence
O(7°, t) : T(r, t) -- Te. On pourra introduire la quantité OS : TS -- Te.

- II.3.4
On recherche une solution O(7°, t) sous la forme d'un produit de variables 
séparées f (r)g(t) , où f
et g sont supposées partout non nulles. Montrer que :

À 2 /7,_ // 7,_ : g/(t)
f(7") lrf( '" ( )l g'

Justifier que la fonction temporelle g(t) ainsi obtenue décroît 
exponentiellement avec le temps,
comme g(t) : g(0) exp(--t /7').

- II.3.5
Rechercher une solution de l'équation précédente sous la forme :

sin(ozr).

f(7") =

Montrer que l'on obtient bien une solution de l'équation obtenue en II.3.4, a 
condition de poser
CV2D7' : 1.
Quelle est la limite de f (7°) lorsque 7° tend vers 0 ?

7°

- II.3.6
Exploiter la condition en R3 obtenue aux questions II.3.2 et II.3.3, et montrer 
que le produit
a: : aRS vérifie l'équation transcendante :
cos(a:) hRS

l -- = = N
a: sin(a:) À 11

où le produit sans dimension Nu est appelé nombre de Nusselt.

8/9

- II.3.7
Donner le premier terme du développement limité en a: = 0 de la fonction 1 -- 
a: cotan(æ), puis
tracer l'allure de celle--ci. En déduire que, quelle que soit la valeur de Nu, 
il existe une racine
positive de l'équation obtenue à la question précédente.

- 11.33
La plus petite racine positive de l'équation ci-dessus contrôle le comportement 
asymptotique aux
temps longs de la température de la sphère. Montrer que le temps de 
décroissance exponentielle
de la température de la sphère se comporte alors comme :

"7": 8 si Nu<<1; - II.3.9 Calculer numériquement le temps caractéristique 7' pour une sphère de plomb, caractérisée par les grandeurs suivantes : h = 5, 8 W.K_1.m_2, R8 = O, 1 m, cp : 130 J.K_1kg_1, u = 1,13 >< 104 kg.m_3, A = 35 SI. Fin de l'énoncé 9/9