Centrale Physique 1 PC 2008

Concours Centrale - Supélec 2008

Épreuve :

PHYSIQUE I

Filière

PC

PHYSIQUE I

Filière PC

PHYSIQUE I
Calculatrices autorisées.
Biophysique de la bactérie Escherichia coli
L'objet de ce problème est d'appliquer les lois de la physique à la bactérie 
Escherichia coli, que l'on nommera par la suite E. coli. Aucune connaissance de 
biolo­6
­9
gie n'est nécessaire. On rappelle que 1µm = 1  10 m et 1nm = 1  10 m . On
rappelle également les valeurs :
de la constante de Boltzmann :
de la constante d'Avogadro :

k B = 1, 38  10

NA

­ 23

= 6, 02  10

de la permittivité du vide :

 0 = 8, 85  10

de la charge élémentaire :

e = 1, 6  10

23

­ 12

­ 19

JK
mol

Fm

­1

­1
­1

C

Les quatre parties de ce problème sont indépendantes.

Partie I - Taille critique d'une bactérie aérobie
On étudie les conditions de survie d'une bactérie aérobie dans un lac de très
grande taille à la température de 297 K . Pour vivre, elle a besoin de consommer
le dioxygène dissous dans l'eau au voisinage de sa surface.
La bactérie est modélisée par une sphère de centre O fixe, de rayon R , sa masse
volumique µ est assimilée à celle de l'eau. On se place en régime stationnaire 
et
­3
on note n ( r ) la densité particulaire, exprimée en m , du dioxygène dissous à 
la
distance r du centre O ( r > R ) . La diffusion du dioxygène dans l'eau obéit à 
la
­9 2
­1
loi de Fick avec un coefficient de diffusion D  2  10 m  s . Loin de la 
bactérie,
la concentration molaire volumique du dioxygène dissous dans le lac vaut
­3
c 0  0, 2 mol  m .
On admet que la consommation en oxygène de la bactérie est proportionnelle à
sa masse et on introduit le taux horaire A de consommation de dioxygène par
­1
­1
unité de masse, mesuré en mol  kg  s .
I.A - Densité particulaire en dioxygène au voisinage de la bactérie
I.A.1)
Rappeler la loi de Fick reliant la densité de courant particulaire
j = j ( r )e r à la densité particulaire n ( r ) .

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Filière PC

Filière PC
I.A.2)
Exprimer  ( r ) le nombre de molécules de dioxygène entrant par unité
de temps dans une sphère de rayon r ( r > R ) en fonction de j ( r ) et de r . 
Justifier
que  ne dépend pas, dans le cas étudié, du rayon r de la sphère considérée.
I.A.3)
Déterminer l'expression de la densité particulaire n 1 en dioxygène dis+
sous sur la surface extérieure de la bactérie ( n 1 = n ( R ) ) en fonction de  
, D , R ,
N A et de la concentration molaire volumique c0 de dioxygène à grande distance
de la bactérie.
I.B - Taille critique de la bactérie
I.B.1)
Exprimer  en fonction de N A , A , de la masse volumique µ et du
rayon R de la bactérie.
I.B.2)
En déduire l'expression de n 1 en fonction de µ , A , R , D , N A et c 0 .
Commenter la variation de n 1 en fonction du rayon R de la bactérie.
I.B.3)
Quelle inégalité doit vérifier n 1 afin que la bactérie ne suffoque pas ?
En déduire l'expression du rayon critique R c d'une bactérie aérobie en fonction
de D , c 0 , µ et A . Vérifier l'homogénéité du résultat. Calculer numériquement
­1
­1
R c sachant que A = 0, 02mol  kg  s . Comparer ce résultat à la dimension
caractéristique R = 1µm de la bactérie E. coli.
I.B.4)
Pour une bactérie sphérique de rayon critique R c , calculer la valeur
numérique du nombre total de molécules de dioxygène consommées par unité de
temps.

Partie II - Propriétés électrostatiques de la membrane de
la bactérie
On considère une bactérie E.coli en suspension dans une solution aqueuse
+
­
(milieu extérieur) contenant des ions N a , Cl etc... La bactérie est limitée à 
sa
périphérie par une couche continue de lipides et de protéines, appelée 
membrane, d'épaisseur d = 10nm . La membrane sépare le milieu interne de la 
bactérie, appelé cytoplasme, du milieu extérieur. Le cytoplasme est également 
une
solution aqueuse contenant des ions, des molécules, des protéines, etc... Le 
cytoplasme et le milieu extérieur sont donc des électrolytes, c'est-à-dire des 
solutions
conductrices contenant des cations et des anions. L'ensemble formé par le 
cytoplasme et le milieu extérieur est globalement neutre.

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II.A - Étude préliminaire : longueur de Debye dans un électrolyte
Soit un électrolyte à la température T , globalement neutre, constitué d'une
+
­
solution aqueuse contenant majoritairement des ions N a et Cl avec un nom+
bre de cations N a par unité de volume uniforme n (densité volumique des
cations). La permittivité de l'électrolyte est notée  .
On introduit dans cet électrolyte une plaque isolante chargée négativement ; les
charges liées à la plaque sont réparties de manière uniforme sur sa surface. La
plaque est confondue avec le plan x = 0 et l'électrolyte occupe le demi-espace
x > 0 . Les effets de bord sont négligés.
II.A.1) Après introduction de la plaque chargée, les densités volumiques des
ions ne sont plus uniformes, pourquoi ? Représenter qualitativement sur un
schéma la répartition des ions dans l'électrolyte. Que peut-on dire de la 
densité
volumique de charge électrique dans une région proche de la plaque ? Dans une
région très éloignée de la plaque ?
+
­
À présent, les densités volumiques des ions N a et Cl en un point M sont
notées respectivement n + ( M ) et n ­ ( M ) . Ces ions obéissent à la loi de 
Fick avec
+
­
des coefficients de diffusion D + pour N a et D ­ pour Cl .
II.A.2) Exprimer les vecteurs densités de courant volumique électrique j D+ et
+
­
j D ­ associés respectivement à la diffusion des ions N a et Cl .
II.A.3) Soumis à un champ électrostatique E , un ion acquiert une vitesse
+
­
limite µ ion E où le coefficient µ ion est sa mobilité. Les mobilités de N a et 
Cl
sont notées µ + et µ - . Donner les expressions des vecteurs densités de courant
volumique électrique j e+ et j e ­ associés à l'action du champ électrostatique 
E
+
­
respectivement sur les ions N a et Cl .
II.A.4) Écrire les équations de Maxwell de l'électrostatique dans l'électrolyte,
en présence d'une densité volumique de charge  due à un déséquilibre local
entre le nombre de cations et le nombre d'anions ; on admettra que la prise en
compte de la permittivité de l'électrolyte consiste à remplacer par  la 
permittivité  0 du vide. Montrer que tout champ électrostatique E dérive d'un 
potentiel
scalaire  .
Par la suite, on se place dans le cadre unidimensionnel, c'est-à-dire que tous 
les
champs eulériens ne dépendent plus que de l'abscisse x (coordonnée cartésienne
normale à la plaque chargée) : E = E ( x )e x ;  =  ( x ) ; n + = n + ( x ) ; n 
­ = n ­ ( x ) .
II.A.5) On suppose que l'équilibre est réalisé.
a) Écrire pour chaque ion, une relation simple valable à l'équilibre, entre son
vecteur densité de courant volumique électrique de diffusion et son vecteur 
densité de courant volumique électrique dû à l'action du champ électrostatique. 
En

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déduire, pour chaque ion, l'équation différentielle liant sa densité volumique 
au
potentiel électrostatique  ( x ) .
b) Déterminer la loi de variation de la densité volumique de chaque ion en 
fonction de  ( x ) . Le potentiel électrostatique sera supposé nul loin de la 
plaque :
 (  ) = lim  ( x ) = 0 .
x  +

c) En utilisant la relation d'Einstein qui relie la mobilité d'un ion à son 
coefficient de diffusion µ ± / D ± = ± e / k B T , où e est la charge 
élémentaire, k B est la
constante de Boltzmann et T la température de l'électrolyte, montrer que les
densités volumiques de ions peuvent finalement s'écrire :
e ( x )
n + ( x ) = nexp  ­ ---------------
 kBT 

et

e ( x )
n ­ ( x ) = nexp  + --------------- .
 kBT 

Quel nom donneriez-vous à ces lois de variation ?
II.A.6) On désire déterminer la densité volumique de charge électrique  ( x ) à
l'équilibre.
a) Exprimer  ( x ) en fonction de  ( x ) , n , e , k B et T . Simplifier cette 
expression
dans l'hypothèse où e ( x ) « k B T . Dans la suite de cette partie, on 
utilisera
l'expression simplifiée de  ( x ) .
b) Déduire de l'une des équations de Maxwell, une équation différentielle liant
( x) à ( x) .
c) En déduire l'équation différentielle vérifiée par  ( x ) . On fera 
apparaître une
longueur caractéristique  , appelée longueur de Debye, que l'on exprimera en
fonction de e , n ,  (permittivité de l'électrolyte), k B et T .
+
d) Résoudre l'équation différentielle précédente sachant que E ( x = 0 ) =  eff 
/ 
où  eff représente la densité surfacique de charge associée aux ions de 
l'électrolyte appartenant à l'interface solide/liquide en x = 0 . On exprimera 
la solution
 ( x ) en fonction de x ,  ,  et  eff (que l'on ne cherchera pas à déterminer). 
Quel
est le signe de  eff ?
e) En déduire la loi de variation de la densité volumique de charge  ( x ) . 
Vérifier
la conservation de la charge dans l'électrolyte. À quelle distance 
caractéristique
de la plaque peut-on considérer que le potentiel électrostatique et la densité
volumique de charge électrique sont négligeables ?

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II.B - Répartition des charges de part et d'autre de la membrane de la
bactérie
cytoplasme

x1x 1

milieu extérieur

membrane

x2x 2

x3 x 3

x4x 4

x5x 5

x6x 6

xx

E(x)
E( x)
0

xx

E0
­ ------E
0/2
2

­-E
E0
Figure 1 : Champ électrostatique

La membrane de la bactérie permet des échanges d'ions et de molécules entre le
cytoplasme et le milieu extérieur mais sa splitéabilité varie d'un ion à l'autre.
À l'équilibre, la concentration de chaque ion est différente de part et d'autre 
de
la membrane, il apparaît alors un champ électrostatique E . La figure 1 
représente l'allure de la composante E ( x ) du champ électrostatique dans le 
modèle
unidimensionnel ( E ( x )  0 ) . Les domaines représentent :
· le cytoplasme pour x  x 2
· la membrane pour x 2  x  x 5
· le milieu extérieur pour x  x 5
Les permittivités du cytoplasme, de la membrane et du milieu extérieur sont
supposées égales et ont la même valeur que la permittivité  de l'eau.
II.B.1) Tracer, sans effectuer de calcul mais en justifiant, l'allure du 
potentiel
électrostatique  ( x ) .
II.B.2) Faire de même pour la distribution volumique de charge  ( x ) .
II.B.3)
a) En utilisant les résultats de l'étude préliminaire II.A, donner l'expression 
de
la dimension caractéristique d c des régions chargées.

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b) Au laboratoire, le milieu de culture utilisé pour étudier la bactérie
­1
E. coli contient 5, 0 g  L de NaCl (le milieu contient également d'autres ions
+
­
que N a et Cl mais avec des concentrations beaucoup plus faibles). Calculer
numériquement d c et comparer le résultat à l'épaisseur d = 10nm de la membrane 
de la bactérie. Conclusion ?
­1
Données :   80  0 (permittivité de l'eau), T = 297 K , M Na = 23, 0 g  mol
­1
(masse molaire de Na ) et M Cl = 35, 5g  mol (masse molaire de Cl ).
II.C - Potentiel de repos de la membrane de la bactérie
La membrane de la bactérie possède une splitéabilité sélective suivant la
+
nature des ions. À l'intérieur du cytoplasme, les cations majoritaires sont K .
Nous considérons à présent le modèle de Bernstein (1902) dans lequel seule la
+
diffusion des ions K est prise en compte, la membrane étant supposée imper+
méable à tous les autres ions. De plus, la densité volumique des ions K dans le
cytoplasme est beaucoup plus élevée qu'à l'extérieur. On considère à nouveau le
modèle unidimensionnel de la figure 1.
II.C.1) Justifier l'existence d'un champ électrostatique E = E ( x )e x à 
l'équili+
bre, dû aux ions K . Dans quel sens est-il dirigé ?
+
II.C.2) La condition d'équilibre pour l'ion K conduit à l'équation 
différentielle suivante (résultat admis) :
1 dn
e d
------------ ------- = ­ ----------- -------n ( x ) dx
k B T dx
+

où n ( x ) représente la densité volumique des ions K à l'abscisse x et  ( x ) 
est
le potentiel scalaire associé au champ électrostatique E = E ( x )e x .
a) En déduire la différence de potentiel  =  int ­  ext entre l'intérieur et
l'extérieur de la bactérie, appelée potentiel de repos. Le résultat sera 
exprimé en
fonction de k B , T , e , n int et n ext où n int et n ext représentent les 
concentrations
+
des ions K à l'intérieur et à l'extérieur de la bactérie.
b) Sachant que n int / n ext = 100 pour la bactérie E. coli dans un milieu de 
culture
à la température de 297 K , en déduire la valeur numérique de son potentiel de
repos  .

Partie III - Propulsion d'un micro-organisme par flagelle
Dans toute la suite du problème, on supposera que les nombres de Reynolds Re
des écoulements sont petits devant 1 . L'observation d'une différence de 
direction entre la vitesse de sédimentation et la force de traînée s'exerçant 
sur un
bâtonnet en mouvement dans un fluide visqueux a été à l'origine de la théorie
de la propulsion des micro-organismes par le mouvement rotatif d'un flagelle.

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III.A - Chute d'un bâtonnet dans un fluide visqueux
On considère un bâtonnet cylindrique à section circulaire ; ce bâtonnet présente
donc une invariance par rotation autour de son axe  que l'on notera Cz , C
désignant le centre de masse du bâtonnet. La longueur L du bâtonnet est 
supposée grande devant son rayon. On notera P le poids apparent du bâtonnet,
c'est-à-dire la somme de son poids et de la poussée d'Archimède exercée par le
fluide.
On réalise une série d'expériences de chutes du bâtonnet dans un fluide 
visqueux de viscosité  .
III.A.1) On observe qu'en régime permanent, la vitesse de chute v // , lorsque 
le
bâtonnet est vertical, est égale au double de la vitesse de chute v  lorsque le
bâtonnet est horizontal. Dans les deux cas, la chute est un mouvement de 
translation verticale. Ceci conduit à une force de traînée qui s'exprime, pour 
un
bâtonnet de longueur L , en fonction de la vitesse selon la loi :
F x = ­   v x ; F y = ­   v y ; F z = ­  // v z .
Déterminer la valeur numérique du rapport  =   /  // .
III.A.2) Comment varient  // et   en fonction de la longueur L du bâtonnet ?

On pourra supposer que  // = K L , K étant une constante adimensionnée, et
déterminer l'exposant  par analyse dimensionnelle.
III.A.3) En déduire que, pour un bâtonnet de longueur L , animé d'une vitesse
v , dont la grande dimension est orientée selon le vecteur directeur u , la 
force
de traînée peut s'écrire :
F = ­ KL ( 2v ­ v // ) avec v // = ( v  u )u .

III.B - Propulsion d'une bactérie par flagelle ; aspect cinématique
La propulsion de
certaines bactéries
est assurée par le
mouvement
de
longs
filaments
appelés flagelles.
Le flagelle de la bactérie E. coli est
modélisé par un
solide  en forme
d'hélice de rayon
Figure 2
a = 0, 20 µm et de
pas
avec
2h

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h = 0, 10 µm . La longueur totale du filament est L = 10 µm . On note Oz l'axe 
du
cylindre imaginaire sur lequel est enroulée cette hélice. Soit M (  ) le point 
courant de l'hélice ; on a, en coordonnées cylindriques : OM (  ) = ae r + he z 
.
Un moteur biologique implanté dans la membrane de la bactérie peut imprimer
2
­1
au flagelle un mouvement de rotation à la vitesse angulaire  = 7, 0  10 rad  s .
­3
La bactérie est plongée dans l'eau de viscosité  = 1, 0  10 Pa.s contenue dans
un récipient immobile dans le référentiel L du laboratoire. La masse volumique 
de la bactérie est pratiquement égale à celle de l'eau.
III.B.1)
a) En supposant que le flagelle se visse dans le fluide environnant, de quelle 
distance d se propulse la bactérie pendant que le flagelle effectue un tour 
complet ?
En déduire une première estimation de la vitesse de la bactérie.
b) Vérifier la pertinence de l'hypothèse Re « 1 .
III.B.2) La bactérie étant maintenue immobile dans le référentiel L du 
laboratoire, le flagelle  est mis en rotation à la vitesse angulaire  (  / L ) 
= e z
dans le référentiel du laboratoire.
a) Donner en coordonnées cylindriques l'expression dans L de la vitesse du
point courant M du flagelle.
b) Un tronçon du solide  compris entre  et  + d est assimilé à un petit
2
2
bâtonnet de longueur dL = a + h d . Le vecteur unitaire u de l'axe de ce
petit bâtonnet est :
( ae  + he z )
u = ---------------------------2
2
a +h

Préciser l'expression de la composante v // de la vitesse parallèle à l'axe du
bâtonnet.
III.C - Existence d'une force propulsive
Les résultats du premier paragraphe, avec K = 4 , conduisent pour un tronçon
de flagelle de longueur dL à une force de traînée dF = ­ 4 ( 2v ­ v // )dL .
III.C.1) La bactérie est maintenue immobile, et le flagelle  est en rotation à
la vitesse angulaire  (  / L ) = e z dans le référentiel L du laboratoire.
a) Exprimer la force de traînée dF 1 s'exerçant sur ce bâtonnet élémentaire.
b) En supposant que  varie de ­ 2 p à 0 où p = L / ( 2a ) est entier, montrer
que la force de traînée exercée par le fluide environnant sur le flagelle 
entier est
Lah
F 1 = 4 ---------------------- e z .En déduire que, pour un signe approprié de  
, la
2
2
a +h

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bactérie peut se propulser selon e z .
III.C.2) Lorsque le flagelle est en mouvement de translation à la vitesse ve z
par rapport au référentiel L on montre, par un raisonnement analogue au 
précédent, que la force de traînée F 2 exercée par le fluide environnant sur le 
flagelle entier est
2

2

h + 2a
F 2 = ­ 4 Lv -------------------------- e z .
2
2
a a +h

(résultat admis)

En remarquant la linéarité de la relation entre la force de traînée et la 
vitesse,
quelle est la force de traînée F exercée par le fluide environnant sur le 
flagelle
entier lorsqu'il tourne à la vitesse angulaire e z tandis que la bactérie se 
propulse à la vitesse ve z ?
III.C.3) La bactérie (hors flagelle) est modélisée par une sphère de rayon
R = 0, 5µm . On rappelle l'expression de la traînée s'exerçant sur une sphère de
rayon R en mouvement à la vitesse v dans un fluide de viscosité  :
T = ­ 6Rv .

a) Montrer que cette force peut être négligée devant F 2 .
b) Justifier l'estimation de la vitesse de la bactérie en régime permanent :
2

a
v p = h --------------------- e et calculer numériquement cette vitesse.
2
2 z
2a + h

III.D - Aspect énergétique
III.D.1) Exprimer en fonction des forces dF 1 et dF 2 définies au paragraphe
précédent le moment élémentaire d M O en O des efforts exercés par le fluide sur
un tronçon [ ,  + d ] du flagelle.
III.D.2) Lorsque la bactérie est propulsée par le flagelle à la vitesse v p , on
obtient par sommation une composante sur e z de ce moment
2

Mz

2 3/2

aL ( a + h )
= ­ 8  -------------------------------------- .
2
2
2a + h

(résultat admis)

Calculer M z numériquement.
III.D.3) Déterminer littéralement puis numériquement la puissance P m du
moteur cellulaire qui maintient le flagelle en rotation à la vitesse angulaire
2
­1
 = 7, 0  10 rad  s .

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Partie IV - Moteur rotatif biologique
La rotation du flagelle est assurée par un moteur rotatif biologique de taille
nanométrique, incorporé dans la membrane de la bactérie. L'objectif de cette
partie est d'étudier quelques caractéristiques de ce moteur rotatif.
IV.A - Source d'énergie du moteur
IV.A.1) Question préliminaire
Soit G = U + pV ­ TS l'enthalpie libre d'un système thermodynamique d'énergie
interne U , de volume V , d'entropie S à la température T et sous la pression p 
.
On rappelle l'inégalité vérifiée par le travail utile récupérable W (autre que 
celui
des forces de pression) et la variation d'enthalpie libre G du système entre un
état d'équilibre initial et un état d'équilibre final au cours d'une évolution 
monotherme et monobare : W  ­ G . À quelle condition l'inégalité précédente
devient-elle une égalité ?
On considère le système fermé constitué de la bactérie et du milieu aqueux
(milieu extérieur) dans lequel elle évolue. La température T et la pression p du
système, grandeurs uniformes, sont maintenues constantes. On admet que la
différentielle de l'enthalpie libre du système s'écrit dans cette situation
dG = ( µ e + e e )dn e + ( µ i + e i )dn i , où :
· dn e et dn i représentent respectivement les variations du nombre de protons
+
H à l'extérieur et dans le cytoplasme (milieu intérieur) de la bactérie ;
·  e et  i sont respectivement les potentiels électrostatiques du milieu 
extérieur et du cytoplasme ( e est la charge élémentaire) ;
+

[H ]
c°

+

[H ]
c°

· µ e = µ° + k B T ln  --------------e- et µ i = µ° + k B T ln  --------------i 
, où :
· le terme µ° ne dépendant que de T est une constante ;
· k B est la constante de Boltzmann ;
+
+
· [ H ] e et [ H ] i sont les concentrations molaires des protons à l'extérieur 
et dans le cytoplasme ;
­1
· c° = 1, 0 mol  L est une concentration de référence.
IV.A.2) Les protons en traversant la membrane fournissent l'énergie nécessaire 
au fonctionnement du moteur. Montrer que le travail utile récupérable W
lorsque dn protons traversent la membrane dans le sens milieu extérieur 
cytoplasme s'écrit, à la limite du fonctionnement réversible : W = ­ epdn où
p , grandeur appelée force protomotrice, sera exprimée en fonction de e , k B , 
T ,
+
+
[ H ] e , [ H ] i et  =  i ­  e .

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IV.A.3) En déduire qu'à la température de 297 K , la force protomotrice peut
également s'écrire : p = ­ 0, 059pH +  ( V ) où pH = pH i ­ pH e avec
+
+
pH i = ­ log ( [ H ] i / c° ) et pH e = ­ log ( [ H ] e / c° ) .
IV.A.4) Calculer p à 297 K sachant que la bactérie E. coli maintient
pH i = 7, 8 à l'intérieur de son cytoplasme, que le milieu extérieur impose
pH e = 7, 0 et que  = ­ 0, 12 V .
IV.B - Caractéristique couple-fréquence de rotation
On désire étudier la loi de
flagelle raccourci
variation du couple  délivré
bille de latex
par le moteur rotatif en fonction de la fréquence de rota
tion f du flagelle. À cette fin,
on considère une bactérie
bactérie
E. coli, ayant la forme d'un
bâtonnet cylindrique aux
surface en verre
Figure 3
extrémités arrondies, liée à la
surface en verre de l'une des
faces du récipient qui la contient. En outre, la longueur du flagelle a été 
considérablement réduite par un procédé chimique et on y a attaché une petite 
bille
de latex de rayon micrométrique a 0 (cf. figure 3).
Lorsque la petite bille de latex tourne à la vitesse de rotation uniforme  = 2f
autour d'un axe passant par son centre, elle subit un couple de frottement 
fluide
3
 v = ­ 8a 0  résultant de l'action des forces de viscosité où  est la viscosité
dynamique de la solution dans laquelle plonge la bactérie. Le couple visqueux
s'exerçant sur le flagelle raccourci sera négligé.
IV.B.1) Montrer que  v est bien homogène à un couple. Donner l'expression,
en régime permanent, du couple moteur  en fonction de a 0 ,  et  .
IV.B.2) La fréquence de rotation f de la bille de latex peut être mesurée par un
procédé d'optique physique. Sur quel(s) paramètre(s) peut-on jouer pour obtenir
le tracé de la caractéristique  en fonction de f ? L'allure de la 
caractéristique
expérimentale  ( f ) est fournie sur la figure 4.
On y distingue deux régimes de fonctionnement :
· un bas régime ( 0  f  175 Hz ) où le couple moteur est pratiquement constant ;
· un haut régime ( 175  f  350 Hz ) où le couple moteur chute avec la fréquence
de rotation.

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/ / max
max
Figure 4

1

bas régime

haut régime

0
0

50

100

150 175 200

250

300

350 f (Hz)

IV.B.3) Déterminer la valeur numérique du couple maximal  max , sachant
qu'une petite bille de latex de rayon a 0 = 0, 50µm tourne à la fréquence
f = 10 Hz dans une solution de viscosité  = 0, 020 Pa  s .
IV.B.4) Donner l'ordre de grandeur numérique de la fréquence de rotation du
flagelle raccourci lorsqu'aucune bille de latex n'est accrochée.
IV.C - Évaluation du rendement du moteur
On considère toujours la même bille de latex entraînée à la fréquence de 
rotation
f = 10 Hz par le moteur de la bactérie dans une solution de viscosité
 = 0, 020 Pa  s .
IV.C.1) Déterminer l'expression de la puissance mécanique P m fournie par le
moteur. Faire l'application numérique avec les données précédentes.
IV.C.2) Sachant que pour chaque tour effectué par le moteur, le nombre de 
protons traversant la membrane de la bactérie est n = 1200 , déterminer 
l'expression littérale du flux de protons  traversant la membrane en fonction 
de n et
f . Faire l'application numérique.
IV.C.3) En utilisant le résultat de la question IV.A.2, exprimer la puissance
Pr reçue par le moteur due à la traversée de la membrane par les protons en
fonction de la force protomotrice p , de la charge élémentaire e et du flux des
protons  . Faire l'application numérique sachant que p = ­ 0, 17 V .
IV.C.4) Définir et calculer la valeur du rendement de ce moteur rotatif 
biologique pour la fréquence f = 10 Hz . Comment évolue le rendement lorsque la 
fréquence de rotation f varie dans le domaine de fonctionnement bas régime ?
Dans le domaine de fonctionnement haut régime ?

Concours Centrale-Supélec 2008

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PHYSIQUE I

Filière PC

IV.D - « Moteur pas à pas »
Le rotor du moteur
U.B.
est assimilé à un
F
F
disque de rayon
U.B.
U.B.
r = 20 nm
et
rotor
F
F
axe de rotation : 
d'épaisseur négli
geable. La rotation
U.B.
«
``unité
biologique''»: U.B.
du rotor est assu- U.B.
r

rée par un stator
F
F
constitué de huit
« unités
U.B.
U.B.
biologiques »,
F U.B. F
Figure 5
régulièrement
réparties sur sa
périphérie et générant chacune une force orthoradiale d'intensité F (cf.
figure 5). On envisage le fonctionnement du moteur en bas régime.
IV.D.1) Exprimer l'intensité F de la force en fonction de r et  max . Calculer
numériquement F . Afin d'avoir une idée intuitive de ce que représente cette
force, calculer numériquement la distance qui doit séparer deux électrons dans
le vide pour obtenir une force électrostatique de même intensité.
IV.D.2) Le moteur biologique est en fait un « moteur pas à pas », c'est-à-dire
qu'il tourne par bonds successifs d'un angle fixe dit incrément. Dans notre cas,
un tour complet s'effectue en 52 incréments. Calculer le déplacement d d'un
point de la périphérie du rotor correspondant à un incrément. En déduire la
valeur numérique du travail fourni par une « unité biologique » pour réaliser un
incrément.
IV.D.3) Déterminer le nombre de protons n qui doivent traverser la membrane 
pour qu'une « unité biologique » réalise un incrément. On supposera que
le rendement du moteur est de 100% pour ce calcul.
··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2008

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