CCINP Physique 2 PC 2004

 

SESSION 2004 l . PCP2009

CONCOURS (OMMUNS POlYTE(HNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices est autorisée. Les deux problèmes sont 
indépendants.

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N. B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision
de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d 'e'nonce', il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu 'il a été amené à prendre.

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PROBLEME I - OPTIQUE GEOMETRIQUE ET PHYSIQUE

A. Optique géométrique.
On considère un rayon lumineux incident situé dans un milieu 1 d'indice de 
réfraction n,, venant
frapper un dioptre plan qui le sépare du milieu 2 d'indice de réfraction riz.

A.]. Lois de Snell -- Descartes.

A.1.1. Enoncer les lois de la réflexion, accompagnées d'un schéma succinct.
A.1.2. Enoncer les lois de la réfraction, accompagnées également d'un schéma.
A.1.3. Expliquer brièvement les phénomènes de réflexion totale et d'angle 
limite.

A.2. Réfraction dans un prisme - Mesure de l'indice d'un verre.

On considère un prisme d'angle A, transparent, homogène et isotrope d'indice n 
plongé dans l'air
d'indice 1 (cf. Fig. 1). Les angles apparaissent sur la figure 1 et 
correspondent aux conventions

traditionnelles.

Fig. 1 : Vue en coupe du prisme perpendiculairement à son arête.

A.2.1. Montrer qu'un rayon incident pénètre forcément dans le prisme.

A.2.2. Ecrire les lois de Descartes aux points I] et 12.

A.2.3. Montrer la relation entre les angles A, r], et r2.

A.2.4. Définir l'angle de déviation, noté D, et l'exprimer en fonction des 
angles A, il et l2.

A.2.5. On constate expérimentalement que l'angle D prend une valeur minimum 
D... lorsque l'on
fait varier l'angle d'incidence il.

Montrer que lorsque D = D... alors il : i2 : i... et r] : r2.

Démontrer que l'indice n est donné par la relation : n : sin[(D...+A)/2] / 
sin(A/2)

A.3. Application à la mesure de l'indice d'un verre.

La technique du minimum de déviation permet de mesurer expérimentalement 
l'indice du verre
d'un prisme. Cette mesure est effectuée à l'aide d'un goniomètre (cf. Fig. 2.) 
constitué d'un plateau
mobile gradué en degrés et en minutes, sur'lequel est placé le prisme. Un 
collimateur, constitué
d'une source lumineuse ponctuelle monochromatique, placée au foyer d'une 
lentille convergente,
permet d'envoyer sur le prisme un faisceau de rayons lumineux parallèles. Une 
lunette de visée,
réglée à l'infini et placée sur un bras mobile, permet l'observation des 
faisceaux émergent ou

réfléchi.

Collimateur

Plateau
mobile gradué

Fig. 2 : Goniomètre -- Mesure de A.

A.3.1. Mesure de l'angle A du prisme.
Le prisme est placé vis à vis du collimateur de façon à ce que ses deux faces 
reçoivent à peu près

autant de lumière (cf. Fig. 2). Avec le viseur on relève les angles ou et ocz 
des faisceaux réfléchis par
les deux faces.

Exprimer A en fonction de ou et 0t2.
A.N. : Expérimentalement on relève ou : ll9°58' et OL2 : 240°O4' ; calculer A.

A.3.2. Mesure de D....
On dispose l'ensemble plateau-prisme de façon à observer le minimum de 
déviation ; on relève

alors l'angle B; indiqué sur la Fig. 3.
On recommence la même opération en faisant entrer le faisceau incident par 
l'autre face du prisme ;

on relève alors l'angle BZ.

Source '

Collimateur

Fig. 3 : Mesure de D....

Exprimer D... en fonction de [31 et 52- _
A.N. : [32 = 218042' et B] = 141016' ;calculer Dm.

A.3.3. En déduire l'indice n du verre utilisé pour fabriquer le prisme.

A.3.4. Incertitude.
On considère que l'erreur de mesure est identique pour les angles A et Dm et 
telle que AA : AD... : 2'.

En déduire l'incertitude absolue An sur la mesure de n.

B. Théorie électromagnétique de la lumière.
Les vecteurs sont notés en caractères gras.

B.1. Le champ électromagnétigue dans le vide.

B.1.1. Ecrire les équations de Maxwell dans le vide, en l'absence de charges et 
de courants.

B.1.2. En déduire les équations vérifiées par le champ électrique E et le champ 
magnétique B.
Que peut-on alors affirmer concernant le champ électromagnétique (E,B) ?

B.1.3. Dans quel(s) référentiel(s) les équations obtenues sont--elles valables 
'? Quelle en est la
conséquence et quel nom porte la théorie qui en découle ?

B.2. Onde électromagnétigue dans le vide.
L'espace est rapporté au repère cartésien orthonormé (O ; ex, ey, ez).

On considère un champ électrique E solution de l'équation obtenue en B.1.2., 
sous la forme
E : EO cos(oet -- kz - (p) ey où E0 et (p sont des constantes.

B.2.1. Caractériser complètement l'onde associée à ce champ électrique.

B.2.2. Etablir la relation de dispersion du vide et donner l'expression du 
vecteur d'onde k. Le vide
(supposé illimité ici) est--il un milieu dispersif '? Justifier.

B.2.3. Rappeler la structure de l'onde plane progressive et en déduire 
l'expression du vecteur
champ magnétique B associé à cette onde.

B.2.4. Déterminer le vecteur de Poynting R de l'onde.

B.2.5. Que représente la moyenne dans le temps du flux de R à travers une 
surface S
perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde '? L'exprimer.

B.3. Ondes lumineuses et interférences dans un milieu.

On caractérise une onde lumineuse en un point P d'un milieu diélectrique, 
linéaire, homogène et
isotrope (DLHI), à la date t, par une grandeur lumineuse scalaire s(P,t) 
associée au vecteur champ
électrique E de l'onde.

En notation complexe, on écrira: s(P,t) : so exp[i(k.r + (p -- oet)] où sa est 
l'amplitude supposée
constante. k le vecteur d'onde, r : SP (S étant le point source lumineux) le 
vecteur position et (p la
phase à l'origine.

B.3.1.
a) Rappeler l'expression du vecteur d'onde k en fonction de À, longueur d'onde 
dans le milieu de
propagation de l'onde.

b) Que représente physiquement le terme exp(i k.r) présent dans l'expression de 
_s_(P,t) ?
c) Quelle particularité possède ici la phase à l'origine (p ?

B.3.2. On considère, en un point P du milieu DLHI, la superposition de deux 
ondes issues de deux
sources ponctuelles SI et 82 monochromatiques (pulsations respectives (Ù1 et 
(Dz, phases à l'origine
respectives (pl et (pz ). On appelle n l'indice du milieu dans lequel on opère.

a) Ecrire, au point P, les grandeurs lumineuses complexes sl(P,t) et _s_2(P,t) 
associées aux deux
ondes. On prendra la même amplitude so pour les deux grandeurs lumineuses.
En déduire la grandeur lumineuse complexe _s_(P,t) résultant de la 
superposition des deux ondes.

b) Calculer alors l'intensité lumineuse 1 que l'on définit simplement ici par I 
= < _s_.s*>, _s_* étant le
complexe conjugué de @. On notera 10 = < s02 >.

EUR) En déduire les conditions d'obtention d'un phénomène d'interférences.

d) Donner l'expression de 1, lorsque ces conditions sont réunies, en fonction 
de 10, n, ?... la longueur
d'onde dans le vide et des distances SIP et SzP.

C. Interférences.

C.1. Figure d'interférences créée par deux sources monochromatiques cohérentes.

On considère deux ondes de même amplitude so, émises par deux sources 
ponctuelles
monochromatiques situées dans le vide, 51 et 82, distantes de la longueur a, 
ces deux sources étant
cohérentes et en phase. On négligera la variation des amplitudes en fonction 
des parcours r1 et r2_

(3.1.1. On considère un plan d'observation parallèle à la droite des sources et 
situé à une distance D
de celle--ci (cf. Fi g. 4), le point courant P décrivant l'axe OX. On suppose 
que D>>a et D>>X.
X

P(X)

Fig. 4 : Plan d'observation parallèle à la droite des sources.

Exprimer I en fonction de X, position du point P de l'écran.

C.1.2. Définir et exprimer l'interfrange i.

C.1.3. On considère maintenant un plan d'observation perpendiculaire à la 
droite des sources et
situé à une distance D de leur point milieu (cf. Fig. 5). On suppose que D>>a 
et D>>p.

P(D)

D

Fig. 5 : Plan d'observation perpendiculaire à la droite des sources.

a) Exprimer la différence de marche 8 en fonction de a et 9.
b) Justifier la figure d'interférences observée à l'écran.
c) Exprimer l'intensité I au point P de l'écran.

D. Applications.

D.1. Franges d'égale inclinaison.

D.1.1. Franges de Pohl -- Source ponctuelle.
L'utilisation d'une lame mince en verre ou en mica à faces parallèles d'indice 
n permet d'observer

un phénomène d'interférences connu sous le nom de «franges d'égale 
inclinaison». La figure 6
présente le dispositif expérimental pour une source ponctuelle monochromatique 
de longueur

d'onde ?... (dans le vide).

P(O)

Fig. 6 : Dispositif à franges de Pohl.

L'écran est situé parallèlement à la lame à une distance D de celle--ci, la 
source S étant située à une

distance d de la lame (d << D). Deux rayons issus de S interfèrent en P situé à la distance p de O. Le premier se réfléchit sur la face avant de la lame, ce qui rajoute un déphasage supplémentaire de K. Le second se réfléchit sur la face arrière sans introduire de déphasage. a) Décrire la figure d'interférences observée à proximité de O. b) Exprimer le chemin optique (SP)] parcouru par le rayon issu de S et se réfléchissant sur la face avant de la lame, en fonction de d, D, p, et À0/2. c) Exprimer le chemin optique approché (SP)2 parcouru par le rayon issu de S et se réfléchissant sur la face arrière de la lame, en fonction de d, D, p, e, et n. Nota : On considèrera que les angles étant très faibles, les trajets représentés au sein de la lame d'indice n (Fig. 6) sont quasiment parallèles à la direction OS. d) En déduire la différence de marche 6 ainsi que l'ordre p d'interférence entre les deux rayons. e) En supposant que les deux ondes interférant en P sont d'amplitude semblable, exprimer I, intensité lumineuse en P. D.1.2. On réalise expérimentalement le dispositif des franges de Pohl en utilisant une source ponctuelle monochromatique de longueur d'onde ?... : 0,58um (dans le vide) située à une distance d = 25 cm d'une lame de mica d'indice n = 1,617 et d'épaisseur e : 13pm. L'écran est situé à une distance D : lm de la lame. a) Calculer l'ordre d'interférence po au point O de l'écran. Conclure. b) On note pl l'ordre d'interférence du premier anneau brillant. Donner la valeur de pl. En déduire l'expression de son rayon pl et le calculer. ième c) On considère le m anneau brillant d'ordre d'interférence p... et de rayon p.... Exprimer p... en fonction de pl et de m. Calculer les rayons p5 et p6 des cinquième et sixième anneaux brillants. (I) Comment caractérise-t--on un anneau sombre ? Calculer le rayon p1' du premier anneau sombre. D.1.3. Source étendue. a) Que constate--t-on si on déplace la source S, parallèlement à l'écran, d'une distance L ? b) On substitue à S une source large (sa largeur étant considérée parallèlement à l'écran). Est--il toujours possible d'obtenir une figure d'interférences à l'écran ? Quelle est la largeur maximale de la source permettant d'observer distinctement les cinq premiers anneaux lumineux ? c) Si l'écran est placé à grande distance de la lame, que se passe-t--il ? Que peut--on en déduire sur l'utilisation d'une source large ? d) Proposer un dispositif pratique permettant d'observer le phénomène d'interférences à l'infini. Faire un dessin et justifier le nom donné à la figure d'interférences observée: "Franges d'égale inclinaison". PROBLEME Il -- PROPAGATION DANS UNE LIGNE COAXIALE La transmission des signaux électriques dans les câbles est sujette à des limitations dues aux eflets Joule liés & l'imperfection des matériaux utilisés, qu'ils soient considérés conducteurs ou isolants. En outre, l 'analyse de Fourier montre que les signaux de formes quelconques ne peuvent être transmis sans déformation que si le traitement subi par chaque composante spectrale est indépendant de la fréquence. La première partie de ce problème est limitée à l'étude de la transmission en régime continu. La seconde aborde, en régime sinusoïdal, l'optimisation du comportement fréquentiel d'un câble coaxial. Préliminaire : adaptation d'impédance Un générateur de fem e(t) : Em cos(oet) d'impédance interne 20 = R0 + jXO alimente un réseau d'utilisation d'impédance Zu : Ru + qu (j est le nombre complexe tel que j2 = ----1). a) Déterminer la puissance active fournieau réseau d'utilisation en fonction de E... et des caractéristiques des impédances. b) Les caractéristiques du générateur étant imposées, quelles sont les conditions sur Xu puis sur Ru qui permettent d'obtenir une puissance active maximale. Exprimer Zu en conséquence. 1. Modélisation de la ligne coaxiale en régime continu Un générateur équivalent à une source de tension V0 en série avec une résistance RO est branché à l'entrée (à l'abscisse x = 0) d'une ligne continue de longueur X. Lorsque cette ligne présente, par unité de longueur, une résistance longitudinale r et une conductance transversale g, elle est modélisable selon le réseau en échelle dessiné figure [1], chaque maillon correspondant à une section d'épaisseur infiniment petite dx. Fig.[1] 1.1. On désire établir le modèle équivalent de Thévenin du montage de la figure 1, en regard vers la source, à l'abscisse x+dx, en fonction de celui correspondant à l'abscisse x (cf. Fig. [2]). 1.1.a. Rappeler l'énoncé du théorème de Thévenin (fem et résistance équivalentes). 1.1.b. Détermination de la résistance équivalente de Thévenin R(x) : Exprimer la résistance équivalente de Thévenin R(x + dx) en fonction de R(x) et des caractéristiques de la ligne. En effectuant un développement limité au premier ordre en dx, écrire une équation différentielle du premier ordre en R(x). On posera r = g RC2. Montrer alors que R(x) peut s'écrire sous la forme : alebx + a2e_ alebX --a2e_ bx R(x) = R c bx où a 1, a2 et b sont des constantes à préciser en fonction des caractéristiques de la ligne. u--a +Cte On donne: --------- :_ ln du 1 u2 --a2 23 u+a 1.1.c. Détermination de la tension équivalente de Thévenin U(x) : Par un raisonnement analogue, établir l'équation différentielle du premier ordre régissant la tension de Thévenin U(x). Exprimer alors cette tension U(x). b bu 1 u .... a e +a e Ondonne:]1 b 2 --b du=--ln 816 u--826 u b 211 EURbu --82 EUR--bu + CtEUR 1.2. On adapte la résistance RO du générateur de manière à rendre la résistance R(x) indépendante de la longueur de la ligne. Exprimer dans ce cas R0 et R en fonction de RC puis exprimer U(x). 2. Adaptation de la charge au maximum de puissance La condition précédente étant réalisée, de sorte que R(x) soit bien indépendante de x, quelle résistance doit--on brancher à l'extrémité X de la ligne pour en extraire le maximum de puissance active '? Cette charge étant mise en place et V(x) désignant la tension en un point d'abscisse x, montrer que la relation V(x) : U(x)/2 est vérifiée en tout point de la ligne. Exprimer alors V(x) en fonction des paramètres VO, RC et g. 3. Modélisation de la ligne coaxiale en régime sinusoïdal ; pupinisation Pour étudier le comportement réel de cette ligne on doit ajouter, par unité de longueur, une auto-- inductance longitudinale [ et une capacité transversale c. Le schéma d'un maillon élémentaire est dessiné figure [3]. Fig.[3] La ligne est maintenant alimentée par un générateur basse fréquence qui délivre une tension sinusoïdale que l'on écrira sous forme complexe : 60 = V() eÏOEÎ. L'impédance complexe interne du générateur est notée 20. On utilisera la notation complexe dans toute cette partie. 3.1. Simplifier le schéma électrique de l'élément de ligne de longueur dx en regroupant les deux éléments en série sous forme d'une seule impédance écrite dZ : z dx et les deux éléments en parallèle sous forme d'uneseule admittance écrite dY : y dx. Préciser z et y en fonction des données. 3.2. Les résultats de l'étude en régime continu vus à la question 1, restent valables pour le régime sinusoïdal à condition de remplacer résistances par impédances. La relation r = g RC2 étant à remplacer par 2 = y ZC2, exprimer ZC en fonction des données. Z(x) se substituant à R(x), en déduire l'impédance complexe 20 du générateur permettant d'obtenir une impédance complexe de Thévenin Z(x) indépendante de x. Quelle doit être alors l'impédance complexe à brancher en sortie de ligne afin d'extraire de celle-ci le maximum de puissance active ? \ 3.3. Les paramètres r, 6, g et c peuvent être optimisés de manière a rendre l'impédance ZC indépendante de la fréquence. Etablir la condition r/g : f(Æ/c) correspondante. Simplifier dans ce cas les expressions de ZC et de 20. 3.4. On note V(x,t) : V(x) eJ°Jt la tension à la position x de la ligne et U(x,t) : U(x) ei")t la tension de Thévenin à la même position x de la ligne. Lorsqu'on connecte en sortie de ligne une résistance RC : (r/g)V2, la tension V(x) reste toujours égale à U(x)/2 quel que soit x. En s'appuyant sur la condition et les résultats précédents, donner alors l'expression de V(x,t) en fonction des paramètres VO, r, g, @, c et (1). Montrer qu'il y a propagation d'une onde électrique et caractériser cette pr0pagation. Exprimer la vitesse de phase et l'atténuation. L'onde est-elle dispersive ? Est--elle filtrée ? La pupinisation est un procédé pratique, utilisé dans le but de réaliser la condition établie en (33). On intercale des bobinages, de distance en distance, afin d'augmenter globalement l'auto--inductance EUR . Quel effet produit ce procédé sur la vitesse de propagation de l'onde ? 3.5. Les données pour un câble coaxial, dont le conducteur axial possède un rayon a et le conducteur périphérique possède un rayon b, sont : g=_eg_...3 C=M ., ,____1_ ae(ï.i) 27z a b 272 20" a b ln-- a Permittivité du vide 80 : 1/(36 % 109) F/m - Perméabilité du vide ...) = 4 n 10"7 H/m - Permittivité relative de l'isolant EURr : 2,1. La résistance par unité de longueur dépend de la conductivité G des conducteurs, mais aussi de la pulsation ou, à cause de l'effet de peau. Le paramètre g répondant à la condition établie en (3.3), rechercher une valeur du rapport b/a qui minimise le facteur d'atténuation de la ligne. Quelle est alors la valeur de l'impédance caractéristique de la ligne, c'est-à--dire la valeur de l'impédance ZC qui, branchée en bout de câble, permet de fonctionner dans ces conditions ? Fin de l'énoncé