Centrale Physique 1 PC 2007

Concours Centrale - Supélec 2007

Épreuve :

PHYSIQUE I

Filière

PC

PHYSIQUE ! Filière PC

PHYSIQUE l

Le problème étudie l'interprétation de certains phénomènes colorés de la vie 
quotidienne.

L'usage de tout type de machine à calculer est autorisé mais inutile pour cette 
épreuve. Les
applications numériques ne portent que sur des ordres de grandeur aisément 
détermina-
bles « a la main ». Les différentes parties sont largement indépendantes. Tout 
résultat
fourni par l'énoncé pourra être utilisé dans la suite sans justification.

Données : on note j le nombre de partie imaginaire positive et de carré --1 .
Masse du proton : 1, 7 - 10_27 kg Charge de l'électron : -- e = --1, 6 - 10_19 C

Célérité de la lumière dans

8 --1
le vide: 3 10 m S

Masse de l'électron : 9, 1 - 10_31 kg

Perméabilité magnétique du vide : u0 : 4u10_7(SI)

Formulaire : pour deux grandeurs a et ?) variant sinusoïdalement en fonction
du temps avec une pulsation commune 0) ,

a(x, y, z, t) : Re(al(x, y, z)e"oe') et b(x, y, z, t) : Re(bl(x, y, z)e'°") ,
la moyenne temporelle de leur produit est

{ab} : %Re(a1 - b1*) , où Z"< désigne le conjugué de Z. Partie I - Couleurs « par transparence » I.A - Le spectre lumineux humainement visible I.A.1) Entre quelles longueurs d'ondes se situe le spectre des ondes lumineu- ses humainement visibles ? I.A.2) Donner un ordre de grandeur des fréquences correspondant aux cou- leurs rouge et violette. On s'intéresse dans la suite de cette partie à la propagation d'ondes electroma- gnétiques dans un milieu diélectrique non magnétique, linéaire, homogène, iso-- tr0pe, en l'absence de charges et de courants libres. Concours Centrale-Supé/ec 2007 1/12 PHYSIQUE ! Filière PC Filière PC I.B - Détermination de la permittivité diélectrique relative complexe gr du milieu dans le cadre du modèle de l'électron élastiquement lié Lorsqu'une onde lumineuse se propage dans un milieu diélectrique, son champ électromagnétique interagit avec les électrons (de charge --e , de masse m) des atomes du milieu. L'étude de cette interaction permet de caractériser le milieu diélectrique par la constante macroscopique gr. Le noyau d'un atome, supposé fixe, est situé au point 0 . La position d'Ëlectron de cet atome, situé au point M , est repérée par le vecteur position OM : r. Les interactions électrostati-- ques exercées sur l'électron par les agtres charges de l'atome se réduisent à une force de rappel élastique notée --moeä r. I.B.1) Quelle est la dimension de la grandeur oe0 '? Que représente-t-elle '? Le déplacement de l'électron est cqntrarié par des forces de friction : leur résul-- tante, qui s'oppose à la vitesse v : dr /dt de l'électron, est notée --my v (où y est une constante positive). I.B.2) Écrire l'équation du mouvement de l'électron lorsqu'il est de plus sou- mis au champ électromagnétique extérieur. I.B.3) a) Comparer la taille d'un atome aux longueurs d'ondes du spectre visible. Quelle hypothèse peut--on faire alors quant au champ électromagnétique de l'onde lumineuse à l'échelle de l'atome ? b) Pourquoi peut-on négliger l'influence du champ magnétique de l'onde lumineuse ? \ c) Pourquoi est-il possible de limiter notre étude a un champ électrique monochromatique ? (1) Est-il légitime de se borner à l'étude d'un champ électrique à polarisation rectiligne ? On a désormais recours à la notation complexe et on écrit le champ électrique E : Eee]... , où EO est un vecteur constant et uniforme et m une pul-- sation du domaine du visible. I.B.4) On étudie le mouvement de l'électron en régime permanent. a) Qualifier d'un adjectif le régime d'oscillations. b) Donner l'expression de la position î" de l'électron. I.B.5) Concours Centrale-Supé/ec 2007 2/12 PHYSIQUE ! Filière PC a) Déterminer l'expression du moment ?? du dipôle électrique constitué par l'électron et un proton du noyau. On appefie n la densité volumique d'électrons du milieu sensibles à l'onde lumineuse. Tous ces électrons sont caractérisés par les mêmes constantes (00 et y . b) Exprimer le vecteur--polarisation ?, densité volumique des moments dipo- laires 2 ,en fonction de à 0), 80, oe...y,l_fÎ et (op : ./ne2/(eom). I.B.6) On souhaite évaluer l'ordre de grandeur de (op . a) En supposant que le milieu est dense et que chaque atome possède un seul électron sensible au champ électromagnétique extérieur, donner un ordre de grandeur numérique de la densité n d'électrons, puis de la pulsation (op . b) À l'aide des données fournies en début d'énoncé, justifier a posteriori l'hypo-- thèse d'immobilité des noyaux des atomes. I.B.7) On rappelle que dans un milieu diélectrique linéaire, homogène, iso-- % trope, £ s'exprime par : + + + È : 80(ër--1)1Ë : 80XeE° où gr est la permittivité diélectrique relative du milieu ; g,. et >_çe sont a 
priori
complexes.
a) Quel nom donne-t-on à la grandeur >_çe '? Préciser sa dimension.

b) Quelle valeur, exprimée en fonction de y et (00 , faut-il donner à la 
constante
Q pour pouvoir écrire

. >_> ?

(1) Pour l'aigue--marine, oe0 z 4, 5 - 1014 rad -- s_1 . Quelle est sa couleur 
« par
transparence >> ?

I.E.3)

a) L'eau possède-t--elle des valeurs de 000 dans le visible ?

b) L'eau d'une piscine chauffe au soleil, pourquoi ?

I.E.4) Une application à la mesure en chimie

Certaines solutions aqueuses sont colorées. Comment varie la norme de la
valeur moyenne temporelle du vecteur de Poynting moyen  t12 :
nl + 112
r _ n1--n2 )
12 --
nl + n2

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III.A - En lumière monochromatique
L'onde incidente est une onde plane monochromatique de longueur d'onde dans
le vide >».

III.A.1)

En incidence normale, évaluer numériquement le rapport lE1/EO| des amplitu-
des des rayons (1) et (O).

III.A.2) Évaluer de même |E2/Eol» lE2/El| et lE3/E21. Justifier qu'on peut
désormais se limiter aux rayons réfléchis (1) et (2) uniquement.

On fait l'hypothèse que les rapports d'amplitudes précédents restent inchangés
quels que soient les angles d'incidence et les polarisations des ondes considé-
rées.

III.A.3)

a) Ecrire l'intensité lumineuse réfléchie sous la forme

I : 10{1+Ccos(â--Ïô)]

où C est un coefficient que l'on déterminera en fonction de lE2 /E1l et 6 la 
diffé-
rence de marche entre les rayons (1) et (2). Évaluer numériquement C. Que
dire de la visibilité des franges ? Tracer l'allure de la courbe I (ô)/ I .

b) Établir l'expression

/ 2
ô=2ne 1--Ê1-Ï-l--Ï+}â.
n

2.
c) Pour la valeur de n considérée, la valeur de f (i) = /1 -- Sii; décroît de 1 
à
n2

environ 0,75 lorsque i varie de 0 a at/ 2 .
Esquisser l'allure de la courbe f (i )) pour ce domaine de variation.

d) Pour 6 : À/ 10 , la fonction

. _ 43me 1 sin2i
g(z)- }» _?

décroît de 4OJt à 3071: lorsque i varie de 0 à at/2.
Tracer l'allure de la courbe I (i)/ I 0 pour ce domaine de variation.

III.B - Irisations
La couche d'huile est éclairée en lumière blanche.

III.B.1) Expliquer la présence d'irisations.

III.B.2) Comment s'y prendre concrètement pour observer les différentes tein--
tes à la surface de la couche d'huile '?

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III.B.3) Donner un ordre de grandeur de la valeur maximale de l'épaisseur
d'huile permettant l'observation des différentes teintes colorées. Comment
nomme-t--on la couleur observée si l'épaisseur d'huile devient supérieure à 
cette
valeur seuil ?

Partie IV - Couleurs par diffraction

On envisage un
réseau par transmis--
sion constitué d'une
surface plane ne lais- @
sant pas passer la
lumière et percée de
N fentes parallèles
de largeur e et de

/ '\ Z .
longueur L reguhe-- -- ---------- > L
rement espacées.
Elles forment ainsi

un motif répété Vue de profil
périodiquement
(période a ). On considère que L » e et que L est très grand devant les 
longueurs
d'onde ?» du domaine visible. L'indice de l'air est pris égal à 1.

A
l

;--

V

A
.D--
V

\\\\\\\\\» «< ° \\\\\\\\\ IV.A - Seuls des faisceaux lumineux parallèles sont envisagés. La direction de la lumière incidente est contenue dans le plan ( yOz) . Pourquoi peut- on considérer que la direction de la lumière diffractée est également contenue dans ce plan ? IV.B - IV.B.1) On note g0(i, EUR),e, >») l'amplitude diffractée par la première fente 
(0)
dans la direction 6 . Justifier que l'amplitude diffractée dans la même 
direction
par la fente suivante (1) ne diffère de c_zO que par l'ajout d'une phase 
supplémen-
taire cp que l'on déterminera en fonction de i, 6 , a et À la longueur d'onde de
la lumière incidente.

IV.B.2) On admet que l'amplitude diffractée par le réseau peut s'écrire comme
le produit de l'amplitude diffractée par un unique motif (la fente (0) par exem-
ple) et d'un terme d'interférence a N ondes, noté % (N , cp) indépendant de la
nature des motifs. Montrer que l'intensité diffractéfilans la direction 9 par 
les
N fentes peut s'écrire sous la forme lC--'02lI (N , cp). Exprimer I (N , cp) en 
fonction
de % (N , cp) . A quelle(s) condition(s) portant sur e peut--on considérer c_zO
comÊe indépendante de 6 et de i ? On se placera désormais dans ce cas.

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IV.B.3) On donne
l'allure de la courbe
I(N,cp) en fonction
du déphasage cp :
figure ci--contre.

1/1 1l1

max

Pour quelles valeurs ... ... .... A.. >
de EUR) l'intensité dif- --4fl3 --2fi 0 \2OE 211: 4113 cP
fractée est--elle N
maximale lorsque

N devient grand ?

IV.C - La surface d'un
disque compact est modé-
lisée par un ensemble de
miroirs parallèles identi-
ques aux fentes
précédentes :

IV.C.1) Montrer que le
résultat précédent reste
valable à condition de
remplacer cp par une
phase cp'(i, 6', a, >») à
déterminer. Pour un dis-
que compact a = 1, 6 um. Le disque est désormais éclairé en incidence normale.

IV.C.2) Proposer un dispositif expérimental permettant d'observer la lumière
diffractée dans les conditions décrites précédemment.

IV.C.3) Y a-t--il mélange des ordres en lumière blanche ?

IV.C.4) Peut-on voir son propre reflet dans un disque compact comme dans un
miroir ? Les couleurs sont-elles modifiées ?

IV.D - Les barbules des plumes de paon contiennent des bâtonnets de mélanine
(pigment brun foncé qui donne sa coloration à la peau) opaques noyés dans de
la kératine (protéine fibreuse transparente d'indice n = 1, 5 ).

Chaque bâtonnet constitue un obstacle qui diffracte la lumière (comme les
miroirs précédents). Les bâtonnets sont régulièrement répartis dans la kératine
au niveau des noeuds d'un réseau cubique simple (N x bâtonnets dans la direc-
tion x , N y bâtonnets dans la direction y, NZ bâtonnets dans la direction 2 ).
Comme précédemment, seuls les rayons contenus dans le plan ( yOz) sont pris
en compte. On suppose l'amplitude diffractée indépendante de Nx : tout se
passe comme si les bâtonnets avaient une longueur L dans la direction x très

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supérieure à a et ?» . On note c_z1 l'amplitude (supposée constante) diffractée 
par
un unique bâtonnet.

On s'intéresse à la lumière diffractée par chaque bâtonnet dans la direction
r' = -- r de la réflexion spéculaire.

IV.D.1) Soit cpy le déphasage entre les ondes diffractées par deux bâtonnets
plus proches voisins dans la direction y et de même coordonnée z : bâtonnets
(i, j ) et (i + 1, j) . De même, cpz est le déphasage entre les ondes 
diffractées par
deux bâtonnets plus proches voisins dans la direction 2 et de même coordonnée
y : bâtonnets (i, j) et (i, j + 1). En utilisant le résultat donné a la question

IV.B.2, montrer que l'intensité diffractée est proportionnelle à

\@1'\1(Ny,cpy) -I

numerique. . . (O, 0). (07.1) (O., N2_ 1)

IV.D.5) On se place en incidence

normale i = 0. Que valent alors

cpx et cpy ? En observant les taches colorées des plumes de paon on peut voir un
centre bleu-noir (bâtonnets distants de O, 16 um) entouré d'une tache ovale tur-
quoise (bâtonnets séparés de O, 17 um) ceinte d'une couronne extérieure brun--
rouge (bâtonnets séparés de 0,21 um ). Interpréter ces différentes teintes.

ooo FIN ooo

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