CCINP Physique PC 2024

CONCOURS PC2P

COMMUN

INP

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

SESSION 2024

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

NB. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le Signalera sur Sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

« Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.

. Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

1/14
Des plasmas pour la fusion thermonucléaire

Présentation générale

Pour répondre à la raréfaction des énergies fossiles, il est nécessaire de 
trouver de nouvelles
sources d'énergie décarbonées. Parmi celles-ci, la fusion thermonucléaire est 
une des pistes à long
terme qui donne lieu à une coopération internationale sans précédent avec le 
projet de recherche
ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor), dont les installations 
sont implantées à
Cadarache, dans les Bouches-du-Rhône.

La fusion thermonucléaire consiste à faire entrer en collision deux noyaux 
légers pour obtenir un
noyau plus lourd. Cette réaction nucléaire libère de grandes quantités 
d'énergie du fait qu'une partie
de la masse des noyaux est convertie en énergie. Les efforts de recherche 
portent actuellement sur
une réaction nucléaire impliquant deux isotopes de l'hydrogène : le deutérium 
'D et le tritium ?T. La
réaction nucléaire produit un noyau d'hélium $He et un neutron selon l'équation 
de réaction :

D + $T -- He + În

Dans un réacteur de fusion, la matière est à l'état de plasma. On appelle 
plasma un état de la matière
constitué d'ions, d'électrons libres et d'espèces neutres. Cet état résulte des 
très hautes
températures atteintes dans le réacteur qui permettent l'ionisation des atomes.

Ce sujet aborde quelques aspects de la physique des plasmas dont la 
compréhension est essentielle
pour la maîtrise de la fusion contrôlée. Dans la partie |, on s'intéressera au 
confinement magnétique
du plasma de fusion dans le réacteur par l'étude du mouvement d'une particule 
chargée de ce
plasma dans un champ magnétique. Dans la partie Il, on complétera cette 
approche en tenant
compte des collisions possibles entre particules du plasma, ce qui se traduit 
par un phénomène de
diffusion. Enfin, dans la partie III, on envisagera quelques manières 
d'atteindre les températures
nécessaires pour initier les réactions de fusion : chauffage ohmique par 
induction et propagation
d'ondes électromagnétiques dans le plasma.

Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Certains résultats de la 
sous-partie [1.1 seront
toutefois utiles pour la suite et pourront être admis même s'ils n'ont pas été 
démontrés.

Données numériques

Permittivité diélectrique du vide : £ = 8,85:10°% F-m°
Perméabilité magnétique du vide : 49 = 1,26:10$ H-m°
Charge élémentaire : e = 1,6:10°° C

Masse de l'électron : m, = 9,1:10*T kg
Constante de Boltzmann : kz = 1,410" J-K'

Formulaire

Formule du double rotationnel : rot (rot À) = grad(div À) -- AA

2114
Partie | - Confinement magnétique du plasma

Les plasmas créés pour réaliser la fusion thermonucléaire ayant des 
températures extrêmement
élevées, ceux-ci ne peuvent être au contact direct de la paroi du réacteur qui 
fondrait ou serait
fortement endommagée. Pour contenir ces plasmas, on doit donc réaliser un 
confinement
immatériel : la méthode la plus étudiée à ce jour est le confinement 
magnétique. On se propose
dans cette partie d'en comprendre le principe par l'étude du mouvement d'une 
unique particule
chargée au sein du plasma : un cation de masse m et de charge électrique +e (le 
cas d'un électron
se traitant de manière similaire). On supposera que seule la force magnétique 
agit sur le cation et
qu'aucune collision n'a lieu avec les autres espèces présentes dans le plasma.

1.1 - Confinement d'une particule chargée dans un champ magnétique stationnaire 
et
uniforme

Le champ magnétique nécessaire au confinement du plasma est créé par un 
solénoïde d'axe (Oz)

orienté par le vecteur unitaire u,, constitué de N spires de rayon a, 
régulièrement réparties sur une
longueur d > a. Toutes les spires sont parcourues par un courant d'intensité 7 
constante (figure 1).

d

Figure 1 - Schéma du solénoïde. Seules quelques spires sont représentées par 
souci de lisibilité

Q1. Montrer que le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde est de la forme 
B = Bo U,, avec
B, Une constante qu'on exprimera, entre autres, en fonction de l'intensité Z. 
On admettra que
le champ magnétique est nul à l'extérieur du solénoïde et on négligera les 
effets de bord.

On s'intéresse maintenant au mouvement d'un cation de masse m et de charge 
électrique +e
à l'intérieur de ce solénoïde, soumis au champ B = B, u,.

Q2. Montrer que la puissance de la force magnétique est nulle. En déduire que 
l'énergie cinétique
du cation se conserve. Par la suite, on notera v, la norme constante de la 
vitesse du cation au
cours de son mouvement.

On suppose d'abord que le cation a un mouvement dans un plan perpendiculaire au 
champ
magnétique À = Bo ü;.

Q3. Représenter sur un schéma le vecteur vitesse v du cation, le vecteur champ 
magnétique B

perpendiculaire au plan de la feuille et la force magnétique F,,. Esquisser la 
courbure de la
trajectoire puis représenter les vecteurs unitaires du repère de Frenet.

Q4. Donner l'expression de l'accélération du cation dans le repère de Frenet en 
fonction de sa
vitesse v, et du rayon de courbure r de la trajectoire. Montrer que la 
trajectoire du cation est

. . V0 , eBo .
circulaire, de rayon r, = -- appelé rayon de Larmor, avec w, = -- la pulsation 
cyclotron.
&e m

3/14
MBobines de champ toroïdales Champ magnétique poloïdal
Plasma confiné ---- Champ magnétique toroïdal
BBobines internes de champ poloidal  ----> Champ magnétique résultant
MBobines externes de champ poloidal --# Courant plasma
Bobines de champ toroïdales Champ magnétique poloïdal
Plasma confiné -- Champ magnétique toroïdal

1 Bobines internes de champ poloidal Champ magnétique résultant
Bobines externes de champ poloidal Courant plasma
Partie Il - Diffusion du plasma

L'étude menée dans la partie | est insuffisante au sens où elle négjlige la 
possibilité de collisions, ce
qui Se traduit au niveau macroscopique par un phénomène de diffusion. On se 
propose dans cette
partie d'étudier la diffusion d'un plasma faiblement ionisé, c'est-à-dire un 
plasma dans lequel les
collisions ont lieu presque exclusivement entre des particules chargées et des 
espèces neutres : il
ne s'agit certes pas des conditions réelles d'un plasma de fusion, mais cette 
étude permet
néanmoins de dégager certaines propriétés physiques spécifiques à la diffusion 
dans les plasmas.
Dans les sous-parties Il.1 et 11.2, on étudiera la diffusion en l'absence de 
champ magnétique, puis
dans la sous-partie 11.3, on discutera qualitativement l'effet du champ 
magnétique sur la diffusion.

1.1 - Équation de diffusion ambipolaire

On assimile le plasma à un milieu constitué d'ions de charge +e, d'électrons 
libres de charge ---e
et d'espèces neutres. Le plasma est contenu entre deux parois conductrices 
infinies situées aux
abscisses x = 0 et x = L (figure 4). On suppose qu'il y a invariance du milieu 
selon toute direction
parallèle à ces plaques, si bien que les caractéristiques du plasma ne 
dépendent que de l'abscisse
x et du temps t. Pour toutes les grandeurs physiques introduites, l'indice i se 
rapporte aux ions,
l'indice e aux électrons. On note n,(x,t) et n,(x,t) les densités volumiques 
d'ions et d'électrons
(exprimées en m*), 7; = j;(x,t)u, et 7, = (x t)u, les vecteurs densité de flux 
d'ions et
d'électrons (exprimés en m*s). On nédglige la possibilité de recombinaison 
entre les ions et les
électrons au sein du plasma.

paroi paroi

plasma

SI
Y
R

A
A4

L

Figure 4 - Géométrie de l'enceinte contenant le plasma

Q14. Établir l'équation locale de conservation des électrons :

one 0e _,
Ot x

Donner par analogie l'équation locale de conservation des ions.

6/14
Q15. Les parois étant conductrices, les électrons libres et les ions arrivant 
sur les parois se
recombinent entre eux de façon quasi-instantanée, si bien que n; = n, = 0 sur 
les parois. En
effectuant un bilan de charge électrique sur la paroi située en x=LZ, établir la
relation 7;,(x = L,t) = j,(x = L,t).

On suppose la quasi-neutralité du plasma, c'est-à-dire que n;,(x,t) = n,(x,t) = 
n(x,t) dans le
plasma.

Q16. À l'aide des résultats des deux questions précédentes, montrer que 
j;,(x,t) = j.(x,t).

Du fait de la présence des charges, un champ électrique Ë = E(x, t) u, existe 
dans le plasma. Les
vecteurs densité de flux obéissent alors à des relations de la forme :

7; = NUE -- D; gradn
F = -nuE -- D, gradn

avec u; et u, les mobilités, et D; et D, les coefficients de diffusion des ions 
et des électrons.

Q17. Comment s'appelle la loi associée au terme --D gradn apparaissant dans ces 
deux
expressions ? Que traduit physiquement le terme +nuË ?

(0) (0)
Q18. Après avoir exprimé E(x,t) en fonction de = montrer que j = j; = j, = --D, 
er avec D, le
coefficient de diffusion ambipolaire, qu'on exprimera en fonction de u;, 1, D; 
et de D,
Q19. En déduire l'équation de diffusion ambipolaire :
on D on
Ôt 'ôx2
11.2 - Résolution de l'équation de diffusion ambipolaire

On souhaite résoudre l'équation de diffusion ambipolaire établie à la Q19. Pour 
cela, on recherche
des solutions sous la forme n(x,t) = F(t)G(x), où F et G sont deux fonctions à 
déterminer.

Q20. Montrer que l'équation de diffusion ambipolaire se ramène au système 
d'équations
différentielles :

d F 0
dt tT.
d'G  G :
dx2 DT.

avec t une constante homogène à un temps, qui sera introduite au cours du 
calcul et qu'on
supposera positive dans les questions suivantes.

Q21. En déduire n(x, t) en fonction de 7, D, et de deux constantes 
d'intégration qu'on ne cherchera
pas à déterminer à ce stade.

Q22. On rappelle que sur les parois, n = 0 à tout instant. En utilisant ces 
conditions aux limites,
montrer qu'il existe des modes de diffusion n,, (x, t) indicés par un entier p 
EUR N° tel que le temps

T Caractéristique du mode p a pour expression :
Par application du théorème de superposition des solutions, on écrit la 
solution complète de
l'équation de diffusion sous la forme :

n(x,t) = > np (x À) :

p

Q23. Si tous les modes de diffusion sont a priori présents à l'instant initial, 
seul le mode p = 1
perdure de façon visible. Expliquer pourquoi. Donner l'expression de n,(x,t) en 
fonction de
D,,, Let d'une constante multiplicative, puis tracer n, (x) sur l'intervalle 
[0, L] pour deux instants
t. ett, > t,. Expliquer qualitativement pourquoi la densité de charge du plasma 
diminue au
cours du temps.

11.3 - Diffusion en présence de champ magnétique

De façon générale, le phénomène de diffusion peut être interprété au niveau 
microscopique par un
modèle de " marche au hasard ". Une entité diffusante subit des collisions avec 
les autres entités
du milieu et repart dans une direction aléatoire après chaque collision (figure 
5).

060_| e
PO
Te pe © ee

Figure 5 - Marche au hasard : la boule blanche représente l'entité diffusante, 
les boules noires les
autres entités du milieu avec lesquelles elle est susceptible de rentrer en 
collision

Q24. On suppose que le coefficient de diffusion D peut s'exprimer en fonction 
de la vitesse
quadratique moyenne v* de l'espèce diffusante et de la durée moyenne 7* entre 
deux
collisions. Par analyse dimensionnelle, exprimer D en fonction de v* et de 7", 
à un facteur sans
dimension près, qui sera pris égal à 1. Donner une explication physique de la 
dépendance de
D avec...

Lorsque dans un plasma, on ajoute un champ magnétique stationnaire et uniforme, 
la diffusion
devient anisotrope. Les coefficients de diffusion des ions et des électrons 
parallèlement au champ
magnétique sont les mêmes qu'en l'absence de champ magnétique. En revanche,
perpendiculairement au champ magnétique, le coefficient de diffusion D; des 
ions peut s'exprimer
en fonction du coefficient de diffusion D; en l'absence de champ magnétique :

p'= 7
Lo 1+ (w,-T*)?

OÙ w, désigne la pulsation cyclotron de l'ion introduite dans la Q4, et 7" la 
durée moyenne entre
deux collisions avec une espèce neutre. Une relation analogue peut être établie 
pour les électrons.

8/14
On dit que le plasma est magnétisé si la présence du champ magnétique diminue 
notablement la
diffusion perpendiculaire au champ magnétique et qu'il est non magnétisé si son 
influence est
négligeable sur cette diffusion.

Q25. À quelle condition sur le terme w,t* peut-on affirmer que le plasma est 
magnétisé ? À quelle
condition est-il non magnétisé 7?

Q26. Montrer que pour un plasma non magnétisé, D; est proportionnel à z*, 
tandis que pour un
plasma magnétisé, D; est proportionnel à l'inverse de t*. Vérifier qu'un plasma 
magnétisé l'est
d'autant plus que le champ magnétique est intense.

Pour interpréter qualitativement la dépendance inhabituelle du coefficient de 
diffusion avec t*
apparaissant dans un plasma magnétisé, on a représenté sur la figure 6 la 
trajectoire d'une charge
dans un plasma pour deux valeurs de w,Tt*.

e O
à er |
B > -- >
À D EE D --
0 -- -- > @
=
- O
> -- -- ©
> -- 2 O
O
© O

(a) (b)

Figure 6 - Trajectoires d'une charge électrique pour deux valeurs de w,t". La 
boule blanche
représente la particule chargée et ses collisions avec les espèces neutres 
(boules noires)
Q27. Identifier, en justifiant votre réponse, quelle figure correspond à un 
plasma magnétisé.

Q28. Expliquer qualitativement, en vous appuyant sur la figure 6, pourquoi D; 
est d'autant plus
faible que 7" est élevé dans un plasma magnétisé.

Q29. Justifier brièvement l'intérêt d'un fort champ magnétique pour confiner un 
plasma de fusion tel

que celui présent dans un tokamak (figure 2). On admettra que les conclusions 
qualitatives
concernant l'influence du champ magnétique restent valables pour un plasma de 
fusion.

9/14
Partie Ill - Échauffement du plasma

Pour rendre possible la fusion, il faut vaincre la barrière coulombienne qui 
s'oppose au
rapprochement des deux noyaux d'hydrogène. C'est la raison pour laquelle il est 
préalablement
nécessaire d'échauffer le plasma jusqu'à ce que les réactions de fusion 
Ss'initient. L'objectif est
ensuite d'atteindre le seuil d'ignition, c'est-à-dire le moment où l'énergie 
libérée par les réactions de
fusion suffit à maintenir la température nécessaire à la fusion.

1.1 - Température à atteindre pour initier la fusion

La question suivante nécessite une prise d'initiative en modélisant la 
situation proposée. Il est
attendu de préciser chaque notation introduite, d'expliciter les hypothèses 
effectuées, de mener de
bout en bout un calcul littéral, puis d'effectuer l'application numérique.

Q30. La taille typique des noyaux d'hydrogène est de 10° m. En raisonnant dans 
le cadre de la
mécanique classique, estimer l'ordre de grandeur de la température nécessaire 
pour que les
réactions de fusion démarrent.

Q31. La température à atteindre est en fait de l'ordre de 150 millions de 
degrés. Quel phénomène
quantique est à l'origine de l'écart avec la température obtenue à la question 
précédente ?

1.2 - Chauffage ohmique par induction

Dans les tokamaks (figure 2), une partie de l'échauffement est réalisé par 
induction. Un solénoïde

situé au centre du tokamak produit un champ magnétique B; dépendant du temps. 
Le plasma, de
géométrie torique, entoure ce solénoïde central : il est alors parcouru par un 
intense courant induit
qui, par effet Joule, échauffe le plasma. On se propose de modéliser 
sommairement cette situation.

On se place en coordonnées cylindriques (r,0,z) d'axe (Oz). Le solénoïde 
central d'axe (Oz), de
rayon a.;, est parcouru par un courant i,(t) qui génère un champ magnétique Br, 
t), tel
que B;(r < a,t) = Bi(t)e; (avec B constant) et B.(r > a:,t) = 0. Le plasma est 
assimilé à une
boucle de courant filiforme parcourue par i,(t), de même axe que le solénoïde 
central et de rayon
a) > a, (figure 7).

Boucle de
courant

Q
N
©

L

------ Solénoïde

= central
[7

Figure 7 - Représentation schématique du système solénoïde central -- plasma 
dans le tokamak

10/14
Q32. Exprimer l'inductance mutuelle M entre le solénoïde central et la boucle 
de courant, en fonction
de f et de a.. Calculer M pour le tokamak ITER, sachant que a, = 2 m et que le 
champ
magnétique au centre du solénoïde est de 13 T pour un courant maximal de 46 KA.

On modélise l'interaction entre le solénoïde et le plasma par le circuit 
électrique représenté figure 8.
Le solénoïde central, d'inductance propre L, et de résistance R., est parcouru 
entret =0ett=t;,

par le courant i,(t) = 1, (1 -- 2) avec 1, et t,. des constantes. La boucle de 
courant représentant le
0 ta 0

plasma a pour résistance R, et pour inductance propre L, ; elle est parcourue 
par le courant i,(t).
À t < 0, le courant i, est nul. M est l'inductance mutuelle entre les deux circuits. l M L2 FF CN À: (| f R) Figure 8 - Circuit équivalent au système solénoïde central -- plasma Q33. Montrer que i,(t) vérifie l'équation différentielle : di à Jo dt TD avec 7. et Tr, qui seront exprimés en fonction de Z,, R,, M et de t.. Q34. En déduire i,(t). En supposant t & 7,, simplifier cette expression par un développement limité au premier ordre en t/Tt>.

Q35. Exprimer l'énergie reçue par R, entre t =0ett =t, en fonction de R,, L,, 
M,I,etdet.;,en
supposant que t, < t,. Quel est l'effet de cette énergie sur le plasma ? Q36. Le physicien américain Lyman Spitzer a établi en 1950 que la résistivité 9 d'un plasma soumis à un champ magnétique dépendait de la température T du plasma proportionnellement à T-3/2, À partir de cette information, quelle critique peut-on émettre sur la modélisation effectuée dans cette partie ? 1.3 - Échauffement par ondes électromagnétiques En complément du chauffage ohmique, l'utilisation d'ondes électromagnétiques est envisagée. On se place ici dans l'hypothèse d'un plasma dilué non relativiste. On munit l'espace d'une base orthonormée directe (u,,u,,u,) et on suppose qu'une onde électromagnétique plane transversale de champ électrique Ë = E,(z, t)u; +E,(z,t)u, se propage selon u;. Du fait du confinement magnétique, on tient compte de la présence d'un champ magnétique stationnaire et uniforme qu'on suppose colinéaire à la direction de propagation : Bo = Bo U,. 11/14 Q37. Écrire les équations de Maxwell. On notera 7 la densité volumique de courant et p la densité volumique de charge. Q38. Montrer que le caractère transversal de l'onde implique p = 0. Q39. Établir l'équation d'onde sur le champ électrique E : où c sera exprimée en fonction de & et de Lo. On souhaite maintenant déterminer 7 dans le plasma. Q40. Pour quelle raison peut-on faire l'hypothèse que les ions du plasma ont une contribution négligeable devant celle des électrons dans l'expression de 7 ? Par la suite, on n'envisagera que la contribution des électrons dans l'expression de 7. On suppose que le champ électrique est une pseudo-onde plane progressive sinusoïdale à laquelle on associe une polarisation circulaire gauche (figure 9), qu'on écrit sous forme complexe : E(z,t) = Es exp (i(wt -- kz)) u,x -- iEp EXp (i(wt -- kz)) Uy avec w la pulsation et k le module d'onde complexe. On étudie le mouvement d'un électron dans le plan z = 0 sous l'effet conjugué du champ électrique E(z, t) et du champ magnétique Bo. En régime permanent, sa vitesse a pour expression complexe : v = v, exp(iwt) u, + v, exp(iwt) u, avec v, et v, les amplitudes complexes. On considère que les seules forces s'exerçant sur l'électron sont la force électrique et la force magnétique liée au champ magnétique statique Bo. On néglige le poids de l'électron et la force magnétique liée au passage de l'onde. a S a sS Figure 9 - Onde de polarisation circulaire gauche se propageant parallèlement au champ magnétique EX 12/14 Q41. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'électron, montrer que vx et vy vérifient le système : id  iW, Ve = -- + --7v -- © d  iw. Vy = ------V 4 [0 [0 --X eBo k avec w, = -- la pulsation cyclotron et a à exprimer en fonction de e, m, et de E,;. Me La résolution de ce système d'équations permet d'établir la relation, vraie pour tout z : (ca _ = | [Su E . Me (& = We) = Q42. Lorsque w = w,, l'onde électromagnétique échauffe le plasma : expliquer pourquoi. On parle alors de chauffage à résonance cyclotronique électronique. Justifier le terme de résonance employé dans cette situation. Q43. On note n, la densité volumique d'électrons (en m%) dans le plasma. Établir l'expression de 2 puis montrer que la relation de dispersion de cette onde s'écrit : 2 k?2 -- 2 (1 ... Op | -- c2 &(& -- &,) la pulsation plasma. noe? avec Op -- mMeëo Q44. Calculer la pulsation plasma w,, au sein du tokamak ITER dans lequel n; = 1:10°° m*. oct oc? +4wp? 2 Sur la figure 10, on a tracé _ en fonction de w. On a introduit la pulsation w,, -- ; Q ( I I l l l l I I I I l l l l I I I I l l l l I Figure 10 - Relation de dispersion 13/14 Q45. Déterminer, en justifiant votre réponse, pour quel(s) intervalle(s) de pulsations l'onde peut se propager dans le plasma. Q46. Déterminer la vitesse de phase de l'onde pour w = w.. Interpréter. FIN 14/14