CCINP Modélisation de systèmes physiques ou chimiques PC 2017

SESSION 2017

PCMS006

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC!
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MODELISATION DE SYSTEMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES
Jeudi 4 mai : 8 h - 12 h!
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N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la
!"#$%&'()*+,'+-)+%$)#'#$&+./&+$0.)"+1+!.2"!.!+%.+3-'+2.-&+4-'+/.054.!+6&!.+-).+.!!.-!+#7")()%"8+'4+4.+
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des in'&'$&'9./+3-7'4+
a été amené à prendre.!

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Les calculatrices sont autorisées
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Le sujet est composé de deux parties, largement indépendantes.
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1/15

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Autour de l'équation de Poisson
Ce problème s'intéresse à la résolution numérique de quelques problèmes 
d'électrostatique. Il se
compose de deux parties.
I. Étude de l'équation de Poisson et de différentes méthodes de résolution 
numérique.
II. Deux études de cas : fil infini chargé et mouvement d'un électron entre les 
plaques d'un condensateur.
Les différentes parties sont largement indépendantes.
Un aide-mémoire numpy/matplotlib/pyplot est présent à la fin du sujet.

Partie I - Équation de Poisson
I.1 - Établissement de l'équation
Q1. Rappeler l'équation de Maxwell-Gauss ainsi que la relation entre le champ E 
et le potentiel
électrostatique V. En déduire l'équation de Poisson :
V +

=0.
0

Préciser les noms et les unités usuelles de  et 0 .
Q2. Citer plusieurs situations physiques en dehors de l'électrostatique pour 
lesquelles il existe une
équation analogue.
I.2 - Équation adimensionnée pour un problème plan
On veut résoudre l'équation de Poisson dans une portion de plan P carrée de 
côté L. On pose :
X = x/L, Y = y/L .
Q3. Montrer qu'on peut écrire l'équation sous la forme suivante :
2 V(X, Y) 2 V(X, Y)
+
+  (X, Y) = 0
X 2
Y 2
où  (X, Y) sera exprimé en fonction de , L et 0 .
I.3 - Discrétisation
Afin de résoudre numériquement l'équation de Poisson, on va utiliser un 
maillage de P, de pas
h = 1/N, et on va transformer les dérivées partielles par des différences entre 
les valeurs de V aux
différents points du maillage (on parle aussi des noeuds du maillage). La 
figure 1 (page suivante)
représente le maillage de P pour N = 5.

2/15

ZE
î

X,- 1 X

Figure 1 -- Maillage de 73 pour N = 5

Q4. En faisant un développement limité à l'ordre 2 autour du point de 
coordonnées (X,, Yj), montrer

' n t rim rl l rde ôZV + ôZV en ce oint so s la forme s i ante'
quo peu exp e avaeu ôX2 ôY2 p u uv .
âZv â2V V(Xi + h, Yj) + V(Xj _ h, Yj) + V(Xï, Yj + h) + V(Xj, Yj _ h) _ 4V(Xj, 
Yj) +O(h)
_ +_ = _ .
ôX2 ôY2 h2

QS. Comme X, : ih et Yj : jh, on note désormais V(i, j) le potentiel V(X,, Y ]) 
en un point (X,, Y ])
du maillage. Montrer alors qu'on peut écrire l'équation de Poisson sous la 
forme suivante :

V(i + l,j) + V(i -- l,j) + V(i,j+ l) + V(i,j-- l) -- 4V(i, j) +p"(i, j) = 0 (l)
p"(i, j) étant une fonction à définir en fonction de p, L, 80 et h.

I.4 - Résolution

La fonction p"(i , j) étant connue, on montre en mathématiques que la solution 
de l'équation de Pois--
son est unique si on fixe les conditions aux limites sur la frontière 77 du 
domaine 50. Ces conditions
sont essentiellement de deux types :
-- on impose le potentiel en tout point de ?" (conditions de Dirichlet),
-- on impose une condition sur les dérivées partielles de V en tout point de 9" 
(conditions de
Neumann).
Dans ce problème, on ne va considérer que des conditions de Dirichlet.

La frontière ? contient naturellement les points du bord de 50 (donc 
appartenant aux quatre côtés du
carré), mais elle peut aussi contenir certains points à l'intérieur de 73 où le 
potentiel est fixé en raison
de la présence d'électrodes.

L'ensemble des points de coordonnées (i, j) est donc composé de deux 
sous-ensembles :
-- ceux dont le potentiel est connu, appartenant à la frontière 7" ,
-- ceux dont le potentiel est inconnu, appartenant à 79 mais pas à 77 (donc 
dans PW").

3/15

Méthode de Jacobi
À partir de l'équation (1), on peut exprimer :
1
V(i, j) = (V(i + 1, j) + V(i - 1, j) + V(i, j + 1) + V(i, j - 1) +  (i, j)) .
4

(2)

La résolution s'effectue alors en deux étapes.
-- Initialisation
a) On fixe le potentiel des points de F à la valeur imposée physiquement (bords 
et électrodes).
b) On donne aux points de potentiel inconnu, donc appartenant à P\F , une 
valeur arbitraire
V0 (i, j), en général nulle.
-- Itérations
On calcule une nouvelle valeur V1 (i, j) des potentiels en appliquant 
l'équation (2) pour tous
les points de P\F , tandis que V1 (i, j) = V0 (i, j) pour les points de F .
Le processus est répété jusqu'à obtenir des valeurs du potentiel quasiment 
stables. En notant
k le nombre d'itérations, on a donc pour le point de coordonnées (i, j) 
n'appartenant pas à la
frontière :
1
Vk+1 (i, j) = (Vk (i + 1, j) + Vk (i - 1, j) + Vk (i, j + 1) + Vk (i, j - 1) +  
(i, j)) .
(3)
4
La convergence de la méthode est vérifiée à l'aide du critère de convergence ek 
, défini par :

1 
ek =
(Vk+1 (i, j) - Vk (i, j))2 .
(4)
N 2 i, j
Le calcul sera stoppé au bout de k itérations, quand ek deviendra inférieur à 
un seuil de convergence
 fixé arbitrairement.
Implémentation informatique
On va utiliser la bibliothèque numpy permettant une utilisation simple des 
tableaux de flottants à deux
dimensions ; un aide-mémoire est disponible en fin de sujet.
Le chargement des bibliothèques classiques est assuré par les lignes suivantes :
# importation des biblioth èques
import numpy as np
import matplotlib . pyplot as plt
import math
On supposera que les tableaux numpy suivants, utilisés comme arguments dans les 
fonctions à définir
dans les questions qui suivent, ont pour signification :
-- V[i,j], (i, j)  0 . . . N2 : tableau courant du potentiel en un point de P,
-- rhos[i,j], (i, j)  0 . . . N2 : tableau contenant la densité de charge  en 
un point de P,
-- frontiere[i,j], (i, j)  0 . . . N2 : tableau de booléens indiquant si le 
point de coordonnées (i, j) appartient ou non à F . En particulier, tous les 
points du bord du domaine seront tels
que frontiere[i,j]==True.

4/15

Q6. Écrire la fonction nouveau_potentiel(V, rhos, frontiere, i, j) retournant 
la nouvelle valeur du potentiel au point (i, j)  0 . . . N2 selon l'équation 
(3).
Q7. Montrer que pour modifier toutes les valeurs contenues dans V[i,j] pendant 
une itération, il
est nécessaire de disposer d'une copie de ce tableau.
On rappelle que l'attribut shape permet de récupérer les dimensions d'un 
tableau numpy.
Q8. Écrire la fonction itere_J(V, rhos, frontiere) modifiant la totalité du 
tableau V[i,j]
lors d'une seule itération et retournant l'erreur calculée conformément à 
l'équation (4).
Q9. Écrire la fonction poisson(f_iter, V, rhos, frontiere, eps) ayant pour 
premier argument une fonction du même type que celle définie à la question 
précédente, pour dernier
argument eps le seuil arbitraire de convergence  et dont le rôle est de 
modifier le tableau des
potentiels V[i,j] jusqu'à convergence.
I.5 - Améliorations
Méthode de Gauss-Seidel
C'est une modification de la méthode de Jacobi, pour laquelle on montre que la 
convergence est
légèrement plus rapide. Supposons que l'on balaye le tableau des potentiels 
selon les indices i et j
croissants : dans ces conditions, les points situés à gauche et en dessous du 
point courant ont déjà
été calculés. On va utiliser ces nouvelles valeurs, probablement plus proches 
de la solution, dans la
formule permettant le calcul de Vk+1 (i, j). Ceci donne l'algorithme de 
Gauss-Seidel :
1
Vk+1 (i, j) = (Vk (i + 1, j) + Vk+1 (i - 1, j) + Vk (i, j + 1) + Vk+1 (i, j - 
1) +  (i, j)) .
4

(5)

Q10. Montrer qu'il n'est plus nécessaire de copier le tableau V[i,j] pour la 
mise à jour lors d'une
itération en utilisant l'équation (5). Faut-il modifier la fonction 
nouveau_potentiel pour
passer de la méthode de Jacobi à celle de Gauss-Seidel ?
Q11. Écrire la fonction itere_GS(V, rhos, frontiere) modifiant la totalité du 
tableau V[i,j]
lors d'une seule itération et retournant l'erreur calculée conformément à 
l'équation (4).
Méthode de Gauss-Seidel adaptative
Les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel n'utilisent pas la valeur de Vk (i, 
j) pour calculer Vk+1 (i, j).
La méthode de sur-relaxation (Successive Over Relaxation method) consiste à 
calculer la nouvelle
valeur d'un noeud comme une combinaison linéaire de la valeur courante et de 
celle donnée par le
schéma de Gauss-Seidel. En introduisant le paramètre de relaxation , on a alors 
:
Vk+1 (i, j) = (1 - )Vk (i, j) +

(Vk (i + 1, j) + Vk+1 (i - 1, j) + Vk (i, j + 1) + Vk+1 (i, j - 1) +  (i, j)) . 
(6)
4

L'étude mathématique de cette relation permet de montrer les résultats suivants 
:
-- la méthode converge uniquement si 0 <  < 2 et elle converge plus rapidement que la méthode de Gauss-Seidel si 1 <  < 2, -- il existe une valeur optimale de  qui permet la convergence avec un nombre d'itérations en O(N) pour une valeur de  fixée. 5/15 Pour la résolution de l'équation de Poisson envisagée dans ce problème (conditions de Dirichlet sur un maillage carré), on montre que la valeur optimale opt est : opt = 2 . 1 + /N (7) Q12. Écrire la fonction nouveau_potentiel_SOR(V, rhos, frontiere, i, j, omega) retournant la nouvelle valeur du potentiel au point (i, j) selon l'équation (6). Q13. Écrire la fonction itere_SOR(V, rhos, frontiere) optimale modifiant la totalité du tableau V[i,j] lors d'une seule itération et retournant l'erreur calculée conformément à l'équation (4). La résolution du problème peut alors se faire par un appel de la forme poisson(itere_SOR, V, rhos, frontiere, eps), les tableaux carrés V, rhos, frontiere étant de dimensions convenables pour représenter un maillage comportant (N + 1)2 noeuds. Q14. Quelle est la complexité temporelle de l'appel précédent quand  = opt ? La figure 2 représente, pour  = 10-4 , la durée d'exécution T (en secondes) en fonction de N. Cette courbe est-elle en accord avec la complexité temporelle attendue ? Quelle serait la durée d'exécution pour N = 1 000 ? Commenter. !"#$%&''(')*+),(-./0"1"2"#"3"0 Figure 2 ­ Durée d'exécution (en secondes) de poisson(itere_SOR, V, rhos, frontiere, eps) en fonction de N 6/15 I.6 - Détermination du champ électrique Connaissant le potentiel V[i,j], il est souvent nécessaire de calculer numériquement les composantes E x et Ey du champ électrique au niveau des noeuds du maillage, qui sont alors conservées dans deux tableaux Ex et Ey dimensionnés correctement (ce sont donc des tableaux carrés de (N + 1)2 éléments). Q15. Expliquer rapidement comment il serait possible de définir la fonction calc_ExEy(Ex, Ey, V, h), permettant, à partir du tableau V et du pas du maillage h, le remplissage des deux tableaux Ex et Ey passés en arguments. Remarque : on ne demande pas d'écrire le code de la fonction, juste de décrire précisément les étapes de calcul, ainsi que les différents cas à considérer. Partie II - Deux études de cas II.1 - Fil cylindrique chargé uniformément Étude théorique On considère dans le vide un fil cylindrique infini d'axe z et de rayon R, portant une charge volumique constante . Q16. En se plaçant en coordonnées cylindriques d'axe z, montrer par des considérations de symétrie et d'invariance que le champ E = E(r) ur . En déduire la forme des surfaces équipotentielles. Q17. En appliquant le théorème de Gauss, calculer le champ E dans tout l'espace. Tracer rapidement l'allure de E(r) en fonction de r. Q18. On donne : 0 = 8,85 × 10-12 F.m-1 ,  = 1,00 × 10-5 C.m-3 , R = 5,00 cm. Calculer la valeur maximale de la norme du champ électrique, ainsi que la valeur pour r = 2R. Étude numérique Pour pouvoir utiliser la méthode de Gauss-Seidel adaptative, on place le fil infini au centre d'une enceinte de longueur infinie et de section carrée (L × L), portée au potentiel nul (figure 3). Dans la suite, on prendra L = 4R = 20,0 cm. y enceinte L fil chargé L 2 2R V =0 O L 2 L x Figure 3 ­ Fil infini dans une enceinte de section carrée, portée au potentiel nul 7/15 Le programme permettant la résolution de ce problème commence ainsi : # initialisations eps0 = 8.85e -12 L = 20.0e-2 N = 100 ; h = L/N rho = 1.00e-5 # # # # epsilon_0 20 cm dé finition du maillage densit é vol. de charge rho # les tableaux globaux numpy pour le cylindre rhos_cyl = np.zeros ((N+1,N+1)) # tableau des V_cyl = np.zeros ((N+1,N+1)) # le potentiel Ex_cyl = np.zeros ((N+1,N+1)) # la composante Ey_cyl = np.zeros ((N+1,N+1)) # la composante charg é valeurs de rho '' Ex Ey # le tableau dé finissant la fronti ère est initialement # rempli entiè rement par la valeur False frontiere_cyl = np.zeros ((N+1,N+1) , bool) Q19. Écrire la fonction dans_cylindre(x,y,xc,yc,R) retournant un résultat booléen indiquant si le point de coordonnées (x, y) est à l'intérieur ou sur le bord du cercle de centre (xc , yc ) et de rayon R. Q20. Écrire la fonction initialise_rhos_cylindre(tab_rhos), initialisant le tableau rhos_cyl contenant les valeurs  (i, j) pour les noeuds du maillage. Q21. Écrire la fonction initialise_frontiere_cylindre(tab_f), mettant à True les points appartenant à la frontière, donc de potentiel fixé. La résolution numérique avec la méthode de Gauss-Seidel adaptative, utilisant les valeurs numériques précédentes et un seuil de convergence  = 10-5 , mène à la figure 4, où on a tracé un réseau de courbes équipotentielles, le potentiel V et la composante E x du champ le long de l'axe de symétrie défini par y = L/2. En outre, la valeur calculée de Ex_cyl[50, 50] est égale à -0.0023321214257521206. Q22. Commenter le plus complètement possible ces résultats ; on veillera, en particulier, à les comparer au modèle théorique (allure des courbes, valeurs numériques ...). y) · u x en fonction de x pour y = L/2 Figure 4 ­ Équipotentielles, V(x, y) et E(x, Une autre résolution est effectuée, avec une répartition de charges dans le cylindre différente de la précédente, utilisant la même valeur de la densité volumique  = 10-5 C.m-3 . Elle mène aux courbes de la figure 5 (page suivante). 8/15 y) · u x en fonction de x pour la nouvelle répartition de Figure 5 ­ Équipotentielles, V(x, y) et E(x, charge Q23. Déduire de ces courbes la répartition de charges dans le cylindre dans cette deuxième situation. Calculer le champ électrique en tout point pour cette répartition de charges dans le cas d'un cylindre infini seul dans l'espace. On vérifiera que la valeur maximale du champ électrique calculée à l'aide de cette modélisation est compatible avec celle déduite de la figure 5. II.2 - Mouvement d'un électron dans un tube d'oscilloscope La figure 6 montre un tube d'oscilloscope de petite dimension, dans lequel des électrons émis par la cathode sont accélérés et déviés vers un écran luminescent. La déviation est assurée par le passage des électrons entre les plaques de deux condensateurs plans : un pour la déviation horizontale, l'autre pour la déviation verticale. L'étude qui suit ne concernera que le condensateur responsable de la déviation verticale. (!)"* !"#$%&' Figure 6 ­ Petit tube d'oscilloscope, de longueur d'environ 20 cm On modélise la trajectoire d'un électron de la façon suivante (figure 7 page suivante, où la zone de déviation est grisée) : -- on négligera l'effet de la pesanteur, -- émis à vitesse nulle par effet thermo-électronique au niveau de la cathode portée au potentiel nul, l'électron est accéléré à l'aide d'une tension V0 > 0 afin d'acquérir à 
l'entrée de la zone
de déviation une vitesse v0 ,
-- pendant son trajet dans la zone de déviation, il est soumis à un champ 
électrique E lié aux
potentiels ±V p des plaques du condensateur, de longueur  et séparées par une 
distance d,
-- poursuivant son mouvement, il arrive sur la surface de l'écran à une 
distance y s de l'axe x,
l'écran étant situé à la distance D du centre du condensateur.
9/15

Figure 7 -- Schéma de la zone de déviation

Valeurs numériques :

masse d'un électron m = 9,11 >< 10_31 kg ; charge élémentaire e = 1,60 X 10_19 C V0 =950V; Vp =180V; D=7,00cm; d=2,00cm; EUR=4,00cm. Étude physique Q24. En appliquant la conservation de l'énergie, calculer la vitesse vo de l'électron à l'entrée de la zone de déviation. Faire l'application numérique. Commenter. Q25. On modélise les plaques de déviation comme un condensateur sans effets de bord : le champ électrique est donc considéré comme nul si |x| > 6/2 et uniforme si lxl EUR 
5/2, ses lignes de
champ étant parallèles à l'axe Oy. Exprimer le champ Ê entre les plaques en 
fonction de Vp et

d.

Q26. On suppose que la vitesse d'entrée de l'électron dans la zone de déviation 
est 70 : vo üx. En
appliquant les lois de la mécanique, établir l'équation de la trajectoire de 
l'électron entre les
plaques (pour |x| < 6/2). 2EURV EUR Q27. Montrer que l'équation de la trajectoire pour x > EUR / 2 est donnée par : 
y : dp2 x.
m vo
, . , , ,, Vp EUR D
En déduire que l ordonnee du spot surl ecran est : ys : Î >< Î' 0 Faire l'application numérique pour y,. Étude numérique Pour savoir si la modélisation précédente est pertinente, on va envisager une détermination numérique de la trajectoire de l'électron. Pour cela, on place le condensateur de déviation dans une enceinte carrée au potentiel nul de côté L = 10,0 cm, le centre du condensateur étant à 3,0 cm du bord gauche de l'enceinte (figure 8 page suivante). Les autres caractéristiques électriques et géométriques sont les mêmes que précédemment. La résolution numérique se déroule alors en deux étapes : -- calcul du potentiel et du champ électrique par la méthode de Gauss--Seidel adaptative dans l'enceinte, -- calcul de la trajectoire de l'électron à l'aide de la méthode d'Euler. 10/15 T \ plaques de déviatidn Figure 8 -- Modélisation des plaques de déviation dans l'enceinte Le programme permettant cette résolution numérique commence ainsi : L = 0.100 ; N = 100 ; h : L/N V0 = 950 ; Vp : 180 m : 9.11e--31 ; e : 1.60e--19 rhos_osc : np.zeros((N+l,N+l)) V_osc : np.zeros((N+l,N+l)) Ex_osc : np.zeros((N+l,N+l)) Ey_osc : np.zeros((N+l,N+l)) frontiere_osc : np.zeros((N+l,N+l), dtype=bool) Calcul du potentiel et du champ électrique dans l'enceinte Q28. Quelles sont les valeurs qui doivent être contenues dans le tableau rhos pour le problème considéré ? Q29. Écrire la fonction initialise_frontiere_condensateur(tab_V, tab_f), permettant l'initialisation des tableaux V_osc et frontiere_osc à l'aide de la ligne de code suivante : initialise_frontiere_condensateur(V_osc, frontiere_osc) Pour pouvoir utiliser la méthode d'Euler, il est nécessaire de pouvoir calculer les composantes Ex(x, y) et Ey(x, y) du champ E pour x EUR [O, L[ et y EUR [O, L[. Cependant, la méthode de résolution (asso-- ciée à la fonction calc_ExEy définie dans la question 15) ne permet de calculer les composantes Ex_osc [i , j] et Ey_osc [i , j] qu'aux noeuds du maillage. 11/15 Soit un point P de coordonnées (x, y)  [0, L[×[0, L[. Ce point est dans la cellule (i, j), où i = x/h et j = y/h. Posons r x = x - ih et ry = y - jh. Q30. Montrer alors que : E x (x, y)  Ex[i,j] + ((Ex[i+1,j] - Ex[i,j]) * rx + (Ex[i,j+1] - Ex[i,j]) * ry) / h . Écrire de même la formule permettant de calculer Ey (x, y). En déduire qu'il est possible de calculer les composantes du champ en tout point de P. On supposera dans la suite que les fonctions val_Ex(Ex,Ey,x,y,h) et val_Ey(Ex,Ey,x,y,h) sont définies et retournent les valeurs des composantes du champ électrique pour le point M de coordonnées (x, y) calculées à l'aide des formules précédentes. Calcul de la trajectoire par la méthode d'Euler Q31. Montrer que les équations permettant de décrire le mouvement de l'électron par la méthode d'Euler sont les suivantes, avec t comme petit incrément temporel et x, v x , y, vy les variations pendant t des grandeurs x, v x , y, vy : y = vy t x = v x te e . vy = - Ey (x, y)t v x = - E x (x, y)t m m Q32. Compte tenu du changement de la position d'origine du repère (imposée par la résolution numérique de l'équation de Poisson, figure 8), quelles sont les conditions initiales du mouvement de l'électron ? Déterminer t pour calculer environ 200 points successifs le long de la trajectoire. Faire l'application numérique. Q33. En tenant compte des réponses aux questions précédentes, compléter le code d'initialisation des variables de la simulation (****** dans le code suivant) : Npts = 200 # nombre de points pour le tracé de la trajectoire v0 = ****** # vitesse initiale de l'é lectron dt = ****** # incrément temporel # tableaux des coordonn ées x et y de l'é lectron lx = np.zeros(Npts) ; ly = np.zeros(Npts) # tableaux des vitesses en x et en y lvx = np.zeros(Npts) ; lvy = np.zeros(Npts) # conditions initiales lx [0] = ****** ; ly [0] = ****** lvx [0] = ******* ; lvy [0] = ******* Q34. Écrire les lignes de code implémentant la boucle de remplissage des tableaux lx, ly, lvx, lvy selon la méthode d'Euler. 12/15 Comparaison théorie/simulation La figure 9 montre le résultat de la simulation précédente. On y voit le réseau de courbes équipotentielles, ainsi que deux trajectoires 1 et 2 , l'une étant associée au calcul théorique, l'autre à la simulation numérique. Chaque trajectoire est constituée de 200 points de calcul séparés d'une durée t. Q35. Reproduire sommairement sur la copie la figure 9, y ajouter le tracé de quelques lignes de champ orientées dans les différentes parties de la zone de déviation. Identifier, en le justifiant, chaque trajectoire. Expliquer pourquoi la trajectoire 1 est plus courte que la trajectoire 2 . À votre avis, peut-on se contenter de l'étude théorique pour prévoir le point d'impact de l'électron sur l'écran ? (On attend une réponse chiffrée.) ! " Figure 9 ­ Tracé dans la zone de déviation de quelques courbes équipotentielles, des trajectoires de l'électron (théorique et simulée numériquement) 13/15 Aide-mémoire numpy/matplotlib/pyplot Importation des bibliothèques Les bibliothèques sont importées de la façon suivante : import math import numpy as np import matplotlib . pyplot as plt Manipulation des tableaux numpy La création d'un tableau numpy à deux dimensions dont toutes les valeurs sont initialisées à 0 est faite par l'instruction np.zeros(format), format étant un doublet de la forme (n_lignes , n_colonnes) : >> t0=np.zeros ((2 ,3)); print (t0)
[[ 0. 0. 0.]
[ 0. 0. 0.]]
Pour avoir un tableau rempli de 1, on utilise np.ones(format) :
>> t1=np.ones ((2 ,2)); print (t1)
[[ 1. 1.]
[ 1. 1.]]
On peut récupérer le format d'un tableau en demandant son attribut shape, ce 
qui retourne un doublet :
>> print (t0.shape); print (t1.shape)
(2, 3)
(2, 2)
Dans le cas d'un tableau carré, on peut donc récupérer le nombre de lignes, 
égal au nombre de colonnes, en accédant au premier élément du doublet :
>> t1.shape [0]
2
On peut créer un tableau numpy de booléens en ajoutant le type bool. La valeur 
0 est associée à
False, la valeur 1 à True :
>> np.zeros ((2 ,3) , bool)
[[ False False False]
[False False False ]]}
>> np.ones ((2 ,3) ,bool)
[[ True True True]
[ True True True ]]

14/15

L'accès à un élément du tableau a (en lecture ou en modification) se fait par 
a[i,j], les lignes et les
colonnes étant numérotées à partir de 0 :
>>
>>
[[
[

a=np.zeros ((2 ,3)) ; a[0 ,0]=1 ; a[1 ,2]=2
a
1. 0. 0.]
0. 0. 2.]]

Une copie indépendante d'un tableau a se fait à l'aide de np.copy(a)
>>
>>
[[
[
>>
[[
[

b = np.copy(a) ; b[0 ,0]=3 ; b[1 ,1]=5
a
1. 0. 0.]
0. 0. 2.]]
b
3. 0. 0.]
0. 5. 2.]]

FIN

15/15