CCINP Physique 2 PC 2007

 

OEOH50--m .? " 0@H5ñ--...

« Ê5...wÈË

Un... âfl--A--h - HDO--h--Oflùæ ËËAM

......=o_z=vuh>dOm oe2=$£ov moe=0u20v

'

Les calculatrices sont autorisées
>l<>l<>l< Les deux problèmes sont indépendants et ont sensiblement le même poids. *** N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance a la clarté, a la précision et a la concision de la rédaction ; si un candidat est amené a repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu 'il a été amené a prendre. >X<>X<>X< PROBLÈME 1 - FENTES D'YOUNG Ce problème étudie, a l 'aide d 'un goniomètre, les interférences produites a l infini entre les deux faisceaux de lumière diffractés par une bifente d'Young. Une représentation de l'intensité lumineuse en fonction de la direction de diffraction, appelée indicatrice d'intensité, permet d'analyser l influence de la largeur de ces fentes. Dans une deuxième partie, une méthode de mesure de l'indice de l'air est proposée, utilisant des compensateurs a prismes réglables. Globalement, en incluant les questions annexes, l'ensemble est composé de cinq parties indépendantes. 1) Questions préliminaires Les réponses attendues doivent être brèves et données sans démonstration : 1.1) Expliquer en quoi le phénomène de diffraction s'écarte de l'optique géométrique. 1.2) Enoncer le principe d'Huygens-Fresnel en différenciant les contributions de chaque savant. 1.3) La diffraction à l'infini exige quelques conditions pour être observée. Préciser lesquelles. 1.4) Rappeler les conditions d'obtention d'un phénomène d'interférences lumineuses à deux ondes. Comment obtient-on en pratique deux sources lumineuses obéissant à ces conditions ? 1/12 2) Réglage du goni0mètre L'appareillage utilisé (Figure 1) comporte : a) Une lampe spectrale. b) Un collimateur dont la fente d'entrée F est accolée à la lampe spectrale et dont l'optique est réglable au moyen d'une lentille mobile Ll . c) Une lunette de visée, autocollimatrice, possédant un réticule fixe R , un oculaire assimilable à une lentille mobile L3 et un objectif à tirage réglable, assimilable à une lentille mobile L2 . Ay Collimateur à fente F Ll Bifente d'Young / ,/ // / Lampe \/ \ f / 0 l// \_(î /// , spectrale / -- // Figure 1 Dans un premier temps, on veut régler le système pour avoir à la fois une source lumineuse à l'infini et une lunette afocale pour une visée à l'infini. Pour ce faire, on dispose d'un miroir plan auxiliaire que l'on peut, lorsque nécessaire, poser sur le plateau du goniomètre. -- Décrire le processus de mise au point en précisant l'ordre chronologique du déplacement des trois lentilles. 3) Observation du faisceau diffraeté par une fente très fine L'observation des franges d'Young au goniomètre doit se faire avec des fentes bien parallèles à l'axe de rotation de l'appareil. On se limitera ici à démontrer que pour un ensemble de sources ponctuelles, monochromatiques, de même longueur d'onde, cohérentes et en phase, réparties de manière continue le long d'une droite, l'émission ne peut s'observer que dans une direction normale à cette droite. Pour ce faire, il conviendra de suivre la démarche proposée ci-après. 3.1) Cas d'un segment de droite Une infinité de sources lumineuses infinitésimales se trouvent réparties de manière continue sur un segment de droite [Figure 2] de longueur h dont les extrémités sont positionnées, selon un repère cartésien orthonormé (O,x,y,z), en C1(O , 0 , h/2) et C2(O , 0 , --h/2) . On admettra qu'en tout point C(O , 0, z) de ce segment existe une source quasi ponctuelle de longueur infiniment petite dz . Toutes ces sources, continuellement en phase, rayonnent dans le vide une même lumière monochromatique de longueur d'onde 7t . Dans ce qui suit, on se limitera à l'étude des interférences à l'infini de tous les rayons possédant une même direction d'angle B par rapport à l'axe OZ et situés dans un même plan contenant cet axe (plan de figure). Chaque source est caractérisable à l'infini par une amplitude complexe : @ = AO eXp(J' 'P) dz Le nombre complexe de module unité et d'argument Tt/2 est noté j . 2/12 La phase '--P , liée à l'angle B et à la position 2 du point C , sera référencée par rapport à la phase de la source située en O , laquelle phase sera considérée comme nulle à l'infini. 3.1.a) Exprimer, en fonction de z et de B , la différence de marche ôm avec laquelle s'accompagnent jusqu'à l'infini le rayon issu du point courant C positionné à la côte z et le rayon issu de l'origine des coordonnées 0 . En déduire le déphasage 'P correspondant. 3.1.b) En sommant toutes les vibrations lumineuses diffractées dans la direction B , démontrer que l'amplitude résultante peut s'écrire sous la forme : . h sm nicosB S=A _ 0 nicosB ?» 3.1.c) Dans le cas particulier où B : Tt/ 2 calculer la limite SO de l'expression & précédente puis exprimer & en éliminant A() au profit de S0 et de h . 3.2) Cas de la droite infinie Pour obtenir l'amplitude résultante dans le cas d'une droite infinie, il suffit de reprendre le résultat précédent en faisant tendre le rapport h/Â vers l'infini. -- Expliquer alors pourquoi, en valeur relative par rapport à l'amplitude SO dans la direction strictement normale à la droite Oz , cette amplitude & peut être considérée comme nulle dans toutes les directions B différentes de TC/2 . -- Si l'on se satisfaisait d'un rapport h/À % 2000 , quel serait, dans le domaine visible, l'ordre de grandeur de la hauteur de fente suffisante ? 4) Bifente d'Young -- Le plateau du goniomètre (Figures 1 et 3) est situé dans le plan (xOy) d'un repère cartésien orthonormé (O,x,y,z) et a pour axe OZ . -- Le plan (yOz) est occupé par un écran dans lequel sont ouvertes deux fentes orientées parallèlement à l'axe Oz. L'intersection de la première ouverture avec le plan (xOy) correspond au segment de droite situé entre les points d'ordonnées a et b . Celle de la seconde, symétrique de celle de la première, est située entre les points d'ordonnées --a et --b . -- Le collimateur, muni d'un filtre, envoie vers les fentes, normalement à celles-ci, un faisceau de lumière parallèle, monochromatique et cohérent. -- La lumière diffractée par les fentes, dans une direction d'angle 9 par rapport au plan sz, est observée à l'aide de la lunette autocollimatrice, pour être focalisée sur la rétine de l'oeil. 4.1) Exprimer, dans un même plan normal aux faisceaux observés (Figure 3), la différence de marche 8 , entre le rayon diffracté sous l'angle 0 , issu de la fente au point courant M(0, y, 0) et un rayon hypothétique (pris pour référence de phase) issu du point 0 sous le même angle 0 . 3/12 -b Ï Figure 3 4.2) Exprimer en fonction de la longueur d'onde % de la lumière dans l'air, de l'ordonnée y et de l'angle @ , le déphasage (|) du rayon issu de M par rapport au rayon de référence. 4.3) La vibration lumineuse issue d'un point M((), y, 0) , répartie sur une largeur dy , peut être caractérisée à l'infini par une amplitude scalaire complexe telle que cÆ : A0 exp @ (l)) dy tandis que la vibration de même direction @ issue du point symétrique M'(O, --y, 0) peut s'écrire : cÆ : A0 exp (--j (|)) dy. Exprimer, a l'aide d'une fonction trigonométrique réelle simple, la vibration résultante d_S : cÆ + cÆ . - Pour sommer l'ensemble des rayons lumineux issus des deux fentes, dans la direction 9 , il suffit alors de calculer l'intégrale de cÆ depuis la borne y = a jusqu'à la borne y = b . Effectuer ce calcul puis en déduire l'intensité lumineuse résultante I . - Exprimer I en fonction de la largeur des fentes d : b--a , de leur l'écartement D : b+a , de l'angle d'observation @ et du paramètre 10 : 4(A0 d)2 . Rappel : sin p -- sin q = 2 sin{(p--q)/2)} cos{ [p+q]/2}. 4.4) Cas particulier où les fentes d'Young deviennent infiniment minces : Dans son principe, ce cas reste intéressant à étudier bien que sujet & critiques. 4.4.a) Dans le cas où le paramètre b diminue jusqu'à tendre vers la limite supérieure du paramètre a , donner l'expression de l'intensité qui en résulte. 4.4.b) Les dimensions D : 2a et % étant fixées, on peut alors représenter, dans le plan (xOy), l'intensité lumineuse sous forme d'un vecteur de longueur I(9) orienté selon l'angle polaire @ . Par exemple, pour une valeur simple du rapport D/À , on obtient la représentation dessinée sur la figure 4 , que l'on peut nommer "indicatrice d'intensité". - Déterminer la valeur du rapport D/À correspondant a cette figure puis calculer la valeur 91 de l'angle polaire correspondant a la zone sombre la plus voisine de l'axe Ox . - Calculer la valeur 92 de l'angle polaire immédiatement supérieur a 91 , correspondant au maximum du lobe le plus voisin de l'axe Ox . - Expliquer pourquoi le nombre de lobes augmente avec le rapport D/À . 4/12 Figure 4 Figure 5 4.5) Cas de fentes larges vis-à-vis de la longueur d'onde % : Sachant que la fonction (sin x)/x devient pratiquement négligeable dès que la variable x excède TC , définir la valeur maximale 9maX de l'angle d'observation @ en limite de netteté. Exprimer la largeur angulaire AG : 2 9maX de la tache centrale de diffraction, en fonction de la longueur d'onde % et de la largeur d de chaque fente. Expliquer pourquoi, lorsque les fentes sont élargies, la zone d'observation A9 se resserre autour de l'axe Ox . Lorsque D/À et d/À augmentent simultanément, l'indicatrice d'intensité se déforme selon l'aspect représenté figure 5. - Sachant que X = 633 nm et qu'une mesure a donné A9 : 0,720, en déduire la largeur d . - Lorsque d / % >> 1 , le champ d'observation étant très étroit, dans 
l'expression de I(9) on peut
réduire sin 9 au terme du premier ordre de son développement limité en 9. En 
déduire
l'expression de l'interfrange angulaire Bi en fonction de X et de D .

Préciser la valeur numérique de Qi sachant que D = 0,60 mm .

5) Mesure de l'indice de l'air

L'indice de l'air étant exprimé sous la forme n = l + 8 , on cherche à mesurer 
l'écart 8 , très
petit devant l'unité. Dans ce but, on interpose sur chacun des faisceaux 
atteignant les fentes, en
avant de celles--ci, un tube de petit diamètre, de longueur L = 10 cm , orienté 
parallèlement à
l'axe Ox . Ces tubes sont identiques et initialement remplis d'air dans les 
conditions normales de
température et de pression. On interpose en outre, entre chaque tube et 
l'écran, un compensateur
de différence de marche. En sortie des compensateurs, les deux faisceaux sont 
repris par un
système optique particulier (fibres optiques) de manière à être ramenés dans 
l'axe des fentes,
nécessairement très rapprochées l'une de l'autre. Les compensateurs sont alors 
réglés de manière
à retrouver la figure de diffraction initiale. On établit ensuite un vide 
poussé dans le tube face a
l'ouverture (a,b), puis l'on modifie le réglage du compensateur aligné avec ce 
tube afin de
ramener le système de franges en place. L'écart &: se déduit de cette 
modification.

5.1) Pendant que le vide s'établit dans ce tube, dans quel sens 
(trigonométrique ou horaire autour
de l'axe OZ) tourne la figure de diffraction ? En donner ici une explication 
sommaire.
5/ 12

5.2) Etude d'un compensateur -- Réglage et mesure

Deux prismes rectangles tronqués,

@@ fixe d'indice N = 1,6 , de même petit angle
{ /

A = 10 sont accolés par leurs faces
hypoténuses (Figure 6) de manière à

constituer une lame à face parallèle
d'épaisseur réglable au moyen d'un
glissement Ay , perpendiculaire à l'axe

optique Ox , commandé par une vis
X micrométrique.

L'ensemble est placé dans l'air.

Figure 6

5.2.a) Exprimer le rapport Ae/Ay en fonction de A .

- Exprimer en fonction de N , n , A et Ay , la différence de marche compensée 
ôC , c'est-à--dire
la variation du chemin optique lors d'un glissement Ay.

- En négligeant 8 dans la différence (N--n) , calculer ôC sachant que le 
réglage, effectué une
fois le vide fait, a entraîné un déplacement de la vis micrométrique Ay : 2796 
um .

5.2.b) En comparant les chemins optiques avant le vidage puis après les 
opérations de vidage et
de compensations, déterminer l'expression de 8 en fonction de L et de ôC . En 
donner la valeur
numérique.

5.3) Pour estimer la sensibilité sur la mesure de ôC , les compensateurs étant 
ôtés, il est
nécessaire de reprendre les calculs développés dans la question (4.3) de 
manière à tenir compte
du déphasage oc , introduit lors du vidage, sur le trajet passant par 
l'ouverture (a,b) .

5.3.a) Exprimer ce déphasage oc en fonction de ôC et %.

5.3.b) Exprimer la nouvelle vibration élémentaire résultante cÆ : cË + 65 sous 
la forme ci-
après, en précisant la valeur du coefficient K et l'expression f(y/À , 9 , oc) 
de l'argument du
cosinus : d_S= Kexp(ioc/2) cos{f(y/À , 9 , oc)} dy .

- Comme en (4.3), sommer toutes les vibrations issues des fentes dans la 
direction 9 puis
exprimer, de la même manière, la nouvelle intensité lumineuse résultante I(oc) .

5.3.c) Dans le cas où l'angle d'observation @ s'avère très petit, simplifier 
l'expression I(oc) .

- Comparer ce résultat avec son expression en l'absence du déphasage oc .

- En déduire, en fonction de ôC et D , l'angle de rotation Q que le déphasage 
oc impose à la
figure de diffraction. Calculer la valeur numérique de Q , en degrés.

5.4) Sensibilité -- Influence de la température et de la pression de l'air

La précision du goniomètre est telle que le plus petit angle de rotation 
mesurable est égal à
(AQ)min= 0,02O . Calculer la plus petite variation de ôC mesurable : (Aôc)min .

On peut admettre pour l'air, dans les conditions normales de température (273 
K) et de pression
(1013 hPa), que 8 est inversement proportionnel à la température absolue T et 
proportionnel à
la pression P . Préciser quel écart de température (à pression constante) puis 
quel écart de
pression (à température constante) provoquera une variation AôC a la limite de 
sensibilité du

goniomètre.
6/12

PROBLEME II - MISE EN EQUILIBRE THERMIQUE

Dans ce problème sont comparés deux procédés de chauffage au moyen d'une 
résistance
électrique, le premier dans le cas ou la résistance est alimentée en continu, 
le second dans le cas
d'une alimentation par intermittence mettant en oeuvre un capteur de 
température et un
multivibrateur. Le fonctionnement du capteur et celui du multivibrateur sont 
aussi étudiés.

]) Analogies

1.1) Donner, en conduction thermique, les grandeurs analogues aux grandeurs 
électriques
suivantes : potentiel V , intensité de courant I , résistance électrique R . 
Préciser leurs unités.

- En déduire un équivalent de la loi d'Ohm pour la conduction de la chaleur.

- Existe-t-il, en régime permanent, une loi de l'électricité analogue à la loi 
de Fourier pour la
conduction thermique ?

- Les matériaux bons conducteurs de l'électricité sont-ils, en général, bons 
conducteurs de la
chaleur, ou est-ce le contraire ? Proposer une explication.

1.2) Donner l'expression de la capacité thermique Cth d'un corps de masse m et 
de chaleur
massique à pression constante cp . Ecrire une loi de conduction équivalente à 
celle qui exprime,
en électricité, le courant de charge dq/dt d'un condensateur portant la charge 
q(t) en fonction
de la dérivée du potentiel à ses bornes. Quelle grandeur thermique est-elle 
l'analogue de la
charge électrique q emmagasinée dans ce condensateur ? Préciser les unités.

2) Mise en température d'une éprouvette

Une résistance électrique r = 10 ohms est incorporée dans la masse d'une 
éprouvette dont la
capacité thermique est Cth : 250 J/K . Cette éprouvette est enfermée dans un 
boîtier depuis
l'intérieur duquel on peut considérer qu'elle est en contact avec le milieu 
extérieur à travers une
résistance thermique égale à Rth : 8 W. Le milieu extérieur étant à 06xt : 20°C 
, on veut
porter l'éprouvette jusqu'à une température finale 000 = 40°C . Pour ce faire, 
on connecte la
résistance électrique r a une source de tension de manière à dissiper dans 
l'éprouvette une
puissance p . On supposera que la température 0(t) de l'éprouvette demeure 
uniforme dans
toute sa masse.

2.1) Le schéma électrique proposé Figure 1 est l'image du système thermique 
étudié.
2.1.a) Préciser la valeur numérique et l'orientation de la fem du générateur 
équivalent de tension

qui symbolise le milieu extérieur.

P e(t) Rth
, )-- :|-- _ _ , _
Element chauffant M111eu exter1eur
:: Cth ()
0°C
Figure 1

E Source de courant E Source de tension

7/12

2.1.b) Quelle loi de Kirchhoff appliquée au réseau électrique, traduit-elle le 
bilan thermique du
"réseau thermique" ?

2.1.c) Lorsque le régime permanent est atteint, expliquer pourquoi l'on peut 
faire abstraction de
la capacité Cth . En déduire directement, en fonction de Bext , de 900 et de Rth
exclusivement, la puissance (flux) thermique pOO nécessaire au maintien de la 
température
finale. En préciser la valeur numérique.

2.2) Première méthode de chauffage

La puissance thermique est maintenue constante, à la valeur pOO calculée 
précédemment.

2.2.a) A l'instant t = O , on connecte la résistance électrique r sur une 
source de tension
continue El . Quelle doit être la valeur de la tension El pour que la 
résistance r dissipe cette
puissance pOO ?

2.2.b) Afin d'étudier la montée en température de l'éprouvette sous l'action de 
ce chauffage,
effectuer un bilan thermique pour celle--ci, entre les dates t et t+dt . En 
déduire l'équation
différentielle régissant l'évolution de 9(t) .

- Exprimer l'évolution de la température 9(t) de l'éprouvette en supposant sa 
température
initiale égale à 90 : Bext : 20°C , lorsque le chauffage est mis en route.

2.2.c) Evaluer, en fonction de la constante de temps "C du système, le temps tT 
au bout duquel
la variation de température depuis le début de la chauffe atteint 95 % de la 
valeur théorique
nécessaire pour arriver au régime stationnaire.

- Calculer "C puis tr.

2.3) Deuxième méthode de chauffage

La température 9(t) de l'éprouvette est mesurée à l'aide d'un capteur 
électronique qui délivre
une tension u(t) : O,l 9(t) , les unités étant le volt pour u(t) et le degré 
Celsius pour 9(t) .
Cette tension u(t) est comparée à une tension périodique W(t) en dents de scie 
(Figure 2)
décroissant de U() = 4,5 volts a zéro pendant une période TO. Celle-ci est 
choisie suffisamment
petite pour considérer que, dans tout intervalle [nTO, (n+l)T0] , la 
température de l'éprouvette et
donc la tension u(t) demeurent pratiquement constantes.

tensions
UO=4,5V fifi fifi
W(t)
u(t) _ _
0 t* T tempst

Figure 2
Le chauffage de l'éprouvette s'effectue en reliant la résistance r a une source 
de tension
continue EQ , par l'intermédiaire d'un interrupteur électronique K . Cet 
interrupteur est
commandé (Figure 3) par un comparateur à amplificateur opérationnel (supposé 
idéal) dont la
tension de sortie Vont sature a i Vsat au moindre écart sensible entre W et u .
8/12

L'interrupteur K est fermé si Vont : + Vsat ; il est ouvert si V0... = -- Vsat .

-- l>
gl
_ + 00 l
/ K
M) W(Ù Vout
E2 () r = 109 Vch
Figure 3 "

2.3.a) Tracer la caractéristique V0... en fonction de la différence W--u , puis 
représenter en
fonction du temps la tension Vch appliquée à la résistance de chauffage r .

- Au cours d'une période [ 0, T0 ] , exprimer l'instant t>X< , lors du basculement de l'interrupteur, en fonction de u , U0 et T0 . Pendant quel laps de temps le chauffage fonctionne-t-il ? 2.3.b) La puissance thermique moyenne dissipée dans la résistance r , calculée pendant une période T0 , étant nommée Pm0y(9), l'exprimer en fonction de E2 , r , U0 et de 9 . En considérant que Pm0y(9) correspond a la puissance thermique dissipée dans l'éprouvette lorsque celle-ci se trouve a la température 9 , écrire la nouvelle équation différentielle qui régit la montée en température. 2.3.c) Préciser la valeur numérique de la tension EQ de sorte que Pm0y(9oe) soit égale à la puissance pOO précédemment calculée en (2.1), lorsque 9 = 900 = 40 °C . Dans ce cas, résoudre la nouvelle équation différentielle pour obtenir 9(t) . - Déterminer la nouvelle valeur des temps t et tr . Définir l'avantage de cette deuxième méthode par rapport a la précédente. 3) Etude du capteur de température On considère une sonde, composée de deux diodes de mêmes caractéristiques, accolées de manière à demeurer en très bon contact thermique. Ces diodes sont connectées, selon le schéma donné, Figure 4 , a un dispositif contenant un amplificateur opérationnel. On mesure la tension VM sur l'entrée inverseuse M de l'amplificateur. D1 1 M«--È K} A Dans cette partie, aucune . . . . R connatssance parttcultere |_1| . , . I_I _ >
sur les dtodes n est requtse.

Leur fonctionnement est
simplement caractérisé par

le courant qui les traverse et R3
dont l'expression est () EO
donnée dans le texte. - B

/7Ë Figure 4
9/12

L'amplificateur opérationnel est alimenté au moyen de deux sources symétriques 
(--15 volts, 0)

et (0, +15 volts). On supposera qu'il est idéal et qu'il fonctionne en régime 
linéaire.
Les tensions en tout point du schéma seront référencées par rapport a la masse.

Dans le sens passant, moyennant une bonne approximation, on peut écrire que la 
diode D] est
traversée par un courant d'intensité :

e(VA_VM)

I1 % IS exp 2 kT

e = 1,602 10--19 C est la charge élémentaire.

k = 1,38 10"23 ]/K est la constante de Boltzmann.

T représente la température absolue du boîtier contenant les diodes.

Le coefficient IS dépend de la température T , mais est indépendant des 
tensions.

3.1) Exprimer l'intensité 12 traversant la diode D2 , par analogie avec 
l'expression de Il , en
faisant apparaître la différence (VB -- VM) .

3.2) Exprimer, en fonction de (V A--VB) , de la température T et des constantes 
e et k ,
le rapport 11/12 des intensités de courant dans les diodes. En déduire une 
expression de (V A--VB)

fonction de la température T , des résistances R1 et R2 du montage et des 
constantes e et k ,

mais indépendante du coefficient IS .
3.3) Etablir une deuxième expression de (V A--VB) . En déduire la tension VM , 
mesurée au

noeud M , en fonction de la température T , de la tension E0 , des résistances 
du réseau et des
constantes e et k.

3.4) On impose à l'entrée une tension négative EO : -- 15 volts et l'on fixe la 
valeur des

résistances R1 = 10 kg et R2: 20 kQ . Quelle valeur faut--il choisir pour R3 si 
l'on veut
obtenir une tension VM nulle à 0°C ? On prendra T = 0 + 273,15 .

Quelle est, dans ces conditions, l'expression numérique de la tension VM en 
fonction de la
température 0 exprimée en °C ?

3.5) On souhaite réaliser un capteur délivrant une tension proportionnelle à la 
température
Celsius à raison de 1 volt pour 10°C , soit : u = 0,1 0 . Pour ce faire on 
câble le montage
schématisé Figure 5 où l'amplificateur opérationnel (supposé idéal et utilisé 
en régime linéaire)
mesure la tension VM sans prélèvement de courant. Calculer la valeur de la 
résistance R5
sachant que R4 = 10 kQ.

u=0,19

Figure 5

10/12

4) Etude du multivibrateur à amplificateur opérationnel
Pour obtenir un signal de la forme de w(t) représenté figure 2, on peut 
utiliser le multivibrateur

schématisé Figure 6. On y notera en particulier une source de courant I 
orientée de manière à
abaisser le potentiel VC : V_ , référencé par rapport à la masse.

Cette source de courant débite, dans le sens de la flèche, un courant 
d'intensité I = 10 MA.
La capacité du condensateur branché entre la borne inverseuse de 
l'amplificateur opérationnel et

la masse, a pour valeur C = 1 |JF .

On supposera ici, pour simplifier, que la diode D se comporte comme un 
interrupteur qui est
fermé Ûil sans résistance) dans le sens passant et ouvert (résistance infinie) 
dans le sens inverse.

Modélisation de la diodeD

Figure 6

4.1) A un instant que nous choisirons pour origine du temps (t = O') , partons 
d'une situation
où V + = 0* et V_ : 0+ , ce qui entraîne que la tension de sortie de 
l'amplificateur opérationnel

soit en saturation négative : VS : -- Vsat . La diode D ne conduit pas. 
Cependant, dès l'instant

t : 0+ , la source de courant I rend le potentiel V_ sensiblement négatif, ce 
qui suffit pour faire
basculer l'amplificateur opérationnel en saturation positive : VS : + Vsat .

4.1.a) Quelle est la différence de potentiel VS -- V + entre les bornes du 
condensateur C() au
temps t: 0* ? En déduire au temps t : 0+ la valeur de cette différence de 
potentiel puis la

valeur de V+.
4.1.b) Ecrire l'équation différentielle qui régit la croissance du potentiel V 
+ au cours du temps

puis la résoudre, sachant que R0 = 1 kQ , C0 : 1 MF et Vsat : 15 volts.

4.2) Le courant traversant la diode dès l'instant t : 0+ étant nettement 
supérieur au courant I ,

le condensateur C se charge alors progressivement sous une tension VC : V_ 
croissante à
partir de zéro. Ecrire l'équation différentielle qui régit l'évolution du 
potentiel V_ au cours du

temps puis la résoudre, sachant que R = 1 kg , C = 1 "F et V 15 volts. Pour ce 
faire, on

sat :
fera abstraction (Figure 6) de la source de courant I dont le débit (10 "A) est 
très faible.

4.3) Représenter sur un même graphe l'évolution des tensions V + et V- en 
fonction du temps
puis déterminer le temps t0 au bout duquel ces deux tensions s'égalisent, ainsi 
que leur valeur

numérique commune en cet instant. Que se passe--t--il immédiatement au--delà de 
ce temps ?

11/12

4.4) La diode cessant maintenant de conduire, la source de courant I agit seule 
; elle abaisse
alors très lentement le potentiel VC depuis la valeur calculée précédemment 
jusqu'à la limite
atteinte pendant cette évolution par le potentiel V + . Cette limite 
correspondra à une tension
nulle, si la tension V + tend beaucoup plus rapidement vers zéro que V,. Il 
sera donc nécessaire
de vérifier a posteriori que la constante de temps ROC0 est bien négligeable 
devant le temps At
nécessaire a la décharge complète du condensateur C.

4.4.a) Expliquer pourquoi la décroissance de la tension VC est linéaire en 
fonction du temps.

- A partir des valeurs numériques données (1 = 10 uA ; C = 1 uF), calculer la 
valeur numérique
de l'intervalle de temps At .

- Montrer qu'immédiatement franchie la date t0 + At , la tension VC tend à 
devenir légèrement

négative , ce qui ramène à la situation décrite initialement au temps t = O* .
Que se passe-t--il alors ?

4.4.b) Expliquer pourquoi, dans l'intervalle de temps [ tO ; t0+At ] , le 
potentiel V+ tend vers
zéro avec une constante de temps égale à ROCO et vérifier que cette constante 
de temps est bien
négligeable devant At.

4.4.c) Comparer At au temps t() . En déduire la période T0 des dents de scie 
obtenues.

4.5) Tracer l'évolution au cours du temps de la tension VC aux bornes du 
condensateur C à
l'échelle de quelques secondes, en négligeant l'intervalle de temps [ O , t0 ] .

4.6) Expliquer comment obtenir la tension W(t) décrite sur la figure 2, a 
partir du montage
dessiné sur la figure 6. Faire un schéma du montage additif ayant pour entrée 
la tension VC .

Fin de l'énoncé

12/12