CCINP Physique 2 PC 2000

SESSION 2000 PC009

A

CONCOURS (0MMUNS POLYTECHNIQUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE-FILIÈRE PC

PHYSIQUE 2

DURÉE : 4 heures

L 'utilisation des calculatrices est autorisée - Les deux problèmes sont 
indépendants.

PROBLEME I-- SEPARATEUR MAGNETIQUE A FERROFLUIDES

Un fluide magnétique est une suspension colloïdale, stable et homogène,de 
particules
ferromagnétiques de diamètre moyen inférieur à 10 nm dans un fluide de base. Le 
liquide de base
confère au ferrofluide ses propriétés hydrodynamiques, tandis que les 
particules ferromagnétiques
assurent une splitéabilité magnétique relative de l'ordre des unités.

La relation entre les vecteurs ËetË est Ë=uo(IÏI+M), où Ëreprésente le champ

magnétique, ËI l'excitation magnétique et M le vecteur aimantation. La relation 
M = M(H)
linéarisée est donnée dans la figure 1 :

M X...H pourHH0 ; HOMS=4OmT

5

où x... est la susceptivité magnétique du ferrofluide.

Les vecteurs É, M et Ë sont colinéaires et B, M et H

représentent le module des vecteurs.
On peut donc écrire, pour un fluide non saturé (HHo

Expliciter les constantes A1, A2, C1.

Pour la suite on prendra A1 = 0,775 8.1.
A2 = 2,32.10'2 5.1.
C. = 22,2 S.I.

L'énergie magnétique du système considéré est localisée entre les pièces 
polaires avec une
2 2
den51te volum1que W... = H--2-- dans le flu1de magnet1que, et uo ? dans le 
petit corps.

1.5.2 On note : UË le volume du fluide magnétique

o le volume du petit corps
et U : UÊ + D

Le corps étant très petit, on peut considérer que l'énergie magnétique dans le 
domaine du
H2(Z)

2 0, où 2 est la position du centre de masse du corps.

corps est po

Exprimer l'énergie magnétique du système comme la somme de deux termes, dont 
l'un sera
indépendant de z et se calcule comme une intégrale sur D , et l'autre fonction 
de 2.

1.5.3 Retrouver, par des considérations énergétiques, l'expression de la force 
Fm .

1.6. Traiectoires des particules dans le séparateur magnétigue

On considère un petit corps de splitéabilité po de masse m , volume 0 et masse 
volumique p,

----- --.

lancé à l'instant t = 0 avec la vitesse initiale V0 Vox +YOZ dans la zone 
active du séparateur
(figure 5).

Fig.5

On note Pe la masse volumique du fluide et on néglige la force que le fluide 
oppose au mouvement

du petit corps.
1.6.1 Ecrire l'équation différentielle satisfaite par f(t) avec 'r' = O_M.

1.6.2 On considère le cas H>Ho et on note :
N iCl

%
champ magnétique.

pl; : p [ + la masse volumique apparente du fluide magnétique en présence du

Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire du petit corps x(t) et 
z(t).

On considère maintenant V0 : VoüX et on note x* la valeur de x pour 2 = h.

1.6.3 Montrer que dans le cas H>H0
1/2

Tournez la page S. V. P.

1.6.4 Calculer le nombre d'ampères tours N i pour lequel le petit corps reste à 
la surface du fluide
magnétique.

Application numérique : pe : 1500 kg/m3 ; p = 8900 kg/m3 et g = 9,81 m/s2

1.6.5 Déterminer z = z(x) pour HI
X
0

on modélise un élément de longueur dx par le quadripôle représenté dans la 
figure 2.

i(x,t) R0dx Lodx i(x+dx,t)

Fig.2 u(x,t) C dx È G dx u(x+dx,t)

0 0

où R... L.,, G.,, et C0 représentent respectivement la résistance, 
l'inductance, la conductance et la
capacité par unité de longueur de ligne. Les bornes H 'et 2--2' représentent 
respectivement l'entrée

et la sortie d'une ligne de longueur ! .

11.1. Déterminer le système d'équations aux dérivées partielles satisfait par 
u(x,t) et i(x,t) en
appliquant les lois des mailles et des noeuds sur le quadripôle de la figure 2.

11.2. A quelles grandeurs locales du champ électromagnétique correspondent les 
grandeurs
intégrales u(x,t) et i(x,t) ?

Pourquoi le mode de propagation réalisé par ce système s'appelle transverse
électromagnétique (TEM) ?

11.3. On considère, pour une ligne de longueur EUR , le régime sinusoïdal 
permanent.
On note: Ï2 = (R0 +joeLOXGO +joeCo)
avec X=OE+jB ; a=a(oe)>0 ; B=B(oe)>0
où y est la constante de propagation, on la constante d'atténuation, B la 
constante de phase.
A une grandeur sinusoïdale :

u(x,t) : U(xficos(oe t+ (p(x)), on associe l'image complexe Q(x) : U(x)e"(x) .

11.3.1 Ecrire le système d'équations différentielles satisfait parQ(x) et 1(x), 
puis l'équation
différentielle satisfaite par Q(X).

11.3.2 Exprimer les solutions Q(X) et 1(x) en fonction de deux constantes A] et 
A2 , de y et de

l'impédance caractéristique de la ligne

' L
Ze = --R°--OEÈ--°-- ; on posera Z() : °
G0 + JCOCO C0

11.3.3 lnterpréter chaque terme de la solution 1_J(x)et donner leur expression 
en fonction de x et
de t. Préciser la vitesse de phase et la longueur d'onde.

11.4. Pourquoi le fait que la vitesse de phase v dépende de a) est dérangeant 
pour une

. . R G . . . .
communication téléphonique ? Montrer que 51 L--° : C--° , la ligne dev1ent sans 
d15per51on.
() 0

11.5. Déterminer Q(x) et 1(x) en fonction de 3 = Q(o) et I_ = I(o) .

11.6. Entre les bornes 2 - 2', on branche un dipôle d'impédance Z .

Tournez la page S. V. P.

Calculer l'impédance d'entrée :

z =ËL
11

_e en fonction de Z, &&

Que devient cette expression pour une ligne sans atténuation (RO= 0 ; Go= O)? 
Exprimer
U(x) et l(x) dans ce cas.

. , . À , . .
Il.6.l Pour une ligne sans attenuatron de longueur [ = --, determiner Ze 51 
entre le bornes 2 - 2' on

4
branche un condensateur de capacité C.

II.6.2 Pourquoi un générateur n'apprécie pas une ligne de longueur EUR = , sans 
atténuation,

Z
connectée à ses homes l - l' '?

II.7 On considère le montage suivant :

llT1
IN

l' EUR 2'

[1.7.1 Déterminer le courant l(x) en fonction de E,Zg,ZC et des coefficients de 
réflexion en

courant
6 _Z A , Ze _Zg ,. , , ,
p = " * cote charge et p = cote generateur.
_} ZC+Z _2 Zc+Zg
E --2
On note 10 : --Z et oc=p,p,e YZ
Zg + _c

[1.7.2 Pour des charges Z passives la] < 1 . l 1--oc En développant en série, interpréter les termes de l(x). Fin de l'énoncé