CCINP Physique 2 PC 2012

SESSION 2012

PCP2008

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC
____________________

PHYSIQUE 2
Durée : 4 heures
____________________
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu'il a été amené à prendre.

___________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont autorisées
Les deux problèmes sont indépendants.
Leur poids est approximativement 2/3 pour le premier et 1/3 pour le second.

PROBLÈME I
SPECTROSCOPIE
L'étude de la répartition spectrale de la lumière émise par une source ou 
diffusée par les milieux
matériels nécessite un appareillage possédant une forte dispersion associée à 
une bonne luminosité.
Après quelques questions d'ordre général, puis un rappel des propriétés du 
spectroscope à prisme,
on s'intéressera au principe d'un spectromètre à réseau réflecteur, de manière 
à déterminer l'intérêt
de celui-ci.
1) Quelques questions d'ordre général
1.1) Qu'appelle-t-on spectre lumineux ?
1.2) Préciser la bande passante de l' il humain en fonction de la longueur 
d'onde dans le vide puis
en fonction de la fréquence. Indiquer chaque fois la couleur associée aux 
bornes citées.
1.3) Donner une définition concise de la dispersion : quel effet en fonction de 
quel paramètre ?
1/12

Tournez la page S.V.P.

2) Spectroscope à prisme
Avertissement : dans tout le problème, les résultats numériques concernant les 
angles doivent
obligatoirement être exprimés en degrés.

2.1) On considère un prisme en verre dont l'indice évolue en fonction de la 
longueur d'onde
b
suivant la loi de Cauchy n " a ! 2 .
Ce prisme est plongé dans l'air dont l'indice est considéré égal à l'unité. Son 
angle au sommet
mesure A = 60 ° .
Il est éclairé par un pinceau de lumière parallèle blanche, sous une incidence 
i = 60 ° par rapport à
la normale à la face d'entrée du prisme.
La lumière émerge sous un angle #( ) par rapport à la normale à la face de 
sortie du prisme.
Effectuer un dessin du dispositif en précisant de quel côté de la normale (vers 
le sommet ou vers la
base du prisme) il convient de positionner le rayon incident pour éviter toute 
réflexion totale.
Compléter la figure en détaillant tout le trajet suivi par un rayon 
monochromatique.
Définir les angles utiles et les orientations adoptées, puis écrire les 
formules associées du prisme.
Conclure en exprimant sin(#) en fonction de A , i et n exclusivement.

2.2) La longueur d'onde

étant celle du rayonnement incident et son unité étant le nanomètre, les

coefficients de Cauchy sont définis par a " 1,620 et b " (102,2 nm )2 .
Calculer la valeur numérique de l'indice n pour un rayonnement de longueur 
d'onde
correspondant au centre du doublet jaune du mercure.
En déduire la valeur numérique de l'angle d'émergence # .

" 578 nm

Un calcul littéral (non demandé) conduit à l'expression suivante de la 
dispersion angulaire :
Da "

d#
2b
"$ 3
d

sin A
sin 2 i
cos # 1 $ 2
n

Quel sens physique peut-on attribuer à cette grandeur ?
Calculer sa valeur numérique, exprimée en °/%m , pour

.

= 578 nm .

En déduire l'écart angulaire à l'émergence entre les deux raies ( 1 " 577 nm et 
2 " 579 nm) du
doublet du mercure.
Est-il observable à travers une lunette afocale de grossissement égal à 10, par 
un il dont la limite
de résolution (plus petit écart angulaire discernable) est de 1' (une minute 
d'angle) ?

2/12

3) Spectroscope à réseau réflecteur échelette
3.1) Montage goniométrique
Le goniomètre étant l'instrument le mieux adapté à la mesure d'angles, on se 
placera dans le cas de
la figure 1, le réseau réflecteur posé sur la platine.
La lumière, issue d'une lampe spectrale est émise sous forme d'un faisceau 
parallèle grâce à
l'interposition d'un collimateur dont l'orifice d'entrée O est accolé à la 
lampe.
Une lunette de visée, autocollimatrice, permet l'observation à l'infini du 
faisceau réfléchi.
Lunette

Oeil

L3
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
R
xxxxxxxxxx
L2
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx

ur

y

y'
L1

Lampe
spectrale

xxxxxxx

ui

S'

x

F

O

x

x

x

xxxxxxx

x

O'

x'

x

Collimateur
N.B. : Les axes Oz et O'z', non dessinés, sont perpendiculaires au plan de 
figure.

Figure 1
3.1.1) Le collimateur
Confection d'un large faisceau de lumière parallèle, à partir d'une source 
ponctuelle.
Une lentille L1 en verre d'indice n (figures 1 et 2) possède une face d'entrée 
sphérique de centre
O , de sommet S et de rayon R = OS = 3 cm . (Toute donnée N cm sous-entendra 
N,00 cm).
Sa face de sortie est un ellipsoïde de sommet S' , de révolution autour de 
l'axe Ox d'un repère
orthonormé cartésien (O,x,y,z) et dont la coupe axiale dans le plan xOy a pour 
équation :
x $ 2!2 y2
#
" 1 où x et y sont exprimés en cm. On a ainsi OS' = 5 cm .
9
5
y
A
(P)

M
1 cm

R

N

%
O

K

S
1 cm

S'
3

(n)

(1)

x

4
(1)

L1

A'

Figure 2

3/12

Tournez la page S.V.P.

Une source ponctuelle de lumière est située au centre O de la face d'entrée et 
l'on souhaite que tous
les rayons émergents MK soient parallèles à l'axe optique Ox .
3.1.1.a) Déterminer les coordonnées du point A , puis en déduire la valeur " ! 
( Ox, OA) de
l'angle d'ouverture du faisceau incident.
3.1.1.b) Exprimer OM 2 puis écrire la longueur OM sous la forme OM = a x + b .
3.1.1.c) Exprimer la distance MK du point M jusqu'au plan tangent au dioptre de 
sortie.
3.1.1.d) Sachant que la lentille est placée dans l'air, d'indice supposé égal à 
celui du vide, exprimer
le chemin optique L(OMK) et montrer que, pour une valeur particulière de 
l'indice n de la lentille,
ce chemin optique devient indépendant de la position du point M sur la face de 
sortie. Préciser la
valeur numérique de cet indice et la longueur du chemin optique correspondante.
3.1.1.e) Préciser, dans ce cas, la propriété essentielle du plan (P) et 
conclure quant à la forme du
faisceau émergent.
3.1.1.f) Est-il nécessaire de se limiter aux conditions de Gauss pour atteindre 
l'objectif fixé
initialement ?
3.1.2) La lunette
La lunette possède un réticule fixe R , un oculaire assimilable à une lentille 
mobile L3 et un
objectif à tirage réglable, assimilable à une lentille mobile L2 .
Initialement, la position de la lentille L1 reste à ajuster par rapport à 
l'orifice O pour obtenir une
collimation à l'infini. En outre, on veut rendre la lunette afocale pour une 
visée à l'infini.
Pour effectuer ces réglages, on dispose d'un miroir plan auxiliaire que l'on 
peut, lorsque nécessaire,
poser sur le plateau du goniomètre.
Décrire le processus de mise au point en précisant l'ordre chronologique du 
déplacement des trois
lentilles.
3.2) Rediffusion d'une onde plane par des récepteurs ponctuels
Considérons (figure 3) une onde plane se propageant dans le vide avec la 
vitesse c dans le sens
d'un vecteur unitaire ui et admettons qu'à réception par deux points matériels 
O' et M , cette
onde soit déviée instantanément, sans modification de fréquence, dans une 
direction de vecteur
unitaire u r (figure 4). Dans tout ce qui suit, on pourra faire abstraction du 
déphasage au contact
des points considérés en le supposant identique en chacun de ces points.

ui

ur
Hi

ui

Hr

"i

(P i )

"r

M
O'

O'

Figure 3

Figure 4

4/12

ur
M

(Pr )

Le temps de parcours d'un plan d'onde incident (Pi ) à un plan frontal dévié 
(Pr) dépend du trajet
emprunté ; il est égal à O' via O' et à M via M. Démontrer que la différence = 
M ! O' a pour
expression :
#

O ' M .( u i ! u r )
"
.
c

En supposant que, dans le plan (Pr), l'état vibratoire transmis via O' puisse 
être décrit par une
fonction scalaire telle que so (t ) " a o cos($ t ) , en déduire, dans ce même 
plan, la grandeur scalaire

sM ( t ) associée à l'onde qui a transité par M .
3.3) Rediffusion de la lumière reçue par un plan sous incidence normale
3.3.1) Un miroir, contenu dans le plan (y'O'z') d'un repère cartésien 
(O',x',y',z') orthonormé, est
éclairé par un faisceau lumineux monochromatique de longueur d'onde % , en 
incidence normale
selon le vecteur unitaire u i porté par l'axe des abscisses (figure 5).
Comme indiqué sur la figure 1, le repère (O',x',y',z') est disposé selon les 
mêmes bases que celles du
repère (O,x,y,z). Seule l'origine O' diffère de O par translation le long de 
l'axe des abscisses.
On peut imaginer que chaque atome en surface du miroir, excité par le 
rayonnement incident, se
comporte comme une source ponctuelle secondaire cohérente qui rayonne de la 
lumière dans toutes
les directions au-dessus du miroir.
y'

! h/2
+ l/2
y'
ui

M

O'

x'

z'
! l/2
+ h/2
z'

Figure 5

5/12

Tournez la page S.V.P.

On observe le miroir à travers une lunette réglée sur l'infini et orientée pour 
recevoir le
rayonnement lumineux rediffusé uniquement dans une direction de vecteur 
unitaire :
%(r "
u r )
#$ & r !
En caractérisant le rayonnement reçu par la lunette en provenance d'un atome 
situé au point O' par
la grandeur scalaire so ( t ) ) a o cos*, t + , exprimer l'état vibratoire s 
M(x',y',t) du rayonnement issu

% 0"
#
d'un atome situé en un point quelconque M du plan (x'O'y'), tel que : O' M ) # 
y' .
#$ z '!
-

3.3.2) On supposera maintenant (figure 5) que le miroir est réduit à une bande 
métallique de grande
longueur h comprise entre les cotes . h/2 et + h/2 , ayant une fine largeur l 
comprise entre les
ordonnées . l/2 et + l/2 . On dénombre N1 atomes alignés dans le sens des 
ordonnées et N2
atomes alignés dans le sens des cotes.
3.3.2.a) Exprimer le nombre d'atomes dN contenus dans une surface élémentaire 
dS' = dy'.dz' en
fonction de N1 , N2 , l , h , dy' et dz' .
En déduire, sous forme d'une intégrale double, la grandeur scalaire 
caractéristique de l'onde globale
qui atteint le plan (Pr) selon le vecteur u r (figure 4). Développer son 
expression en faisant
apparaître le temps t et les coordonnées y' et z' . Préciser les bornes 
d'intégrations.
Un calcul (non demandé) conduit au résultat suivant :
h1
l1
4
4
S ) N 1 N 2 a o sinc 2 6 & r / sinc 2 6 ' r / cos*, t +
50
50
3
3

où :

sinc ( x) )

sin*x +
.
x

3.3.2.b) Dans l'hypothèse où les dimensions h et l restent très supérieures à 
la longueur d'onde, en
déduire dans quelle unique direction il demeure possible d'observer de la 
lumière dans la lunette.
3.3.2.c) Dans l'hypothèse où seule la longueur h est très supérieure à la 
longueur d'onde, tandis que
la largeur l devient suffisamment fine pour être voisine d'un petit nombre de 
longueurs d'onde,
expliquer pourquoi l'onde lumineuse n'est pratiquement rediffusée que dans le 
plan &r ) 0 .
Simplifier dans ce cas l'expression de l'intégrale S ; situer la position du 
maximum d'intensité puis
les positions correspondant à des zones sombres.
Comment nomme-t-on habituellement ce phénomène ?
3.4) Cas d'un arrangement périodique sous incidence normale
3.4.1) Dans l'hypothèse d'une seule longue bande réfléchissante de largeur 
micrométrique l
Dans ce cas, la lunette doit être maintenue dans le plan (x'O'y') et 
l'amplitude scalaire de l'onde
lumineuse réceptionnée se réduit à :
4
l1
S ) N1 N 2 a o sinc 2 6 ' r / cos*, t + .
50
3
Exprimer l'intensité lumineuse correspondante.
Est-il matériellement possible d'observer le maximum de luminosité 
correspondant à ' r ) 0 ?

6/12

On souhaite faire l'observation d'un rayonnement de longueur d'onde % = 578 nm 
suivant un

angle de réflexion égal à O = 30 ° , de sorte que Br = sin® = 0,5 .

EUR , . . . ,. . , .
En admettant que pour une phase \|1= TE Br î supeneure a TE , les p1cs 
d1ntens1te se srtuent au

. . TE , . .
v01s1nage des valeurs w = (2q+ 1)5 , q etant un entrer non nul, quelle est la 
valeur de cet ent1er q

si l'on souhaite travailler avec une largeur @ de l'ordre de 40 um ?

Les choix effectués sur les valeurs de ® et de EUR conduisent à une valeur de q 
élevée. Quel
inconvénient en résulte-t-il ?

3.4.2) Dans le cas d'un réseau de bandes réfléchissantes parallèles

Un moyen d'augmenter l'intensité
lumineuse consiste à multiplier le
nombre de bandes réfléchissantes,
avec la condition, évidemment,

qu'elles interférent en concordance
de phase.

On arrive ainsi à un dispositif tel
que représenté sur la figure 6.

On éclaire ce système, en incidence @
normale, avec un faisceau de
lumière de longueur d'onde ?» et
l'on s'intéresse à la lumière diffusée
par le plan (O',y',z') suivant la
direction du vecteur unitaire ü,

selon l'angle aigu @ (non orienté)
défini sur la figure.

N.B. : L'axe O'z' , non dessiné, est normal au plan de figure.

Figure 6

3.4.2.a) Exprimer le vecteur &, en fonction de l'angle @ .

--> -->
Lorsque l'on fait subir à la longue bande précédente une translation de vecteur 
T = O'Ol = b

2 _) u u . .
exprimer le déphasage cp = % O'Ol .(u i-- u r) qu1 en résulte pour l'onde 
red1ffusée.

Pour que les ondes réfléchies par toutes les bandes interférent en phase, le 
déphasage doit être tel
que : (p =27£p , p étant un entier relatif non nul.

En déduire une relation [.73] entre les paramètres b, e, @ et p À.

3.4.2.b) L'ordre p étant fixé, une petite variation d de la longueur d'onde 
entraîne une petite
variation d! de la position angulaire du pic considéré. En différentiant membre 
à membre
d!
l'équation " R # obtenue, exprimer la dispersion angulaire D a $
.
d
Justifier la nécessité de choisir un entier p élevé.
3.4.2.c) On fait le choix de b = 40 %m et de p = 64 , tout en conservant ! $ 30 
& et $ 578 nm .
En déduire la valeur numérique correspondante pour le décalage e .
Lors d'une observation à travers la lunette (de grossissement égal à 10), 
déterminer l'écart angulaire
séparant le doublet du mercure ( 1 $ 577 nm et 2 $ 579 nm ) . Comparer au 
résultat obtenu avec
un spectroscope à prisme (question B) et conclure.

PROBLÈME II
MÉTROLOGIE PAR OPPOSITION
La mesure d'une grandeur physique peut se faire de manière directe en observant 
les effets qui
résultent de l'application de cette grandeur. L'inconvénient majeur de ce 
procédé provient du fait
que les lois qui régissent ces effets en fonction de leur cause ne sont pas 
toujours des plus simples.
Un moyen d'échapper à cette difficulté consiste à ramener à son état initial un 
équilibre modifié
sous l'influence de la grandeur à mesurer, en compensant ses effets par une 
action antagoniste plus
facilement mesurable. Le retour à l'équilibre peut se rechercher manuellement 
comme, par
exemple, en déposant des poids dans le plateau d'une balance, l'oeil servant de 
capteur de position
pour le fléau. Il peut aussi être asservi pour plus de confort. Deux exemples 
simples sont étudiés ciaprès, suivis de nombreuses questions indépendantes.
1) Méthode d'opposition pour la mesure d'une f.e.m.
1.1) Mesure directe au voltmètre
P
R
Générateur

'() V

+
E

*

Voltmètre

M

xx

Figurexx
1
Un voltmètre de résistance interne ( est connecté (figure 1) aux bornes d'un 
générateur électrique
modélisable par une source idéale de tension continue E en série avec une 
résistance R . Exprimer
la tension V mesurée par le voltmètre en fonction de E et du rapport R/( .
A quelle condition est-il possible d'affirmer que le voltmètre mesure 
correctement la f.e.m. E du
générateur ? Dans le cas où R = ( =10 M+ , exprimer numériquement le rapport 
V/E ; la mesure
est-elle satisfaisante ?

8/12

1.2) Mesure par opposition avec réglage manuel

Pour mesurer la fem. d'un générateur dont la résistance interne R ne vérifie 
pas la condition
précédente, on peut lui opposer une source électrique de fem. U réglable, de 
résistance interne r
négligeable devant celle du voltmètre (r << p). L'équilibrage est obtenu (figure 2.a) en réglant la tension U jusqu'à ce que le voltmètre incorporé dans le circuit, entre les points P+ et P- , mesure entre ces bornes une tension u nulle. Quelle relation existe-t--il alors entre U et E ? , , Alimentation Generateur , reglable Figure 2.a Générateur Alimentauon réglable Figure 2.b Dans un deuxième temps (figure 2.b), le générateur est déconnecté et le voltmètre est branché directement aux bornes (P-, M) de l'alimentation auxiliaire ainsi réglée. Il mesure maintenant une tension V. Exprimer numériquement le nouveau rapport V/E sachant que : r = 50 Q et R = p = 10 MQ . Préciser l'erreur relative ainsi commise : 8 = (E--V)/E . 1.3) Mesure a l 'aide d'un montage suiveur à amplificateur opérationnel On réalise maintenant un montage "suiveur" en câblant le circuit détaillé sur la figure 3 (page suivante) autour d'un amplificateur opérationnel (réel) dessiné dans le cadre en pointillés. Cet amplificateur présente entre ses deux bornes d'entrée une résistance élevée p et intègre une source modélisée par un générateur de tension U , en série avec une résistance r . Si l'on remarque que le circuit schématisé figure 3 est absolument identique à celui dessiné sur la figure 2.a , on peut travailler à partir de cette figure 2.a . Exprimer alors la tension différentielle d'entrée u en fonction de l'écart E--U et du rapport oc = p/(R+p+r). . . , . , . dU . , La source de tens1on U est en fa1t réglé par l'equat10n : U + I È: A u , la tens1on u etant celle . . , , . , . _ , dU que lon Vient de calculer. Reecnre cette équation sous la forme . U + t -- = u E . dt Exprimer la valeur asymptotique U vers laquelle tend la réponse U(t) . A quelle condition sur le gain A le coefficient pourrait-il être considéré comme rigoureusement égal à l'unité ? _ u r ! S + U R A VS Générateur E M Figure 3 Toujours dans le cas où r # 50 " , R # ! # 10 M" et sachant que A # 2.105 avec U %E calculer la constante de temps $' puis l'écart relatif réellement atteint : & # ' . E $ # 1 ms , 2) Réglage de la vitesse de rotation d'un moteur 2.1) Principe On souhaite régler la vitesse angulaire " d'un moteur qui tourne en entraînant un aimant * permanent devant un bobinage fixe, lequel délivre une tension sinusoïdale : x # X cos(" t ) . En agissant sur la tension d'alimentation du moteur, il devient possible d'assujettir cette vitesse " * comparativement à la pulsation + d'un oscillateur délivrant une tension : y # Y cos(+ t - , ) . Pour ce faire, on peut composer une tension telle que : v # x d2 y d2 x , puis faire évoluer la dt 2 dt 2 vitesse " jusqu'à obtenir un signal v nul. Exprimer v puis démontrer que, quelles que soient les * %y * valeurs crêtes X et Y des tensions considérées, on obtient bien v = 0 lorsque " # + . Les opérations conduisant à la détermination de v à partir des tensions x et y peuvent être réalisées à l'aide de montages électroniques ou bien programmées au moyen de microprocesseurs. 10/12 2.2) Exemple d'un oscillateur sinusoïdal C C R R A + R A + z C y Figure 4 Le montage considéré (figure 4) utilise deux amplificateurs opérationnels supposés idéaux et fonctionnant en régime linéaire. 2.2.a) En considérant le premier amplificateur, à gauche sur la figure, déterminer la relation entre la tension y et la dérivée temporelle de z . 2.2.b) En considérant le second amplificateur, à droite sur la figure, déterminer la relation entre la tension z et la dérivée temporelle de y . 2.2.c) En déduire l'équation différentielle qui régit y , exclusivement ; puis en donner la solution générale et déterminer la pulsation de l'oscillateur. 2.3) Exemple d'un double dérivateur analogique Par exemple, on peut appliquer une tension x à l'entrée du montage schématisé sur la figure 5, en considérant que les amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire. En pratique, ces hypothèses restent limitées à des fréquences inférieures à quelques kilohertz et la stabilité du montage exige l'ajout, en série avec chaque condensateur, d'une résistance complémentaire de faible valeur, non dessinée ici. On en fera abstraction. R R C C + A + u x x A vx Figure 5 Exprimer la tension ux en fonction de R , C et dx , puis en déduire la tension vx . dt 11/12 Tournez la page S.V.P. 2.4) Exemples de multiplicateurs analogiques 2.4.a) Par effet Hall Un ruban de faible épaisseur (10 m), parallèle au plan xOy d'un repère cartésien orthonormé (figure 6), est parcouru par un courant d'intensité I orienté dans le sens Oy. Un bobinage (non dessiné) parcouru par un courant I' soumet ce ruban à un champ magnétique de norme B ! k I' , orienté selon Oz. Des réponses qualitatives sont attendues. z Exprimer et dessiner la force magnétique qui agit sur les charges en mouvement, en supposant qu'elles soient négatives. Comment est-il possible de justifier que les charges restent animées d'un mouvement uniforme suivant Oy sans être déviées par cette force ? Définir en conséquence une grandeur directement mesurable, proportionnelle au produit I.I' . B 1/100 mm 5 mm I O y x 8 mm Figure 6 2.4.b) Au moyen de détecteurs quadratiques Additions et soustractions de tensions peuvent être réalisées à partir de montages à amplificateurs opérationnels. D'autre part, il existe des dispositifs (détecteurs quadratiques) faisant intervenir des composants non linéaires, capables de délivrer en leur sortie une tension proportionnelle au carré d'une tension appliquée à leur entrée. Il est donc possible d'élaborer ainsi des tensions telles que : w1 ! a x " v y 2 et w 2 ! a x # v y 2 , où a est une constante de proportionnalité dont il est demandé de préciser l'unité. Ces tensions peuvent être appliquées aux entrées du montage représenté figure 7, lequel met en uvre un amplificateur opérationnel fonctionnant en régime linéaire. Exprimer alors la tension de sortie vs en fonction du produit xvy et conclure. R R w2 $ w1 R Figure 7 Fin de l'énoncé 12/12 vs IMPRIMERIE NATIONALE ­ 12 1242 ­ D'après documents fournis + R