CCINP Modélisation de systèmes physiques ou chimiques PC 2015

SESSION 2015 PCMS006

_:â=_ CONCOURS COMMUNS
- - POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MODELISATION DE SYSTEMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énoncé, il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites \

Le sujet comporte deux parties indépendantes. Le candidat précisera au début de 
sa copie le langage
de programmation (Python ou Scilab) qu'il a choisi et toutes les questions 
seront traitées dans le
même langage. Un bonus sera accordé aux copies soignées avec des programmes 
bien commentés.
Plusieurs fonctions du langage Scilab sont rappelées en annexe A. Les candidats 
choisissant le
langage Python pourront utiliser les bibliothèques numpy et matplotlib.pyplot. 
Une documentation
simplifiée de plusieurs fonctions de ces bibliothèques est présente en annexes 
B et C.

1/12

SIMULATION NUMERIQUE DU TRANSFERT THERMIQUE DANS UN
MUR EN REGIME TRANSITOIRE

On étudie les transferts thermiques dans le mur d'une maison, figure l(a). La 
température à
l'intérieur de la maison est constante dans le temps et égale à Tint = 20 °C. 
Aux temps négatifs

(t < 0), la température extérieure est égale à Text1 = 10 °C. A t = 0, elle chute brusquement à Text2 = --10 °C et elle reste égale à cette valeur aux temps positifs (t > 0), 
figure l(b). On
souhaite étudier l'évolution du profil de température dans le mur au cours du 
temps.

Text
Tint ' ur Text T Ëxt
z 0 V e x 0
Lx Tâ..
% 0 t
(a) (b)

Figures 1 (a) - Schéma du mur étudié. (b) - Evolution de la température 
extérieure au cours du temps.

Le mur a une épaisseur 6 = 40 cm. Les propriétés physiques du mur sont 
constantes : conductivité

thermique À = 1,65 W. m'1. K"1, capacité thermique massique cp = 1 000 
].kg'1.K_1, masse

volumique p = 2 150 kg. m'3.

PARTIE I : ETUDE PRELIMINAIRE

Dans cette partie, on établit l'équation gouvernant les variations de la 
température et on la résout en
régime permanent.

I.A. Equation gouvernant la température
On suppose que la température dans le mur T ne dépend que du temps t et de la 
coordonnée x.
I.A.1. A quelle condition peut-on supposer que la température ne dépend pas des 
coordonnées )! et z ?

I.A.2. Donner l'équation générale qui décrit le transport de chaleur dans un 
solide en l'absence de

source d'énergie. Comment cette équation se simplifie-t-elle sous les 
hypothèses de la question
I.A.l ?

I.B. Conditions aux limites
On envisage plusieurs types de conditions aux limites.

(i) La température est imposée aux limites du système.
(ii) La paroi extérieure est isolée par un matériau de très faible conductivité.

I.B.1. Traduire chacune de ces conditions aux limites sur la fonction T(x, t) 
et/ou sa dérivée.

2/12

Dans toute la suite, on adoptera des conditions aux limites de type température 
imposée.
I.C. Solutions en régime permanent

I.C.1. Résoudre l'équation obtenue à la question I.A.2. en régime permanent, 
avec les conditions
aux limites de type températures imposées (question I.B.(i)) :
- pour un instant particulier négatif t1 < 0, - pour un instant particulier positif t2 > 0, très longtemps après la variation 
de
température extérieure, quand le régime permanent est de nouveau établi dans le 
mur.

I.C.2. Quelle est la nature des profils T(x) obtenus (en régime permanent) à 
ces deux instants '?
Tracer à la main les deux profils sur un même graphique sur la copie.

I.C.3. Sur le même graphique, tracer à la main qualitativement les profils 
intermédiaires à

différents instants entre la variation brutale de la température extérieure (t 
= O) et l'instant t2 où le
régime est de nouveau permanent.

PARTIE II : RESOLUTION NUMERIQUE

II.A. Equation à résoudre

On cherche à résoudre numériquement l'équation aux dérivées partielles :

âT âZT
"a = @ ...

où a est une constante. A l'équation (1) sont associées les conditions :

T(O, t) = T,... pour tout t > 0
T(e, t) = Text2 pour tout t > 0
T(x, O) = ax + b pour tout x E [O, 6]

II.A.1. Quelle est l'expression de a en fonction des paramètres physiques du 
mur '?

II.A.2. Exprimer a et b en fonction de Tim, Text1 et EUR.

Pour effectuer la résolution de l'équation (1), nous utiliserons la méthode des 
différences finies
présentée dans la partie II.B.

II.B. Méthode des différences finies

II.B.1. Discrétisation dans l'espace et dans le temps

On divise l'intervalle [O, 6], représentant l'épaisseur du mur, en N + 2 
points, numérotés de 0 à
N + 1, régulièrement espacés de Ax (figure 2, page suivante). Cette division 
est appelée
<< discrétisation >>. La distance Ax est appelée le << pas d'espace >>. A 
l'intérieur du mur (frontières

intérieure et extérieure exclues) se trouvent donc N points. On cherche à 
obtenir la température en
ces points particuliers à chaque instant.

3/12

Figure 2 - Discrétisation spatiale dans la direction x.
II.B.1.a. Donner l'expression de Ax en fonction de N et de l'épaisseur du mur e.
II.B.1.b. Donner l'abscisse x,- du ie point en fonction de i et Ax, sachant que 
x0 = 0 et xN+1 = e.

Le temps est discrétisé en ItMax intervalles de durée At et on ne s'intéresse 
au profil de
température qu'aux instants particuliers tk = k. At. L'intervalle élémentaire 
de temps At est appelé
le << pas de temps >>.

Pour résoudre l'équation (1), deux méthodes sont proposées :
-- méthode utilisant un schéma explicite,

-- méthode utilisant un schéma implicite.

II.B.2. Méthode utilisant un schéma explicite

II.B.2.a. A l'aide d'un développement limité de la fonction x l--> T(x, t), 
donner une expression
de T(x + Ax, t) à l'ordre 3 (a (Ax3)) en fonction de T et de ses dérivées 
partielles par rapport à x
évaluées en (x, t). De même, donner une expression de T(x -- Ax, t) à l'ordre 3.

2
II.B.2.b. En déduire une expression approchée à l'ordre 1 (0(Ax)) de % (dérivée 
partielle
x,t
spatiale seconde de T évaluée au point x à l'instant t) en fonction de T(x + 
Ax, t), T(x -- Ax, t) et

T (x, t) et Ax.

On note Tik la température T(x,-, tk), évaluée au point d'abscisse x,- à 
l'instant tk. De même, on
note T,'fF1 = T(x,- + Ax, tk) et T,"_1 = T(x,- -- Ax, tk).

! ' ' r r - , 62T , . , .
II.B.2.c. Dedu1re de la question precedente une express1on approchee de $ 
(der1vee partielle
xi» tk
k

spatiale seconde de T évaluée en x,- à l'instant tk) en fonction de Tik, Ti+1 
et Tik_1 et Ax.

La dérivée partielle temporelle de l'équation (l) est maintenant approchée 
grâce à un
développement limité.

II.B.2.d. A l'aide d'un développement limité de la fonction t l--> T(x, t), 
donner une expression
de T(x,t + At) à l'ordre 1 (0(At)) en fonction de T et de sa dérivée partielle 
par rapport à t
évaluées en (x, t).

ôT

II.B.2.c. En déduire une valeur approchée de E (dérivée partielle par rapport 
au temps de T
x,t

évaluée au point x à l'instant t) à l'ordre 0 (0(1)) en fonction de T(x, t + 
At), T(x, t) et At.

4/12

ôT

11. B. 2. f. Donner une expression de-- (dérivée partielle par rapport au temps 
de T évaluée en

61: xi tk
xi à l'instant tk) en fonction de At, E" t T,k+1, avec Tik+1 = T(xi, tk + At).

L'équation (l) est valable en chaque point d'abscisse xi et à chaque instant tk.

II.B.2.g. Ecrire la forme approchée de cette équation au point i et à l'instant 
k en approchant

62 ôT
% avec la formule obtenue à la question H. B. 2. c. et en approchant-- âtx avec 
la formule
x,t

obtenue àla question ll.B.2.f.

II.B.2.h. Montrer que l'équation obtenue àla question II.B.2. g peut s'écrire 
sous la forme :
T"+1_ -- rT"_ , + (1 -- 2r)T" + rT"+1 (2)
en précisant la valeur du paramètre r en fonction de Ax, At et a.

L'équation (2) est appelée schéma numérique explicite. Si on connait la 
température en tous les
points x1,x2, ...,xN_1,xN à l'instant tk, on peut calculer grâce à elle la 
température en tous les
points à l'instant ultérieur tk+1.

II.B.2.i. L'équation (2) est-elle valable dans tout le domaine, c'est-à-dire 
pour toute valeur de
l, 0 S i S N+ 1 '?QuevalentTä'c etT]ÿ+1 ?

II.B.2.j. Dans cette question, on élabore une fonction schema_explicite 
permettant de
calculer la température en chaque point au cours du temps selon la formule (2). 
Parmi les variables

d'entrée se trouvera un vecteur T0 de dimension N, défini en dehors de la 
fonction, contenant les
valeurs de la température aux points de discrétisation à l'instant initial. Au 
sein de la fonction, un

algorithme calculera itérativement la température avec un nombre maximal 
d'itérations ItMax. En
sortie de la fonction, on récupérera le nombre d'itérations réellement 
effectuées, anter et une
matrice T_tous_k, de dimensions N >< ItMax. Chaque colonne de cette matrice contient le vecteur Tk dont les éléments sont les valeurs de la température aux N points xl, , xN (points à l'intérieur du mur) à l'instant k : T11 T12 T1k ...T1k--1 T1k T"--i/îl k\i { Tâ T2" T2" T2"--1 T2" \. et T_tous_k= | T--l\TN--1 ) \TA1I--1TAZI--l___Tliî--1mTliîîâTliî--1/ Tà Tâ T." Tir--1 Tl' On souhaite arrêter le calcul lorsque la température ne varie presque plus dans le temps. Dans ce but, on évaluera la norme 2 de Tk -- T"'1 à chaque itération. La définition de la norme 2 est rappelée àla question II.B.2.j.(VÜ. II.B.2.j.(i) Ecrire l'en-tête de la fonction en précisant bien les paramètres d'entrée et de sortie. II.B.2.j.(iü Le schéma numérique (2) permet d'approcher avec succès la solution à la condition r < 1/2. Programmer un test qui avertit l'utilisateur si cette condition n'est pas respectée. II.B.2.j.(iü) Affecter la valeur 2 000 à ItMax. Créer la matrice T_tous_k de dimensions N >< I tM ax en la remplissant de zéros. 5/12 II.B.2.j.(iv) Remplacer la première colonne de T_tous_k par le vecteur des valeurs initiales T O. II.B.2.j.(v) Calculer le profil de température à l'instant k = 1 (t = At), en distinguant le cas i= 1, le cas 2 S i S N -- 1 et le cas i= N. Affecter ces valeurs à la deuxième colonne de T_tous_k. II.B.2.j.(vü Ecrire une fonction calc_norme qui calcule la norme 2 d'un vecteur. On rappelle que la norme 2 d'un vecteur V s'écrit : V 1 II.B.2.j.(viÿ Elaborer une boucle permettant de calculer itérativement le profil de température aux instants tk = k.At avec k 2 2. Cette boucle sera interrompue lorsque la norme 2 du vecteur T" -- T""1 deviendra inférieure à 10"2 ou lorsque le nombre d'itérations atteindra la valeur I tM ax (prévoir les deux cas). Utiliser, pour cela, la fonction calc_norme définie à la question II.B.2.j.(VÜ. II.B.2.j.(viü) Ecrire la fm de la fonction afin de renvoyer tous les arguments de sortie définis au début de la question ll.B.2.j. II.B.3. Méthode utilisant un schéma implicite Le schéma explicite (2) ne converge que si le pas de temps At est suffisamment faible par rapport au pas d'espace Ax. Si l'on souhaite effectuer un calcul pour un temps physique long, beaucoup d'itérations seront nécessaires et le temps de calcul sera très long. C'est pourquoi on préfère d'autres types de schémas appelés schémas implicites. Dans cette partie, la dérivée partielle seconde par rapport à x de la température apparaissant dans l'équation (l) est évaluée au point d'abscisse xi et à l'instant k + 1 : 62T 62T 6x2 6x2 N N x,t xirtk+1 et la dérivée partielle par rapport à t est évaluée au point d'abscisse xi et à l'instant k : âT âT ä,...ÿ"ä xfik' II.B.S.a. Donner la nouvelle expression approchée de l'équation (l) définie en page 3. II.B.3.b. Montrer que l'équation obtenue àla question ll.B.3.a. peut être mise sous la forme Tik = --rTik_Ë1 + (1 + 2r)Tik+1 -- r {fifi . (3) L'équation (3) est appelée schéma implicite car la température à l'instant tk est exprimée en fonction de la température à l'instant ultérieur tk+1. 6/12 Le système d'équations ainsi obtenu peut être écrit sous la forme : MTk+1 = Tk + r v (4) où M est une matrice carrée N >< N et Tk et T"'+1 sont les vecteurs de dimension N définis par : T1k T1k+1 T2k T2k+1 Tk = et T"+1 = TIG--1} Tl'îä/ T]Ç,' T,(ÿ+1 et v est un vecteur de taille N faisant intervenir les conditions aux limites. II.B.3.c. Préciser l'expression de la matrice M et l'expression du vecteur |). A chaque pas de temps, il faut inverser le système matriciel : MTk+1 = T" + r |) pour obtenir Tk+1à partir de Tk. II.B.3.d. Le but de cette question est d'écrire une fonction Calchpl qui permet de résoudre un système matriciel tridiagonal en utilisant l'algorithme de Thomas présenté ci-dessous. Algorithme de Thomas : On cherche à résoudre un système matriciel tridiagonal de la forme : Mu=d 6) où M est une matrice de dimensions N >< N tridiagonale, c'est-à-dire une matrice dont tous les éléments sont nuls, sauf sur la diagonale principale, la diagonale supérieure et la diagonale inférieure bl (:1 012 152 C2 0 (13 333 C3 aN bN et où les vecteurs u et d, de dimension N, s'écrivent : "»1 d1 ".3 d,3 ' | ' | u = : et d = : ' | ' | ' | uN--1 dN--1 uN dN 7/12 Dans cet algorithme, on calcule d'abord les coefficients suivants : , C1 C1:-- b ' 1 C' ' 23 N 1 C' = 0 r = ; ; ; _ ' b,--a,-c£ 1 p u l et , d1 d1=b_1 d---a-dL d£='--'fl pour i=2,3,...,N. bi_aici 1 Les inconnues ul, u2, , uN sont alors obtenues par les formules : uN=div ui=d£--c£ui+l pour i=N--1,N--2,...,2,1. II.B.3.d.(i) En utilisant l'algorithme de Thomas, écrire une fonction Calchpl qui permet de calculer le vecteur u, solution du système matriciel (5), à partir de la matrice M et du vecteur d. II.B.3.e. Dans cette question, une fonction schema_implicite est élaborée avec les mêmes arguments d'entrée et de sortie que la fonction schema_explicite (définis à la question ll.B.2.j.) et qui utilise les mêmes critères d'arrêt (définis àla question ll.B.2.j.(viü). II.B.S.e.(i) Ecrire l'en-tête de la fonction en précisant les paramètres d'entrée et de sortie. II.B.3.e.(ü) Affecter la valeur 2 000 à ItMax. Créer la matrice T_t ou s_k dont les dimensions sont N >< I tM ax en la remplissant de zéros. II.B.S.e.(üü Remplacer la 1re colonne de T_t ou s_k par le vecteur des valeurs initiales T O. II.B.S.e.(iv) Définir la matrice M et le vecteur V qui interviennent dans l'équation (4). II.B.3.e.(v) Calculer le profil de température à l'instant k = 1 (t = At). Affecter ces valeurs à la deuxième colonne de T_tous_k. II.B.S.e.(vü Ecrire une boucle permettant de calculer itérativement le profil de température aux instants ultérieurs tk = k >< At avec k 2 2, en prévoyant un arrêt lorsque la norme 2 du vecteur T" -- T"'1 devient inférieure à 10"2 ou lorsque le nombre d'itérations atteint la valeur ItMax (prévoir les deux cas). Utiliser pour cela la fonction calc_norme définie à la question ll.B.2.j.(vü. II.B.S.e.(vü) Ecrire la fin de la fonction afin de renvoyer tous les arguments de sortie définis au début de la question ll.B.2.j. II.C. Programme principal II.C.1. Début du programme II.C.1.a. Définir les variables epais (épaisseur du mur), conclue (conductivité thermique), rho (masse volumique), Cp (capacité thermique massique), Tint (température intérieure), Textl 8/12 (température extérieure pour les instants t < 0), Text2 (température extérieure pour les instants t > O), N (nombre de points de calcul à l'intérieur du mur) et Dt (intervalle 
de temps élémentaire)
et leur affecter les valeurs correspondant au problème physique défini au début 
de l'énoncé. On
prendra un nombre de points de discrétisation N = 60 et un pas de temps At de 
25 secondes.

II.C.1.b. Calculer les coefficients a et b avec la formule trouvée àla question 
II.A.2.
II.C.1.c. Créer un vecteur X dont les éléments xl, x2, , xN sont définis àla 
question ll.B.l.b.

II.C.1.d. Calculer le vecteur des températures initiales T O.

II.C.1.e. Calculer alpha selon la formule trouvée à la question ll.A.l. 
Calculer r en utilisant la
formule calculée àla question ll.B.2.h.

II.C.2. Calcul des températures

II.C.2.a. Ecrire un morceau de programme qui demande à l'utilisateur quel 
schéma (explicite ou
implicite) il souhaite utiliser et qui appelle la fonction correspondante.

II.C.3. Analyse du résultat

II.C.3.a. Ecrire un morceau de programme permettant de tracer sur un même 
graphique le profil
de température en fonction de X tous les 100 pas de temps.

II.C.S.b. Faire afficher le temps en heures au bout duquel le régime permanent 
est établi.

Fin de l'énoncé

9/12

ANNEXE A : COMMANDES ET FONCTIONS USUELLES DE SCILAB

A=[ab cd;e fg h;ij kl]
Description : commande permettant de créer une matrice dont la première ligne 
contient les
éléments a, b, c, d, la seconde ligne contient les éléments e, f, g, h et la 
troisième, les

éléments i, j, k, l.
Exemple : A=[12 3 4 5;31011 12 20;010 0 2]

® 1. 2. 3. 4. 5.
3. 10. 11. 12. 20.
0. 1. 0. 0. 2.

A(i,j)
Arguments d'entrée : les coordonnées de l'élément dans le tableau A.
Argument de sortie : l'élément (i, j) de la matrice A.
Description : fonction qui retourne l'élément (i, j) de la matrice A. Pour 
obtenir toute la
colonne j de la matrice A, on utilise la syntaxe A(: , j). De même, pour 
accéder à l'intégralité

de la ligne L' de la matrice A, on écrit A(i, : ).
Exemple: A=[12 3 4 5;31011 12 20;010 0 2]

A(2,4)
© 12
A(:,3)
® 3.
11.
0.
A(2,:)
® 3. 10. 11. 12. 20.

x=[x1szzx2]
Description : commande permettant de créer un vecteur dont les éléments sont 
espacés de
Dx et dont le premier élément est 361 et le dernier élément est le plus grand 
multiple de Dx
inférieur ou égal à 362.
ATTENTION: le vecteur ainsi créé est un vecteur ligne. Pour convertir un vecteur
ligne en un vecteur colonne, on le transpose en utilisant l'apostrophe « ' » : 
x_trans=x'.
Exemple : x=[2:0.5:6.3]

® 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5 5. 5.5 6.
x_trans=x'
® 2.
2.5
3.
3.5
4.
4.5
5.
5.5
6.
zeros(n,m)
Arguments d'entrée : deux entiers n et m correspondant aux dimensions de la 
matrice à
créer.
Argument de sortie : un tableau (matrice) d'éléments nuls.

Description : fonction créant une matrice (tableau) de dimensions n >< m dont tous les éléments sont nuls. 10/12 Exemple : zeros(3,4) plot(x,y) Arguments d'entrée : un vecteur d'abscisses x (tableau de dimension n) et un vecteur d'ordonnées )! (tableau de dimension n). Description : fonction permettant de tracer sur un graphique n points dont les abscisses sont contenues dans le vecteur x et les ordonnées dans le vecteur y. Exemple : x= [3:0.1:5] y=sin(x) plot(X,y) ANNEXE B : BIBLIOTHEQUE NUMPY DE PYTHON Dans les exemples ci-dessous, la bibliothèque numpy a préalablement été importée à l'aide de la commande : import numpy as np On peut alors utiliser les fonctions de la bibliothèque, dont voici quelques exemples : np.array(liste) Argument d'entrée : une liste définissant un tableau à 1 dimension (vecteur) ou 2 dimensions (matrice). Argument de sortie : un tableau (matrice). Description : fonction permettant de créer une matrice (de type tableau) à partir d'une liste. EXÆpl_EUR : np.array([4,3,2]) ® [4 3 2] np-âïfäY(ll5lal7lallll) @ [[5] [7] ...] np.array([[3,4,lO],[l,8,7]]) ® [[3 4 10] [l 8 7]] A[i,j]. Arguments d'entrée : un tuple contenant les coordonnées de l'élément dans le tableau A. Argument de sortie : l'élément (i + 1, j + 1) de la matrice A. Description : fonction qui retourne l'élément (i + 1, j + 1) de la matrice A. Pour obtenir toute la colonne j+l de la matrice A, on utilise la syntaxe A[: , j]. De même, pour accéder à l'intégralité de la ligne i+l de la matrice A, on écrit A[i, : ]. ATTENTION : en langage Python, les lignes d'un A de dimension n X 111 sont numérotées de 0 à n -- 1 et les colonnes sont numérotées de 0 à m -- 1 Exemple : A=np.array([[3,4,lO],[l,8,7]]) A[O,2] © 10 A[:,2] © [10 7] A[l,:] ® [1 8 7] 11/12 np.zeros((n,m)) Arguments d'entrée : un tuple de deux entiers correspondant aux dimensions de la matrice à créer. Argument de sortie : un tableau (matrice) d'éléments nuls. Description : fonction créant une matrice (tableau) de dimensions n >< m dont tous les éléments sont nuls. Exemple : np.zeros((3,4)) © uooooe [000OE mooon np.linspace(Min,Max,nbElements) Arguments d'entrée : un tuple de 3 entiers. Argument de sortie : un tableau (vecteur). Description : fonction créant un vecteur (tableau) de nbElements nombres espacés régulièrement entre Min et Max. Le 1er élément est égal à M in, le dernier est égal à Max et les éléments sont espacés de (Max -- M in) / (nbE lements -- 1) : Exemple : np.linspace(3,25,5) c>[385141952fl

ANNEXE C : BIBLIOTHEQUE MATPLOTLIB.PYPLOT DE PYTHON

Cette bibliothèque permet de tracer des graphiques. Dans les exemples 
ci-dessous, la bibliothèque
matplotlib.pyplot a préalablement été importée à l'aide de la commande :
import matplotlib.pyplot as plt

On peut alors utiliser les fonctions de la bibliothèque, dont voici quelques 
exemples :

plt.plot(x,y)
Arguments d'entrée : un vecteur d'abscisses x (tableau de dimension n) et un 
vecteur

d'ordonnées )! (tableau de dimension n).
Description : fonction permettant de tracer sur un graphique de n points dont 
les abscisses
sont contenues dans le vecteur x et les ordonnées dans le vecteur y. Cette 
fonction doit être
suivie de la fonction plt.show() pour que le graphique soit affiché.
Exemple : x= np.linspace(3,25,5)

y=sin(x)

plt.plot(x,y)

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('y')

plt.show()

plt.xlabel(nom)
Argument d'entrée : une chaine de caractères.
Description : fonction permettant d'afficher le contenu de nom en abscisse d'un 
graphique.

plt.ylabel(nom)
Argument d'entrée : une chaine de caractères.
Description : fonction permettant d'afficher le contenu de nom en ordonnée d'un 
graphique.

plt.show()
Description : fonction réalisant l'affichage d'un graphe préalablement créé par 
la commande
plt.plot(x,y). Elle doit être appelée après la fonction plt.plot et après les 
fonctions plt.xlabel
et plt.ylabel.

12/12

IMPRIMERIE NATIONALE -- 151318 -- D'aprèsdocumentsf0urnis