Centrale Physique 1 PC 2015

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Son et audition

L'oreille se compose de trois parties : l'oreille externe, l'oreille moyenne et 
l'oreille interne. Les deux premières
assurent le transfert des ondes sonores à l'oreille interne. L'oreille interne, 
ou cochlée, transforme ce stimulus en
influx nerveux (cf. document 1).

I Ondes acoustiques et oreille externe

I.A -- Équations des ondes acoustiques

On s'intéresse à la propagation unidimensionnelle (selon Oct) d'ondes sonores 
dans un fluide. Un fluide, supposé
parfait et soumis aux seules forces de pression, est caractérisé à l'équilibre 
par des valeurs uniformes PU de la
pression et po de la masse volumique. Du point de vue thermodynamique, ses 
évolutions sont considérées comme
isentropiques, auxquelles correspond le coefficient de compressibilité Xs- Le 
passage d'une onde sonore crée une
perturbation et le fluide se déplace en de petits mouvements autour de 
l'équilibre, les champs de pression et de
masse volumique devenant : P(oe,t) : PO + p(oe, t) et p(oe,t) : po + u(oe,t).

I.A.1) Qu'appelle--t-on approximation acoustique ? Quel est l'ordre de grandeur 
de la surpression p pour des
ondes acoustiques dans l'air ?

I.A.2) Écrire et linéariser les équations locales de la mécanique des fluides 
et l'équation traduisant l'hypothèse
thermodynamique effectuée. Établir l'équation de propagation des ondes 
acoustiques pour la surpression. Quelle
est la célérité c de ces ondes ?

I.A.3) Dans le modèle du gaz parfait, établir la loi de variation de la 
célérité avec la température. Calculer
c dans l'air dans les conditions normales de pression (P0 = 1,0 >< 105 Pa) a la température de 290 K. I.A.4) La célérité des ondes acoustiques dans l'eau est de l'ordre de 1500 m-s'1. Qu'est ce qui peut expliquer cette différence par rapport à celle trouvée dans l'air ? I.A.5) Alors que l'on n'a aucun problème à localiser l'origine d'un son aérien, on est incapable, la tête sous l'eau, de déterminer dans quelle direction se situe un bateau dont on entend le bruit d'hélice. Pourquoi ? I.A.6) À partir des mêmes équations précédentes, on peut établir l'équation &) 1 2 1 2 -- -- -- di 5 = 0 at (2P0U + 2xsp )+ W} ) Quelle est la signification physique de cette équation? Identifier et interpréter chacun de ses termes. Que représente notamment le flux de piî a travers une surface ? Citer une équation analogue dans un autre domaine de la physique. I.B -- Impédance et intensité acoustique I.B.1) On considère une onde plane progressive pour laquelle la surpression et la valeur algébrique de la vitesse des particules de fluide dans la direction de propagation ne dépendent que de la variable t -- oe/c et s'écrivent donc sous la forme p(oe, t) : p(t -- oe/c) et v(oe, t) = v(t -- oe/c). On définit l'impédance acoustique liée à une telle onde comme le quotient Z : [.)/0. Dans un fluide illimité, montrer que cette impédance ne dépend que des caractéristiques du fluide et l'exprimer en fonction de la masse volumique po et de la célérité c. Calculer Z pour l'air et pour l'eau dans les conditions des questions précédentes. I.B.2) On considère maintenant une onde plane progressive monochromatique de pulsation w: g(oe,t) : pOeY(w'_kæ). On définit l'intensité d'une onde acoustique par la valeur moyenne de la norme du vecteur pîî. Exprimer l'intensité I de cette onde en fonction de 10... po et c. I.B.3) On définit le niveau d'intensité acoustique en dB comme [dB : 10log(l/IO), Où I0 est l'intensité acoustique correspondant au seuil d'audition. Quelle serait l'amplitude de déplacement de l'onde sonore incidente au seuil d'audition et au seuil de la douleur pour un son de fréquence 440 Hz ? I.C -- L'oreille eæterne I.C.1) Le pavillon de l'oreille concentre l'énergie sonore. Pourquoi ? 2015-03--18 09:49:51 Page 1/8 [_ I.C.2) Pour une onde sonore progressive dans un tuyau rempli d'air, on souhaite réaliser une impédance nulle à l'une de ses extrémités et une impédance infinie a l'autre. Proposer les configurations correspondantes. Quelle est la nature de l'onde résultant de la superposition des ondes incidente et réfléchie ? I.C.3) Le canal auditif externe, tube d'environ 3 cm de long, joue le rôle de caisse de résonance dépendant de la fréquence. Autour de quelle fréquence le son sera--t-il particulièrement amplifié ? Conclure. LD -- Protection acoustique On s'intéresse à la protection auditive d'un tromboniste (documents 2, 3 et 4). La réponse à ces questions nécessite d'y consacrer un temps sufiisant. Le candidat devra préciser la manière dont il eætrait les informations des différents documents. La qualité de la démarche et des eæplications sera évaluée tout autant que le résultat final. I.D.1) En assimilant le trombone à un tuyau sonore de section constante, compléter le tableau 1. Position de la coulisse 1 2 3 4 5 7 Fréquence de la note (Hz) 115,2 Luuuueuuuuuuu 
tympan

Figure 1 Schématisation de l'oreille moyenne

extrémité et ses réactions mécaniques diffèrent selon l'endroit considéré. 
Ainsi, les hautes fréquences excitent
la base de la membrane alors que les fréquences basses en excitent l'extrémité 
(tonotopie passive). Au milieu
du XIXe siècle, Ludvig von Helmholtz émit l'hypothèse que des résonateurs 
accordés aux différentes fréquences
audibles étaient répartis le long de la membrane basilaire. On se propose dans 
ce qui suit d'étudier ce modèle
de résonateurs.

III .A -- On considère une cavité sphérique de volume VO ouverte sur 
l'extérieur par un tube de longueur EUR et
de section 3 (figure 2). Le volume V() est supposé très grand devant le volume 
du tube. L'ensemble contient de
l'eau de masse volumique P0 à l'équilibre sous la pression P0 et de coefficient 
de compressibilité isentropique xs.

Figure 2 Cavité sphérique ouverte sur l'ex-
térieur par un tube

Au voisinage de l'ouverture, une onde acoustique impose une pression PO + p... 
cos(wt). La masse m de fluide
contenue initialement dans le tube constitue un système fermé oscillant sous 
l'effet de la différence de pression
entre le fluide situé à l'extérieur de la cavité et celui situé à l'intérieur 
de la cavité. On admet que l'évolution
du fluide dans la cavité est isentropique.

Déterminer l'équation du mouvement du bouchon de fluide et montrer qu'il existe 
une résonance en position

dont on exprimera la pulsation en fonction de c, 3, EUR et VO, où (: est la 
célérité des ondes acoustiques dans le
fluide.

III.B -- Expliquer de façon qualitative pourquoi la forme de la membrane 
basilaire a longtemps permis de
donner une explication simple de la tonotopie passive du conduit cochléaire.

III .C -- D'autres modèles se sont développés, et certains ont expliqué la 
différence de sélectivité le long de la
membrane des fréquences excitatrices par les différences de rigidité de 
celle--ci. Par analogie avec un système
masse-ressort, comment pourrait--on expliquer cette variation de la sélectivité 
?

IV L'influx nerveux

Les cellules ciliées qui se trouvent sur la membrane basilaire réagissent aux 
vibrations de celle-ci et les ampli-
fient. Leurs cils s'inclinent de quelques millièmes de degré et déclenchent des 
signaux électriques que les nerfs
transmettent au cerveau.

I V.A -- Modèle électrique des fibres nerveuses

Les axones (ou fibres nerveuses) les plus simples sont formés d'une membrane 
lipidique enfermant un liquide
physiologique riche en ions (l'axoplasme) et baignant dans un liquide 
cellulaire également riche en ions. Un
axone est modélisé par un cylindre de longueur importante par rapport à son 
diamètre. La différence de potentiel
entre l'axoplasme et le liquide extérieur est de l'ordre de --70 mV. Les 
données géométriques et électriques des
constituants de l'axone sont données figure 3 (la résistivité électrique est 
l'inverse de la conductivité électrique).

Les propriétés passives de l'axone illustrées sur la figure 4 sont déterminées 
par :
-- la résistance de l'axoplasme (Ra) s'opposant au passage du courant le long 
de l'axone ;
-- la résistance de la membrane (R... = 1/Gm ) déterminant la fuite du courant ;

-- la capacité de la membrane (C...) capable d'emmagasiner des charges 
électriques à l'intérieur et a l'extérieur
de la membrane.

2015-03-18 09:49:51 Page 3/8 [_

liquide cellulaire
membrane

résistivité p... = 7,1 >< 104 Q--m permittivité relative e,. = 8 épaisseur 6 = 7 nm axoplasme résistivité pa : 0,5 Q--m diamètre d = 10 pm Figure 3 Vue en coupe schématisée d'un axone Figure 4 Circuit électrique équivalent de l'axone Ainsi un axone peut être assimilé à un câble électrique imparfaitement isolé. IV.A.1) Déterminer 7"... la résistance électrique par unité de longueur de l'axoplasme. Effectuer l'application numérique. IV.A.2) Quelle hypothèse peut-on faire quant au calcul de la capacité par unité de longueur c... et de la conductance de fuite par unité de longueur gm au vu de la valeur du rapport e /d ? IV.A.3) Déterminer c... (on remplacera 80 par 8087, dans les calculs) et g.... Effectuer les applications numé- riques. I V.B -- Constante d'espace Chaque longueur élémentaire de longueur da: de la fibre nerveuse est modélisée par une cellule représentée figure 5. i(oe, t) 7'ad93 i(oe + das, t) > |: >
u(oe, t) cmdoe : Hg...doe u(æ + doe, t)

--|--|-->
93 oe+dæ

Figure 5 Schéma électrique élémentaire d'une fibre nerveuse

IV.B.1) Que devient ce schéma en régime permanent ?

IV.B.2) Déterminer les équations différentielles vérifiées par u(oe) et i(oe), 
puis celle vérifiée par u(oe) seulement.
Faire apparaitre une constante À, appelée constante d'espace, homogène à une 
distance. Donner l'expression de
À. Effectuer l'application numérique.

IV.B.3) Exprimer u(oe) en fonction de u(0) et de À. Préciser la signification 
physique de À.

IV.B.4) Certains axones sont entourés d'une gaine de myéline, sorte de graisse 
aux propriétés électriques
isolantes. Des mesures de tension électrique peuvent être effectuées le long de 
telles fibres. On obtient des
résultats du type de ceux présentés figure 6.

En déduire la conductance linéique de fuite de l'axone myélinisé (que l'on 
notera 97/n par la suite), puis la
conductance linéique de la gaine de myéline seule. Conclure.

I V.C -- Régime variable

On se place en régime dépendant du temps et on supposera que les axones sont 
myélinisés. On supposera dans
un premier temps que la capacité linéique par unité de longueur de l'axone est 
inchangée par rapport a un axone
non myélinisé.

IV.C.1) Déterminer les équations différentielles vérifiées par u(oe, t) et 
i(oe,t) puis celle vérifiée par u(oe, t)
seulement.

On envisage dans la suite une solution sous forme d'onde plane progressive 
monochromatique g(oe, t) = u0eÏ(Wt'kæ).

2015-03-18 09:49:51 Page 4/8 [_

u(oe) (unité arbitraire)

\ > $ (mm)

1 2

Figure 6 Évolution de la tension le long d'un axone myélinisé

IV.C.2) À quelle condition sur au, c... et 97/n l'équation différentielle 
vérifiée par u(oe,t) se simplifie-t-elle en

8% x t ôu \
% : rue...--t ? A quelles fréquences cela correspond-il ? Conclure.

On supposera cette condition vérifiée par la suite.
IV.C.3) Quel est le phénomène décrit par cette équation ? Citer d'autres 
exemples analogues.

IV.C.4) Déterminer la relation de dispersion entre au et k. Montrer que le 
milieu est dispersif et absorbant.
Que valent les vitesses de phase et de groupe ? Quelle relation lie ces deux 
grandeurs ?

IV.C.5) Mettre en évidence une distance caractéristique d'atténuation. 
Commenter.

IV.D -- Ça brûle !

Pour donner une explication et une image simpliste de la transmission des 
infiux nerveux dans une fibre nerveuse,
on pourrait dire que le signal électrique qui se propage par conduction 
électrique le long de l'axone, est ré--amplifié
régulièrement (aux noeuds de Ranvier), ce qui le ralentit (cf. figure 7).

__--
__--
m élme

Y noeud de Ranvier

Figure 7 Schéma d'un axone myélinisé et noeuds de Ranvier

Les fibres nerveuses connectées aux cellules sensibles à la douleur sont 
entourées d'une gaine de myéline (dont
la capacité linéique cï'n est inférieure à c...), contrairement à celles 
sensibles à la chaleur. Expliquer pourquoi,
lorsqu'on se brûle, on a mal avant d'avoir chaud.

Données numériques

Permittivité diélectrique du vide 80 = 8,85 >< 10_12 F-m_1 Perméabilité magnétique du vide ,u0 : 47r >< 10"7 H--m"1 Constante des gaz parfaits R = 8,31 J -K"1--mol_1 Constante d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 mol"1 Constante de Boltzmann kB = 1,38 >< 10"23 J --K"1 Masse molaire de l'air Mair : 28,8 g--mol_1 Ëîäïfiï ÎÏ.SËËËÏQZÎJËZÊÎ"IOES . = C,... = 2015-03-18 09:49:51 Page 5/8 [_ Document 1 -- L'oreille : un organe fragile et complexe D'après : Suva (http ://www.suva.ch) « Musique et troubles de l'ouïe » Oreille externe Oreille moyenne Oreille interne Elle se compose du pavillon de Les vibrations du tympan sont ampli-- L'oreille interne abrite le limaçon l'oreille (qui aide à localiser les fiées dans l'oreille moyenne, puis trans- (cochlée), de la taille d'un petit sources sonores) et du conduit mises à l'oreille interne par trois osse-- pois. Rempli d'un liquide, celui--ci auditif. Ce dernier se termine lets (le marteau, l'enclume et l'étrier), est partagé en deux dans le sens par le tympan, qui réagit aux les plus petits du squelette humain. Le de la longueur par la membrane variations de pression comme la marteau est relié au tympan et l'étrier a basilaire. membrane d'un microphone. la « platine de l'étrier » qui transmet la vibration au liquide de la cochlée. Oreille externe Oreille Oreille interne moyenne Tympan Osselets Conduit auditif Organe de l'équilibre Nerf auditif Limaçon Membrane basilaire avec cellules ciliées Cellules ciliées La parfaite coordination de ces éléments autorise des performances extraordinaires Les sons font vibrer la membrane basilaire de ma- -- l'intensité acoustique correspondant au seuil nière sélective : les plus aigus sont captés sur la par- d'audition est IO = 1 >< 10--12W-m_2, celle corres- tie antérieure, tandis que les graves pénètrent au pendant au seuil de la douleur Is = 1 W-m"2 ; fond du limaçon. Ce mode de fonctionnement est -- la gamme de fréquence allant de 20 Hz à 10 ou comparable à celui d'un analyseur de fréquence. La 20 kHz (selon l'âge) recouvre trois décadeS. À ce- membrane basilaire est tapissée d'environ 5000 cel-- la s'ajoute une excellente capacité de résolution, lules ciliées, des capteurs qui transforment les vibra- l'oreille distingue des signaux qui restent confus tions sonores en impulsions électriques transmises pour un analyseur sophistiqué, tels que la mélo_ aux nerfs auditifs. Les 20 000 cellules ciliées externes die d'un instrument au sein d'un orchestre ; jouent également un rôle important : véritables am-- -- l'ouïe dispose également d'une capacité de locali- plificateurs, elles permettent d'adapter la réaction sation très développée, qui lui permet d'identifier de la membrane en fonction du signal à traiter. la provenance d'un cliquetis dans l'air à 3° près. 2015--03-18 09:49:51 Page 6/8 Document 2 -- Protecteurs d'0uïe D'après : Suva (http ://www.suva.ch} «Musique et troubles de l'ame » Les protecteurs d'oui'e ont désor-- mais conquis le public, des fosses d'orchestre a la Street Parade. Le manque d'homogénéité de l'atté-- nuation des fréquences hautes et basses altère la sonorité. On en trouve de différents types et a diffé-- rents prix, du moins cher (tampons auriculaires en mousse de type A) au plus cher (protections otoplas-- tiques de type D). Document 3 -- Le trombone D'après : http ://fr.wikipedia.org et http ://dictionnaire.metronim0.com Le trombone est un instrument de musique à vent et a embouchure de la famille des cuivres clairs. Le terme désigne implicitement le trombone à coulisse caractérisé par l'utilisation d'une coulisse télescopique. Le trombone à coulisse est réputé pour être l'un des instruments les plus difficiles, mais également l'un des plus puissants d'un orchestre. Le trombone peut jouer des variations de nuances (intensités mesurées a 20 cm en sortie du trombone) allant d'une nuance pp (pianissimo : très faible) correspondant a 85 dB a une nuance ff (fortissimo : très fort) correspondant a 115 dB. Le trombone peut, par variation de la position de la coulisse, émettre des sons de hauteurs différentes. On construit la version ténor en sib, en lui donnant, dans sa première position, c'est--à--dire, celle où la coulisse ne fonctionne pas, pour note fondamentale le sib de 115,2 Hz et pour longueur théorique 2,950 m. Les allongements produisent six autres positions, dont le son est chaque fois abaissé d'un demi--ton. Les allongements de la coulisse sont obtenus par les mouvements du bras droit, la main gauche servant avec les lèvres à exercer le degré de pression nécessaire pour obtenir les harmoniques. ***--==-- Position de Fondamentale la coulisse 1 sib 2 la 3 lab ou solfi 4 sol 5 solb ou fafi 6 fa 7 mi On calcule les allongements d'après les différences de longueur de tube qui correspondent a la production des sons fondamentaux. Pour un trombone ténor avec une première position, sib, d'une longueur de 2,950m la deuxième, la (soit un demi--ton en dessous), a une longueur de 3,126 m et la septième de 4,174 m. Grâce aux fréquences harmoniques que l'on peut tirer de l'instrument pour chaque position de coulisse, la tessiture (gamme de fréquences) du trombone s'étend sur trois octaves et une quinte. Une octave est l'intervalle séparant deux sons dont la fréquence fondamentale du plus aigu est le double de celle du plus grave (entre deux do contigus par exemple). La quinte est l'intervalle séparant deux sons dont les fréquences fondamentales sont dans le rapport 2/3. Le ton sépare deux sons dont les fréquences sont dans le rapport 8/9. 2015-03-18 09:49:51 Page 7/8 (ce) BY--NC-SA Document 4 -- Limites d'exposition au bruit ; niveau sonore audible D'après : Centre canadien d'hygiène et de sécurité au travail Le tableau ci--dessous donne les limites d'exposition au bruit en milieu de travail exprimées sous forme de durées maximales d'exposition admissibles pour un niveau de référence de 85 dB et un coefficient d'équivalence de 3 dB. Niveau sonore (dB) Durée quotidienne Niveau sonore (dB) maximale admissible Durée quotidienne maximale admissible 85 8 heures 97 30 minutes 88 4 heures 15 minutes 91 2 heures 7 minutes D'après : norme ISO 389--7:2005 La courbe ci-dessous donne le seuil d'audition pour un individu otologiquement normal, âgé de 18 à 25 ans. Elle correspond à l'écoute binaurale en champ libre d'un son pur (onde plane progressive sinusoïdale) dont la source se trouve directement en face de l'auditeur. Le niveau de pression acoustique est mesuré, en l'absence de l'auditeur, à la position qu'aurait dû occuper le centre de sa tête. Press1on acoust1que (dB, référence 20 pPa) 2015-03-18 09:49:51 80 70 60 50 40 30 20 10 0 --10 10 100 1000 Fréquence (Hz) oooFlNooo Page 8/8 10000 [cc--