CCINP Physique 2 PC 2011

SESSION 2011 PCP2008

A

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

PHYSIQUE 2

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d énoncé, il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

***

Les deux problèmes sont indépendants.
Leur poids est approximativement 60 % pour le premier et 40 % pour le second.

***

PROBLÈME 1
PROPAGATION LE LONG D'UNE LIGNE ÉLECTRIQUE

- Effets d'échos - Reproduction retardée d'un signal -

Après quelques préliminaires concernant les propriétés électromagnétiques des 
lignes coaxiales, on
s'intéressera, en régime harmonique, au profil de la tension le long d'une 
ligne sans pertes &

constantes réparties. Ceci permettra, en particulier, d 'étudier l'eflet d'écho 
a l'entrée d'une ligne
quart--d'onde court--circuitée en sortie.
On considérera ensuite une ligne a constantes localisées, capable de diminuer 
la vitesse de

propagation des ondes. Une telle ligne, utilisée pour reproduire des signaux 
avec un retard
déterminé, s'avère consécutivement plus courte. Par contre, elle impose des 
limitations quant à la

forme des signaux à transmettre. Son étude sera conduite d'abord en régime 
harmonique, puis en
régime non linéaire favorable à la transmission d 'une onde solitaire.

A) Préliminaires

On s'intéresse (figure 1) à un câble coaxial dont l'âme (A) et la gaine (G) 
sont supposées réalisées
dans un métal conducteur parfait tandis que l'espace qui les sépare est supposé 
occupé par un
diélectrique parfait. Ce câble se présente comme un condensateur cylindrique, 
aligné selon l'axe
(Ox) d'un repère cartésien orthonormé (0, x, y, 2). Sa longueur (H) est 
supposée très grande par
rapport à son rayon extérieur (0). Un générateur de tension dépendante du temps 
est branché à l'une
des extrémités (O) de ce câble, la masse étant reliée à l'armature externe.

V(x,t) V(x+dx,t)

Métal
Isolant
Métal

_
\
< H » Section droite Coupe axiale Figure 1 A.1) Capacité du câble par unité de longueur Si l'on considère que les électrons dans le diélectrique restent élastiquement liés aux atomes qui les contiennent, on peut admettre que, sous l'action d'un champ électrique variable de fréquence usuelle (très inférieure au térahertz), ils s'écartent de leur position d'équilibre sur une très faible distance _) --> -->
& : (s/ne)E proportionnelle au champ électrique E auquel ils sont soumis.

Le nombre d'électrons présents par unité de volume est noté n ; chacun porte la 
charge e . Le

paramètre 8 , caractéristique de l'isolant, correspond à sa permittivité 
électrique.

Les électrons liés oscillent donc avec une vitesse proportionnelle à la dérivée 
temporelle du champ

--) ô_)
existant, telle que : v = -- .
ôt
_)
, ,. , . , . .* ôE
A.1.1) Demontrer qu 11 en resulte une den51te volumique de courant _]D = 8 É .
A.1.2) On peut admettre que la géométrie considérée impose un JÎ
champ électrique radial d'amplitude E(x,r,t) laquelle, désormais, &

sera notée simplement E pour alléger l'écriture.
Ainsi, lorsque les électrons qui sont disposés (figure 2) sur un
cylindre de rayon r et de longueur h supposée très courte,

effectuent un trajet & sous l'effet du champ, ils déplacent au total la

Figure 2

charge Q : ne t contenue dans le volume 1: z 27: r h &

Exprimer cette charge Q en fonction de 8 , h et du produit (r E) .

A.1.3) La charge en mouvement, soit donc l'intensité du courant, se conserve 
d'une armature à

l'autre, quelle que soit la surface traversée. En déduire une propriété 
importante du produit (r E) .

A.1.4) En écrivant le champ sous la forme E =A/r et après avoir précisé le sens 
du terme A ,

a
déterminer la différence de potentiel entre les armatures : V = Va _ Vb = -- IE 
_ dr
r=b

Exprimer V exclusivement en fonction du produit (r E) et du rapport (b/a) .

A.1.5) Déduire des questions précédentes, la capacité du câble par unité de 
longueur : y = QVÆ

Application numérique : Calculer y sachant que b/a = 3,6 et 8 = 20.10_12 F/m .

A.2) Auto-inductance du câble par unité de longueur

A.2.1) Les mouvements électroniques dans l'isolant sont accompagnés, dans les 
armatures, de
courants électromoteurs. L'âme du câble est de ce fait parcourue, selon l'axe 
des abscisses, par un
courant d'intensité l(x,t).

%
Il en résulte, en tout point de l'espace isolant, un champ magnétique B(x,r,t) 
. En préciser la

direction et le sens. Puis, par application du théorème d'Ampère, en déterminer 
l'amplitude B(x,r,t)
laquelle, désormais, sera notée simplement B pour alléger l'écriture. La 
splitéabilité magnétique

de l'isolant est donnée égale à celle du vide : u0 .

A.2.2) L'évolution de la différence de potentiel le long de l'axe Ox , d'une 
position (x) à une
ôV

position (x+dx) est telle que : dV = V(x + dx,t) -- V( x, t) = 6_ dx . En 
utilisant la relation obtenue
X
à la question (A. l .4) , exprimer dV sous forme d'une expression dépendant de 
Ê--E .
x

A.2.3) Ecrire la relation de Maxwell-Faraday.

A.2.4) Sachant que cette relation, exprimée en coordonnées cylindriques, dans 
le cadre des

ÔE ôB
hypothèses de ce problème conduit à â_= _â--t , exprimer sous la forme dV =--l 
dx % la
x

différence de potentiel qui apparait sur une longueur de câble dx .

En déduire l'expression de l'auto-inductance EUR du câble par unité de longueur.

Application numérique: Calculer EUR sachant u0 : 471.10_7 H/m .

B) Ligne coaxiale sans perte à constantes réparties

Dans le présent paragraphe (B) , où est développée une étude en régime 
harmonique .' tensions,
courants et impédances seront représentés en notation complexe, la lettre j 
désignant le nombre

complexe de module unité et d'argument TE/2 .

, , . "(nt , , - . , \ ,
Un generateur de tensmn VO eJ , presentant une re51stance interne R0 , est 
branche a l'entree, en
x = 0 , de la ligne précédente. Cette ligne peut être modélisée selon le réseau 
en échelle dessiné sur

la figure 3 , où sont indiquées les impédances complexes des composants 
considérés ; chaque

maillon correspond à une portion de longueur infiniment petite dx .
La tension existant au temps t , au noeud M positionné à l'abscisse x , sera 
symbolisée par le

t . . ,, . , . , -
nombre complexe \_/(x) e" . La tens1on ex1stant au meme mstant t a l'absc1sse 
x+dx s'ecr1ra :
\_/(x +dx) eJoet et celle existant au même moment à l'abscisse x--dx s'écrira 
\_l(x --dx) ej")t .

Dans le développement des calculs, tout comme il est fait sur la figure 3, on 
fera abstraction du
facteur eJoet

X(x-dx) M(x) M(x+dx)
...."oeËdx joeËdx joeËdx ; .'joefldx

Figure 3

B.l) Ecrire, à un instant donné, la loi des noeuds au point M , en termes de 
potentiels, incluant
X(x) , !(x--dx) et X(x+dx) . Simplifier le résultat obtenu en remplaçant 
M(x+dx) et X(x--dx)
par leurs développements de Taylor limités au second ordre.

n
Rappel de la formule de Taylor : f(x +h)= f(X) + Ëh_ nî{î f]

x
X

Montrer alors que X(X) est régi par une équation différentielle du second ordre.

B.2) Sachant que la solution générale de cette équation différentielle peut 
être écrite sous la forme
X( x) = A_ cos (k x)+ & sin(kx) , préciser la valeur et l'unité du paramètre k 
, considéré réel positif.

B.3) En déduire l'expression générale de l'intensité l(x) du courant issu du 
point M et dirigé vers
l'extrémité de la ligne, puis celle de l'impédance L(x)= X(x)/l(x) vue à droite 
de l'abscisse x .

Exprimer la valeur de l'impédance équivalente de la ligne à l'entrée de 
celle--ci : Le = Z(x=0) .

B.4) En réduisant le schéma de la figure 3 à celui de la figure 4 ,
déterminer la tension Xe = \_l(x=0) à l'entrée de la ligne en
fonction de V0 , R0 et Le . En déduire une première relation

entre A et B, puis l'exprimer dans le cas où R0 = 1/E/y .

N.B. : Dans toutes les questions qui suivent, de B.5 à 3.9
incluses, on se limitera au cas où : R0 : «lE/y .

B.5) Cas d 'une terminaison en court-circuit
Lorsque la ligne est court--circuitée en son extrémité, exprimer que X(x=H) = 0 
. En déduire une
deuxième relation entre A et B , puis déterminer ces constantes en fonction des 
données.

Préciser l'expression complète de la tension \_/(x) . Exprimer le module HX(x)H 
de cette tension.

B.6) Déterminer la valeur particulière H...... de la longueur de la ligne, la 
plus courte possible, qui

impose que le courant le , à l'entrée de la ligne, soit nul quelle que soit 
\_/e . Comparer cette
longueur à la longueur d'onde À du signal électrique dans la ligne.

B.7) Si l'on prélève la tension MEUR à l'entrée d'une telle ligne de longueur 
H...... court-circuitée en
x = H..., , certaines pulsations émises par le générateur sont strictement 
coupées. Préciser lesquelles.

B.8) Les données pour un câble coaxial ordinaire sont : y = 100 pF/ m et l = 
0,25 uH/ m.

Calculer la vitesse de propagation V de ces ondes dans le câble. 
Présente-t--elle de la dispersion ?
Les signaux de forme quelconque sont--ils déformés au cours de la propagation '?
Quelle longueur de câble faut--il pour obtenir en sortie, un signal identique à 
celui de l'entrée, avec

un retard de 100 us ? Dans quel sens doit-on modifier les valeurs de y et EUR 
pour réduire cette
longueur ?

B.9) Le générateur délivre, en circuit ouvert, une tension sinusoïdale 
d'amplitude égale à 10 volts.
On branche à sa sortie (Ve) une longueur du câble étudié mesurant H...... = 10 
m , court-circuitée en

son extrémité. Préciser la valeur numérique de R0 . Quelle tension 
mesure--t--on alors entre les
homes du générateur lorsque la fréquence est réglée à 10 MHZ '?
Donner une représentation graphique de ||V(x=0)ll dans l'intervalle de 
fréquences f E [O ; 20 MHZ] .

Distinguer les différentes bandes passantes à -- 3 dB . Préciser les valeurs 
notables des fréquences.

C) Ligne sans perte, à constantes localisées

Avertissement : la finalité du présent paragraphe (C) dépassant le cadre du 
régime harmonique,
la notation complexe ne devra plus être utilisée.

C.l) Conditions de propagation

On considère (figure 5) une ligne électrique M,

en échelle, composée de maillons identiques, V... T) V... V(t-- T)

de longueur E, , composés de condensateurs ' L l(t+ T) ' L ...) '

de capac1te C et d'auto-mductances L. '
Si l'on note V(t) la tension à l'instant t au J(t)

point d'abscisse x , on peut dire qu'il y a i C C

propagation d'une onde électrique avec la \

vitesse v = ê/t dans le sens de l'axe des " x_g x x+ï; >X
abscisses si : F igure 5

a) la tension à l'instant t au point d'abscisse x--ë est en avance d'un temps T 
= â/v et s'écrit V(t+t)

b) la tension à l'instant t au point d'abscisse x+E_, est en retard d'un temps 
"|: = &/v et s'écrit V(t--t).

d
C.1.1) Exprimer la différence de potentiel V(t+t) --V(t) en fonction de L et de 
au" + T)].

C.1.2) Exprimer V(t) --V(t--t) en fonction de L et de %[I(t)] .

C.1.3) Exprimer, à partir de la loi des noeuds, le développement V(t+t) 
+V(t--T) --2V(t) en fonction

d [J...]
dt

potentiels. Ne pas développer le calcul de la dérivée de J(t) afin de conserver 
la généralité de
l'écriture lorsque la capacité C devient dépendante de V(t) , comme présentée 
au @ (C3) .

de L et de ;puis expliciter J(t) en fonction de C et de V(t) et conclure en 
termes de

C.2) Etude en régime linéaire : cas d'un signal harmonique

C.2.1) A partir des résultats obtenus au ê(C. 1 .3), traduire la loi des noeuds 
en termes de potentiels.
Déterminer alors une condition sur la pulsation pour que la forme V(t) = A 
cos(oet) en soit une
solution.

Rappels : cos(a+B)+cos(a-B) = 2 COS(Ot) cos(B) et l--cos( < )