CCINP Physique PC 2023

   

CONCOURS PC2P

COMMUN

INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

SESSION 2023

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le Signalera sur sa copie
et devra poursuivre Sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

«_ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

. _ Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le problème est composé de trois parties indépendantes.

Les points sont répartis approximativement de la façon suivante :

Partie | 25 D
Partie Il 30 %
Partie II 45 D

1/16
La qualité de l'air dans l'habitat

La notion de confort dans l'habitat caractérise, pour un individu donné, son 
état de satisfaction
avec les conditions d'environnement. Indépendamment des conditions propres à 
l'individu que
sont son métabolisme, son activité, son habillement et sa santé, il est reconnu 
que quatre
paramètres influencent le confort : l'environnement thermique, l'éclairage, la 
protection acoustique
et, enfin, la qualité de l'air dont on propose l'étude dans ce sujet.

On étudiera ainsi dans la partie 1 un système de ventilation mécanique visant à 
renouveler l'air
dans l'habitat. On réalisera dans la sous-partie 1.1 un bilan général d'énergie 
pour un fluide en
écoulement stationnaire, avant d'analyser le principe d'une ventilation 
mécanique contrôlée à
double flux en sous-partie 1.2. Dans la partie Il, on s'intéressera à 
l'humidité de l'air dans l'habitat
avec quelques généralités sur l'air humide en sous-partie 11.1, puis la 
description du
fonctionnement d'un hygromètre capacitif en sous-partie 11.2. Enfin, on 
abordera la problématique
de la nuisance sonore liée aux systèmes de renouvellement d'air dans la partie 
III. On détaillera à
cet effet le principe de la correction acoustique d'une pièce d'habitation en 
sous-partie II.1, puis
celui d'un silencieux à résonateur de Helmholtz en sous-partie 11.2.

Données

- Masse molaire de l'air sec : M, =29 g-mol"
- Masse molaire de l'eau : M, =18 g-mol
- Constante des gaz parfaits : R=8,3 J:K'-mol

« Rapport entre les capacités thermiques à pression et volume constants d'un 
gaz parfait
diatomique pour les températures considérées : 7 = 1,4

- Pression atmosphérique : p, = 10:10° Pa
- Masse volumique de l'eau liquide pour les températures considérées : p, -- 
1,0-10° kg-m
- Permittivité du vide : £&, =8,9-107° F:m

In(x
+ 10g(0) = LCI
In(10)
" Opérateurs en coordonnées cylindriques (7,4,z) pour un champ scalaire ÜU et 
un champ
vectoriel 4 = a u.+a,u, + au. :
OÙ I OU. OÙ

grad(U) = ÿù, +=, + --ù
8 ( ) Or r r 00 0 Oz Z

__-- , 104, , 0a,

div
OU & 're à
rot(à) = ja ea, 4] 9-0 42) 2) 08
00 & oz or" rl ôr 00

2116
Partie |! - Le renouvellement de l'air dans l'habitat

La ventilation des principales pièces de l'habitat est indispensable pour 
assurer un niveau minimal
de salubrité de l'air, par exemple par un simple apport d'air neuf de 
l'extérieur grâce à l'aération
naturelle par les ouvrants de ces pièces (portes, fenêtres). Cette solution 
n'est toutefois pas sans
inconvénients sur le confort thermique des occupants et l'efficacité 
énergétique de l'habitat, l'air
extérieur étant plus froid que l'air intérieur en hiver et plus chaud en été. 
L'utilisation d'une
ventilation mécanique contrôlée à double flux est aujourd'hui la solution la 
plus commune retenue
pour éviter ces inconvénients.

1.1 - Bilan énergétique pour un fluide en écoulement stationnaire

On considère l'écoulement parfait et stationnaire d'un fluide à travers un 
système ouvert (S),

définissant un volume de contrôle indéformable et fixe dans le référentiel 
d'étude R et présentant
une entrée et une sortie (figure 1).

On définit comme système d'étude le système fermé, noté (S°), constitué du 
fluide contenu à
l'instant { dans le volume de contrôle et du fluide de masse Ôm, qui y rentre 
entre les instants f et
t+df, situé entre les sections droites (Z'}) et (Z,), et définissant un 
sous-système (S). À
l'instant + df, il est constitué du fluide contenu dans le volume de contrôle 
et du fluide de masse
om, qui en sort entre les instants / et f+df, situé entre les sections droites 
(Z,) et (2',), et
définissant un sous-système (S, ).

On note 1, p,, P,, e,;, pi:
volumique, l'énergie cinétique massique, l'énergie potentielle de pesanteur 
massique, l'énergie
interne massique et l'enthalpie massique du fluide contenu dans chaque 
sous-système (S;) où

i=1,2.

u, et h, respectivement la température, la pression, la masse

DEEE EEEEEEEEEEEEE 10) (2",)
| --
(2") (2,)|! | Masse de fluide 5m, sortant
--% |! de (S) pendant ds
Masse de fluide 8m, entrant \
Volume de

dans (S) pendant ds contrôle (S)

Figure 1 - Fluide en écoulement stationnaire : système fermé étudié

Q1. En traduisant la conservation de la masse du fluide contenu dans le système 
(S"), justifier

" # #" A = = Ô Ô
que le débit massique du fluide en entrée est égal à celui en sortie : ni -- re 
= D,,.
l l

Q2. Montrer que le travail massique des forces pressantes reçu par le fluide 
contenu dans le
Pi _ Pr

système (S°) pendant la durée di s'écrit : W, =
Pr Pi

3/16
Q3. Montrer que la variation d'énergie interne du fluide contenu dans le 
système (S°) pendant la
durée df s'écrit : dU = D, (u, -u,)df.
Donner, sans calculs supplémentaires, les expressions des variations d'énergie 
cinétique
macroscopique dE. et d'énergie potentielle de pesanteur dE, du fluide.

Q4. À partir d'un bilan énergétique pour le fluide contenu dans le système (S") 
pendant la durée
df , établir l'expression du premier principe pour un écoulement stationnaire :

D, | (A, re.) +e,:) --(h, re. +e,) | -- P +P,

où P et P, sont respectivement la puissance mécanique des forces extérieures non

conservatives autre que celle des forces pressantes (puissance dite utile) et 
le flux thermique
reçus par le fluide contenu dans le volume de contrôle.

.2 - Étude d'une ventilation mécanique contrôlée à double flux

On modélise une habitation par une pièce unique, de température intérieure 
supposée uniforme
T.. =20,0 °C et maintenue constante grâce à un chauffage. L'air à l'extérieur 
de l'habitation est à

int

la température constante 7°, --0,0 °C.

Q5. En l'absence de toute ventilation, le flux thermique lié aux pertes à 
travers l'ensemble des
parois (fenêtres, toit, murs) séparant l'habitation de l'extérieur est F,, 5,0 
kW en régime

stationnaire. Estimer la résistance thermique À, de l'ensemble de ces parois.

L'habitation est désormais munie d'une ventilation mécanique contrôlée (VMC) à 
double flux. Elle
se distingue d'une VMC simple flux qui insuffle dans l'habitation de l'air 
froid neuf à la température

T.. et extrait de l'air chaud vicié (c'est-à-dire ayant servi") à la 
température 7;,. Une VMC double

ext

flux comporte en effet un échangeur thermique tel que l'air chaud vicié sortant 
préchauffe l'air froid
neuf entrant (figure 2).

T T

nt ext

= = -- = æ
-- -- --
__---- = ="

Air vicié aspiré -

Air neuf entrant
(Tu) ch .

(La)

Air neuf insufflé Le S Air vicié sortant
(T's) 16. Q-- (T')

Ventilateur

Figure 2 - Schéma de principe d'une VMC double flux

4/16
En régime stationnaire, l'air neuf entrant dans le système à la température 7°, 
=0,0 °C traverse

ext

l'échangeur avec un débit massique D, =150 kg-h 7" avant d'être insufflé dans 
l'habitation à la
température T',,--=15,0°C. Quant à l'air vicié aspiré dans l'habitation à la 
température
T

int
même débit D,. Au sein de l'échangeur parfaitement isolé du reste du système, 
l'air neuf circule

dans une conduite plane en contact avec une autre conduite plane dans laquelle 
circule l'air vicié
de façon à assurer les échanges thermiques (figure 3). On nédglige toute 
variation de l'énergie
cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur de Flair circulant dans 
chacune des deux
conduites.

-- 20,0 °C, il sort du système à la température T",, après traversée de 
l'échangeur avec le

t

Parois parfaitement calorifugées

T' <---------- Air neuf ST int ext # ext T, Air VICIÉ. --> # TT!

Figure 3 - Échangeur thermique

Q6. On assimile l'air supposé sec, donc sans vapeur d'eau, à un gaz parfait. 
Dans ces

conditions, les capacités thermiques à pression et volume constants d'une 
quantité de
matière n d'air, notées respectivement C, et C,, sont reliées par la relation 
de Mayer :

CC, =nk. Établir l'expression de la capacité thermique massique à pression 
constante
c, de l'air en fonction notamment du rapport 7 entre les capacités thermiques à 
pression et
volume constants. Calculer c,.

Q7. Montrer à l'aide de l'expression établie à la Q4 et en précisant les 
systèmes ouverts choisis
( ... ( (
que 7,,-1",-1",,-7,,. Calculer 7"...

int

Q8. Donner l'expression littérale du flux thermique #,,, reçu par l'air 
insufflé à la température

T". pour le réchauffer à la température T,, de la pièce. Calculer P, .

Q9. Déduire des résultats précédents la puissance P fournie par le chauffage 
pour maintenir
une température intérieure T,, constante. Calculer P.

Q10. Dans le cas d'une VMC simple flux, calculer le flux thermique P', reçu par 
l'air insufflé

th,a
pour le réchauffer à la température de la pièce, puis la puissance P". fournie 
par le

chauffage pour maintenir cette température constante. En déduire le pourcentage 
d'énergie
économisée en passant d'une VMC simple flux à une VMC double flux : Pere,

C

Quel serait le pourcentage d'énergie économisée si l'échange thermique entre 
l'air neuf et
l'air vicié était parfait, c'est-à-dire si l'air vicié sortait de l'échangeur à 
la température 7, 7?

9/16
Partie Il - L'humidité de l'air dans l'habitat

L'humidité de l'air d'une pièce doit être contrôlée. Trop grande, elle peut en 
effet favoriser le
développement de moisissures, bactéries, acariens, mais aussi provoquer la 
dégradation de
certains matériaux.

11.1 - L'air humide

L'air sec ne contient pas de vapeur d'eau. C'est un mélange de gaz, de 
proportions connues et
invariables, principalement du diazote et du dioxygène. Un mélange d'air sec, 
de masse molaire

M, et de pression partielle p.., et de vapeur d'eau, de masse molaire À, et de 
pression partielle

p.. est qualifié d'air humide. Ce mélange sera considéré par la suite comme un 
mélange idéal de
gaz parfaits.

L'air humide est caractérisé à la température T' par son degré hygrométrique @ 
ou humidité

relative : p=--Ee OÙ p,4(1) est la pression de vapeur saturante (pression 
d'équilibre

De sat (T)
liquide-vapeur) de l'eau pure à la température considérée.

Q11. Représenter l'allure du diagramme des phases pression-température du corps 
pur "eau".
YY indiquer le domaine de chaque phase en présence. Définir avec précision les 
deux points
caractéristiques qui y figurent.

L'air d'une cuisine hermétiquement close, de volume V = 50 m°, est à la 
pression atmosphérique
P, et à la température 7 =293K. À cette température, la pression de vapeur 
saturante de l'eau
est égale à 2,3:10* Pa. Le degré hygrométrique de l'air dans cette pièce est de 
55%.

Q12. Rappeler la relation entre p, et les pressions partielles p, et p...
Calculer les masses m, de vapeur d'eau et m,. d'air sec dans la pièce. En 
déduire la valeur
de l'humidité spécifique 9 de l'air de la pièce, exprimée en kg d'eau par kg 
d'air sec et
définie par : @ = Te.

as

Q13. On porte à ébullition un récipient rempli d'eau. Calculer le volume Y, 
d'eau à évaporer pour

saturer en humidité l'air de la cuisine, c'est-à-dire atteindre un degré 
hygrométrique de
100%. On négligera l'augmentation de la température de l'air de la cuisine.

On considère maintenant que la cuisine de volume 7 est dotée d'un système de 
renouvellement
d'air. L'air est supposé homogène dans la pièce, avec à l'instant / une 
concentration massique en
vapeur d'eau C(f) uniforme (exprimée en kg d'eau par m° d'air). De l'air 
extérieur neuf, de

concentration massique en vapeur d'eau C,, constante, entre dans la cuisine 
avec un débit

volumique D, tandis que de l'air vicié de concentration massique C(f) sort de 
la cuisine avec le

même débit. Les personnes présentes dans la cuisine et leurs activités sont une 
source de vapeur
d'eau. On note S le taux de création de vapeur d'eau dans la pièce, 
c'est-à-dire la masse de
vapeur d'eau créée par unité de temps.

6/16
Q14.

Q15.

11.2 -

Établir une équation différentielle vérifiée par C(r) à partir d'un bilan de 
masse entre les

instants / et /+df pour la vapeur d'eau dans l'air de la cuisine.
En déduire que le débit volumique minimal nécessaire pour maintenir une 
concentration en

Le , S
s'écrit en régime stationnaire : D, = ES

lim ext

vapeur d'eau sous une valeur limite C

lim

L'air extérieur, de température égale à 5 °C, a un degré hygrométrique de 100%, 
soit une
concentration massique en vapeur d'eau C., =7,0-10 kg-m . Le taux de création de

vapeur d'eau dans la cuisine est S --0,30 kg-h '. Pour l'air dans la cuisine, 
de température
égale à 20 °C, on souhaite ne pas dépasser un degré hygrométrique de 60%, soit 
une
concentration massique en vapeur d'eau C,, =1,0-10° kg-m *. Calculer le débit 
volumique

minimal nécessaire D,,. Commenter le choix d'un débit massique de 
renouvellement d'air

D, =150 kg-h 7 comme celui de la VMC double flux étudiée dans la partie I.

Principe d'un capteur d'humidité capacitif

Deux disques conducteurs, de rayon a, de même axe (O,u.), distants de d EUR a, 
constituent les
armatures d'un condensateur à vide (figure 4). La charge portée par chaque 
armature varie de
façon sinusoïdale avec le temps, à la fréquence f. On note gq(f) = q,cos(2r/f) 
la charge portée
par l'armature supérieure à l'instant 7. On suppose que le courant qui apporte 
ces charges arrive
par des fils infinis confondus avec l'axe de révolution (O,w.) du condensateur.

On s'intéresse au champ électromagnétique (E(M.,r) ; B(M.,r)) en tout point M à 
l'intérieur du

condensateur et repéré par ses coordonnées cylindriques (r,0,z) dans le repère 
(O,u.,u,,u.).

Q16.

Q17.

q(t)

Figure 4 - Condensateur à symétrie cylindrique

Les échelles ne sont pas respectées

Justifier par des considérations de symétries et d'invariances que le champ 
électrique
E(M.r) est a priori de la forme : E(M,t)=E,(r,2,t)ü, +E (r,z,0u..

On suppose en première approximation que rot(Æ) - (. En déduire l'ordre de 
grandeur du

r

E
rapport
PP E

Z

. Conclure sachant que les effets de bords sont négligeables (d & a).

Déduire d'une autre équation de Maxwell que le champ E(M., t) est finalement de 
la forme :
E(M,t)=E (r,0ü.

716
Q18. On cherche en première approximation un champ uniforme à l'intérieur du 
condensateur :
E(M,9 = E,(0 = E. (On.
Déduire du théorème de Gauss appliqué à une surface à définir clairement, 
notamment à
l'aide d'un schéma, l'expression du champ électrique E, (?). On donnera le 
résultat en
fonction de q(f), a et de la permittivité du vide &,. On admettra que le champ 
électrique est

nul à l'extérieur du condensateur et on supposera que la densité surfacique de 
charges
portée par chaque armature est uniforme.

Du fait de sa dépendance par rapport au temps, le champ E, (®) crée un champ 
magnétique induit
B (M, t). Le champ magnétique B (M, {) crée à son tour un champ induit Ë, 
(M,t), terme
correctif pour le champ électrique qui s'écrit : E(M 1) = E (£) + E, (Mt).

Q19. À quelle condition portant sur LE. et LE] peut-on considérer que rot(Æ) = 
0 comme

supposé à la Q17 ?
On admet que cette condition est vérifiée si a<«c/f où c est la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide. Proposer une interprétation physique. La condition précédente étant vérifiée, le champ électrique à l'intérieur du condensateur dérive donc d'un potentiel scalaire PV (1Z,f) tel que E, = -- grad(W ). Q20. Donner l'expression du potentiel scalaire V,(M1,f) à une constante additive près. Exprimer la différence de potentiel V(z2=4d)-V.(z=0) entre les deux armatures et en 2 d déduire que la capacité C du condensateur s'écrit : C = On munit désormais le condensateur d'une armature poreuse et on le remplit d'un polymère hygroscopique pouvant adsorber l'eau de l'air et dont la permittivité diélectrique £ est fonction du degré hygrométrique de l'air. On admet que la capacité C de ce condensateur a la même expression que celle du condensateur à vide établie à la Q20 à condition de remplacer la permittivité £, du vide par la permittivité & du polymère. Le condensateur possède en outre une résistance de fuite À, principalement due au polymère qui en adsorbant l'eau ne se comporte pas comme un isolant parfait. Le modèle électrique équivalent de ce condensateur est constitué de la capacité C en parallèle avec la résistance À. Le condensateur est inséré dans le circuit suivant (figure 5), appelé pont de Sauty, alimenté sous une tension sinusoïdale e(f) de pulsation æ, où la résistance À, et la capacité C, sont variables. On note u(f) la tension entre les points À et B, e et u les représentations complexes des tensions respectives e(f) et (f). On note Z, l'impédance de l'association parallèle de la capacité C, et de la résistance À, entre les points M et B, et Z l'impédance de l'association parallèle de la capacité C et de la résistance À entre les points B et N. 8/16 i -- | e(t) Figure 5 - Pont de Sauty Q21. Exprimer en fonction de e et des différentes impédances les tensions  ,, et u,,. Q22. Q23. En déduire que u -- k, Z = kR, Z e. (R +R, \Zo +2) Le pont de Sauty est dit équilibré lorsque z =0, quelle que soit la tension e. Montrer que l'équilibre du pont permet de déterminer À et C, dont on donnera l'expression en fonction de À, R,R et C,. On utilise le condensateur en tant que capteur d'humidité dont on donne ci-dessous la courbe d'étalonnage (figure 6). Déterminer le degré hygrométrique de la pièce dans laquelle il est plongé sachant que le pont de Sauty est équilibré pour C, =1,44 nF avec R /R, =0,1. Capacitance [pF] 160.0 155.0 -- 150.0 145.0 140.0 135.0 130.0 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0 rel. humidity [%RH|] Figure 6 - Courbe d'étalonnage du capteur Source : data sheet capacitive humidity sensor P14 rapid-W, Innovative Sensor Technology 9/16 Partie III - Nuisances sonores Dans un système de renouvellement d'air, de l'air vicié est aspiré et de l'air neuf insufflé dans la pièce à traiter. Entre l'aspiration et le soufflage, l'air a traversé des éléments générateurs de bruits (ventilateur, gaines...) qui peuvent parfois s'avérer gênants. 111.1 - Correction acoustique et théorie de la réverbération de Sabine Afin d'assurer le confort acoustique des occupants d'une pièce d'habitation vis-à-vis des bruits qui lui sont propres, une solution consiste à recouvrir les parois de la pièce avec des matériaux absorbants appropriés. Cette méthode, appelée correction acoustique, permet d'optimiser selon l'usage de la pièce sa durée de réverbération liée à la multiplicité des échos sonores renvoyés par les parois. On considère un fluide, caractérisé à l'équilibre par un champ des vitesses uniformément nul et des champs de pression et de masse volumique uniformes et stationnaires, notés respectivement P, et P,- Lorsque l'équilibre est rompu au passage d'une onde sonore se propageant selon l'axe (O,ü.) , le fluide est alors caractérisé à l'instant / en tout point A7 d'abscisse x de l'écoulement supposé parfait par : - un champ de pression p(x,f) = p,+p,(x,f) où la quantité p, est appelée surpression ou pression acoustique ; - un champ de masse volumique p(x,f) = p, + P,(x,f) ; - un champ des vitesses ÿ(x,f) =0+ v,(x, 0) = v, (x Ou. Q24. La propagation de la perturbation dans le fluide est traitée dans l'approximation acoustique. Préciser le cadre de cette approximation. Q25. Rappeler l'équation d'Euler, limitée aux seules forces pressantes (effets de la pesanteur négligés en particulier). En déduire après linéarisation l'équation de couplage : ov, + OP: -- () F0 & Établir de la même façon une seconde équation de couplage linéarisée à partir de l'équation locale de conservation de la masse. Q26. Le fluide évolue de façon isentropique sous l'effet des ondes sonores. Montrer que Pi = PolsoP OÙ Y$, 8St le coefficient de compressibilité isentropique du fluide à l'équilibre. On rappelle que x, (2) P\CP }s Q27. Déduire de l'ensemble des résultats précédents que la pression acoustique p,(x,f) obéit à une équation de d'Alembert. Donner l'expression de la célérité c des ondes sonores en fonction de 7,, et 2, 10/16 Q28. On suppose que le fluide évoluant de façon isentropique se comporte en outre comme un gaz parfait. Justifier que pp " =C*" où 7 est le rapport entre les capacités thermiques à pression et volume constants du fluide. En déduire que la célérité des ondes sonores s'écrit : Y Po Po C -- L'onde est plane, progressive, sinusoïdale de pulsation w, de la forme p,(x,f) = p,,, cos(oet -- kx) n pour la pression acoustique, avec k =--. C Q29. Déduire de l'une des équations de couplage établies à la Q25 l'expression du rapport Z,= Pr appelé impédance caractéristique du milieu, en fonction de p, et c. Que devient la " relation entre p, et y, dans le cas d'une onde se propageant dans le sens inverse ? Q30. La densité volumique d'énergie sonore (e) associée à l'onde s'écrit en moyenne sur une 2 période T = _ : (e)r = Pi (), + As (p?),. Quelle est la signification physique de chacun des termes composant cette expression ? Exprimer (e), pour l'onde considérée en fonction de p,,, ?, et c. Q31. On appelle intensité sonore 7 la grandeur définie par : 1=K(pv),l Vérifier que cette grandeur est homogène à une puissance surfacique. Montrer que l'intensité sonore est proportionnelle à la densité volumique d'énergie sonore (e)r pour l'onde considérée. Le fluide est l'air d'une pièce d'habitation, au centre de laquelle se trouve une source sonore ponctuelle et isotrope, émettant de façon continue un son harmonique. En un point donné de la pièce, on distingue le champ direct dû à l'onde divergente émise par la source qui n'a pas encore rencontré d'obstacles, du champ réverbéré dû à l'ensemble des ondes ayant eu une ou plusieurs réflexion(s) sur les parois et les objets de la pièce. Dans la théorie de l'acousticien américain Sabine, la densité volumique d'énergie sonore du champ réverbéré (e, ) est supposée uniformément répartie dans toute la pièce à un instant donné. Dans ces conditions, on montre que C\E l'intensité sonore correspondante s'écrit : = On notera que J/. et (e,), sont des quantités moyennées sur une période 7° de la source, mais sont susceptibles de varier sur une échelle de temps caractéristique 7 beaucoup plus grande. On nédglige dans la suite l'absorption due à l'air, mais pas celle due aux parois et objets de la pièce. On note F le volume de la pièce, $ la surface totale des parois et des objets de la pièce, a, leur coefficient d'absorption moyen, défini comme le rapport entre la puissance sonore absorbée au niveau des parois et des objets et la puissance sonore incidente. A l'instant /--0, on coupe la source sonore. On se propose d'établir la loi de décroissance 7 (f) de l'intensité sonore du champ réverbéré au cours du temps. 11/16 Q32. Exprimer la puissance sonore moyenne P absorbée par les parois et les objets de la pièce en fonction de /., a, et S. Exprimer de même l'énergie sonore moyenne &(f) dans la pièce à l'instant 7 en fonction de son volume F, / et c Q33. À l'aide d'un bilan d'énergie, montrer que l'intensité réverbérée J.(f) obéit à l'équation a, SC 1 =0. 4V Donner la loi d'évolution 7.(/). On introduira un temps caractéristique 7 et on notera 1,(=0)=1,,. différentielle du premier ordre : dr, + On définit le temps de réverbération 7. comme la durée nécessaire pour que le niveau d'intensité sonore !, dans la pièce décroisse de 60 dB par rapport à son niveau initial, soit: AL, =L,({=T.)-L,({=0)=- 60 dB. On rappelle que le niveau d'intensité sonore est défini par : I L, = 10log-- où /,=10 " W:m est l'intensité sonore au seuil d'audibilité à 1 000 Hz. 0 Q34. Exprimer le temps de réverbération 7! en fonction de 7. Vérifier qu'on retrouve la formule semi-numérique de Sabine : T. = D.16---- où le rapport V /S est exprimé en met 7 ens. a m On prendra c=3,4-10° m:s ' (air à la température 7! =293 K à l'équilibre). 0 On considère une salle vide, de longueur Z =25 m, de largeur { = 20 m, de hauteur h=10 m, destinée à un concert de musique symphonique. Une mesure au sonomètre indique un temps de réverbération 7. à 1 000 Hz de 5,0 s, plus élevé que le temps de réverbération optimal 7 r,0D (figure 7). T, op (S) 2.4 2,2 2,0 1,6 1,6 1.4 1.2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 V (m') où 100 200 500 1000 2000 5000 10000 Figure 7 - Temps de réverbération optimal à 1 000 Hz en fonction du volume de la pièce 1. Orgue, audition directe. 2. Musique symphonique, audition directe. 3. Orgue, enregistrement. 4, Opéra, audition directe. 5. Jazz, audition directe. 6. Parole, audition directe. 7. Parole, enregistrement. 8. Variétés, enregistrement. Source : L. Lamoral. Acoustique et architecture 12/16 Q35. Sachant que le coefficient d'absorption moyen np du public est égal à 0,90, justifier si la présence d'un public permet oui ou non une qualité d'écoute du concert satisfaisante. Cette question fait appel à une démarche de résolution de problème. Il est notamment attendu de préciser chaque notation introduite, de présenter de façon claire les hypothèses retenues, de mener des calculs littéraux avant toute application numérique. 1.2 - Principe d'un silencieux à résonateur de Helmholtz Si un traitement acoustique de la pièce ne peut être envisagé, d'autres solutions sont possibles pour réduire l'impact du bruit généré par un système de renouvellement d'air. L'une d'elles consiste à insérer des silencieux le long des réseaux de gaines, munis entre autres de résonateurs de Helmholtz. On modélise un résonateur de Helmholtz par une cavité de grand volume F., reliée à l'air libre par l'intermédiaire d'un col cylindrique horizontal d'axe (O,4.), de très faible section s et de longueur £ (figure 8). Sous l'effet d'une perturbation, on considère que l'air situé dans le col oscille en bloc, à l'image d'un bouchon qui coulisserait. On note x(f) le déplacement du centre d'inertie de cette tranche d'air à l'instant { par rapport à sa position à l'équilibre, p,.(f) la pression supposée uniforme dans la cavité, p, la masse volumique de l'air dans le col, supposée égale à tout instant à celle de l'air libre à la pression atmosphérique p,. On néglige tout phénomène dissipatif et on considère que l'air dans la cavité, de comportement supposé parfait, évolue de façon isentropique. X(f) D ; P.(t) X D. D © ---------- l Figure 8 - Modélisation d'un résonateur de Helmholtz. La zone grisée représente la tranche d'air qui oscille Q36. Exprimer la résultante F, des forces pressantes sur la tranche d'air en fonction de p,, p.(@) ets. En supposant que le volume de la tranche d'air est très petit devant le volume de la cavité, soit £s <<, montrer que p (f)= p, +2) au premier ordre, où 7 est le rapport entre C les capacités thermiques à pression et volume constants de l'air. En déduire que la résultante des forces pressantes sur la tranche d'air est équivalente à une force de rappel élastique de raideur & : F, = --kxu.. Exprimer £ en fonction de V., s, p, et de la célérité c des ondes sonores dans l'air. On utilisera l'expression de c établie à la Q28. Q37. Montrer que la tranche d'air dans le col oscille de façon harmonique. Vérifier que la 1 2 fréquence propre j, de ce système oscillant s'écrit : /, 3e Tr TL C 13/16 Un résonateur expérimental est constitué d'un cylindre en PVC de volume } = 791 cm, fermé à ses deux extrémités. L'une de ces extrémités est percée de façon à insérer un col cylindrique de section s=1,89 cm et de longueur /=5,0 cm. Un microphone de petite taille, relié à un oscilloscope à mémoire, est inséré dans le grand volume. En engageant légèrement l'index dans le col et en le retirant brusquement, on enregistre le signal suivant (figure 9). Les conditions de l'expérience sont telles que c = 343 m:5 '. | uns Signal du 0r-- | ni [ | | | ñ l J\À he -- micro (V) \ UT DS F \ | . | | ) | l | DE | A F4] | | | | 0 0,05 0,1 0,15 0,20 Temps (s) Figure 9 - Oscillations libres d'un résonateur de Helmholtz Source : Bulletin de l'Union des Physiciens, volume 96, Juin 2002 Q38. Quelle serait la nature du signal attendu dans le cadre du modèle considéré dans les questions précédentes ? Comment expliquer la différence avec le signal enregistré ? Estimer le facteur de qualité © du résonateur. Q39. Le facteur de qualité est suffisamment grand pour considérer que le système oscille à sa fréquence propre /f,. Comparer la valeur mesurée de cette fréquence à celle déduite du modèle utilisé. En fait, les couches d'air situées de part et d'autre du col sont aussi entraïînées dans le mouvement. Expliquer en quoi leur prise en compte permet d'affiner la modélisation. Un haut-parleur, relié à un générateur basse fréquence, impose désormais à l'entrée du col une surpression variant de façon sinusoïdale à la pulsation ©, de la forme p(f)= p, cos(æf). La pression à l'entrée du col est donc égale à p, + p(f). On associe à cette pression acoustique la jot grandeur complexe p(f)= p,e"" où j =---1. On cherche une réponse de la tranche d'air de la forme x(f)= x, e"" en régime forcé en restant dans le cadre du modèle développé dans Q36 et Q37. Q40. Établir l'expression de x(f). En déduire que la vitesse de la tranche d'air dans le col s'écrit Jop, Pl (@, -- ©) jot en représentation complexe : v(f)=v,e" où v,, = m Que dire de |v,,| dans le cas où w = ©, ? En pratique, |v,,| reste borné. Expliquer pourquoi. 14/16 Un résonateur de Helmholtz est maintenant connecté en z=0 à une longue conduite cylindrique d'axe (O,u.) et de section S>%s (figure 10). La masse volumique de l'air au 
repos dans la

conduite est p,.

Une onde acoustique incidente plane progressive sinusoïdale, de pulsation ©, se 
propage dans la
conduite dans le sens des z croissants à la célérité c. Elle est caractérisée 
par sa pression

acoustique p(z,/)=p e*""). Du fait de la présence du résonateur en z=0, elle 
donne
L; Li,m

naissance à une onde réfléchie et une onde transmise, caractérisées par leurs 
pressions
acoustiques respectives p (x,{)=p.. el") et P(Û=p,. ete)

D, Conduite

| Résonateur

Si
[
He

| :
OÙ ü
Portion de la conduite en TT '
contact avec le résonateur P,
P,
< " Figure 10 - Résonateur de Helmholtz connecté à une conduite Q41. Exprimer les champs des vitesses caractérisant les ondes acoustiques incidente, réfléchie et transmise, notées respectivement v,(z,f), v,(z,f) et v,(z,f), en fonction notamment de limpédance caractéristique Z, de la conduite définie à la Q29. jot Q42. On note p(i)=p, el" la pression acoustique et v()=v,e"" le champ des vitesses correspondant en z =0 à l'entrée du col du résonateur. Exprimer p, en fonction de p et p , puis en fonction de P, --i,m --r,m --1,m En supposant la conservation du débit volumique à travers la surface qui délimite la portion de la conduite en contact avec le résonateur en z=0 (figure 10), établir une relation entre Pi» P, mn P, mn V W, S et Z,. Un calcul non demandé permet de déduire de l'ensemble des résultats établis précédemment que : =i,m PDP = -- avec D = mr ] SC ES LS, 15/16 CR LL ETAT ETC DEC LE) LL me TT SSI BI a Ent ANNE] TRRKOUT Sd SRI É @=14,8= SRB RME se NASRaRll El mure RE CNE EN L ARS ESnNI