CCINP Physique PC 2017

SESSION 2017 PCPH003

un CONCOURSCOMMUNS
-.- POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE

Mercredi 3 mai : 8 h - 12 h

N.B. .' le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de la
rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une 
erreur d 'e'noncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives qu 'il
a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants.

Chaque problème est constitué de parties indépendantes.

Leur poids est approximativement de 2/3 pour le problème 1 et de 1/3 pour le 
problème 2.

1/16

PROBLÈME 1

La circulation sanguine

Le 18 décembre 2013 à l'hôpital européen Georges-Pompidou de Paris, le premier 
coeur 100 %
artificiel et autonome était implanté sur un patient. Cette prouesse n'aurait 
pu être réalisée sans les
nombreuses découvertes théoriques et expérimentales qui l'ont précédée. Aussi, 
nous nous
proposons, dans ce problème, d'en étudier un des aspects : la circulation 
sanguine. Ce domaine de
la physiologie est appelé l'hémodynamique.

La figure 1 représente le système vasculaire humain. La cavité droite du coeur 
envoie le sang
appauvri en dioxygène dans les poumons à travers l'artère pulmonaire. Les 
poumons enrichissent le
sang en dioxygène. Le sang enrichi en dioxygène retourne dans le côté gauche du 
coeur et irrigue
l'ensemble du corps puis revient au côté droit par la veine cave. Le système 
vasculaire issu de
l'aorte se divise en artères, puis artérioles et capillaires. Le tableau 1 page 
suivante donne, chez
l'homme, le diamètre des différents types de vaisseaux et leur nombre.

Le coeur humain pèse environ 0,3 kilogramme et bat environ une fois toutes les 
secondes lorsqu'il
est au repos. À chaque battement, son côté gauche injecte 80 cm3 de sang ar 
l'aorte à la pression
de 16 kPa. La puissance mécanique massique totale du coeur est de 5 W.kg' . 
Pour une durée de vie
d'environ 80 années, cela en fait une source de travail remarquable.

Æ"à
Circulation [' "-'
pulmonaire '
artère veine pulmonaire
pulmonaire
veine artère aorte
cave
Circulation
générale

muscle

{ _ sang riche en dioxygène
4... -- sang pauvre en dioxygène

Figure 1 -- Le système vasculaire humain
Le côté gauche du coeur est représenté à droite et le côté droit à gauche.

2/16

Vaisseau Diamètre 2a (mm) Nombre N
Artère aorte 101 1
Grandes artères 3 4.101

Branches principales 1 6.102
Branches secondaires 6.10"1 2.103

Branches tertiaires 10"1 8. 104
Artères terminales 5.10"2 106
Branches terminales 3.10"2 107

Artérioles 2.10"2 4.107
Capillaires 8.10"3 109

Tableau 1 -- Diamètres et nombres des différents types de vaisseaux chez l'homme

Le biologiste anglais C. Murray a étudié la relation qui existe entre le 
diamètre d'un vaisseau et le
nombre de vaisseaux semblables. La figure 2 où sont portés en échelle 
logarithmique les nombres
de vaisseaux N en fonction de leur rayon a met en évidence cette relation.

log N

0 1 2 3 3,74 loga(mn)

Figure 2 -- Nombre de vaisseaux N en fonction de leur rayon a

Cette relation peut être interprétée par un modèle simple. Le système 
vasculaire y est alors décrit
par deux types de vaisseaux : des artères et des vaisseaux capillaires. Il est 
supposé être composé de
Na artères de longueur La et de rayon r... et de Nc vaisseaux capillaires de 
longueur LC et de rayon rc
(figure 3).

Figure 3 -- Modélisation du système circulatoire artériel

3/16

En considérant alors un écoulement laminaire du sang, de viscosité 77, qui se 
traduit par la loi de
Poiseuille, l'expression de la résistance hydraulique de l'ensemble du système, 
que l'on retrouvera

8'_77.
"'

_ L L . . .
en partie Il, vaut : Riot = { " + c ] . Par a1lleurs, s1 on admet que le corps 
se constru1t

4 4
Nalra Nc'rc

en limitant la résistance hydraulique totale, on peut alors justifier 
qualitativement la loi de Murray
théorique, qui traduit la loi de dépendance entre N... r... Nc et rc. (partie 
III).

Pour une compréhension et une modélisation plus raffinées de la circulation 
sanguine dans les
vaisseaux, il faut garder à l'esprit plusieurs caractéristiques du système 
vasculaire, qui le
différencient d'un réseau d'adduction d'eau, par exemple :
- il est alimenté par une source pulsée : le coeur n'injecte du sang dans 
l'aorte que lors de la
contraction du ventricule gauche ;
- les vaisseaux sanguins ne sont pas des tuyaux rigides: les tissus qui les 
constituent
possèdent une certaine élasticité ;
- le sang n'est pas un liquide newtonien tel que l'eau. Son caractère non 
newtonien se traduit
par exemple par le fait que sa viscosité dépend du diamètre du vaisseau dans 
lequel il
s'écoule.

En s'appuyant sur les éléments donnés lors de l'introduction du problème 1, 
nous établirons dans la
partie I certains résultats généraux de la circulation sanguine. La partie Il 
nous conduira à justifier
l'expression de la résistance hydraulique de l'ensemble du système vasculaire 
et la partie III nous
permettra de comparer les lois de Murray théorique et expérimentale. Dans la 
partie IV, nous
étudierons le rôle de l'élasticité des vaisseaux et la partie V traitera de la 
mesure de la vitesse de
circulation du sang par effet Doppler. Ces cinq parties sont indépendantes.

Partie I -- Généralités

QI. Calculer le volume de sang qui circule chaque minute dans le système 
vasculaire. Vérifier
qu'il correspond, environ, aux cinq litres de sang contenus dans le corps d'un 
adulte.

Q2. En considérant que le côté droit du coeur développe une puissance mécanique 
de 0,2 Watt,
vérifier que la puissance mécanique massique totale du coeur est de 5 W.kg". On 
pourra
notamment s'appuyer sur une analyse dimensionnelle.

Q3. En physiologie, on estime qu'environ 10 % de l'énergie reçue par un muscle 
est convertie en
travail mécanique. A quoi peuvent correspondre les 90 % restants ?

Q4. Préciser la relation reliant le nombre de vaisseaux N à leur rayon a. Cette 
relation correspond
à la loi expérimentale de Murray.

QS. Estimer la vitesse moyenne du sang dans l'artère aorte.

Partie II -- Loi de Poiseuille

On considère l'écoulement stationnaire d'un fluide incompressible de masse 
volumique p et de
viscosité 77 dans un tuyau cylindrique immobile dans le référentiel d'étude 
galiléen, centré sur l'axe

horizontal (Ax) de vecteur unitaire ex , de section circulaire de rayon et et 
de longueur L (figure 4,

page suivante). Nous sommes alors en présence d'un écoulement de Poiseuille 
cylindrique. La
pression à l'entrée du tube est P(x = O) = PA et P(x = L) = PB à la sortie. Le 
champ des vitesses est

4/16

de la forme Î/(M ) : v(r)-eî. Par ailleurs, un élément de fluide limité par une 
partie du cylindre

d'axe (Ax) et de rayon r, de surface latérale E(r) , est soumis de la part du 
fluide situé entre les

rayons r eta à la force de viscosité F = 77-

Q6.

Q7.

Q8.

Q9.

-- dv(r)

-E(r) - e_x . On négligera les effets de la pesanteur.

dr

Figure 4 -- Loi de Poiseuille pour un tube de section circulaire

Pourquoi choisit-on des pressions en entrée et en sortie différentes pour 
décrire cet
écoulement?

L'équation locale de la dynamique, ou équation de Navier-Stokes, pour les 
fluides
incompressibles est: ;) - %+p - (Î) - grad)λ = f... --gradP+î7-AÏ».
Donner la signification des différents termes de cette équation.

À quelle condition l'écoulement peut-il être considéré comme laminaire ? Tester 
cette
condition pour l'écoulement dans l'artère aorte en considérant une viscosité 
dynamique de
10"3 Pas et une masse volumique du sang de 103 kg.m'3. Commenter.

D'après les premiers éléments descriptifs de l'écoulement de Poiseuille 
cylindrique, simplifier
l'équation de Navier-Stokes.

Pour définir la loi d'évolution v(r), il faut préciser le terme 77--AÎ) . Pour 
cela, il nous faut retrouver

la densité volumique des forces de viscosité en calculant la résultante des 
forces de viscosité
s'exerçant sur une particule de fluide possédant la forme décrite en figure 5.

Figure 5 -- Particule de fluide en géométrie cylindrique

5/16

Q10. Déterminer les expressions de la force de viscosité dF+ appliquée sur la 
face supérieure de

surface latérale Z(r+dr) et de la force de viscosité dE appliquée sur la face 
inférieure de

surface latérale 2( r). Montrer que la résultante des forces de viscosité qui 
s'exercent sur la

particule de fluide est donc: dFvisc =fl-{â(r-%D-dÛ-dx-dr-eî. En déduire la 
densité
r r

volumique des forces de viscosité f...... .

QI]. La pression dépend-elle de la variable 07 Proj eter l'équation de 
Navier-Stokes et montrer que

P --P
le champ des pressions est égal à P(x) =PA --(PA --PB)-% et que v(r) =%-(az 
--r2).
.".

Q12. Donner l'expression du débit volumique Dv de cet écoulement. En expliquant 
l'analogie avec
8 - 77 - L

7z-a4

la résistance électrique, montrer que la résistance hydraulique du tuyau vaut : 
RH =

Ql3. Justifier l'expression de la résistance hydraulique de l'ensemble du 
système vasculaire RM .

Partie III -- Loi de Murray

On suppose que l'organisme dispose d'un volume V(J donné de tissus pour 
réaliser les parois du

système vasculaire et que l'épaisseur 6 d'un vaisseau est proportionnelle à son 
rayon extérieur r :
e=a-r avec a<<1. Q14. Exprimer V0 en fonction de N... L... r... Nc, LC, rc et a. En exprimant que le système circulatoire se construit en utilisant une quantité minimale et donc un volume V0 minimal de . , . dr . Ussus, determmer C en fonct10n de Na, L... r... Nc, LC, rc. dra Q15. Le corps se construit aussi de façon à minimiser la résistance hydraulique totale R,... du système circulatoire. Montrer que cela entraîne une relation entre N... ra, Nc, rc. que l'on identifiera comme étant la loi de Murray théorique. Q16. Proposer des interprétations à l'écart entre la loi de Murray théorique et la loi expérimentale obtenue à la question Q4. Toute démarche construite, même inachevée, développant une réflexion physique sur les limites de la modélisation, sera prise en considération dans l'évaluation. Partie IV -- Le rôle de l'élasticité des vaisseaux Q17. Il est souvent affirmé que «l'élasticité de l'aorte et des artères contribue à lisser le flux sanguin. ». Expliquer qualitativement pourquoi. 6/16 Pour étudier ce phénomène, nous considérons un tube élastique de longueur infinie que l'on repère par un axe (Ox) représenté sur la figure 6 et nous supposerons le problème à une dimension x. A l'intérieur du tube, en un point d'abscisse x et à un instant [ donnés, un fluide de masse volumique p(x,t)=pÛ+fi(x,t) circule à la vitesse v(x,t) sous une pression P(x,t)=R,+P(x,t). Les grandeurs p(J et P0 correspondent respectivement à la masse volumique et à la pression du fluide dans son état de repos. Les grandeurs fi(x, t) et P(x, t) correspondent respectivement aux variations de la masse volumique et de la pression du fluide par rapport à son état au repos. Nous supposerons que po >> p(x t) et que P >> P(x, t); p(x, t), P(x, t) et v(x, t) 
sont des

infiniment petits du premier ordre. Par ailleurs, les effets de la pesanteur 
sont négligeables. Enfin,
nous considérerons ici que le sang se comporte comme un fluide parfait sans 
viscosité.

oü.
0 A(xat)
_1-->

...X

Figure 6 -- Modélisation de l'artère

Pour décrire l'élasticité du vaisseau, nous avons besoin de nous intéresser à 
la surface de sa section
A(x,t) et à sa distensibilité D. Sa section se décompose en : A(x,t) : A0 + 
A(x,t)où A0

correspond à la surface de la section du vaisseau au repos et Â(x,t) est un 
infiniment petit du

premier ordre. La distensibilité a pour expression D- -- -- A-{a--Al où (%)--A) 
désigne la dérivée de la
S

BP BP
surface A en fonction de la pression P à entropie S constante. En l'absence de 
viscosité, l'entropie
1 A
est maintenue constante et DNÂ.P' Enfin, le sang sera considéré ici comme 
légèrement
. . . . ,. . 1 Bp 1 ;)
compress1ble, de compres51b1hte15entrop1que % =---- 5" ,qui est ici assimilable 
a % ------ -;.
5 po

Q18. Donner l'expression de l'équation d'Euler. En tenant compte des termes 
d'ordre le plus bas,
prouver que l'équation d'Euler se réduit à l'équation suivante :

ôv_ _Ê
p°aÎ ax"

Q19. Établir le bilan de masse entre les instants t et t+dt dans le volume 
A(x,t)-dx délimité par

le vaisseau entre les sections situées aux abscisses x et x+ dx.

Q20. Cette équation conduit, après avoir retenu les termes d'ordre le plus bas, 
àla relation.

dv BA 8
po'Ao'_x+po'_+ _P=

dt a:
En déduire qu'elle correspond àla relation : (D + ;{5 ) Ê--Î= --? .
x

7/16

Q21. À partir des résultats précédents, montrer que Î3 obéit à une équation 
d'onde de type
d'Alembert. Préciser cette équation. En déduire l'expression de la vitesse de 
propagation c de

l'onde de pression en fonction de p.,, D et 13. Donner la forme de la solution 
de cette

équation. Quelle est la dénomination usuelle de ce type d'onde '? Vérifier que 
si le sang est

. , , . . . ]
consdere comme un fluide 1ncompress1hle, alors c = -- . Dans ce cas, c est de 
l'ordre du

po 'D
mètre par seconde, commenter cette valeur.

Partie V -- Effet Doppler

Avec l'âge apparaît une dégénérescence du tissu artériel liée à une 
calcif1cation de la paroi. Pour
une surpression inchangée, on observe une souplesse de l'artère très diminuée. 
Pour assurer le
même débit et donc obtenir la même augmentation de volume de l'artère, le coeur 
est donc contraint
d'imprimer une plus grande surpression : c'est l'hypertension. Pour étudier, 
entre autres, ce type de
pathologie, on cherche à employer des méthodes non invasives. Ainsi, dans cette 
partie, nous allons
nous intéresser à la mesure de la vitesse de circulation du sang par effet 
Doppler.

Lorsqu'un émetteur E, en déplacement à la vitesse VE dans un référentiel (% ), 
émet une onde à la

fréquence 1%, de vitesse de propagation 6, alors un récepteur R en déplacement 
à la vitesse %
évaluée dans ce même référentiel perçoit un signal à la fréquence fR (figure 7).

Figure 7 -- Effet Doppler

1_ "ER "'le
La theorie nous 1nd1que que f R f E î , avec uER le vecteur unitaire dirigé de 
E vers R.
1_ "ER VE
c

Considérons une sonde fixe associée au référentiel (9î). Elle émet, dans ce 
référentiel une onde
ultrasonore de 1fréquence f-- -- 4 MHZ qui se propage dans le corps humain à la 
vitesse

c-- -- 1,5.103 m. s'1 .Le globule rouge est mobile et circule a la vitesse V: 
V- u L.e vecteur d' onde k

fait un angle 9 avec le vecteur unitaire ux (figure 8, page suivante). Le 
globule perçoit alors une

fréquence f '. Assimilé à une sphère de diamètre de 7 um, il rétrodiffuse une 
partie de l'onde qu'il
reçoit. La sonde ultrasonore, qui peut également fonctionner en réceptrice, 
réceptionne alors une
onde de fréquence f

8/16

Figure 8 -- Principe de la mesure de la circulation sanguine avec une sonde 
ultrasonore

Q22. En figure 8, quel est l'intérêt du gel situé entre la sonde et la peau ?

Q23. Que représente la direction du vecteur d'onde ? Calculer sa norme.

Q24. Donner l'expression de la fréquence f ' en fonction def, V, c et EUR. En 
déduire l'expression de
la fréquence f " en fonction des mêmes grandeurs.

Q25. En considérant que V<< c, donner l'expression de V en fonction def, f ", c et EUR. Q26. Pour un angle EUR = 45°, calculer le décalage en fréquence Af : f " -- f pour une vitesse du sang dans l'aorte de ] m.s'1 et de 10"3 ms" dans un capillaire. Décrire une méthode expérimentale permettant de mesurer ce décalage en fréquence. En pratique, les dispositifs actuels envoient des signaux sous forme d'impulsions. Chaque impulsion transporte le signal de la fréquence f utilisée pour l'effet Doppler. La fréquence d'émission de ces impulsions est calculée pour que la durée de l'aller-retour du signal puisse être mesurée, ce qui permet d'évaluer la distance de la source à l'objet mobile réémetteur. C'est ainsi qu'est reconstruite l'image vue sur l'échographie. Les fréquences des objets réémetteurs situés à différentes profondeurs sont séparées par analyse de Fourier. Plusieurs modes de représentation sont utilisés. Dans l'un d'eux, l'image obtenue par échographie est complétée avec des couleurs représentant les différentes vitesses des parties en mouvement. Q27. Traditionnellement, les vitesses correspondant à des objets qui s'éloignent sont codées en bleu alors que les objets qui se rapprochent sont codés en rouge. Expliquer en quoi ce choix va à l'encontre des conventions auxquelles est habitué le physicien. Q28. Le phénomène d'hypertension peut s'aggraver lorsque des dépôts de graisse se forment sur la paroi intérieure des artères. L'artère se bouche peu à peu et même avec une forte surpression le coeur ne peut plus distendre suffisamment les parois. Comment le coeur peut-il assurer, malgré tout, un bon débit ? 9/16 PROBLÈME 2 Enrichissement de l'uranium Les réacteurs nucléaires à eau pressurisée (REP) exploitent l'énergie libérée par la fission de noyaux d'uranium 235 provoquée par des flux de neutrons : 511 + 29325U + PF 1*+ PF 2*+ 2 à 3 311 . La fission génère des noyaux radioactifs (les produits de fission: P.F.) et libère également des neutrons qui peuvent, à leur tour, générer des fissions. Une réaction en chaîne peut alors se développer: neutrons + fissions + neutrons + fissions +... Cependant, pour maintenir la réaction en chaîne, il faut un nombre de fissions par unité de volume et de temps satisfaisant et donc une teneur volumique minimum en uranium 235. Le terme « enrichissement >> 
indique la teneur en
isotope d'un élément. Par ailleurs, il désigne également le processus physique 
par lequel cette
teneur est accrue.

Pour ce problème, l'enrichissement de l'uranium N correspond à l'enrichissement 
massique en

muz35

uranium 235 : N = , où mU235 et mU238 sont respectivement les masses de 
l'ensemble

mu235 + mU238
des atomes contenant des noyaux d'uranium 235 et 238 présents par unité de 
volume.

Un combustible nucléaire à base d'uranium naturel, c'est-à-dire un combustible 
pour lequel les
proportions en noyaux d'uranium 235 et 238 correspondent à celles du minerai 
d'uranium extrait de
la mine, a un enrichissement de 0,7 %. Il ne convient pas aux REP (nous n'en 
développerons pas ici
les raisons). Le combustible nucléaire des réacteurs à eau pressurisée 
nécessite un uranium enrichi
entre 3 et 5 %, ce qui va être obtenu grâce à l'opération d'enrichissement.

Ce problème a pour objectif d'étudier le principe d'un des procédés 
d'enrichissement envisagé par
le commissariat à l'énergie atomique et aux énergies alternatives (CEA) : le 
procédé par Séparation
Isotopique par Laser sur Vapeur Atomique (SILVA). Il est basé sur l'ionisation 
des atomes
contenant des noyaux d'uranium 235 à travers la mise en oeuvre de lasers.

Dans un premier temps, nous préciserons certains aspects généraux associés à 
l'opération
d'enrichissement (partie 1). Puis, dans un deuxième temps, nous spécifierons, 
dans le cadre de
l'atome d'hydrogène, l'influence de la masse du noyau sur les énergies de 
liaison des électrons
(partie II) puisque c'est précisément sur cette propriété que repose le procédé 
d'enrichissement
SILVA dont nous étudierons certains aspects en partie III. Ces trois parties 
sont indépendantes.

Les effets liés àla gravité seront négligés dans l'ensemble du problème.

10/16

Données numériques

Constante de Planck h = 6, 6 - 10234 J- 5

Charge électrique élémentaire e = 1,610"19 C

Electronvolt 1 eV = 1,6.10'19 J

Masse de l'électron m = 9,1.10'31 kg

Permittivité du vide 80 = % F - m*1
36 - 7z - 10

Rapport des masses de l'électron et du proton & = 5, 4 - 1044

m

P

, , . m 1
Rapport des masses de l'electron et du deuterrum EUR = 2, 7-10 4
"%

Vitesse de la lumière dans le vide c = 3, 0 - 108 m - s'l

Partie I -- Quantité d'uranium à enrichir pour un rechargement annuel
d'un quart du combustible

L'opération d'enrichissement a pour objectif de séparer les isotopes naturels 
de l'uranium (238U et
235U) du flux d'approvisionnement F (Feed), d'enrichissement NF = 0,7 %, en 
deux flux. L'un,
appelé P (Product), est le flux d'uranium enrichi en 23 5 U, d'enrichissementh. 
L'autre est le flux W
(Waste) d'uranium appauvri en 235U, d'enrichissement NW. Cette étape du cycle 
du combustible est
représentée en figure 9. F, P et W sont les masses d'uranium totales (en 
uranium 235 et 238)
exprimées en tonnes. L'enrichissement du flux appauvri NW est encore appelé 
teneur de rejet. Elle
est fixée par l'électricien (EDF en France) et vaut entre 0,1 % et 0,3 %.

/ PÏOdUCt P (NP)

Feed F (NF) Enrichissement

Waste W(NW)

Figure 9 -- Principe de l'opération d'enrichissement

Dans cette partie, nous allons évaluer la quantité F d'uranium d'enrichissement 
naturel nécessaire
pour un REP de puissance électrique Pe = 1,0 GW, dont un quart du combustible 
d'oxyde
d'uranium U02, enrichi à Np = 3,7 %, est changé tous les ans.

11/16

Q29. Lors de l'étape d'enrichissement, les masses totales d'uranium, et donc le 
nombre de noyaux
( N P _ NW )

(N.--NW)'P'

d'uranium de chaque isotope, sont conservées. Montrer que : F =

Q30. Le rendement 77 entre la puissance électrique et la puissance thermique 
P,;1 provenant des

fissions vaut 1/3. Par ailleurs, la puissance thermique volumique (pV qui est 
la puissance
thermique produite par unité de volume de combustible U02 vaut 330 W/cm'. En 
considérant
mu

que le rapport des masses de l'uranium et de l'oxyde d'uranium est a = x 0,88 
et que la

mUO2

masse volumique de l'oxyde d'uranium on2 vaut 10 g/cm', calculer la masse 
d'uranium

provenant du combustible usé, ma], à changer chaque année. En déduire la 
quantité F

d'uranium d'enrichissement naturel nécessaire chaque année, en tonnes, si NW 
est fixée à
0,3 %. Comment évolue cette quantité si NW diminue ?

Partie II -- Energies de liaison de l'électron de l'atome d'hydrogène

C'est l'interprétation satisfaisante des raies visibles de l'atome d'hydrogène 
(série de Balmer,
figure 10), qui conduisit Bakr à énoncer deux postulats :

<< 1) Tout système atomique possède une multiplicité d'états possibles, les «états stationnaires», qui correspondent en général à une série discrète de valeurs de l'énergie ; ces états sont caractérisés par une stabilité particulière, d'après laquelle toute variation d'énergie de l'atome doit être accompagnée d'une << transition » totale de celui-ci d'un état stationnaire à un autre. 2) L'émission et l'absorption de rayonnement par un atome sont liées aux variations possibles d'énergie, la fréquence du rayonnement étant déterminée par la « condition de fréquence >>

h-V : E2 --E1, c'est-à-dire par la différence d'énergie entre l'état initial et 
l'état final du processus

de transition considéré. >>.

=6
=5
=4
5 ;! ,B &
=3
Âô Ây Âfl Âa À(nm)
n=2
n=l

Figure 10 -- Raies de la série de Balmer du spectre de l'hydrogène

12/16

Pour déterminer les valeurs discrètes des énergies de l'atome d'hydrogène, Bohr 
va considérer que
l'électron tourne autour de son noyau, un proton de masse mp et de charge 
électrique qp = + e, sur
une orbite circulaire de rayon r (figure 11). Tout d'abord, le noyau est 
considéré, dans le référentiel
galiléen du laboratoire, fixe, ponctuel et placé en son centre O.

sens de rotation
de l'électron

Figure 11 -- Le modèle planétaire de l'atome d'hydrogène

Pour étudier le mouvement circulaire de l'électron, nous allons utiliser le 
repère polaire pour lequel,
en un point M de la trajectoire décrite par l'électron, on associe deux 
vecteurs unitaires er et 69

(figure Il). % est le vecteur tangent à la trajectoire au point M et dirigé 
dans le sens du

mouvement. La position de l'électron est repérée par le vecteur position OM 
=r-eÎ et l'angle
9=(OE, OM).

Q31. Exprimer le vecteur vitesse v de l'électron en fonction de e, me, 80 , r 
et d'un vecteur unitaire.

Q32. Exprimer l'énergie mécanique E de l'électron en fonction de sa quantité de 
mouvement p et
de sa masse me. Commenter le signe de E.

Le premier postulat de Bohr reflète la quantification de la norme du moment 
cinétique L de

, h . . .
l'electron par rapport au centre de l'atome : L = n -- h = n--- . n est le 
nombre quant1que pr1nc1pal,

2-7z
ne N'. h est la constante de Planck. Ce postulat impose que l'électron ne peut 
se trouver que sur
certaines orbites de rayon r = ro - n2 avec ro : 0,5-10"°m.

Q33. Montrer qu'il implique également que l'électron qui se trouve sur une 
orbite de rayon r
E

_0

2
71

me et 6. Calculer, en électronvolt, la valeur de E0 .

possède une énergie mécanique E = -- . Préciser l'expression de E0 en fonction 
de 8... h,

Q34. Que représente la valeur absolue de l'énergie jEj ? Ces valeurs sont 
tabulées dans des

tableaux à deux entrées : Z qui caractérise le nombre d'électrons de l'atome et 
n qui indique la
couche sur laquelle est l'électron. À Z fixé, justifier l'évolution de |E| en 
fonction de n.

13/16

Lorsqu'un électron va d'une couche externe vers une couche interne, on parle de 
réarrangement du
cortège électronique ou de désexcitation et cela se traduit par l'émission d'un 
photon.

Q35. Montrer que la longueur d'onde du photon émis est liée aux nombres 
quantiques n, et nf des

2
nf VL

1

couches de départ et d'arrivée de l'électron par l'expression: %=R-l:L--Lî:l. R 
est la

constante de Rydberg. Préciser son expression en fonction de E0 , h et c. 
Indiquer son unité.

Pour la suite, on prendra R = 1,1.107 U.S.I. .

Q36. Calculer la longueur d'onde /la issue du mouvement d'un électron de la 
couche M (n, = 3)
vers la couche L (n f = 2). Justifier alors la dénomination de postulat optique 
du deuxième
postulat de Bakr.

Dans les calculs précédents, nous avons supposé que l'électron tourne autour du 
noyau immobile.
Ceci serait vrai si la masse du noyau était infinie devant celle de l'électron. 
Cette hypothèse est
valable en première approximation, mais lorsqu'on observe les spectres émis par 
plusieurs isotopes
du même élément, on constate de légers écarts. Effectivement, en toute rigueur, 
ce n'est pas le
noyau qui est fixe mais le centre de masse du système noyau -- électron. Ainsi, 
les calculs faits
s'appliquent au mouvement réduit, autour du centre de masse, d'une particule 
ayant la masse

redu1te # = ' , avec mN la masse du noyau concerne. L'energ1e de l'electron 
depend donc, en
me
1+
mN

partie, de la masse du noyau et peut être reliée aux calculs précédents en 
remplaçant la masse de
l'électron par la masse réduite ,a. Dans ce cadre, lorsque le noyau de l'atome 
d'hydrogène est un

proton, son énergie mécanique est notée EH. Lorsque le noyau est un noyau de 
deutérium, son

énergie mécanique est notée E D . Le deutérium est un noyau composé d'un proton 
et d'un neutron.

Q37. Montrer que, pour n fixé, ED--EH ={L--LJ-me-E avec md la masse du noyau de

mp md

deutérium. Évaluer, en électronvolt, E D -- E H pour n = l.

, . , , - Â"a H _ Âa D
Q38. Evaluer pu1s commenter 1 ecart relat1f _"

a,H
de l'atome d'hydrogène lorsque le noyau est un proton et la longueur d'onde 
À...; de la raie 0:
lorsque le noyau de l'atome d'hydrogène est un noyau de deutérium.

entre la longueur d'onde %... de la raie 05

Partie III -- Procédé SILVA

Actuellement, l'industrie de l'enrichissement repose principalement sur le 
procédé de
l'ultracentrifugation. Néanmoins, le CEA a travaillé sur la mise en oeuvre d'un 
procédé qui repose
sur l'ionisation sélective d'une vapeur atomique d'uranium en utilisant un 
laser. Ce procédé,
SILVA (Séparation Isotopique par Laser sur Vapeur Atomique), nécessite un canon 
à électrons pour
vaporiser un lingot d'uranium métallique contenu dans un creuset refroidi. La 
détente de la vapeur

14/16

s'effectue sous vide et les atomes d'uranium pénètrent dans la zone 
d'interaction avec le faisceau
laser (zone d'ionisation). Les atomes, dont le noyau est de l'uranium 235, sont 
ionisés puis extraits
par un champ électrique sur des plaques de recueil du produit riche polarisées 
négativement. La
vapeur d'uranium appauvri continue son ascension jusqu'à un collecteur appelé 
toit pauvre. La
figure 12 en présente le principe.

'[IIIIIIIIIII"II""IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'

Toit pauvre

Plaques
/riches\

\\ \ l./ /\J

Dilution
Zone
6 d'ionisation

Détente dela
vapeur d'uranium

Encelnte--o
sous Vide

\\\\\\\\\'\\'\\'\\\\\\\\\\\\\\'\\\\\\\\\\\\\\\\\

Bombardement
électronique

Figure 12 -- Le principe du procédé SILVA
Source : Techniques de [ 'ingénieur, BN 3601

L'ionisation sélective des atomes d'uranium dont le noyau est de l'uranium 235 
est possible car
l'énergie de première ionisation de l'atome d'uranium dépend légèrement de son 
noyau. Ainsi, pour
ioniser un atome d'uranium possédant un noyau d'uranium 235 il faut 6,180 eV, 
alors que pour un
noyau d'uranium 238 il faut 6,194 eV.

On se place maintenant dans le référentiel du laboratoire muni d'un repère 
cartésien orthonormé
(O,ê,eî,eî) comme indiqué dans la figure 13 de la page suivante.

On considère que nous sommes en régime permanent, que l'uranium métal est à sa 
température de

vaporisation T ...}, _ --3 858 K et que l'on vaporise l'uranium avec un débit m 
de 10 kg par heure.
L' enthalpie massique de vaporisation de l'uranium vaut ! -- --2, 0 MJ. kg"'. 
Le creuset froid est
adiabatique et nous négligerons les interactions entre les électrons et la 
vapeur d' uranium.

Les électrons du canon à électrons sont générés en G avec une vitesse vG nulle 
(figure 13, page
suivante). Ces derniers sont accélérés entre G et H grâce à l'application d'une 
tension UHG Ils

arrivent en H avec une vitesse vH (VH =vH -ey) dans une zone où règne un champ 
magnétique

permanent et stationnaire B . Ils atteignent le creuset en 1 avec une vitesse 
v; (v, = --v, e}, ).

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