CCINP Modélisation de systèmes physiques ou chimiques PC 2022

SESSION 2022 (C: PC5MO

CONCOURS
COMMUN
INP

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

-__ Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les 
schémas et la mise en
évidence des résultats.

-< Ne pas utiliser de correcteur. -_ Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. Les calculatrices sont autorisées. Le sujet est composé de trois parties et d'une Annexe en fin d'énonceé. 1/16 Étude d'une réaction à solide consommable Présentation du problème Les réactions à solide consommable sont courantes dans les procédés de transformation de la matière. On peut citer la réaction du dioxyde d'uranium (UO,) avec l'acide fluorhydrique (HF) pour produire le tétrafluorure d'uranium (UF,) selon la stooechiométrie suivante : UO2e + 4 HF © UFaço + 2 H20(@) Cette réaction est impliquée dans la conversion du dioxyde d'uranium en hexafluorure d'uranium (UF;) qui est utilisé dans les deux principaux procédés d'enrichissement de l'uranium (la diffusion gazeuse et l'ultracentrifugation) en raison de son point triple à 64 °C (à 150 kPa). Un autre exemple est la réaction d'oxydation du sulfure de zinc en présence d'air pour former l'oxyde de zinc, un matériau semi-conducteur qui pourrait remplacer le dioxyde de titane dans les cellules photovoltaïques. La réaction s'écrit : 2 ZnSç +302, À 2 ZnO(s) + 2 502 Dans les deux cas, la réaction met en jeu une phase fluide et une phase solide. Une particularité de ce type de réactions est la formation d'un produit solide poreux qui remplace progressivement le réactif initial. Dans le cas de particules sphériques, on observe un déplacement du front de réaction (l'interface entre le réactif solide non consommé et le produit solide) de l'extérieur de la particule vers le centre en fonction du temps (figure 1). particule particule qui a particule qui a initiale partiellement réagi totalement réagi produit solide poreux LS r d temps Figure 1 - Représentation schématique de l'évolution du front de réaction en fonction du temps Les phénomènes physiques et chimiques mis en jeu lors de la réaction sont : e le transport du fluide réactif à travers la couche limite externe des particules (généralement par convection), e le transport du fluide réactif à travers la couche de produit solide poreux par diffusion dans les pores, e la réaction chimique qui est localisée au niveau du front de réaction, e le transport du produit fluide (s'il existe) dans les pores, puis à travers la couche limite externe. 2/16 Le modèle qui permet de représenter ces phénomènes porte le nom de modéle à coeur rétrécissant. Dans une version simple de ce modèle, on suppose que le produit poreux a une densité similaire à celle du réactif et que par conséquent le volume final de la particule qui a totalement réagi est le même que celui de la particule initiale. Dans le cas général, la consommation des particules est contrôlée par les trois premiers phénomènes cités précédemment. Cependant, dans certains cas limites, il se peut que l'un des trois phénomènes soit beaucoup plus lent que les deux autres et c'est lui qui va imposer la vitesse de consommation des particules. On parle alors de phénomène limitant. Par exemple, si la réaction chimique est très lente par rapport aux phénomènes de transport, ce sera le phénomène limitant ; la vitesse de consommation des particules sera contrôlée par la réaction chimique et on parlera de régime chimique. Dans la suite, pour généraliser, la réaction entre les particules solides (B) et la phase fluide (A) sera écrite de la manière formelle suivante où v est le coefficient stoechiométrique devant le solide : À (fluide) + uB (solide) 2 produits Le but de cette épreuve est de mettre en équation le modèle à coeur rétrécissant permettant de prédire la consommation des particules en fonction du temps. La première partie consiste, dans un premier temps, à établir l'équation aux dérivées partielles régissant l'évolution de la concentration du fluide A dans la couche de solide poreux B ; puis, dans un second temps, une version simplifiée du modèle, permettant d'obtenir des résultats facilement sans avoir recours à la résolution de l'équation aux dérivées partielles, sera déterminée à laide d'hypothèses sur le fonctionnement du système physico-chimique. La deuxième partie est relative à la résolution numérique de l'équation aux dérivées partielles dans le cas général (sans hypothèses simplificatrices). La dernière partie traite de la comparaison des résultats obtenus par les deux méthodes de résolution du problème. 3/16 Partie 1 - Mise en équation du modèle à coeur rétrécissant L'objectif de cette première partie est d'établir l'équation différentielle qui régit l'évolution de la concentration du fluide À dans la couche de solide poreux B en fonction du temps et de l'espace. Une première version simplifiée du modèle à coeur rétrécissant sera alors déterminée. .1 - Étude de la diffusion du fluide dans la couche de produit poreux Le transport du fluide dans la couche de produit de la réaction a lieu par diffusion dans les pores de ce matériau poreux. La porosité d'un matériau est définie comme le volume des pores divisé par le volume total de matériau poreux. Le volume de matériau poreux inclut le volume de solide (appelé volume structurel) et le volume des pores. La porosité est donc la fraction volumique de vide dans le matériau. Une étude au laboratoire a permis de déterminer les masses volumiques structurelle (sans la porosité), »,, et apparente (prenant en compte la porosité), p,p, du produit poreux formé au cours de la réaction. Les valeurs obtenues sont p, = 2 500 kg-m* et Papp = 1 290 kg:m*. Q1. Justifier que ps > Papp-
Donner les valeurs théoriques minimale et maximale de la porosité.
Calculer la porosité, e, du produit à partir des valeurs des masses volumiques 
structurelle et
apparente mesurées au laboratoire.

Pour simplifier, on considère que la particule est un parallélépipède rectangle 
comme représenté
sur le schéma de la figure 2. L'épaisseur de la particule est de 2e et on 
suppose que la longueur L
et la largeur L sont très grandes devant l'épaisseur.

On note S la section latérale correspondant au produit L x ! et on considère 
que la particule réagit
avec le fluide uniquement par les deux faces latérales de surface S comme 
représenté sur le schéma
de la figure 2.

A vai
Z  :
JL
FPS ES LL SNA
L (4
."Solide) >
0 e 26 %

Figure 2 - Schéma de la particule de solide d'épaisseur 2e

En représentation cartésienne, on note J,(x, y,z,t) le vecteur densité de flux 
de particules associé
aux phénomènes de diffusion que l'on étudie.

Q2. Indiquer les conséquences de l'hypothèse L et ! > 2e sur la direction du 
déplacement du front
de réaction et sur les invariances du système.
Expliquer pourquoi on peut restreindre cette étude à l'intervalle [0, e].

4/16
1.2 - Établissement de l'équation de la diffusion de A dans la couche de 
produit poreux B

Les phénomènes de diffusion qui nous intéressent sont régis par les équations 
suivantes :

---- + . . ÔN -- jé ----
JN(&t) = -D grad(n(x,t)) (loideFick) et a [fn dS (flux de 7x)
Q3. Rappeler la signification physique de la loi de Fick.
Préciser le nom et les unités des grandeurs qui la constitue.

On considère un volume élémentaire de la couche de produit poreux de section S 
et d'épaisseur dx
(figure 3a). La figure 3b est une vue de profil de la figure 3a. La figure 3c 
est également une vue
de profil sur laquelle le volume structurel et le volume des pores ont été 
séparés de manière fictive.

(b) (c)
; | | |
4 |

x x + dx x x + dx X x + x

Figure 3 - Volume élémentaire de la couche de produit poreux de section S et 
d'épaisseur dx
(a) Vue en 3 dimensions (b) Vue de profil

(c) Vue de profil avec séparation fictive du volume structurel et du volume des 
pores

Q4. Reproduire sur votre copie le schéma du volume élémentaire de la figure 3c 
en y faisant
figurer les flux de matière aux abscisses x et x + dx.

Q5. Réaliser un bilan de matière sur ce volume élémentaire traduisant la 
conservation du nombre
de molécules et en déduire l'équation de la diffusion dans la couche de produit 
poreux :

on on
ne) 1
ot  °ox2 on)
où D, est un coefficient de diffusion effectif qui prend en compte le caractère 
poreux du

matériau.

On utilise plus généralement l'équation de la diffusion de À dans la couche de 
produit poreux en
considérant la concentration molaire C plutôt que le nombre de molécules par 
unité de volume :

ÔC 90°C
Se -- Desz (2)

Cette équation s'accompagne des deux conditions aux limites suivantes :

e enx=0,D, 3x = kh(Ce -- Ci) (3)
X1x=0
ÔC

e en x = xXf, D, -- = kcCe (4)
OX X=Xf

avec :

e kL la conductance de transfert du fluide dans la couche limite (en m:s') ;

e C, la concentration molaire du fluide dans la phase gazeuse en dehors de la 
couche limite du
fluide ;

e C, la concentration en surface de la particule, en x = 0 (donc EUR; = C(x = 
0)) ;

e C-la concentration au niveau du front de réaction, en x = x (donc Cr = C(x = 
xr));

e _k. la constante cinétique de la réaction de consommation du solide B par le 
fluide À (en m:s)
(figure À).

9/16
front de

couche de _ réaction
produit D |

poreux

solide:

couche non :

phase gazeuse ! limite réagi
(concentration ! du
Ce) fluide
EE

| RS

À 4

0 Xf \ e X
C(x=0)=C C(x = xs) = Cr

Figure 4 - Schéma de la particule de solide (sur l'intervalle [0,e]) 
partiellement consommée avec la
représentation de la couche limite du fluide et du front de réaction

Q6. Vérifier à l'aide d'une analyse dimensionnelle que les conditions aux 
limites (équations (3) et
(4)) sont bien homogènes.
Expliquer comment les deux conditions aux limites ont été obtenues (on pourra 
faire une
analogie avec la loi des transferts thermiques de Newton : 745 = À(T, -- Tjn 
avec 74 la densité
de courant thermique reçu par un fluide en mouvement à la température T7: au 
voisinage d'un
solide de température de surface T, et h le coefficient de transfert thermique).

1.3 - Modèle simplifié : hypothèse du régime stationnaire pour la phase fluide

Pour simplifier la résolution de l'équation aux dérivées partielles (équation 
(2)), nous supposons
que la phase fluide évolue en régime stationnaire. La validité de cette 
hypothèse sera développée
dans la partie numérique.

Q7. Simplifier l'équation (2) de la diffusion de À dans le cas du régime 
stationnaire pour la phase
fluide.

OC
Montrer que F1 = --D, 3x S, où F, est le flux molaire de À, c'est-à-dire le 
flux du vecteur densité

de flux de particules molaire à travers une section S de particule solide.
Indiquer comment varie F, dans la couche de produit poreux.

Q8. On rappelle que C, = C(x = 0) et on note C, la concentration du fluide A 
pour une abscisse x
comprise dans l'intervalle [0, x41.
Démontrer l'expression suivante de F, en s'appuyant sur la question Q7 et en 
précisant les
différentes étapes de la démonstration :

D, S

Fa = (Cs -- Cx) (S)

L'hypothèse du régime stationnaire pour la phase fluide entraine l'égalité des 
trois flux molaires de
À : celui qui traverse la couche limite externe, celui qui diffuse dans la 
couche de produit poreux et
celui consommé par la réaction.

L'égalité des flux molaires de A conduit à l'expression suivante :
6/16

D,S (6)
Fa = kpS(Ce -- Cs) = x (Cs -- Cr) = RSCy
dans le cas particulier où x est la position du front de réaction.

Cette situation est formellement analogue à un montage électrique constitué de 
3 résistances
placées en série traversées par un même courant. La figure 5 représente cette 
analogie.
Dans notre cas, ces trois résistances en série sont dans l'ordre :

e la résistance au transfert externe (notée R;.) dans la couche limite externe ;

e la résistance au transfert interne (notée R;;) par la diffusion dans la 
porosité ;

e la résistance par la réaction chimique (notée R,..) localisée au niveau du 
front de réaction.

Re Rti

I U, UB Ue Un

+. | R; | + | R; | + | R; --+ analogie "électrique"
Fa je mode ce ace ed ee
+. | | + | --_-- Re De phénomène étudié ici

Figure 5 - Représentation schématique du problème en termes de résistances en 
série

Q9. Indiquer quel type de grandeurs du problème étudié correspond aux 
potentiels U,, U,, U. et
U, de la figure 5.
Transformer l'équation (6) pour faire apparaître ces résistances en se basant 
sur l'analogie
"électrique".

, Ce .
Montrer que l'on peut écrire F1 = R où R4, est une résistance équivalente dont 
l'expression
éq
est à préciser en fonction des paramètres D,, k, kb, x ets.

On note N, la quantité de matière du solide B. L'évolution de NV, en fonction 
du temps est régie par
l'équation différentielle suivante :

1 dNB
Fi = ------ [4
A U dt (7)

où v est le coefficient stoechiométrique défini dans la présentation.

Q10. Expliquer comment a été obtenue l'équation différentielle précédente 
(équation (7)).
Indiquer comment N, évolue en fonction du temps.

Q11. Soit N,(x) la quantité de matière de B comprise entre les abscisses x et e.
Pour tout x compris entre x- et e, exprimer NA(x) en fonction de pg, Me, S, x 
et de e, avec P8
la masse volumique de B et M, sa masse molaire.

Ox
Mettre l'équation (7) sous la forme F, = Q St avec Q une constante qui dépend 
de v, pg, Me

et de S et dont l'expression est à préciser.

La combinaison de l'expression de F, obtenue à la Q9 et de celle obtenue à la 
question précédente
permet d'obtenir l'équation à variables séparées suivante :

PB

dt=Kk (+2 ++) dx, avec k = (8)

1
Kp De k

7/16
Q12. Montrer que l'intégration de l'équation (8) entre la date t = 0 (pour 
laquelle le front de réaction
est en x = 0) et la date courante t = t (front de réaction en x) permet 
d'obtenir la relation :

Xf Xf\? Xf
te =t -- + toi (=) + to -- (9)
f ee, Oi e oc,

avec :

EUR
e _toe = K Le le temps caractéristique de transport dans la couche limite 
externe ;
D
2

EUR
° to =K 7, le temps caractéristique de transport interne par diffusion dans la 
porosité ;
De 2

EUR ue ru ._.
e toc =K ke le temps caractéristique de consommation par la réaction chimique.
C

On introduit le taux de conversion de B, X2, défini par le rapport entre la 
quantité de B consommée
et la quantité initiale de B, notée Na.

Q13. Rappeler la relation entre X8, N20 et N, la quantité de B restante.

Q14. Donner la relation entre XE et xs, puis exprimer t- en fonction des trois 
temps caractéristiques
et de X8.

Q15. Donner la relation entre le temps total de consommation des particules, 
t,, et les trois temps
caractéristiques.

Q16. Une expérience en laboratoire sur des particules d'épaisseur 2e a conduit 
aux valeurs
suivantes : toe = 605, toi = 300s et ty = 1205.
Calculer le facteur par lequel est multiplié le temps total de consommation des 
particules si
l'épaisseur des particules est multipliée par un facteur 2.

L'analyse des valeurs des trois temps caractéristiques permet de mettre en 
évidence le poids de
chaque phénomène dans la résistance au transfert de matière. Dans certains cas 
extrêmes, l'un de
ces trois phénomènes peut prendre le dessus sur les autres. On va alors parler 
de régime limitant.
Dans le cas de cette étude, le régime limitant peut donc être le transport 
externe, la diffusion dans
le produit poreux ou la réaction chimique. D'un point de vue pratique, on 
considère qu'un régime est
limitant lorsque le temps caractéristique associé est supérieur d'un ordre de 
grandeur aux temps
caractéristiques associés aux deux autres phénomènes (par exemple, si le 
transport de matière
externe était le phénomène limitant, on aurait to > toi EURt toe Y toc):

Q17. Donner les conditions sur k,, kç et D, dans le cas où le régime limitant 
est le régime de
diffusion interne.

8/16
Partie Il - Résolution numérique du problème

Note : les codes numériques demandés au candidat devront être réalisés dans le 
langage Python.
On supposera la bibliothèque « numpy » chargée. Une annexe présentant les 
fonctions usuelles de
la bibliothèque numpy de Python est disponible page 16. Les commentaires 
suffisants à la
compréhension du programme devront être apportés et des noms de variables 
explicites devront
être utilisés lorsque ceux-ci ne sont pas imposés.

On souhaite vérifier que l'hypothèse du régime stationnaire pour le fluide À 
est valable et on propose
de résoudre numériquement l'équation de la diffusion de À (équation 2). On 
s'intéresse au cas
particulier où l'un des trois phénomènes est limitant (il sera à déterminer au 
préalable dans une des
questions qui suit). L'épaisseur totale de la plaque (2e) est de 2,0 mm. Le 
fluide est de l'air
synthétique constitué de dioxygène (fraction molaire de 0,21) et de diazote 
(fraction molaire de 0,79).
Le solide réagit uniquement avec le dioxygène. La réaction est menée à une 
pression de 2,5 bars
et à une température de 900 °C. On suppose que la concentration de fluide ne 
varie pas au cours
de l'avancement de la réaction (large excès). La masse molaire du solide est 
égale à 97,5 g'mol
et sa masse volumique est de 4 130,0 kg:m*. La porosité du produit solide formé 
est de 0,5. Le
coefficient de diffusion du fluide dans le produit poreux, D,, est égal à 
1,25:10$ m':s1. La
conductance de transfert et la constante cinétique de la réaction sont toutes 
les deux égales à
100 m:s'. Le coefficient stoechiométrique v vaut 1.

Le tableau 1 contient une partie des grandeurs mathématiques et des objets 
Python utilisés par la
suite. Certaines grandeurs, moins importantes ou faisant l'objet d'une question 
spécifique, ne
figurent volontairement pas dans ce tableau.

Symbole mathématique Objet Python Signification
C(x, t) concentration du fluide À
vect C vecteur des concentrations
vect Cprec copie du vecteur des concentrations
vect_R vecteur des indices du front de réaction
X abscisse
vect_x vecteur des abscisses
e epaisseur moitié de l'épaisseur d'une particule
N N nombre d'intervalles
Ax Dx pas d'espace
i 1 indice spatial
Lfr 1fr indice du front de réaction
t date
vect t vecteur des dates
k k indice temporel
At Dt pas de temps
ItMax ItMax nombre maximum d'itérations

Tableau 1 - Tableau de correspondance entre grandeurs mathématiques et objets 
Python

On suppose que le transport interne du fluide (par diffusion dans les pores du 
solide) est le régime
limitant.

Q18. Calculer la concentration du fluide A dans la phase gazeuse, C, (mol:m*), 
à l'aide des données
de l'énoncé sachant que le solide réagit uniquement avec le dioxygène contenu 
dans le flux
gazeux. On pourra supposer que le fluide À se comporte comme un gaz parfait à 
la pression
de l'étude. Pour la constante des gaz parfaits on prendra R = 8,314 J:mol'-K1.

Q19. Calculer le temps total de consommation des particules dans le cas où l'on 
ferait l'hypothèse
du régime stationnaire pour le fluide à l'aide de l'équation (9).

9/16
Q20. Ecrire une fonction Cgaz (x, P, T) qui prend en arguments la fraction 
molaire x, la pression

totale P et la température T d'un gaz supposé parfait et qui renvoie sa 
concentration molaire
C (en utilisant les unités Sl).

La méthode utilisée pour la résolution numérique de l'équation aux dérivées 
partielles représentant
la diffusion dans le produit poreux est la méthode des différences finies avec 
un schéma explicite.
La première étape est la transformation de l'équation (2) pour la discrétiser 
dans l'espace et dans
le temps.

Pour discrétiser l'espace, on choisit de découper l'intervalle [0,e] en 30 
parties de même longueur
(figure 6). On utilise l'indice i pour identifier le i°"® point de l'intervalle 
(i varie de 0 à N).

Figure 6 - Discrétisation spatiale dans la direction x

Q21. Préciser la valeur de N.
Donner le code permettant de calculer le pas d'espace Ax (variable Python : Dx).
Donner le code permettant de construire le vecteur vect_x qui contiendra les 
abscisses x.

Pour obtenir l'évolution de la concentration en chaque point de l'espace en 
fonction du temps, on
discrétise le temps en intervalles de durée At, appelé le pas de temps 
(variable Python : Dt). On
utilise l'indice k pour identifier la date particulière t, tel que t, = k At. 
L'indice k commence à 0 et
peut prendre /tMax valeurs (variable Python : ItMax). /tMax est fixée par 
l'utilisateur et représente
le nombre maximum d'itérations.

La discrétisation de l'équation aux dérivées partielles est obtenue en écrivant 
des développements
limités. Dans la suite, on note C;, la concentration au point d'abscisse x; à 
l'instant t,. Ainsi :

e  C;rk+1 représente la concentration au point d'abscisse x; à la date t,,1 = 
tx + At;
e  C;,1,K représente la concentration au point d'abscisse x;,, = x; + Ax à la 
date t4.

Q22. À l'aide d'un développement limité, donner l'expression de C(x, t + At) à 
l'ordre 1 en fonction

OC
de C(x,t) et de --

at , la dérivée de C par rapport au temps évaluée en x à l'instant t.

X,t

OC
Q23. Donner alors l'expression de --
C Xitke
à l'abscisse x; à l'instant t,, en fonction de C;z, C;x+1 et At.

, la dérivée partielle de C par rapport au temps évaluée

L'utilisation de deux développements limités a conduit à l'expression 
discrétisée (admise) suivante
pour l'approximation de la dérivée seconde de C par rapport à x :

°C
0x?

 Citir = 2 + Cia 10
(Ax)?2 ' ( )

Xitk

Q24. Préciser l'ordre auquel ont été faits les développements limités qui ont 
permis d'obtenir
l'expression approchée donnée par l'équation (10).

10/16
Q25. Montrer que l'équation aux dérivées partielles de diffusion (équation (2)) 
peut se mettre sous
la forme suivante :

Cirri = Ci FT (Cirir -- 2Cix + Cia1K) (11)

et donner l'expression de la variable r en fonction du coefficient de diffusion 
D,, de la porosité EUR, du
pas de temps At et du pas d'espace Ax.

De At

Pour des raisons de convergence numérique, on admet que la quantité -- ne doit 
être inférieure à
EUR AX

1/2.

Q26. Donner la gamme de valeurs de At satisfaisant à la condition ci-dessus en 
admettant que
Ax = 3,33:10° m.

Par la suite, on choisit un pas de temps suffisamment petit, At = 1,00:10* s, 
pour satisfaire à la

Da At
condition -- < 1/2. £ AX Q27. Avec ce pas de temps et en supposant une durée totale de consommation t, = 3,15-10* s, donner une estimation du nombre d'itérations nécessaires pour réaliser la simulation. Au fur et à mesure de l'avancement de la réaction, le front de réaction se déplace dex=0àx=e. Lors du déplacement du front de réaction, la particule est constituée : e pour 0 < x < xf, d'une partie qui a réagi dans laquelle diffuse le réactif ; e pour xf < x 
Co
9
© 0,4-
9
< & a ---- Résolution numérique ---- Hypothèse du régime pseudo permanent pour le gaz 0,0 + j j j j j j 0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 temps (s) Figure 7 - Comparaison des taux de conversion obtenus par les deux modèles Q35. Indiquer les deux erreurs qui se sont glissées dans les lignes 5 et 12 du code Python 4 dont le but est de : e tracer la conversion du solide en fonction du temps sur un premier graphe ; e tracer l'évolution de la concentration de fluide réactif en fonction de labscisse pour le temps final d'intégration sur un second graphe. 1 import matplotlib.pyplot as pl 2 3 #Premier graphe 4 fig = pl.figure(1) D pl.plot(vect t[:],vect R[:l]) 6 pl.xlabel('temps') 7 pl.ylabel('conversion du solide) 8 pl.show() 9 19 #Deuxième graphe 11 fig = pl.figure(2) 12  pl.plot(vect x,mat C[:,ItMax|]) 13 pl.xlabel('abscisse') 14  pl.ylabel('concentration') 15  pl.show() Code Python 4 - Code pour le tracé des graphes 14/16 Q36. Q37. Calculer le temps total de consommation correspondant (arrondi à la seconde près) à partir du nombre d'itérations nécessaires pour atteindre la consommation totale du solide. Comparer cette valeur avec celle obtenue en faisant l'hypothèse du régime stationnaire pour le fluide. Conclure quant à l'accord des deux modèles. En considérant que l'hypothèse du régime stationnaire pour le gaz est acceptable et que le phénomène limitant est la diffusion du réactif fluide dans la couche de produit poreux, dessiner sur un même graphe l'allure des profils de concentration du réactif fluide entrex=0etx=e pour trois configurations différentes : e une particule qui n'a pas réagi ; e une particule qui a totalement réagj ; e une particule qui a partiellement réagi. On fera figurer les valeurs de concentrations et les abscisses caractéristiques sur le graphe. 15/16 ANNEXE Bibliothèque numpy de Python Import de la bibliothèque numpy : >>> import numpy as np

Création d'un tableau numpy à 2 lignes et 3 colonnes, appelé M:

>>> M = np.array([[1.5, 2, 3], [4, 5, 611)
>>> print(m)
[[1.5 2. 3. ]

[4. 5. 6. ]]

Accès à un élément de M:

>>> M = np.array([[1.5, 2, 3], [4, 5, 611)
>>> print (M[0O, O])
1.5
>>> MIL, 2] = -7
>>> print (M)
[[1.5 2. 3. ]
[4. 5. -7. ]]

Sélection d'une ligne ou d'une colonne de M:

>>> M = np.array([[1.5, 2, 3], [4, 5, 611)
>>> print(M[:, 1]) #Sélection de La colonne 1
[2. 5.]

>>> print(M[1, :]) #Sélection de La Ligne 1
[4. 5. 6.]

Création d'un vecteur nul ou d'une matrice nulle :

>>> vec = np.zeros(5)

>>> print(vec)

[0O. O0. 0. 0. O.]

>>> mat = np.zeros((3,2))
>>> print(mat)

[[0O. O.]
[0. O.]
[0O. 0.]]

FIN

16/16

NATIONALE - 221171 - D'après documents fournis

IMPRIMERIE