CCINP Modélisation de systèmes physiques ou chimiques PC 2024

PC7MO

SESSION 2024

CONCOURS
COMMUN

INP

ÉPREUVE MUTUALISÉE AVEC E3A-POLYTECH

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

MODÉLISATION DE SYSTÈMES PHYSIQUES OU CHIMIQUES

Durée : 4 heures

NB. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur 
d'énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

« Utiliser uniquement un Stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la 
rédaction de votre composition ; d'autres
couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, 
mais exclusivement pour les schémas
et la mise en évidence des résultats.

. Ne pas utiliser de correcteur.

« Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le sujet est composé de trois parties indépendantes et d'une annexe.

Sujet : page 2 à page 14
Annexe : page 15 à page 16

1/16
PROBLÈME
En voiture !

Partie I - Principe des capteurs pneumatiques

Un véhicule est détecté lors de son passage sur un tube en caoutchouc placé 
perpendiculairement
à la chaussée (figure 1). Le tube est bouché à une extrémité et relié à un 
compteur à l'autre
extrémité. Les roues du véhicule écrasent localement le tube. Il s'ensuit une 
variation de pression
dans le tube qui se propage jusqu'aux extrémités. Le compteur associé 
transforme ce déplacement
d'air en signal électrique.

Tube en caoutchouc
ii

compteur

Figure 1 - Capteur pneumatique

1.1 - Propagation des ondes acoustiques dans un tube souple

On considère un tube en caoutchouc de section circulaire et d'axe Ox rempli 
d'air (figure 2).
Au repos, l'air a une masse volumique 4, et une pression intérieure P, égale à 
la pression extérieure.
À l'équilibre, on suppose que le champ des vitesses est nul et que la section 
du tube est uniforme
et notée 4,.

Air au repos 40
pression P;
masse volumique LH

RES PRE, PRES >

Figure 2 - Tube de section 4, rempli d'air au repos

On s'intéresse à la propagation de perturbations de petites amplitudes suivant 
l'axe Ox, ce qui
permet de se placer dans l'approximation acoustique. Les champs de vitesse, de 
pression et de
masse volumique s'expriment alors sous la forme :

D(x,t) = v(x,t}u, où u, est le vecteur unitaire selon la direction Ox
Px,t) = Po + p1(x, t) où Ip1(x, t)| & Po
u(x,t) = Uo + (xt) OÙ fu: Cx, | & Ho:

v(x, t) est appelée la vitesse acoustique et p.(x, t) est la surpression par 
rapport à P,. On suppose
que ces grandeurs sont uniformes sur une section du tube, les effets de la 
pesanteur étant négligés.

2116
L'air est considéré comme un gaz parfait, on ne tient pas compte de la 
viscosité ni des échanges
thermiques à l'intérieur du tube au sein de l'air. Les détentes et les 
compressions locales du fluide
sont isentropiques.

Le coefficient de compressibilité isentropique, constant, s'écrit :

_. 1 (ie 2
_ a@,t) GP(x,t)/.
Le tube se déforme sous l'effet de l'augmentation de la pression interne. La 
section A(x,t) du tube

varie légèrement, devenant dépendante de l'abscisse x et du temps t.
On pose alors :

Às

A(x, t) = A + a(x,t) où |ai(x, t)| À.

On peut alors décrire ce phénomène par un paramètre D, appelé distensibilité du 
tube qui s'exprime
comme :

_. 1 OA(x,t)
_ A(x,t) Grc 5).

La distensibilité, supposée constante, caractérise l'aptitude du tube à se 
déformer au passage de
l'onde de pression.

Équation de la conservation de la masse A0 A(x + dx, t)
X,

!
On étudie comme système une tranche d'air NT |) -- ne
d'épaisseur dx située entre les abscisses x et x + dx, JL -- 7 X
sur un intervalle de temps entre t et t + dt.

Q1. Exprimer la masse dm(t) de ce système à l'instant x _x+dx
t en fonction de A(x,t), u(x,t) et de dx. De la même Figure 3 - Système étudié :
manière, exprimer dm(t + dt) à l'instant t + dt. tranche d'air d'épaisseur dx

Q2. Exprimer la masse ôm, de fluide entrant dans ce système pendant la durée dt 
en fonction de
u(x,t), v(x,t), A(x,t) et dt. De la même manière, exprimer la masse ôm, sortant 
de ce système
pendant la même durée.

Q3. En réalisant un bilan de masse sur le système considéré, établir avec soin 
que l'équation de la
conservation de la masse s'écrit :

0 Ô
Pr [u(x, t)A(x, t)] + = LHC, t)A(x, tv (x, t)] = 0.
Q4. En se limitant aux termes d'ordre 1, montrer que l'on obtient l'équation 
linéarisée suivante :

Oa:(x, t) Ou (x, t) Ov(x, t) (1)
Lo er + À) ât + UoÂo dx -- 0.

Équation d'Euler

Q5. Rappeler l'équation d'Euler régissant la dynamique des fluides parfaits en 
tenant compte des
hypothèses de l'étude. Préciser le nom des deux termes qui composent la dérivée 
particulaire.

Q6. Linéariser l'équation d'Euler afin d'établir une relation entre u,, v(x,t) 
et p.(x,t). La relation
obtenue est notée (2).

Distensibilité du tube

Q7. En linéarisant l'expression de la distensibilité, montrer que a, est 
proportionnel à p.. La relation
obtenue est notée (3).

3 / 16
Coefficient de compressibilité isentropique

Q8. Linéariser l'expression du coefficient de compressibilité isentropique et 
montrer que u, est
proportionnel à p.. La relation obtenue est notée (4).

Équation de propagation des ondes sonores dans le tube souple
Q9. À l'aide des relations (1), (3) et (4), démontrer la relation suivante :

(xs + D) Pie D) + Te D _ O. (5)

Q10. Montrer que la surpression p.(x,t) obéit à une équation d'onde de type 
d'Alembert avec
une célérité c qui sera exprimée en fonction de x,,D et de ,. Vérifier l'unité 
de c.

Q11. Calculer numériquement la valeur de c avec D =5,1:10% Pa", ,=6,6-10% Pa 
etuo= 1,3 kg-m*.
1.2 - Traitement des données numériques

Lorsqu'un véhicule passe, la roue écrase le tube et l'air à l'intérieur du tube 
est repoussé.
Une extrémité du tube est connectée à un compteur qui contient un capteur de 
pression (figure 1).
La surpression est détectée par le capteur et enregistrée.

Le comptage de ces surpressions permet de recenser le nombre de véhicules 
passés.

Les données sont archivées dans un tableau de type array nommé mesures dont 
chaque ligne
représente 24 heures de comptage et chaque valeur le nombre de véhicules 
recensés par heure.

Sur l'exemple ci-dessous, le nombre grisé 4 indique que 4 véhicules ont circulé 
le premier jour du
recensement entre 0 et 1 heure du matin. Le nombre grisé 214 indique que 214 
véhicules ont circulé
le deuxième jour entre 10 et 11 heures du matin.

mesures =[[4, 10, 12, 17, 27, 70, 100, 219, 462, 329, ... |,

[3, 12, 11, 20, 30, 68, 95, 218, 468, 365, 214, 156, ... |,
Le + 1,
|

Q12. En pratique, il est recommandé de changer le tube après une utilisation de 
15 jours. Justifier
cette recommandation.

Le tableau mesures comporte 10 lignes.
Q13. Combien de jours a duré l'enregistrement ?

Q14. Compléter l'instruction 1 de l'algorithme 1 (page 5) qui permet d'afficher 
le nombre de
véhicules détectés le cinquième jour entre 13 et 14 heures.

Q15. Compléter les instructions 2 de l'algorithme 1 qui affichent le nombre de 
véhicules
recensés chaque jour.

Q16. Compléter les instructions 3 de l'algorithme 1 afin d'obtenir et 
d'afficher le plus grand

nombre de véhicules détectés, d'afficher le jour correspondant ainsi que le 
créneau horaire
correspondant.

4 1 16
Q17. Compléter les instructions 4 de Nombre de véhicules détectés le premier 
jour

l'algorithme 1 afin d'obtenir les résultats de la nl
figure 4 :
a. L'instruction 4.1 définit le type de nl
graphique ; 5
b. L'instruction 4.2 définit la grandeur #£
à tracer ; cl
c. L'instruction 4.3 permet d'afficher F
la grille ; E en
d. L'instruction 4.4 indique le titre de =
l'axe des abscisses ; 100 :
e. L'instruction 4.5 indique le titre de
l'axe des ordonnées 123456 7 8 9101112131415161718192021222324
f. L'instruction 4.6 nomme le Hate

graphique. Figure 4 - Diagramme à bâtons représentant le

nombre de véhicules détectés par heure le premier jour

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#récupération des mesures
file=open("enregistrement.txt?,'r?)
mesures=file.readlines()

print([instruction 1])

for i in [instruction 2.1|:
print('nombre de véhicules détectés le',i,'ème jour :°,[instruction 2.2)

max=@
for i in [instruction 3.1|:
for j in [instruction 3.2]:
if [instruction 3.3:
max=[instruction 3.4]
jour ,heure=[ instruction 3.5]
print('le pic vaut" ,max,"'véhicules/heure")
print("'pic atteint le',[instruction 3.6],'ème jour entre',[instruction 
3.7],'et°,[instruction 3.8],'heures"?)

heure=[k for k in range(1,25)|
pilt.[instruction 4.1](heure,[instruction 4.2])
pit.[instruction 4.3]

pit.[instruction 4.4]

pit.[instruction 4.5]

pit.[instruction 4.6]

Algorithme 1 - Traitement des données numériques

5 / 16

Partie Il - Modélisation microscopique d'un embouteillage routier

Figure 5 - Exemple de trafic

Les modèles microscopiques décrivent le comportement individuel de chaque 
véhicule en
respectant les interactions entre chaque véhicule. Les variables utilisées pour 
décrire le trafic routier
sont x(t) et x(t), la position et la vitesse des véhicules.

L'objectif de cette partie est de modéliser un embouteillage créé à partir d'un 
simple ralentissement.

11.1 - Description du modèle

Considérons N véhicules identiques numérotés de n = 0 à n = N -- 1 et repérés à 
chaque instant
par leurs positions x, (t).

On suppose que chaque conducteur adapte sa vitesse à la distance du véhicule 
qui le précède selon
la relation :

An) = f(xn-1E) -- x (E)) (6)

e ur est la vitesse maximale autorisée ;

e la fonction f est une fonction croissante, comprise entre 0 et V,,, et qui 
s'annule lorsque la
distance intervéhiculaire est inférieure à une valeur YX,,;, ;

e xXn_1(t) --x,(t) est la distance intervéhiculaire entre le véhicule numéroté 
n -- 1 et le
véhicule qui le suit numéroté n. On pose X, (t) = x,_1(t) -- x, (t).

> , Es "æ 11 Es nid
xn-1(t) / / © x) 1® // x (EUR) x0(E)

EUR À
\ F7

Xh(t) -- Xn-1(t) -- Xn(t)

Figure 6 - Schéma du problème

6/16
On pose Xmin = 7 M, Vox = 30 ms" et la fonction f(X) =, (1 -- EXP (- en) lorsque
X > Xmin et f(X) = 0 lorsque X < Xnin- Q18. Tracer la fonction f en fonction de X. La fonction f est-elle conforme au modèle ? Justifier. On considère un trafic stationnaire dans lequel les véhicules se déplacent tous en bloc à la même vitesse V constante et vérifiant la relation (6). Q19. Montrer que la distance intervéhiculaire X est constante. Selon la relation (6), comment varie X lorsque V augmente ? V peut-elle être supérieure à Vrux ? Q20. Comment qualifier le trafic lorsque X < X,yin ? Q21. Calculer la distance intervéhiculaire X = d lorsque tous les véhicules se déplacent à la vitesse V = 20 m:s". Q22. Le code de la route conseille aux conducteurs de laisser une distance équivalente à deux secondes de trajet entre leur véhicule et le véhicule devant eux. Commenter le résultat numérique précédent. 11.2 - Résolution numérique : étude de l'effet d'un ralentissement Le véhicule de tête repéré par la position x,(t) est amené, suite à un aléa du trafic, à ralentir durant un court instant. On considère que cette décélération est suivie d'une accélération afin de retrouver la vitesse initiale. La liste resultat regroupe les M positions successives du véhicule de tête. Elle comprend deux sous-listes : e la première regroupe les M positions du véhicule de tête, e la seconde les instants correspondants. On note x} la position du véhicule n à l'instant t,,. De même, on note x", la position du véhicule n -- 1 à l'instant t,, et x?*1 la position du véhicule n à l'instant t,,:1. On va calculer la position x, (t) de chaque véhicule au cours du temps selon la relation (6). L'algorithme calculera itérativement la position de chaque véhicule en fonction de celui qui le précède pour remplir une matrice L. Chaque ligne de cette matrice contient les positions du véhicule n aux différents instants t,, allant de to A tm-1: Chaque colonne de cette matrice contient les positions des N véhicules n à un instant t,,. La figure 7 montre que l'algorithme 2 (page suivante) étudie l'évolution de 10 véhicules soit N = 10. / xS xd x "\ x?  x1 xp x 0 1 m M-1 XN-1XN-1 XN-1  XN-1 0 1 m M-1 _E XN-2  XN-2 Initialisation de la matrice Z Q23. Compléter l'instruction 5.1 de l'algorithme 2 qui définit la valeur de M à partir de la liste resultat. Q24. Compléter l'instruction 5.2 de l'algorithme 2 qui remplit la matrice L de la valeur ©. 1116 On suppose qu'à l'état initial t = 0,les véhicules sont tous distants entre eux de la distance d calculée à la question Q21. Autrement dit, à t = 0, le véhicule O0 est en x,(0) = 0, le véhicule 1 est à l'abscisse x,(0) = --d, le véhicule 2 est à l'abscisse x,(0) = --24 et ainsi de suite jusqu'au dernier véhicule de la file. Q25. Compléter les instructions 5.3 et 5.4 de l'algorithme 2 qui permettent de modifier la matrice L de manière à tenir compte des positions initiales de chaque véhicule. On suppose que la variable d a été définie. Q26. Compléter L'instruction 5.5 de l'algorithme 2 qui remplace la première ligne de L par les positions successives du véhicule de tête. Définition de la fonction f Q27. Compléter les instructions 6.1,6.2et 6.3 de l'algorithme 2 qui définissent la fonction f. Remplissage de la matrice Z Q28. En utilisant la relation (6) et en appliquant la méthode d'Euler, déterminer la relation de récurrence qui permet de calculer x?*! en fonction de x, x?*., la fonction f,t,...etdet,.... Q29. On définit une liste T qui récupère la seconde liste de resultat, c'est-à-dire les instants correspondant aux relevés des positions du véhicule de tête. Compléter l'instruction 7.1 de l'algorithme 2 qui définit cette liste T. Q30. Donner les instructions 7.2, 7.3 et 7.4 de l'algorithme 2 permettant de calculer térativement, à l'aide de la formule de récurrence établie en Q28, les positions de tous les véhicules repérés par n > 0 aux instants successifs et de les stocker dans Z.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#récupération des positions du véhicule de tête
file=open("'fichier.txt?,'r?)
resultat=file.readlines()

#initialisation de La matrice L
N,M=10 , [instruction 5.1]
L=[instruction 5.2

for n in [instruction 5.3|:
[instruction 5.4]=-d*n

[instruction 5.5]

#définition de La fonction f
Vmax,Xmin=30,7
def f(X):
if [instruction 6.1| :
return [instruction 6.2]
else:
[instruction 6.3]

#remplissage de La matrice L
T=[instruction 7.1|
for m in range([instruction 7.21):
for n in rangel[instruction 7.3
[instruction 7.41]

Algorithme 2 - Effet d'un ralentissement

8 / 16
La représentation graphique de la matrice L est donnée figure 7.

300 -

200 -

positions des vélucules en métre
.
Ce
= 0 0 0 0 0 0 © &
116.6...
Se 6 6 6 © 6 ©
= = = Æ Æ + © © 6
..........
RNA RE)
= 0 0 0 + 6 + et
...........
RARE, |
+ + ce
5 6 EUR sus à
+.
ss.
5 NUE EE 6
ms...
ms.) s
Dunes Ne ©
EU ee ne
LU + à
SU 6 D dd + Æ Æ +

25 50 75 100 125 150 175 200
emps en seconde

Fr
|

Figure 7 - Propagation d'un ralentissement dans une file de voitures

Q31. Commenter en deux lignes la figure 7 en indiquant le sens de propagation 
du ralentissement
(sens des x croissants ou décroissants) et estimer la valeur de la vitesse de 
propagation du
ralentissement.

11.3 - Étude de la propagation d'un ralentissement
Établissement de l'équation de propagation du ralentissement

On se propose d'établir l'équation aux dérivées partielles vérifiée par la 
distance intervéhiculaire X
en étudiant un ralentissement à partir d'un état uniforme caractérisé par le 
couple (V,d).
Considérons l'état uniforme d'une file de véhicules se déplaçant en bloc à la 
vitesse V et distants
entre eux de la même valeur d.

On a montré que V et d sont liées par la relation V = f(d).

À un instant donné, le véhicule numéroté n décélère, donc sa vitesse devient 
inférieure à V.
À chaque véhicule n situé à l'abscisse --nd juste avant le ralentissement, on 
associe une distance
intervéhiculaire X,,(t). On rappelle que X, (t) = x,_1(t) -- x,(t).

On note y, (t) la variation de vitesse du véhicule n par rapport à l'état 
uniforme caractérisé par la
vitesse V et la distance intervéhiculaire d. On pose y, (t) = x, (EUR) -- V.

Q32. Exprimer y, (t) en fonction de f(X,(t)) et de f(d).

Développement limité à l'ordre 1 de f(x) autour de a :

fGx) = f(a) +(x--a)f'(a) +-- (7)

Q33. En utilisant un développement limité à l'ordre 1, montrer que :
Yn() = f'(d) x nt) -- d). (8)
Q34. Appliquer la relation (8) au véhicule numéroté n -- 1 et montrer que :

Xa@) = f'(d) x (Xn-1(6) -- Xn)).

L'approximation des milieux continus permet de faire passer une fonction X(x,t) 
par tous les points
représentatifs des véhicules à chaque instant (figure 8). Cela est possible 
lorsque X,(t) est peu
différent de X,,_,(t).

9 7 16
On définit la fonction continue et dérivable X(x, t) des variables d'espace x 
et de temps t telle que
X(x,t) = X,(t) lorsque x = x, = --nd.
Supposons que X(x,t) varie peu dans l'espace à l'échelle de d. En considérant 
le véhicule n -- 1
repéré par l'abscisse x = --(n -- 1)d, on remarque que :
Xn-1tt) = X(---(n -1)d,t) = X(---nd + d,t) = X(x + d,t).

Q35. En utilisant un développement limité à X(x.t)}
l'ordre 1 de X(x + d,t) autour de x et la
question Q34, montrer que la fonction
X (x, t) vérifie l'équation suivante :

|
|
OX OX | |
Te 0, (9) |
ot 'x
L »%
Cette équation est appelée équation de --nd --(n--1)d X
transport.
P Figure 8 - Représentation de X(x,t)
Exprimer la constante c en fonction de f'(d) et à t fixé
de d.

Étude de la solution de l'équation de transport

Q36. En s'appuyant sur l'équation de transport, indiquer si la propagation du 
ralentissement est
réversible dans le temps et si elle est réversible selon la variable x.

Q37. Vérifier que les fonctions de la forme X(x,t) = X(x + ct) sont solutions 
de (9). Donner la nature
de cette solution et le sens de propagation de l'onde. Donner une 
interprétation physique de
la constante c. Ces résultats sont-ils conformes à la figure 7 ?

Partie Ill - Étude de la batterie d'une voiture électrique

Les voitures électriques deviennent de nouveaux moyens de transport, en 
représentant une
alternative à l'utilisation des énergies fossiles. On se propose d'étudier une 
batterie de type lithium
Ion.

11.1 - Étude d'une cellule électrochimique d'une batterie de type lithium ion

La batterie de la Tesla model 3 est formée de
196 modules placés en série, chaque module
comportant 46 cellules électrochimiques placées en
parallèle.

Description d'une cellule

L''anode est composée de graphite dans lequel
s'insèrent des atomes de lithium.

La cathode de type lithium ion équipe la plupart des
batteries des voitures électriques. Elle est composée
d'un oxyde lithié d'un métal de transition.

Figure 9 - Batterie de la Tesla model 3

Une cathode lithium ion NMC contient un oxyde lithié de nickel, de manganèse et 
de cobalt.

10 / 16
Les trois chiffres qui suivent l'abréviation NMC indiquent le pourcentage des 
éléments utilisés. Les
NMC 811 sont les plus récentes : elles ont une forte concentration en nickel et 
une très faible teneur
en manganèse et en cobalt.

e  NMC 622 (Nickel 60 % -- Manganèse 20 % -- Cobalt 20 %)

e NMC 811 (Nickel 80 % -- Manganèse 10 % -- Cobalt 10 %)
Le cobalt est un élément coûteux, difficile à obtenir et associé à d'importants 
problèmes éthiques
d'extraction, raisons pour lesquelles de plus en plus de fabricants tentent 
aujourd'hui de s'en passer
où d'en limiter l'utilisation autant que possible.

Le séparateur est une barrière physique entre l'anode et la cathode. Il s'agit 
d'un film plastique fin
microperforé.

L''anode et la cathode baignent dans l'électrolyte, un gel, qui facilite le 
transport des ions lithium
d'une électrode à l'autre.

à 9 4
a |__ anode
cathode | Oxyde de =
. graphite
NMC
= +
+ C1
. " u atomes Li
ions Li =
= |____ séparateur
__---- -
électrolyte ) : e n/

Figure 10 - Schéma d'une cellule Li ion

Étude redox
Le numéro atomique du lithium est Z = 3.

Q38. Où se situe-t-il dans la classification périodique des éléments chimiques 
? On indiquera la
ligne et la colonne auxquelles appartient le lithium.

Q39. L'ion lithium le plus stable est Li" ; justifier.

Lors de la décharge de la batterie, la réaction électrochimique qui se produit 
à l'électrode carbonée
est la réduction des ions lithium, s'accompagnant de l'insertion d'un atome de 
lithium dans la
structure graphite de formule Cs.

Q40. Écrire la demi-équation rédox de réduction des ions lithium en atomes 
lithium, puis l'équation
traduisant l'insertion de l'atome de lithium dans la structure graphite.

Q41. En déduire la demi-équation rédox qui a lieu à cette électrode.

11/16
Nous considérons que le seul métal de transition présent dans une batterie 
lithium ion NMC 811 est
le nickel, l'électrode est donc seulement constituée de l'oxyde de nickel 
lithié LiINiO2.

À cette électrode, des ions lithium se désinsèrent d'un cristal d'oxyde de 
nickel lithié, formant ainsi
le cristal d'oxyde de nickel NiOz.

Q42. Dans l'oxyde de nickel lithié, le lithium a le même nombre d'oxydation que 
l'ion le plus stable
qu'il forme. Quel est le degré d'oxydation de l'élément nickel dans le composé 
LiNiO, ? Quel
est le degré d'oxydation de l'élément nickel dans le composé NiO: ? Écrire la 
demi-équation
rédox ayant lieu à l'électrode LiNiO».

Q43. Finalement, écrire l'équation rédox traduisant le fonctionnement de la 
batterie.

Q44. On donne la constante de Faraday F = 96 500 C'mol' et la masse molaire de 
l'oxyde de nickel
lithié M = 98 g:mol!. La capacité électrique Q est la charge électrique 
maximale pouvant être
délivrée par gramme de LiNiO2. Déterminer la capacité électrique en A:h:g° de 
LiNiOz.

Q45. La force électromotrice standard d'une cellule est égale à 3,7 V. Sachant 
que la batterie de la
Tesla model 3 est formée de 196 modules placés en série, chaque module 
comportant
46 cellules électrochimiques placées en parallèle, quelle est la tension 
délivrée par la batterie 7?

Étude cristalline de l'électrode LiNiO>

LiNiO: cristallise dans une structure que l'on peut décrire de la façon 
suivante : les ions O7 forment
un réseau cubique à faces centrées (cfc), les ions nickel et les ions lithium 
Li" occupent une partie
des sites interstitiels de ce réseau cubique.

Q46. Indiquer, à l'aide d'un vocabulaire spécifique, la position des anions O* 
dans une maille ainsi
que celle des sites tétraédriques et des sites octaédriques. Il n'est pas 
demandé de réaliser
un schéma.

Q47. Déterminer le nombre d'ions O7 par maille.

Q48. Les ions nickel et les ions Li* sont en proportion égale. Déterminer le 
nombre d'ions nickel par
maille et le nombre d'ions Li par maille. Les ions nickel occupent une partie 
des sites
octaédriques et les ions lithium Li une partie des sites tétraédriques. Quel 
est le pourcentage
d'occupation des sites octaédriques par les ions nickel et le pourcentage 
d'occupation des
sites tétraédriques par les ions Li" ?

Q49. Le rayon ionique de l'ion O7 vaut r(0*) = 140 pm et celui de l'ion nickel 
vaut r(Ni) = 64 pm.
Dans l'hypothèse où les cations sont tangents aux anions, calculer le paramètre 
de la maille.

Q50. Établir l'expression du rayon du plus gros cation que l'on puisse insérer 
dans un site
tétraédrique sans déformer la maille. Le rayon de l'ion Li" vaut r(Li) = 60 pm. 
Le cristal est-il
déformé par la présence de l'ion lithium ?

111.2 - Détermination de la charge maximale d'une cellule

On se propose de mesurer la charge maximale d'une cellule lithium ion NMC 811 
lors d'une charge
complète.

La charge comporte deux phases comme le montre la figure 11 :
- la première phase, rapide, s'effectue à courant / constant et égal à 2,8 À 
jusqu'à ce que la
tension aux bornes de la cellule atteigne 3,7 V ;
- la seconde phase, plus lente, à tension U constante et égale à 3,7 V.

12/16
Charge rapide

+ intensité |

< > « tension L
35 -
EUR > FF
É - 3.0
RS Charge lente
ni -25
- Fe
Q
BR -20 5
'ui Le
[= Li
5 15 : au:
| 10
10 :
' es 4 O5
05 - 1 + L
+ FT + + Fo0

DO 20 40 60 80 100 120 l40 160
temps en minutes

Figure 11 - Evolution de l'intensité et de la
tension de la cellule au cours du temps

Dispositif de charge

Pour réaliser cette charge, on place la cellule dans le dispositif suivant 
composé de deux
générateurs de tension délivrant les tensions V, et V, des résistances et de 
deux ALI (Amplificateurs
Linéaires Intégrés) comme l'illustre la figure 12.

Les ALI sont supposés idéaux et fonctionner en régime linéaire.

R
R -- [> co
A
, B ALI1 C \
" o --\  R + I
TT R:
R
' DO do < + 2 D ALI2 + À LT [( I -- FL U \ l Figure 12 - Dispositif de charge Q51. Exprimer le potentiel V, au noeud A en fonction de la tension V, et du potentiel V- au point C. On note U la tension aux bornes de la cellule. Q52. Montrer que le potentiel au point D est égal à U. 13/16 Q53. En déduire l'expression du potentiel V, au point B en fonction de U et de V;. Q54. Exprimer le potentiel V. au point C en fonction de U, I et de R;. En déduire la relation entre l'intensité 7, la résistance R, et les tensions V, et V,. À quelle condition l'intensité 7 est-elle constante ? Pour réaliser la seconde phase, un microcontrôleur non représenté sur le schéma fait varier les tensions V. et V, de manière à maintenir la tension U constante. Exploitation des résultats expérimentaux Q55. Quelle relation existe-t-il entre l'intensité Z(t) qui traverse la cellule et la charge Q(t) qu'elle contient ? La cellule étant initialement déchargée Q(t = 0) = 0, exprimer la charge Q(t) à un instant t en fonction de l'intensité 7(t). On souhaite calculer la charge maximale de la cellule. Pour cela, on relève la valeur de l'intensité qui traverse la cellule à différents instants. On note /, = 1(t,) la valeur de l'intensité au k-ême instant de mesure noté t;. De même, on note Q, = Q(t,) la valeur de la charge au k-ème instant de mesure. À Q56. Donner la relation entre Q,.,:, Q4 et ROLE ÿ f(b) Rappel sur la méthode des trapèzes : on cherche à calculer de manière approchée l'intégrale F = [° f(x)dx d'une fonction f : Ja ; b] -- KR continue. La méthode des trapèzes consiste à remplacer f(a f (x) sur le segment [a ; b] par la fonction affine qui coïncide avec fen (a) a et b. L'intégrale F est alors approchée par la formule : a b e r2(6-arD+fQ) Figure 13 - Méthode 2 des trapèzes Q57. Donner l'expression approchée de OT en fonction de 1}, 1,,:,t, et de t,.. à l'aide de la méthode des trapèzes. En déduire une estimation de Q..,. en fonction de Q,, 14, l£41, tr et On souhaite écrire un programme python qui calcule la charge maximale de la cellule. Deux listes appelées intensite et temps regroupent N valeurs de l'intensité (en ampère) imposée à la cellule lors de la charge et les instants correspondants (convertis en heure). Q58. Écrire un programme qui : - __initialise une liste appelée charge ; - remplit cette liste par les valeurs successives de la charge de la cellule ; - affiche la dernière valeur notée Q,,,, en Ah. La valeur de Q,,,+ obtenue est : Qux = 3,9 Ah. Q59. En utilisant la réponse de la question Q44, déterminer la masse de l'oxyde lithié LiINiO2 contenu dans la cellule. 14 716 ANNEXE Quelques commandes utiles en langage Python À - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux, matrices, vecteurs) B - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes) A - Bibliothèque NUMPY de Python (gestion des tableaux, matrices, vecteurs) np.zeros((n,m)) Description : fonction créant une matrice (tableau) de taille nxm dont tous les éléments sont nuls. Argument d'entrée : un tuple de deux entiers correspondant aux dimensions de la matrice à créer. Argument de sortie : un tableau (matrice) d'éléments de type flottant et égaux à EUR. Commande Résultat Exemple : | np.zeros((3,4)) [[9. @. ©. 0.] [8. @. ©. ©.] [8. @. ©. ©@.]] ATi,j] Description : fonction qui retourne l'élément numéroté (i,j) de la matrice A. Pour accéder à l'intégralité de la ligne numérotée i de la matrice À, on écrit A[i,:]. De même, pour obtenir toute la colonne numérotée j de la matrice À, on utilise la syntaxe AT :,j]. Argument d'entrée : une liste contenant les coordonnées de l'élément dans le tableau A. Arguments de sortie : l'élément appartenant à la ligne numérotée i et à la colonne numérotée j de la matrice A. RAPPEL : en langage Python, les lignes d'un tableau A de taille nxm sont numérotées de @ à n-1 et les colonnes sont numérotées de @ à m-1. Commande Résultat Exemple : | A=np.array([[3,4,10]1,[1,8,7]1]) A[Q,2] 10 AT[1,:] [1 8 7] AT :,2] [19 7] 15 / 16 np.sum(a) Description : somme tous les éléments de a. Argument d'entrée : a, une liste de valeurs numériques. Argument de sortie : somme des valeurs numériques de la liste a. a=[1,2,3] Exemple Commande Résultat np.sum(a) 6 B - Bibliothèque MATPLOTLIB.PYPLOT de Python (gestion des graphes) Cette bibliothèque permet de tracer des graphiques. Dans les exemples ci-dessous, la bibliothèque matplotlib.pyplot a préalablement été importée à l'aide de la commande : import matplotlib.pyplot as plt pit.bar(x,hauteur) Description : fonction permettant de titre graphique tracer un graphique à barres dont les | abscisses sont contenues dans le vecteur x. hauteur est une liste qui contient la hauteur des barres. Argument d'entrée : un vecteur d'abscisses x (tableau de n éléments) et un vecteur d'ordonnées hauteur (tableau de n éléments). Argument de sortie : un graphique à barres. X = [1,2,3,4,5] hauteur = [19,15,20,15,10] plit.bar(x,hauteur) # tracé du graphique à barres Exemple plt.title('titre graphique') # titre du graphique pilt.xlabel("'axe x?) # titre de l'axe des abscisses plt.ylabel('axe y') # titre de l'axe des ordonnées plt.grid() # affichage de la grille FIN 16 / 16 IMPRIMERIE NATIONALE - 241100 - D'après documents fournis