CCINP Physique PC 2022

SESSION 2022 (C\ PC2P

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-__ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

-< Ne pas utiliser de correcteur. -_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont autorisées. Le sujet est composé de trois parties, toutes indépendantes. Leurs poids respectifs sont approximativement de : 30 % pour la partie I 36 % pour la partie Il 34 % pour la partie III 1/14 Mesures de la vitesse d'un fluide Présentation générale Mesurer la vitesse d'un fluide est nécessaire dans nombre de contextes : météorologie (relevé de la vitesse du vent), énergie (détermination d'un potentiel d'exploitation éolien), aéronautique (test de nouveaux avions en soufflerie), confort thermique (réglage d'un système de ventilation) ... Dans ce sujet, on se propose d'étudier quelques-uns des dispositifs de mesure de la vitesse d'un fluide. Dans la partie |, on étudiera le fonctionnement de deux anémomètres mécaniques : l'anémomètre à plaque (sous-partie 1.1), puis l'anémomètre à coupelles (sous-partie 1.2). Dans la partie Il, on détaillera le principe de la mesure d'un anémomètre à fil chaud (sous-partie 11.1), puis on se penchera sur les perturbations liées à la convection naturelle (sous-partie 11.2) et les conditions pour obtenir un profil de température uniforme dans le fil (sous-partie 11.3). Enfin, on explorera dans la partie II une méthode de mesure plus récente : la vélocimétrie laser à franges. Après en avoir décrit le principe (sous-partie III.1), on montrera comment l'utilisation judicieuse d'une cellule de Bragg permet de déterminer le sens de l'écoulement (sous-partie 11.2). Données numériques Accélération de la pesanteur : g = 9,81 m°s° Masse volumique de l'air à température et pression ambiantes : p.;. = 1,3 kg:m°* Masse molaire de l'air : M.;. = 29 g:mofl' Viscosité dynamique de l'air à 300 K : ni: = 1,85:10° PI Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00:10° m:s' Formulaire e*+e * 2 V(a,b) E R°, cos a cos b = - (cos(a + b) + cos(a -- b)) Fonction cosinus hyperbolique : Vx ER, ch(x) -- Partie | - Anémomètres mécaniques On appelle anémomètre un instrument de mesure de la vitesse du vent. Les anémomètres mécaniques utilisent la mise en mouvement d'un objet sous l'effet du vent pour en déduire sa vitesse. 1.1 - Anémomètre à plaque Le premier anémomètre dont l'histoire des sciences a gardé une trace a été conçu dans les années 1450 par l'architecte italien Leon Battista Alberti. Il repose sur la déviation d'une plaque attachée au bout d'une tige pouvant pivoter autour d'un axe horizontal. Le vent arrivant sur la plaque soulève cette dernière. L'inclinaison de la plaque permet de déduire la vitesse du vent. Le schéma d'un anémomètre à plaque est représenté sur la figure 1. La plaque circulaire homogène, de masse m = 30 g et de rayon R = 5 cm est attachée en son centre à une tige de longueur L = 15 cm et de masse négligeable. Le système {plaque + tige} peut tourner sans frottements autour d'un axe horizontal (A) orienté par le vecteur unitaire e4. Le vent arrive horizontalement, perpendiculairement à l'axe (A), avec une vitesse U supposée constante, de l'ordre de quelques m:s". On note /, le moment d'inertie du système {plaque + tige} par rapport à l'axe (A), et 8 l'angle de la tige par rapport à la verticale. 2114 On considère que pour des angles d'inclinaison faibles, la résultante des forces aérodynamiques s exerçant sur la plaque en raison du vent est de la forme F -- uUU avec u = 1:10* dans les unités du Système International (Sl). Figure 1 - Anémomètre à plaque Q1. Déterminer l'unité SI de u en utilisant les unités des grandeurs de base. Q2. Justifier le choix d'une force aérodynamique proportionnelle à U* dans cette situation. Q3. On suppose que le point d'application de la résultante des forces aérodynamiques se situe au centre de la plaque circulaire. Exprimer les moments scalaires par rapport à l'axe (A) des forces s'exerçant sur le système {plaque + tige}. Q4. Lorsque le système est à l'équilibre mécanique, on mesure l'angle 8,, = 8° à l'aide d'un rapporteur. Déterminer l'expression de la vitesse U du vent, en fonction de u, m, g et 6... Faire l'application numérique. La valeur obtenue vous paraîït-elle cohérente ? 1.2 - Anémomètre à coupelles Document 1 - Description de l'anémomètre à coupelles L'anémomètre à coupelles, inventé en 1846 par John Thomas Romney Robinson, est composé de trois ou quatre coupelles creuses de forme hémisphérique ou conique, reliées à un axe de rotation vertical. En régime permanent, l'anémomètre tourne à une fréquence f (nombre de tours par seconde) dépendant de la vitesse horizontale U du vent loin de l'anémomètre selon la relation : U = Lof + U avec ?, la distance d'étalonnage et U, la vitesse de démarrage. Ces deux constantes dépendent des caractéristiques de chaque anémomètre et sont déterminées par le constructeur préalablement à la mise en place de l'anémomètre sur site. L'anémomètre à coupelles est aujourd'hui l'instrument de référence pour mesurer la vitesse du vent dans le domaine de la météorologie. 3/14 Document 2 - Force aérodynamique sur une coupelle conique immobile Pour étudier l'effet du vent sur une coupelle Axe de rotation UN conique, on effectue des tests en soufflerie. vertical + ( La coupelle étant maintenue immobile, on relève la force aérodynamique s'exerçant sur la coupelle. On fait pivoter la coupelle dans un plan horizontal pour tester différents angles d'incidence f£ par rapport au vent de vitesse U=16ms'. La force aérodynamique FX s'exerçant au centre de la coupelle se _, décompose en une force F4 normale à la U surface À = 1 dm' de la base du cône, et une force Fr tangentielle à cette même surface. Ces forces ont pour expression : ----------------+ _, 1 _ Fr EN = 5 Pair ACNU* UN ; CN T -- 1 FT -- = Pair ACrU* Ur , 1,4 2 1,2 1 0,8 0,6 avec CN et Cr des coefficients sans dimension. Par symétrie et en supposant que le  °* bras de l'anémomètre a une °° influence négligeable sur 0 B(°) l'écoulement : ||F(--B)|| = ||F(8)1| M -0,6 Source : M.J. Brevoort, U.T. Joyner, " Aerodynamic characteristics of anemometer cups ", Note technique, (1934) Document 3 - Couple s'exerçant sur l'anémomètre à coupelles Le couple aérodynamique l (moyenné sur un tour complet) qu'exerce le vent sur un anémomètre à coupelles peut être mesuré en régime permanent en fonction de la fréquence f de rotation de l'anémomètre, pour un vent de vitesse U = 8,0 ms". F'(mMNm) 6 f (Hz) -10 -12 -14 Source : Norme IEC 61400-12-1-Annexe J (2005) 4/14 QS5. Q6. Q7. Q8. Q9. Q10. Q11. On représente sur la figure 2 un anémomètre composé de 4 coupelles coniques décalées de 90° les unes par rapport aux autres et soumises à un vent de vitesse U. Reproduire ce schéma sur votre copie. En supposant que l'anémomètre est initialement immobile, représenter, en vous aidant du document 2, les forces F4 Ss'exerçant sur chaque coupelle. On comparera les normes de ces forces les unes par rapport aux autres. Ü Y Y Y D. D Figure 2 - Position initiale de l'anémomètre soumis au vent Expliquer à partir de votre schéma pourquoi l'anémomètre va se mettre en mouvement, et représenter le sens de rotation sur le schéma. Justifier que la force tangentielle F- est sans importance pour l'étude du mouvement de rotation de l'anémomètre. Rappeler la définition d'un couple de forces. Le terme de "couple" aérodynamique utilisé dans le document 3 vous paraît-il bien choisi ? Proposer une interprétation qualitative au fait que le couple aérodynamique F diminue avec la fréquence de rotation de l'anémomètre, comme constaté dans le document 3. Lorsque la vitesse U du vent est inférieure à la vitesse de démarrage U, (document 1), l'anémomètre est immobile. Quel phénomène peut expliquer l'existence de cette vitesse de démarrage ? En nédgligeant la vitesse de démarrage U,, estimer la distance d'étalonnage £, de l'anémomètre étudié dans le document 3. Dans le cadre d'une expérience de Travaux Pratiques, on désire mesurer la fréquence de rotation d'un anémomètre à coupelles pour remonter à la vitesse du souffle produit par un sèche-cheveux. Pour cela, on fixe un aimant droit permanent sur l'axe de rotation, puis on place au voisinage de laimant tournant une bobine de 500 spires, d'inductance propre égale à 11 mH, et d'axe perpendiculaire à celui de l'anémomètre. On mesure la tension aux bornes de la bobine grâce à un oscilloscope de résistance d'entrée R,4 = 1 MQ : on observe un signal quasi-sinusoïdal d'une fréquence de 38 Hz, dont l'amplitude est de 32 V. 9/14 La question suivante nécessite une prise d'initiative en modélisant la situation proposée. Il est attendu de préciser chaque notation introduite, d'expliciter les hypothèses effectuées, de mener de bout en bout un calcul littéral, puis d'effectuer l'application numérique et la commenter. Q12. Estimer le couple mécanique résistant s''exerçant en moyenne sur l'anémomèitre du fait de la présence de la bobine au voisinage de l'aimant. Cela est-il de nature à perturber le fonctionnement de l'anémomètre ? Partie Il - Anémomiètre à fil chaud Lorsqu'on veut mesurer la vitesse de l'air à l'intérieur des habitations, par exemple pour contrôler le bon fonctionnement d'un système de ventilation, on utilise préférentiellement un anémomèitre à fil chaud. Son principe est le suivant : un fil électrique parcouru par un courant s'échauffe par effet Joule, tandis qu'il est refroidi par l'air circulant autour du fil. Plus l'air a une vitesse élevée, plus l'effet de refroidissement est important. 11.1 - Principe de la mesure L'anémomètre à fil chaud est représenté sur la figure 3. Un fil électrique, de diamètre d = 1 um et de longueur £ = 1 mm, est parcouru par un courant continu d'intensité 1. Sa résistance R; dépend de la température 7. du fil, supposée uniforme dans tout le fil : R5 = R(T+) = Ro(1 + y(Tr -- To)) , OÙ T, est la température de l'air loin du fil, R, la résistance du fil à T,, et y = 5:10* K' une constante caractéristique du matériau dont est constitué le fil. fil « = J Figure 3 - Anémomètre à fil chaud QC} L'air s'écoule à la vitesse U perpendiculairement au fil. Sur l'ensemble des modes de transfert thermique possibles entre le fil et son environnement, c'est la convection forcée par l'écoulement de l'air qui est le mode prédominant. Ainsi, le transfert thermique cédé par le fil à son environnement pendant la durée dt est donné par la loi de Newton : ÔQcéaé = RTE -- To)Siat dt avec S,.- la surface latérale du fil en contact avec l'air et h le coefficient de transfert thermique de surface. On traduit l'efficacité de la convection forcée avec la vitesse U de l'écoulement par la relation : h = ao + boVU où & et b, Sont deux constantes. 6/14 Q13. Q14. Q15. Q16. Q17. Le fil est en platine, de conductivité pp+ = 1,11-107 Q-m à T, = 300 K. Calculer R;. On se place en régime permanent : le fil est à la température T. constante. En appliquant le premier principe de la thermodynamique sur le fil, établir la loi de King : Re 2 Rf-- Ro -- K(& + boVU) dans laquelle K est à exprimer en fonction de y, £, det R;. L'anémomètre à fil chaud est utilisé en maintenant la température T. constante. Pour permettre cela, un système de rétroaction adapte l'intensité dans le fil en fonction des variations de vitesse de l'écoulement. Comment doit varier l'intensité lorsque la vitesse de l'écoulement augmente ? Justifier brièvement. On mesure la tension E- aux bornes du fil (en convention récepteur). Établir la relation entre E: et U, en fonction de R£, Ro, K, & et bo. Les paramètres K, a, et b, n'étant pas connus précisément, il est nécessaire de réaliser un étalonnage de lanémomètre à fil chaud. Un exemple de courbe d'étalonnage est donné sur la figure 4. Expliquer pourquoi les mesures de vitesse réalisées avec cet anémomèitre seront moins précises à grande vitesse qu'à petite vitesse. 10 r : : Ï ; , : Î os r : Î ' r r Î : r r Î 1 L 1 8 l 96 © one AR" | | . 279 6 F o-© -- Er (V) D) l C U (m:s°!) Figure 4 - Courbe d'étalonnage d'un anémomètre à fil chaud 11.2 - Perturbation liée à la convection naturelle Dans le modèle précédent, le seul mode de transfert thermique retenu entre le fil et l'air environnant était la convection forcée. Lorsque la vitesse de l'écoulement U devient faible, les effets de convection naturelle peuvent perturber la mesure : le fil chauffe l'air à son voisinage qui devient moins dense et s'élève. On a donc un mouvement vertical qui s'ajoute au mouvement principal d'écoulement de l'air à la vitesse U. Le but de cette sous-partie est d'estimer la vitesse u de déplacement vertical de l'air liée à cette convection naturelle, à l'aide d'un raisonnement en ordres de grandeur. 7114 Pour modéliser de manière simplifiée l'effet de convection naturelle (figure 5), on va considérer une portion d'air au voisinage du fil, échauffée par le fil. Les dimensions caractéristiques de cette portion d'air sont donc celles du fil : longueur £ et diamètre d. Afin de faciliter les calculs, on adoptera une géométrie cartésienne : l'air est compris dans un parallélépipède de volume 67 = £d?, de masse volumique p:, de température T;, en mouvement à la vitesse verticale ü = ue, dans un fluide environnant au repos de masse volumique p, et de température T,. L'air est assimilé à un fluide newtonien ; les masses volumiques et les températures sont supposées constantes au cours du mouvement. -- U À To I. Po Pr { c; ex EUR<--------------------+ d Figure 5 - Portion d'air en mouvement vertical par convection naturelle Q18. Déterminer la force ÔF: , dite force de flottaison, s'exerçant sur le volume ô7, définie comme la résultante du poids et de la poussée d'Archimède, en fonction notamment de l'écart de masse volumique 9, -- pr. Q19. On assimile l'air à un gaz parfait. En supposant dans cette question que la pression dans le volume Ô7t est la même que celle du fluide environnant, réécrire la force de flottaison en fonction notamment de l'écart de température T; --T, . On rappelle que les forces de viscosité s'exerçant sur une particule de fluide newtonien de volume Ôô7 dans un écoulement incompressible ont pour expression EF, -- 7 Av ôtT, où n est la viscosité dynamique du fluide et A le laplacien vectoriel du champ de vitesses du fluide. Q20. À l'aide d'un raisonnement faisant appel aux ordres de grandeurs des échelles caractéristiques, estimer les forces de viscosité EF, sexerçant sur la portion d'air en mouvement, en fonction de n,i,., u, ?, d et d'un vecteur unitaire. Simplifier cette expression sachant que d & #. Q21. On suppose que la force de flottaison et les forces de viscosité sont du même ordre de grandeur. En déduire que : u & Po(Tr -- To)gd° Tf air | Q22. Faire l'application numérique avec p, = Pair , To = 300 K, T; = 500 K. La convection naturelle induit-elle une perturbation notable sur l'anémomètre à fil chaud ? 8/14 11.3 - Profil de température le long du fil Dans le modèle de la sous-partie 11.1, on a supposé que la température du fil était uniforme sur toute la longueur du fil. Le but de cette sous-partie est de voir à quelle condition une telle hypothèse est acceptable. On considère donc maintenant que la température du fil en régime stationnaire est Le ? ? , une fonction de la position x dans le fil (avec 7;  | >»
PT, | > Y%

|
|
0 Ex X x+dx Pl
2

DIS ----

Figure 6 - Portion élémentaire de fil comprise entre x et x + dx

Q23. On note 7; la conductivité thermique du fil. Exprimer le transfert 
thermique 60Q,,:4
algébriquement reçu par conduction par Z(x) pendant la durée élémentaire dt.

Q24. La résistance élémentaire de X(x) est dR = = (1 + y(T(x) -- To) )dx . Le 
fil étant traversé par
un courant /, exprimer le travail électrique ÔW, reçu pendant dt par Z(x).

Q25. En utilisant l'hypothèse de régime stationnaire, montrer que :

d'06$
de Ki Of = K2

avec 0-(x) = T.(x) -- T, , et K, et K, deux constantes à exprimer en fonction 
de 2, d, h, Às, y,
Ro et 1.

1

Q26. On admet que K, > 0 et on pose £, = . En considérant que les températures 
aux deux

VKi
extrémités du fil sont égales à T, , montrer que :
X
BEGx) = [1-5 --
ch (37)

où 6, Sera exprimée en fonction de K, et 2,.
Q27. À partir de la figure 7, déterminer comment choisir £. pour avoir une 
température quasi-

uniforme sur l'ensemble du fil. 2. est la "longueur de refroidissement" : 
donner un sens
physique qualitatif à ce terme.

9/14

= 4/2
= 4/4
-- 4/20

Figure 7 - Représentation de 8/6, le long du fil pour plusieurs valeurs de 2.

Partie III - Vélocimétrie laser à franges

Les anémomètres étudiés dans les deux premières parties nécessitent de placer 
l'appareil de
mesure au sein de l'écoulement, ce qui est susceptible de perturber ce dernier. 
En outre, la
résolution spatiale est limitée par la taille de l'anémomètre. Ces 
inconvénients ont conduit à
développer des méthodes optiques pour mesurer la vitesse locale d'un fluide : 
ces méthodes ne
nécessitent pas d'introduire de capteur susceptible de perturber l'écoulement 
et présentent de
meilleures résolutions spatiales. Elles sont donc actuellement utilisées dans 
le domaine de la
recherche, par exemple pour étudier les phénomènes de turbulence.

On s'intéresse dans cette dernière partie à une de ces méthodes : la 
vélocimétrie laser à franges.
Le principe consiste à croiser deux faisceaux issus d'une même source laser 
dans une zone de
l'écoulement afin de créer des franges d'interférences lumineuses (figure 8). 
On introduit dans le
fluide des particules d'ensemencement (gouttelettes d'huile, microbilles 
d'aluminium ou de
polystyrène...) qui suivent l'écoulement du fluide. Lorsqu'une de ces 
particules traverse les franges
d'interférences, elle diffuse la lumière du laser. L'intensité diffusée est 
proportionnelle à l'intensité
lumineuse du laser. Ainsi, en mesurant l'intensité de la lumière diffusée par 
la particule au cours du
temps, on peut accéder à la vitesse à laquelle celle-ci traverse les franges, 
ce qui permet de déduire
la vitesse du fluide.

Figure 8 - Franges d'interférences créées par les faisceaux laser. Une 
particule suivant le
mouvement du fluide passe à travers les franges (source : ONERA)

10/14
IIL.1 - Production de la figure d'interférences et résolution spatiale

A
'
_.....
__«
__
LL
=
__«
=
- _
_--.. De
D e
_
= =
------ Le "
Le _"
CS
7 -*
Le es
1 .u "
-- _-- _--. ee"
1 { _ Le _
CS
.. LL ee"
Le LS _" es
Dr Le -* D
7e Sue
LT Ta
= = _
_ . "
= = e
LS ss" CS ss
un s = Doi
=
TS ss" ue -*
LS ss? CS ss"
.... e ©
LT ns D.
5 = X
----> -* _ L/ * Te
=" LS ee"
e- = - =
a\ . _ _.
-- X ns _--. - «
= =
U _" _ _"
sm ... 7
Z " Tu 7
= =" re =
" -* =
LL
e - = 0
_ sm
- -* Le
es =
æ_ es D
" es =
" " 5
"
" "
" ---- D
-*

Figure 9 - Croisement des faisceaux laser : la zone d'interférences est 
représentée en gris

La configuration d'étude de la vélocimétrie laser à franges est représentée à 
la figure 9. Les deux
faisceaux laser issus d'une même source de fréquence f; et de pulsation w,, = 
2rf, Se croisent
dans un écoulement d'air dont on veut mesurer la vitesse. Le centre O de la 
figure d'interférences
est l'origine d'un repère (0xyz), tel que les directions des deux faisceaux 
sont inclinées d'un angle
a = 6,0° par rapport à l'axe (0x). La longueur d'onde du laser dans l'air est 
assimilable à celle dans

le vide À, = 514,5 nm, les vecteurs d'onde ki et k; des deux faisceaux ont des 
normes égales, telles
que ||k,|| = ||k|| = = Les champs électriques E; et E, associés aux deux 
faisceaux, de même
amplitude E,;, ont Dour expression. en un point quelconque M(x, y) appartenant 
à l'un ou l'autre des
faisceaux :

E,(M,t)=E) cos(oet -- k: : OM) ü,

E,(M,t) = E cos(oeLt -- k; : OM) U, .

Q28. Les ondes laser sont-elles longitudinales ou transversales ? Quel est 
l'état de polarisation de
ces ondes ? Justifier brièvement.

Q29. L'éclairement EUR est défini comme la moyenne temporelle du carré du champ 
électrique.
Montrer que dans la zone d'interférences :

E(M) = 2& (1 + cos (Gr -- k) -OM))

Ep"
avec Ep -- D

À
Q30. Montrer que les franges brillantes sont des droites d'équations y,, -- ee 
avec p un entier
relatif. Déterminer l'expression de l'interfrange Ay et faire l'application 
numérique.

Q31. On suppose qu'une particule en mouvement avec le fluide passe à travers la 
zone
d'interférences avec une vitesse v, selon u,. On mesure l'intensité lumineuse 
diffusée par la

particule au cours du temps et on obtient un signal de fréquence f; = 2,45 MHz. 
Déterminer
la valeur numérique de v,.

11/14
Les faisceaux laser ont une extension spatiale latérale limitée dont la taille 
typique au niveau de la
zone d'interférences est 2w, (supposée constante à l'échelle de la zone 
d'interférences). Chaque
faisceau est obtenu à partir d'un faisceau quasi-cylindrique, d'extension 
typique 2W,, que lon fait
converger à l'aide d'une lentille convergente de distance focale image f" 
(figure 10). La zone
d'interférences se trouve au niveau des foyers principaux image de chaque 
lentille, ces deux foyers
étant confondus.

2Wo

v

Figure 10 - Focalisation d'un faisceau laser cylindrique par une lentille 
convergente

Q32. Reproduire le schéma de la figure 10 sur votre copie et le compléter en 
représentant l'allure
de l'enveloppe du faisceau laser après traversée de la lentille. On prendra 
soin de tracer ce
faisceau avant et après le foyer principal image F" et de faire figurer la 
distance w,.

Q33. Donner une expression approchée de w, à partir de À,, W, et de f'. En 
fonction de w, et a,
exprimer la résolution spatiale 6, de la mesure de vitesse par vélocimétrie 
laser à franges
(figure 9). En déduire une estimation numérique de 6, en prenant W, = 1 mm et 
f" = 16 cm.
Proposer un moyen d'augmenter cette résolution spatiale.

Q34. La concentration en particules d'ensemencement dans le fluide doit être 
précisément définie.
Quels problèmes poseraient une concentration trop faible ou une concentration 
trop élevée ?

Le dispositif présenté ici ne permet en fait de connaître que la composante de 
la vitesse du fluide
selon laxe (0y). Pour déterminer les deux autres composantes de la vitesse, on 
réalise
simultanément le même type de franges d'interférences dans les deux autres 
directions de l'espace,
en utilisant des paires de faisceaux laser ayant chacun une longueur d'onde 
distincte des autres
paires de faisceaux. La lumière diffusée par une particule est donc composée 
des trois longueurs
d'onde utilisées pour chaque laser.

Q35. Citer un dispositif optique permettant de sélectionner une des longueurs 
d'onde dans la
lumière diffusée par la particule, afin d'effectuer la mesure d'une des 
composantes de vitesse.

111.2 - Détermination du sens d'écoulement du fluide

La mesure de l'intensité de la lumière diffusée par la particule permet certes 
de déterminer la norme
de la composante de sa vitesse selon la direction perpendiculaire aux franges, 
mais pas son signe.
En effet, quel que soit le sens de parcours de la particule à travers les 
franges, le signal mesuré a
toujours la même fréquence et ne permet donc pas de discriminer le sens de 
parcours. Lorsqu'on a
besoin de déterminer ce sens, on modifie le dispositif étudié dans la 
sous-partie 11.1, en insérant
sur le trajet d'un des deux faisceaux laser une cellule de Bragg. L'objectif de 
cette sous-partie est
d'étudier le principe de fonctionnement de la cellule de Bragg et de voir 
comment son insertion sur
le trajet d'un des deux faisceaux permet in fine de déterminer le sens de 
parcours de la particule.

12/14
Une cellule de Bragg (figure 11) est constituée d'une céramique piézoélectrique 
qui émet des ondes
planes acoustiques de fréquence f, = 40 MHz, se propageant à la célérité cs = 4 
130 m:s" dans un
cristal de phosphure de gallium GaP. La périodicité de l'onde acoustique forme 
un réseau de pas A,
longueur d'onde de l'onde acoustique, sur lequel le faisceau laser peut venir 
se diffracter par un

effet acousto-optique.

Céramique
piézoélectrique

Onde
acoustique | nu Ordre 0
Ordre 1

Absorbeur

_  ----
Figure 11 - Cellule de Bragg

Pour modéliser la diffraction du faisceau laser par l'onde acoustique, on 
considère que les plans
d'ondes de l'onde acoustique se comportent comme des miroirs 
semi-réfléchissants. On assimile le
faisceau laser à un ensemble de rayons parallèles se réfléchissant sur ces 
plans, en négligeant les

réflexions multiples (figure 12).

À

Figure 12 - Réflexion sur le réseau acoustique

Q36. L'indice optique du phosphure de gallium GaP est nc,p = 3,32. Calculer la 
longueur d'onde À
du laser dans le phosphure de gallium en fonction de 1,.

Q37. L'ordre 1 du réseau correspond à un angle d'incidence 688, appelé angle de 
Bragg, tel que
deux rayons se réfléchissant sur des plans successifs ont une différence de 
marche égale à
une longueur d'onde dans le vide 1,. Déterminer l'expression de l'angle de 
Bragg en fonction
de 2, C et fs. Faire l'application numérique.

13/14
La propriété remarquable d'une cellule de Bragg est qu'elle modifie la 
fréquence de l'onde laser lors
de sa réflexion sur le réseau acoustique. Cet effet s'interprète en 
introduisant la notion de phonon,
qui est une particule associée à l'onde acoustique, au même titre que le photon 
est une particule
associée à une onde lumineuse. Les expressions de l'énergie et de la quantité 
de mouvement d'un
phonon en fonction de la fréquence et de la longueur d'onde de l'onde 
acoustique ont la même
forme que celles du photon.

La réflexion du laser sur le réseau à l'angle de Bragg s'envisage alors de la 
façon suivante : un
photon du laser d'énergie E, et de quantité de mouvement p, absorbe un phonon 
de l'onde
acoustique, d'énergie Es et de quantité de mouvement p, : après absorption, le 
photon du laser a

acquis une énergie FE", et une quantité de mouvement D. (figure 13).

Ux
E D
PL #z
Ne *E
P'L

Figure 13 - Absorption d'un phonon par un photon

Q38. En traduisant la conservation de l'énergie lors de l'absorption du phonon 
par le photon du
laser, montrer que la fréquence f, du laser après réflexion est égale à fi + fs.

Q39. En traduisant la conservation du vecteur quantité de mouvement lors de 
l'absorption du
phonon, montrer qu'on peut retrouver l'expression de l'angle de Bragg établie à 
la question
Q37. Comme fs & f,,, on nédgligera la variation de longueur d'onde du photon 
avant et après
absorption du phonon.

En introduisant une cellule de Bragg sur le trajet du premier faisceau laser, 
on modifie la fréquence
de ce faisceau. Ainsi, deux ondes lumineuses de fréquences f' et fi, 
interfèrent au croisement des

deux faisceaux (figure 9). Un calcul analogue à celui de la question Q29 permet 
de montrer que
l'éclairement en un point M de la zone d'interférences a pour expression :

2sin «a

E(M,t) = 2EUR H + COS (sin a (y + ls.+))]
0

Q40. Montrer que les franges défilent à une vitesse v,:4.$ dont on donnera 
l'expression. Préciser
dans quel sens ces franges défilent.

Q41. Expliquer comment le défilement de ces franges permet de déterminer le 
sens de parcours
d'une particule d'ensemencement à travers la zone d'interférences.

FIN

14/14