Centrale Physique 1 PC 2006

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La neige

Ce problème aborde divers aspects de la physique du manteau neigeux. Il com-
porte trois parties totalement indépendantes. L' énoncé comprend en annexe un
document réponse à remettre avec la copie à la fin de l'épreuve.

Partie I - Formation de la neige dans l'atmosphère

LA - Équilibre d'un corps pur sous deux phases

I. A. 1) Soit un système thermodynamique de température T et de pression P.
Rappeler la définition de son enthalpie libre G ainsi que l'expression des déri-
vées partielles 8G/ âT ) P et âG/ôP)T.

I.A.2) Le système évolue de manière spontanée, sans échanger d'autre tra-
vail que celui des forces de pression. Sa température et sa pression restent 
éga--
les à celles (TO, PO) du milieu extérieur. Montrer que G ne peut que diminuer.
Que dire de G dans un état d'équilibre thermodynamique ? '

I.A.3) La transformation de la question précédente correspond àla variation
d'une variable d'état x. A quelle co'ndition, portant sur G(T, P, x) , 
l'équilibre

thermodynamique est-t--il établi pour une valeur particulière xeq de cette
variable ?

I.A.4) On considère une masse m d'un corps pur en équilibre sous deux pha-
ses 1 et 2 ayant respectivement des masses m1 et m2 , pour volumes massiques
u1 et u2 et pour enthalpies libres massiques gl(T, P) et g2(T, P).

a) Exprimer son enthalpie libre G en fonction de m1 , m , g1 et g2.
b) Montrer que pour T et P données il se trouve à l'équilibre lorsque

g1(T,P) : g2(T,P) ' (1)
I.A.5)

a) Rappeler la relation entre la chaleur latente massique L1_, 2 de la 
transfor--
mation 1 --> 2 , la température d'équilibre T et les entropies massiques 51 et 
32
de chaque phase.

b) En envisageant l'équilibre entre les deux phases à deux températures très
proches, démontrer la relation de Clapeyron

dP
L1_,2 : T(u2--ul)âî, (2)

où P et T désignent les pression et température assurant l'équilibre des deux
phases et L1_, 2 la chaleur latente massique de la transformation 1 --> 2 .

I.B - Formation de cristaux de glace dans un nuage
Données :

Coordonnées du point triple _3
Tt : 273,16 K, Pt : 6, 1 -- 10 bar

de l'eau

LU : a -- bT où T est la température
Chaleur latente de vaporisation en Kelvin
de l'eau ' - a = 3, 08- 1061-kg"1 et

b : 2,14-10'.'l--kg"1--K"1
5 --1
Lf = 3,33-10 J-kg ,

Chaleur latente de fusion de l'eau , _ ,
supposee indépendante de T

Masse molaire de l'eau M = 18 - 10"3 kg -mol'1

, Constante des gaz parfaits R = 8, 31 J- K"1 -m01".1

On notera d'un indice 1 les quantités relatives à l'eau liquide, d'un indice g 
cel-
les relatives àla glace et d'un indice v celles relatives à la vapeur d'eau.

Pour traiter les questions suivantes, on négligera les volumes massiques de
l'eau liquide et de la glace devant'celui de la vapeur.

I.B.1) Le diagramme d'état de l'eau est donné sur la figure 5 (document
réponse). Le compléter en précisant, dans chaque case prévue à cet effet, la
forme stable de l'eau dans la zone du plan correspondant. Donner les noms des
points A et B.

I.B.2) Au point triple, exprimer la chaleur latente de sublimation Ls en fonc--
tion de celles fournies par l'énoncé. En utilisant la relation de Clapeyron, 
justi-

fier qu'au voisinage du point triple la pente de la courbe relative à la 
sublimation
est supérieure à celle relative àla vaporisation.

I.B.3) On assimile la vapeur d'eau à un gaz parfait. Déterminer l'équation de

la courbe du diagramme correspondant à la vaporisation, sous la forme
P = f(T).

I.B.4) Déterminer de même l'équation de la courbe correspondant àla subli-
mation, en supposant que l'expression de la chaleur latente de sublimation obte-

nue au I.B.2 reste valable pour toute température voisine de celle du point
triple.

I.B.5) Application numérique : pour une température de --12° C , calculer la
pression Psat' g de la vapeur en équilibre avec la glace et la pression Psat,l 
de la
vapeur en équilibre avec l'eau liquide (que l'on envisage dans un état métasta-
ble). Porter sommairement les points correspondants sur la figure 5.

I.B.6) On considère un nuage dans lequel la température supposée uniforme
est de --12° C . L'eau est simultanément présente sous forme de vapeur, de gout-
telettes liquides et de microcristaux de glace (voir figure 6 sur le document
réponse). Pourquoi cet ensemble ne peut-il être en équilibre ?

I.B.7) On admet que la vapeur est localement en équilibre près des gouttelet--
tes d'eau liquide d'une part, et près des microcristaux de glace d'autre part. 
Sur
la figure 6, représenter la zone deforte pression par des signes + , la zone de
basse pression par des signes -- et par une flèche le vecteur grad P.

I.B.8) À cause de ce gradient de pression, il apparaît un mouvement de con-
vection de la vapeur d'eau. Dans quel sens ? Parmi les deux phases condensées,
l'une va disparaître au profit de l'autre. Laquelle ?

I.C - Influence de la tension superficielle sur l'équilibre liquide--vapeur

Dans cette partie, on note g,(T, P) et g,,(T, P) les enthalpies libres 
massiques de
l'eau liquide et de l'eau vapeur, "1 et uv leurs volumes massiques. On néglige
l'influence des pressions partielles en N 2 et 02 de l'air.

I.C.1) On considère une masse d'air humide où la pression de vapeur d'eau
est P. Elle est refroidie jusqu'à une température T telle que P > Psat(T). Que
doit-il se passer ? En réalité, on constate souvent que la vapeur reste sèche, 
tant
que P n'est pas nettement supérieur à P Les questions suivantes en propo--
sent une explication.

sat '

I.C.2) Rappeler les expressions de ôgl/aP)T et ôgv/aP)T.

I.C.3) On admet que u l est une constante : ul a 1, 00- 10--3m_ °kg_l . Exprimer
la différence gl(T, P) -- gl(T, Po) où P et Po sont deux pressions quelconques.

3

1.0.4) On traite l'eau vapeur comme un gaz parfait. Exprimer
«gv(T7P)--gv(T'PO)' '

1.0.5) On considère la situation où la vapeur d'eau coexiste avec de l'eau
liquide maintenue en surpression au moyen d'un piston splitéable seulement à
la vapeur (figure 1).

À l'équilibre thermodynamique, la vapeur d'eau possède une pression saturante
P'sat et le liquide une pression P'sat + P1, P1 désignant la surpression. En 
adap-
tant la condition d'équilibre de la question I.A.4, montrer que

lnî'sat : ... (3)
sat

où Psat désigne la pression de vapeur saturante
usuelle, c'est-à-dire celle qui assure l'équilibre
liquide vapeur en l'absence de surpression à la
température T.

vapeur

1.0.6) Dans un nuage, une gouttelette d'eau
sphérique de rayon r se trouve de même en sur--
pression P] par rapport à la vapeur environnante.
Cela s'explique par le phénomène de tension
superficielle et on admet que P est dans ce cas
donnée par P1-- _ Zo/r avec 0 =713 10 3-N m .En
supposant que P'Sat-- Psa « P1 , déterminer numéri-

quement le rapport a : P'Sat/Psat pour r = 2 nm

puis r = 0 lum On prendra T-- _ 273 15 K Imposition d'une surpression
sur le liquide au moyen d'un

1.0.7) Expliquer le phénomène cité àla fin de la piston Perméable

question 1.0.1. On admettra que la condensation

de la vapeur nécessite l'agglomération de molécules d'eau sous la forme de gout-
telettes microscopiques (quelques nanomètres).

'Il/[IIIA

piston

liquide

Figure 1

1.0.8) Dans un nuage, la présence de poussières autour desquelles les molé-
cules d'eau peuvent s'agglomérer favorise la formation de gouttelettes d'eau.

Interpréter, en supposant que la taille des poussières est de l'ordre du dixième
de micromètre.

Partie II - À propos des avalanches

II.A - Rôle des coefficients de frottement

Dans une avalanche, une masse de neige se détache sur une pente et la dévale
en entraînant avec elle de la matière supplémentaire. Il en résulte une amplifi-

cation qui conduit à un phénomène violent même à partir d'un déséquilibre fai-
ble.

II.A.1) On considère un bloc de neige
de masse m reposant sur un plan
incliné dont la pente est repérée par
l'angle en (figure 2). Le contact entre la
neige et ce plan, décrit par les lois de
Coulomb sur le frottement, est caracté--
risé par des coefficients de frottement
statique Us et dynamique "d' On rap-
pelle que Md 5 us. On note g = 9, 8 ms"2
l'accélération de la pesanteur.

Montrer que l'équilibre est possible tant
que a s de et exprimer l'angle critique

a Figure 2 -- Masse de neige reposant
sur un plan incliné

c .
II.A.2) La masse de neige en équilibre
sur une pente d'angle ac subit une légère perturbation qui lui donne une vitesse
initiale v0ux , vo > 0 . Exprimer sa vitesse ultérieure v(t) et son énergie 
cinétique
Ec(t). '

II.A.3) L'énergie acquise sert en fait à mettre en mouvement de nouveaux
blocs de neige, conduisant à l'amplification de l'avalanche. Les valeurs 
approxi-
matives de Us et pd sont données dans le tableau ci-dessous pour différents
types de neige. D'après la question précédente, quel type de neige conduit aux
avalanches les plus violentes ? On justifiera la réponse.

neige fraîche Jusqu a 10

Md
03
0,7
0,4.

neige à grains ronds

Ms
neige en gobelets

II.A.4) Animée d'une vitesse v1 , la masse de neige arrive dans une région où
l'angle on prend une valeur plus faible, constante. A quelle condition portant 
sur
a le mouvement est-il ralenti puis stoppé '?

II.A.5) ' Expliquer comment l'observation de nombreuses avalanches permet
de déduire des valeurs numériques pour Us et "al telles que celles données dans
le tableau.

II.B- Modèle de frottement sur sol rugueux

Lorsque l'avalanche rencontre dans sa course un sol rugueux, elle est soumise à
de nouvelles forces de frottement dont on étudie ici une modélisation (figure 
3).

D'

La masse de
neige en mouve--
ment est assi-
milée à un
parallélépipède surface de
rectangle l'avalanche
d'épaisseur d mo
(selon y ), de ' © _ _ a
longueur 1 ,\ _ _ _ © _ ©Îï\.
(selon x) et de SOI ®_ä
rugueux .
largeur L (selon . _ _ f b
z). Le contact g 1 Ar "_
avec le sol a _ x
s'effectue donc Figure 3. Modèle d'avalanche sur sol rugueux

sur un rectangle

d'aire S : Ll.

L'avalanche est formée de paquets de neige sphériques de masse m0 descendant
la ligne de plus grande pente avec une vitesse v = v ux . Ces blocs sont empilés
en couches distantes de b perpendiculairement à la pente. Dans une couche
donnée, parallèle au plan (Oxz), les blocs sont en moyenne distants de a selon
les directions x et z . Au niveau du sol, ils rencontrent des aspérités 
assimilées
à des cylindres de section circulaire et d'axe parallèle à (Oz) , séparés d'une 
dis--
tance Ar. Ces chocs, caractérisés par l'angle d'incidence i fixé, sont supposés
mous : après l'impact, le vecteur vitesse du bloc est tangent à la surface de
l'aspérité cylindrique au point de contact.

D'autre part, la composante tangentielle de sa vitesse est conservée dans le
choc.

II.B.1) Un bloc se déplaçant selon x avec une vitesse moyenne v , exprimer la
fréquence f des chocs qu'il subit. '

II.B.2) Quel est le nombre moyen N1 de blocs dans la couche en contact avec
le sol ?

II.B.3) Combien de chocs l'avalanche dans son ensemble subit-elle, pendant
dt ? On notera dN ce nombre.

II.B.4) Pendant un choc, un bloc subit un changement de quantité de mouve-
ment A Po- Déterminer sa projection --Ap0x sur l'axe x.

II.B.5) Soit P : Pux la quantité de mouvement de l'avalanche. En déduire la

variation de quantité de mouvement chhoes causée par les chocs durant dt .

II.B.6) En déduire que la force de frottement rugueux s'exerçant sur l'avalan-
che est :

2 2.
moSv cos 1

F...? : -----2----ux (4)
a Ar
II.B.7 ) Soit m la masse totale de l'avalanche. Montrer que Frug se met sous la
forme

2

F...g : --mâÏ ux ' (5)

en donnant l'expression du paramètre de rdgosité & en fonction de g , Ar , b et 
i .

II.B.8) Expliquer pourquoi & dépend de la nature du sol sur lequel l'avalanche
s'écoule.

II.B.9) Certains paramètres du modèle pourraient dépendre de la vitesse, de
sorte que & en dépendraît aussi. Lesquels selon vous ?

II.C - Dynamique de l'avalanche

L'avalanche de masse m et d'épaisseur d dévale désormais une pente d'angle a
sous les effets conjugués de son poids, du frottement sec obéissant aux lois de

Coulomb (partie II.A) et du frottement rugueux de la partie II.B décrit par la
relation (5d). On rappelle que

a2du2_u : -- aargth(a ---> et fthu du : ln(ch u)...

II.C.1) Déterminer l'équation du mouvement selon x" sous la forme d'une
équation différentielle pour v(t).

Il. C. 2) Exprimer la vitesse limite vl atteinte par l'avalanche et la calculer
numériquementpour on -- _35°, Md" _ 0,3, d= 2m etë =103m-s 2.

II.C.3) Comment l'énergie cinétique de l'avalanche varie-t-elle avec son épais-
seur d , toutes choses égales par ailleurs ?

II.C.4) Exprimer l'évolution v(t) de la vitesse de l'avalanche, avec la 
condition
initiale v(0) : 0. On éliminera on et ad au profit de vl.

II.C.5) Déterminer la distance x(t) parcourue par l'avalanche depuis son
point de départ.

II.C.6) Application numérique : quelle distance l'avalanche a-t-elle parcourue
lorsque elle atteint sa vitesse limite à 10 % près

II.C.7 ) L'avalanche ayant atteint sa vitesse limite "1 rencontré un brusque
changement de pente, dont l'angle avec l'horizontale passe d'une valeur a à une
autre valeur a'. La vitesse limite va prendre, après une certaine distance de
transition, une nouvelle valeur v'l. On suppose que la largeur L de l'avalanche
reste la même, l'épaisseur d pouvant par contre être modifiée. En admettant
que le débit volumique de neige est le même de part et d'autre de ce changement
de pente, démontrer la loi d'invariance :

v3 v '3
l l

s1na--udcosa s1na --udcosa

"1 et v'l désignant respectivement la vitesse de l'avalanche avant et après la

rupture de pente.

II.C.8) Application numérique : l'angle on passe de 35° à 30° . De quel pourcen-
tage la vitesse est-elle réduite ?

Partie III - Appareil de recherche des victimes
d'avalanche

Les chances de survie d'une personne accidentellement ensevelie par une ava-
lanche dépendent de façon cruciale du temps mis par les sauveteurs pour la
retrouver sous la couche neigeuse. Pour cette raison, des appareils de recherche
des victimes d'avalanche (ARVA) ont été mis au point depuis les années 90. La
victime étant équipée d'un émetteur portable d'ondes hertziennes, un sauveteur
muni d'un récepteur peut rapidement la localiser. Cette partie aborde le prin-
cipe d'utilisation de ces dispositifs.

En notant (r, 6, cp) les coordonnées sphériques usuelles et (u,, ue, ucp) les 
vec-
teurs de la base locale associée, on a
af 1 af , 1 af
-- -- -- + . -- .
âru"+ r 66u9 r s1n8 âcpuCP
1

La célérité des ondes électromagnétiques dans le vide est c = 3, 00 - 108 ms" .

grad f(r, 9. CP) =

III.A - Champ rayonné par une petite antenne

Dans les questions suivantes, on demande de préciser 4 conditions successives
justifiant certains calculs approchés. Elles seront désignées par C1 , 02 , C3 
et
C 4 . Vous les présenterez sous la forme x « y , x et y étant deux grandeurs 
physi--

ques. Par exemple la condition Co s'écrit m « m

antenne victime '

III.A.1) On considère un dipôle électrique statique de moment dipolaire cons-
tant p : Pouz et d'extension spatiale a placé à l'origine 0 des coordonnées. Le

potentiel électrostatique qu 'il produit en un point M de l'espace, repéré par
r = OM et 6 : (az, OM) est donné par:

p cos9
VO(M) : °

2 .
4ueOr

Préciser la condition C] qui permet d'obtenir ce résultat approché. Donner
l'expression du champ électrique EO(M ) correspondant.

III.A.2) Déterminer l'équation polaire des lignes de champ sous la forme
r = f (6) . Ces courbes sont représentées sur la figure 7 de l'annexe. La 
compléter

en traçant l'allure de 3 lignes équipotentielles et en représentant par une 
flèche
le veCteur moment dipolaire po .

III.A.3) Déterminer de même l'équation polaire des lignes de niveau de ||Eoll ,
c'est-à-dire des courbes sur lesquelles le champ électrique garde, en norme, une
valeur constante. Ces courbes sont représentées sur la figure 8 avec la même
orientation de po.

III.A.4) L'antenne portée par la victime, dont la dimension a est de l'ordre du
centimètre, se trouve à l'origine 0 des coordonnées, orientée parallèlement à u 
2.
Elle est parcourue par des courants de fréquence f = 457 kHz. Déterminer
numériquement la longueur d'onde ?. du rayonnement qu'elle émet.

III.A.5) Le champ magnétique rayonné par l'antenne est donné par

6 ' '

où p : p(t)uz est le moment dipolaire de l'antenne. Outre la condition C1 , ce
résultat suppose que l'on traite toute l'antenne comme un dipôle unique. Plus
explicitement, cette expression néglige les déphasages entre les ondelettes 
émi--
ses parles différents points de l'antenne vers le point M. À quelle condition 02
cela est-il valable. '7

III.A.6) Le champ électrique E(M, t) rayonné par l'antenne est alors donné
par :

* _ 1 _p_ 19 _fi_ 2. p ;]

E 4OE80|:2 COSO(r2c + r3)_> u + Sine(rc2 + r2c + r3)u "
Expliciter sans calculs le raisonnement conduisant a cette expression.

Les lignes de champ correspondantes sont représentées, à un instant donné, sur

la figure 9. La compléter en représentant par une flèche le vecteur moment dipo-
laire p. '

III. A. 7) Dans quelle partie de l'espace, appelée zone statique, E(M, t) s 
'identi-
fie-t-il à chaque instant au champ électrostatique qui serait créé par le dipôle

permanent de moment 'p(t) ? Écrire en la justifiant la condition C3 qui définit
cette région.

III.A.8) Définir par une condition C4 la zone dite de rayonnement. Donner
l'expression simplifiée de E dans ce cas.

III.B - Localisation de la victime

III.B.1) Le sauveteur est muni d'une antenne réceptrice reliée à un système
audio. Il détecte le signal émis par l'appareil de la victime. À sa recherche, 
il par-
court quelques dizaines de mètres autour de O. Discuter numériquement la
validité de chacune des conditions C1 à C 4. Le sauveteur se trouve-t-il dans la
zone de rayonnement de l'antenne ou dans la zone statique ?

Les questions suivantes présentent deux méthodes utilisables par le sauveteur
pour localiser la victime. Elles appellent des constructions graphiques que vous
rendrez. sur le document réponse. Le sauveteur en déplacement sur la pente nei-
geuse sera représenté par un point décrivant une courbe dans le plan de la
figure. On suppose que l'antenne émettrice de la victime est parallèle à la 
sur--
face du sol et enfouie à faible profondeur. Les figures 7, 8 et 9 sont alors 
tracées
dans le plan de la surface neigeuse sur laquelle se déplace le sauveteur.

III.B.2) ' Recherche directionnelle : la direction dans laquelle pointe 
l'antenne
réceptrice du sauveteur est repérée par un vecteur unitaire u contenu dans le
plan de la figure et le signal perçu est proportionnel à la valeur efficace de 
E - u.
Immobile en un point, le sauveteur fait tourner son récepteur jusqu'à percevoir
un signal maximal, puis avance de quelques pas dans la direction de l'antenne.
Il s'arrête alors et réitère cette opération jusqu'à se trouver tout près de la 
vic--
time. Le long de quelle courbe se déplace-t--il approximativement ? Partant de
l'un des points A0, 30 ou CO placé sur les figures 7, 8 et 9 (à vous de choisir 
le

point le plus approprié), tracer le chemin suivi par le sauveteur jusqu'à la 
vic-
time.

III.B.3) Recherche en croix : dans cette méthode, l'orientation du récepteur
n'est pas aussi fondamentale. Seules sont pertinentes les variations du signal
lors du déplacement du sauveteur. Pour simplifier, nous supposerons donc que
ce signal est fonction uniquement de NE" .

Partant d'un point M 0 le sauveteur marche en ligne droite en écoutant croître
le signal. Il s'arrête au point M1 où le signal atteint sa valeur maximale. Là, 
il
part dans la direction orthogonale produisant une augmentation du signal pour
atteindre un nouveau maximum en M 2 . Il réitère ce processus jusqu'à se trouver
tout près de la victime. '

En choisiSsant pour M o' l'un des points AO , Bo ou Co (à vous de choisir à 
nouveau
le plus approprié) et démarrant dans la direction définie par le vecteur de la

figure 10, tracer le chemin suivi par le sauveteur. On pourra considérer que la
victime est atteinte après 2 ou 3 itérations.

III.B.4) En pratique, la recherche en croix peut s'avérer plus Complexe que
dans le cas simple décrit ci-dessus. Dans le cas particulier d'une antenne émet-
trice enfouie profondément et normale à la surface de la neige, l'antenne récep-
trice étant tangente au champ neigeux, que dire du signal reçu quand le
sauveteur arrive au-dessus de la victime ?

.... FIN ooo

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033 8598 mo...» mfi.m ....mEËoe m<æoe ...oem ...Eîmoe ooËoeoe. >äoebâo? = S...... --5:OE.m ©oeoe ®S.oe mm:<ä a...m:fi.æ OEËBÉm...Ë @@ om ...ËËËOEË. ...... Ëmfi.oe m. U...moe--mËBoe a...ÈË... %... ......oem: . eau liquide m1cro ' cristaux Figure 8 - Lignes de niveau de H E 0" Figure 7 - Lignes de champ créées par un dipôle statique Figure 9 - Lignes du champ électrique rayonné par un dipôle oscillant Figure 10 - Direction initiale du mouvement du sauveteur dans la recherche en croix