Centrale Physique 1 PC 2003

 

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Sur le thème de la physique des bulles et des gouttes, l'épreuve est constituée 
de
deux problèmes indépendants d'importances inégales.

Partie I - Échanges entre une grosse bulle et une petite
bulle * "

On considère le dispositif expérimental de la

(2) figure 1 : deux bulles sphériques d'eau savon--

neuse de rayons différents sont\formées aux extré-

mités des deux tubes en soufflant, les robinets(l)

" et (2) ' étant ouverts et le robinet (3) fermé. Puis

on ferme les robinets (l') et (2) et on ouvre le robi-

net (3) qui met en contact les deux bulles. On se
Figure 1 propoSe d'étudier l'évolution des bulles.!

(1)

atmosphère à Po

Dans tout le problème on néglige le volume du
tube de liaiSon entre les deux bulles. On étudie des évolutions quasi- 
statiques:
dans chaque bulle on peut définir a chaque instant une température T ou T2
et une pression p1 ou p2 uniformes. Par ailleurs l'atmosphère 1mpose une pres-
sion uniforme pO à l'extérieur des bulles. L'atmosphère se comporte comme un

thermostat à la température T et on Suppose l'équilibre thermique atteint à
tout instant: T =( T2 : T.

I.A- Loi de Laplace

Le robinet (3) étant fermé, pr0p0ser un dispositif simple réalisant un 
manomè-...
tre qui permette de mesurer la différence de pression p1-- po avec une règle 
gra-
duée. L'expérience montre que les pressions sont données a l'équilibre par loi 
de
Laplace:

40' 46 ,
p1Po =..."-- et p2" p0-- -- _ ' » (A)

" 1 " 2
où la constante positive 0 est appelée coefficient de tension superficielle. 
Dans
toute la suite, on suppose que l'équilibre mécanique entre chaque bulle et
l'atmosphère est atteint de telle sorte que les relations (A) sont valables à 
tout
instant.

LB - Approche qualitative

Préciser, en donnant un argument" qualitatif s'appuyant sur les relations (A),
l'évolution du système :le rayon des bulles évolue-t-il ? Est-ce la grosse 
bulle qui
se « vide » dans la petite ? Est-ce le contraire ?

I.C - Approche quantitative ,, _.
I.C.1) Rappeler la définition d'un potentiel thermodynamique.

I.C.2) Pour un système fermé, d'énergie interne U *,""d'entropie S et de volume

_ V , en évolution monotherme (température extérieure T) et monobare (pression

" extérieure p0 ), n'échangeant pas d'autre formede travail avec l'extérieur que

' celui des forces de pression, justifier que G* = U --TS + pOV est un potentiel
thermodynamique. '

I. C. 3) On néglige le volume d'air contenu dans le tube de liaison entre (l) et
(2) et on étudie le système constitué:

' d' une part de l'air contenu dans les deux bulles et assimilé à un gaz 
parfait;
on note, avec i = 1 ou i _ ---2 selon le compartiment, V le volume,r ,le rayon,
_ p, la pression, N le nombre de moles d'air, S, l'entropie de l'air la tempé-
rature T est commune aux deux compartiments,

° d'autre part, des membranes d'eau savonne11se qui limitent'les deux bulles,
d'épaisseur 'négligeable, d'énergies internes respectives U ,,,, , de 
températu--*

res Tm _ --T ,d'entropies Sm, et de surfaces Em , _ --8nr,2 (double de la 
surface

de la sphère, car il y a deux interfaces air--eau savonneuse), pour lesquelles
l'identité thermodynamique fondamentale s'écrit dUm _ --TdSm ,+ odZm

a) Montrer que :
glG* = dU, + dU2 -- TdS, _ TdS2 + p,,(dle+ dV2) + od2ml + od2m2

b) En déduire à l'aide des relations (A) que : ,.
dG* = dU + dU2--TdS _--TdS2 +p,dV, + p2dV2.

c) Soit G, =U,- TS, + p, V, l'enthalpie libre de l'air dans la bulle (i). Du 
fait que
le nombre de moles N, varie, l'identité thermodynamique fondamentale s'écrit:

dG, -- ----S,dT+V,dp,+u,dN,

où u,( p,, T) est le potentiel chimique de l'air dans la bulle (i)". Montrer 
que :"

(1) On montre dans le cours de chimie que pour un gaz parfait :
ui(pi, T) = f (T) + R T ln Pi où f (T) est une fonction de la température, 
identi-
que dans les deux bulles car le gaz est le même. En déduire que :

P1

dG*_ - RTln(--
P2

)dN1 ' (B)
I.C.4) Justifier que les variables pl, p2, r21, 72, N1 et N 2 sont liées par 5
relations de telle sorte qu'une seule de ces variables suffit à déterminer 
toutes
les autres. Dans la suite on prend r1 comme variable. Montrer que d p /dr' < 0 et dN /dr > 0. Quand r1 croît, en déduire le sens de l'évolution de p1 , N1 , N 
2,

r2 , et p2.
I.C.5) Prévoir l'évolution de deux bulles de rayons initiaux tels que r1 > r2.
Que peut-on dire d'un état initial r1 : r2 ?

I. D- Transition entre deux comportements dans une expérience ,,
analogue

On se propoSe d'étudier le même problème en remplaçant les bulles de savon par
deux petits ballons de baudruche que l'on supposera sphériques et réalisés dans
le même matériau. On donne la loi phénoménologique qui relie la pression pi
de l'air dans un ballon a son rayon r : '

6 ,
Pi --- Po+K[;--_"îg] ,, V" (O)

'ri

_ où "0 est la plus petite valeur possible pour r ,pO la pression extérieure et 
K
une constante positive. '

I.D.1) ,, Le graphe de pi(ri) est représenté sur
la figure 2 ; il passe par un maximum pm pour
un rayon particulier rm. Quelle conséquence

pratique cela a-t-il quand on gonfle un ballon de
baudruche »? ---

I.D.2) Les figures 3a et 3b fournissent le gra--
phe de dG*/ dr1 f (rl) respectivement dans le
cas (a) où N: N +N2 > 8nrmpm/3RT et dans
le cas (b) où N: N + N2 < 8nrmpm/3RT (la fonction f (rl) s'obtient en utilisant les rela- tions (B) et (C), ce qu'on ne demande pas de faire). Les parametres associés aux points remarquables de ces courbes ont les propriétés suivantes. ' pointA _. pl(A)-- _ p2(A)' et rl(A)=rch) point B :pl(B)#p2(B) et r1(B)#r2(B) point C : pl(C). : p.2(C) et r1(C) : r,(C) point D :p"D)$pä(D) et rl(D)$r2(D) 'point E :p1(E> = mm et 10202) = pl(A> ; r1(E) = r2(A> ; mm = r1(A)
point F : pI/(F) : p2(F) et r1(F) : r2(F)

id G* / dr 1 Figure 3a dG* /alr1 Figure 3b

a) Tracer l'allure du graphe de G*(r ) d'une part dans le cas (a) et d'autre 
part
dans le cas (b). On placera sur ces graphes les points remarquables A, B, C, D,
E, F. On rappelle que G*("1) est définie a une constante additive près.

b) En déduire l'état final du système abandonné dans un état initial quelconque
d'une part dans le cas (a) et d'autre part dans le cas (b).

I.D.3) Montrer que N est une fonction3 croissante de r .À quelle situation
particulière correspond la valeur NC _ --8nrmpm/3RT de N assurant le passage
d'un cas à l'autre '? Lequel des cas (a) ou (b) donne un comportement analogue a
celui des bulles de savon}? Interpréter brièvement a l'aide de la figure 2.

I.D.4) Lorsque le paramètre N passe par la valeur Nc -- _8nrmpm/3RT, le
système transite entre un état d'équilibre symétrique (r2 --r1-- .. O) et un 
état
d'équilibre dissymétrique (r2 --r17t 0). Cette situation est analogue à la 
transi-
tion paramagnétique-ferromagnétique. Quel est « l'analogue magnétique » de
r2 -- r1 ? Quel est « l'analogue magnétique » de N ?

Partie II - Le phénomène de Leidenfrost

Lorsqu'on dépose une petite goutte d'eau 42
liquide au-dessus d'une plaque chauffante atmosphère à po .

plane horizontale maintenue à une tempé-
rature nettement supérieure àla tempéra-
* ture d'ébullition de l'eau, on constate que
la goutte peut rester en lévitation quel-
ques dizaines de secondes juste au-dessus

Figure 4

|
eau hqu1de, '
| /

| /

vapeur d'eau A

de la plaque avant de disparaître (le mou- 1 _ h ff t "T . e
vement dela goutte est en général plus P _________ _______ 
______________________________________________________________________________
compliqué, au point que la goutte donne 0

l'impression de « danser » sur la plaque).

Pour simplifier les calculs, on étudie dans
toute la Suite une seule goutte et onla
suppose hémisphérique de rayon a(t) , sa 1
face inférieure planeétant à une hauteur
e(t) au-dessus de la plaque chauffante,
supposée confondue avec le plan d'équa-
tion 2 = 0 (cf. figure 4). Le rayon a(t) et la
cote e(t) de la face inférieure sont des tenS
, fonctions du temps et l'échelle de temps 60

/ caractéristique de leurs variations est '

11 z 50 s pour un rayon initial a0-- _ 1 mm. La figure 5 donne dans ce cas un 
gra-
phe expérimental de a(t).

a en mm Figure5

Dans tout le problème on suppose que le champ de pesanteur ê-- _ ---geî est uni-

forme avec g = 10 m s--2 et on suppose le référentiel terrestre galiléen.

II .A- Approche qualitative

L'interprétation qualitative de cet effet Ten S
étudié pour la première fois par Leiden-
frost en 1756 est la suivante . la plaque, 100

de température plus élevée que celle de
la goutte, cède à celle-ci de la chaleur, ce 50 \
qui provoque l'évaporation progressive

de la goutte liquide ; cette évaporation,
qui n'est pas isotrope, provoque un écou-
lement de vapeur d'eau sous la goutte
qui permet à celle-ci de léviter au-dessus
de la plaque. Justifier qualitativement le sens des variations dela durée de vie
1: de la goutte en fonction de la température T p de la«plaque sur la figure 6.

Figure 6

II.B p- Étude thermodynamique

Dans cette partie. on modélise le transfert thermique cédé par la plaque à la
goutte d'eau liquide en négligeant les phénomènes de convection et de
rayonnement : le transfert thermique est dû exclusivement à la diffusion ther--
mique dans la vapeur d'eau, supposée immobile, située entre la plaque et la
goutte. On note ?» la conductivité thermique, uv la masse volumique et Cu la
capacité thermique massique à volume constant de la vapeur d'eau et toutes ces
grandeurs sont supposées constantes. On donne l'expression du laplacien d'une
fonction f (r, 6, z) en coordonnées cylindriques : \

2 2
A,» = 1 _a_(,.a_f)._li ê_£ô_f
r 89 82
II.B.1) Rappeler sans démonstration l'équation aux'dérivées partielles (E)

dont le champ de température T(r, z, t) est solution. On fera apparaître la 
diffu- \
sivité thermique Dth dont on rappellera l'expression en fonction de À , uv 
et\ev .

II.B.2) Dans la suite on néglige les dérivées par rapport à r devant les
dérivées par rapport à z dans l'expression de AT . A quelle condition sur le 
rap-
port e2/ a peut--on valider cette approximation '?

II.B.8) Exprimer par une analyse en ordre de grandeur la durée caractéristi-
que 1:* d'un régime transitoire. pour l'équation (E). Dans la suite on raisonne
comme si un régime permanent était atteint instantanément et on prend donc :

QT : 0 dans l'équation (E). /

dt

Donner de façon intuitive un critère de validité de cette approximation mettant
enjeu 'C* et "El. \ ' '

, .\\

II.B.4) Expliciter la solution T(r,z_, t) sachant que la plaque impose
T(r,z : 0, t) : Tp et en supposant que la goutte "liquide impose
T(r,z : e(t), t) = T où Te est la température d'ébullition de l'eau sous une

pression po .

EUR

II.B.5) En déduire l'expression du vecteur densité de flux thermique ; : jZeî

en fonction de k", T p , Te et e .

II.B.6) En déduire l'expression du flux thermique 
 O).

° le champ de pression p(M , t) : po est uniforme dans l'atmosphère autour de
la goutte.

II.C.1) On s'intéresséau système fermé ($*) constitué de l'eau liquide conte-
nue à l'instant t dans la goutte. À l'instant t+dt le système est constitué de
l'eau qui est restée liquide dans la gôutte et de lgmasse ôm qui s'est vaporisée
et qui est sortie de la goutte avec la vitesse --V0 ez .

a) Exprimer ôm en fonction de dt , a , V0 et de la masse volumique au de la
{vapeur d'eau.

b) Exprimer la quantité de mouvement de (S*) à l'instant t + dti en fonction de

dt , a et VO. Quelle estSa quantité de mouvement à l'instan_t_t> ? En déduire la

variation de sa quantité de mouvement par unité de temps dP*/ dt .

II. 0.2) On rappelle que la résultante des forces de pression associéè"à une
pression uniforme po sur une surface fermée comme celle limitant la goutte est
nulle.

_y/

Établir la relation :

2ga ! f
vo= / 3qu . + + (2)

)

où il,, et ... désignent respectivement la masse volumique de la vapeur et du
liquide. ,
II.C.3) Exprimer le débit massique de vapeur d'eau sous la face plane de la

goutte en fonction de V0 , a et de la masse volumique pu de la vapeur d'eau. En
déduire par confrontation avec II.B.7-a que :

1 2 2 .
---- 31 T --T - ,
e = a 2 /___--( P ;) , <3) 2g uv W. H. C. 4) Déduire de la relation (1) l'équation différentielle dont est solution a(t) et déterminer a(t) en fonction de g, ul , uv , t et du rayon initial a0= a(t-- -- 0). H. C. 5) Calculer numériquement la durée de Vie TA d'une goutte d'eau liquide danscemodèleApouruv=O,-7kg m3,g=10m s2,ul= 1,-0 103 kg m3et a0=1mm. II.C.6) Donner trois arguments justifiant le rejet du modèle A. II.D - ModèleB Hypothèses : ' on néglige la variation de e au cours du temps et l'eau liquide dans la goutte " est immobile; ' " 0 la vapeur d'eau est émise uniformément, sur toute 1_)a surface du disque infé- rieur de la goutte avec une vitesse v(r, z_-- --- e)-- _ --V0H ez (V() > O) , \ 
"

° l'écoulement de vapeur d'eau sous la goutte est incompressible et homogène,

,de masse volumique uv , il est aussi stationnaire, décrit en coordonnées
--> -->

cylindriques par le champ des vitesses v : u(r)e +w(z)eZ où u(r) est indé-
---> ----> --->

pendant de z et où w(g) est indépendant de r avec w(z- -- e)= --V0 , (e,, ee, 
ez)
est le trièdre local associé aux coordonnées cylindriques (r, 6, z) ,

° le champ de pression sous la goutte est de la forme p(r,z) avec
p(r : a, z) ": po imposée par l'atmosphère ; le champ de pression au--dessus
de la goutte est uniforme égal à po ;

0 on néglige le rôle de la pesanteur sur l'écoulement de vapeur d'eau.

II.D.1) On envisage le volume fixe limité par le cylindre d'axe Oz et de rayon
'r 0 qui ne décrit pas la réa-'
lité physique du fait du modèle (arrivée d'eau). On admettra que l'erreur ainsi
"commise sur p est négligeable dans le calcul de la force pressante totale.

II. E. 6) En opérant comme en II. D. 3 (on ne demande pas de le faire), on 
obtient
l'expression 23de la résultante des forces de pression subies par la goutte
FC_ -- (3ana2 / e 3)ez V.érifier l'homogénéité de cette expression.

II.E.7 ) En opérant comme en II.C.3 (on ne demande'pas de le faire), on obtient
la relation:

6 : ----
2uv ul lv g

puis en opérant comme en II.C.4 (on ne demande pas de le faire) on obtient 
l'évo-
lution du rayon d'une goutte de rayon initial ao :

3 3 1/4
, 4 5/4 4 5/4_t£7v(Tp --Te)guv)

(10)

(11)

"a : --a0 3 3
5 5 72nullv

Calculer numériquement la durée de vie "CC de la goutte sachant que :

À=0,1W-m_l-K_I,Tp AT =3oox,...=o,,7kg-m"" g=10m-s_2,1

lv =2,"1641061-kg .n= 10 Pas et...--10 1o"kg m .Conclure.

II E. 8) On se propose de tester la validité de certaines approximations du
modèle C.

a) Pour a =1 mm2, calculer numériquement e en utilisant la relation (10). Cal-
culer le rapport e / a et conclure. '

b) Pour a -- _1 mm ,tester numériquement la validité de l'approximation faite en
II. B. 3 sachant que la diffusivité thermique, de la vapeur d'eau vaut

pm: 10 4m2-s1

' c) Pour a _ --1 mm , tester numériquement la validité de l'approximation 
consis-
tant à négliger le terme d'accélération locale en II.E.1.

d) En exploitant les relations établies dans cette partie (calculs non demandés)
on obtientpour la vitesse radiale un ordre de grandeur U z 0,5 m -- 54 lorsque

a z 1 mm. Tester numériquement la validité de l'approximation consistant à
négliger le terme d'accélération convective en II.E.1.

e) Donner au moins unargument pour invalider le modèle C pour les instants
t z 1 . '

00. FIN ooo