Centrale Physique 1 PC 2017

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Éléments de communication par fibre optique

La technologie WDM (Wavelength Division Multiplexing) utilise le multiplexage 
en longueur d'onde, ce qui
revient à injecter dans une même fibre optique plusieurs signaux de longueurs 
d'ondes distinctes, qui constituent
autant de canaux de transmission de l'information.

Une liaison WDM fonctionne selon le schéma synoptique décrit figure 1.

Signal 1 Émetteur 1 '

Signal 2 Emetteur 2 ' g à
: --â , l l . @ > Récepteur
: 5 ' Fibre ! 'Ë
| .
: % Amplificateur Opthue Amplificateur Ë>
Signal n Émetteur n ' optique optique

Figure 1 Schéma synoptique d'une liaison WDM

Les conventions internationales fixent la bande WDM aux longueurs d'onde 
comprises entre 1530 nm et 1565 nm.
L'espacement entre deux longueurs d'ondes voisines de ces signaux porteurs est 
environ égal a 1,6 nm. La
technologie WDM est dite dense (DWDM) lorsque l'espacement entre deux longueurs 
d'onde de la bande de
transmission est environ égal a 0,8 nm.

Ce problème étudie dans trois parties indépendantes la transmission du signal 
par la fibre optique, son amplifi--
cation et des éléments de démultiplexage.

Lorsqu'une longueur d'onde A est évoquée dans l'énoncé, il s'agit de la 
longueur d'onde dans le vide associée à
la fréquence f de ce signal. On trouvera en fin d'énoncé, les valeurs 
numériques des constantes physiques utiles,
un formulaire et une annexe sur les polarisations circulaires droite et gauche.

100
Mesures _ L
------------ Limites théoriques / absorption OH
10
Y
E
--"*."
CD
3
s: 1
.9
Ë'â
5
q
'B
à
0,1
absorption infrarouge -->/
0,01 /
0,6 0,8 1,0 1,2 14 1,6 1,8

7

Longueur d'onde À (pm)

Figure 2 Atténuation dans une fibre de silice en fonction de À

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I Etude de la transmission par fibre optique

L'onde lumineuse se propage dans la fibre optique, considérée comme un guide de 
section S et d'axe de révolution
Oz. On note Ë le vecteur de Poynting de l'onde lumineuse, H(z) la valeur de la 
composante utile de Ë, moyennée
sur le temps et sur la section a l'abscisse z et enfin ?(z) la puissance 
moyenne véhiculée a travers cette section.

La communication par fibre permet des débits très élevés. Simultanément, la 
propagation sur de longues dis--
tances pose un problème d'atténuation. Cette atténuation, mesurée en décibel 
par kilomètre, s'écrit, pour une
propagation entre les abscisses z = 0 et z : d :

f1 _ 10 ?(0)
A(dB-km )_d(km) log (Îd))

Elle dépend de la longueur d'onde utilisée, selon le schéma donné figure 2.

Pour les applications numériques, on envisagera une fibre à température 
ordinaire, parcourue par un signal de
longueur d'onde À : 1550 nm, pour laquelle A oe 0,2 dB'kmfl. La puissance 
lumineuse injectée dans la fibre est
typiquement ?(0) : 300 11W et la puissance minimale détectée par un récepteur 
vaut ?min : 10 pW.

I.A * Longueurs d'onde et canaum utiles

I.A.1) Dans quel domaine optique se situent les ondes propagé--es par la fibre 
'? Donner l'ordre de grandeur
des fréquences associées, exprimées en THZ.

I.A.2) Justifier le choix de longueur d'onde effectué pour propager le signal 
dans la fibre.

I.A.3) La technologie WDM permet de véhiculer 16 canaux multiplexés. Rapprocher 
ce nombre des données
associées aux normes techniques définies en introduction. Qu'en est--il de la 
technologie DWDM '?

I.B -- Nécessité d'une amplification

I.B.l) Rappeler l'expression du vecteur de Poynting Ë(ï,t), en fonction du 
champ électromagnétique de
l'onde lumineuse. Préciser les relations liant Ë(ï", t), H(z) et ?(z).

I.B.2) Justifier par des arguments numériques précis la nécessité d'une 
amplification du signal, par exemple
pour des liaisons entre continents.

I.B.3) Quelle distance maximale faut--il envisager entre deux amplificateurs de 
signal placés sur la fibre '?

II Amplification du signal par une fibre dopée à l'erbium

II.A * Interaction matière rayonnement

L'amplification du signal est réalisée dans une portion, de longueur L, de 
fibre dopée avec des ions erbium Er3+.

Cet ion est modélisé comme un système a deux niveaux, le niveau fondamental 1, 
d'énergie 51: et un niveau

excité 2, d'énergie 52. Il y a n0 ions Er3+ par unité de volume, dont nl dans 
le niveau 1 et n2 dans le niveau 2.

L'interaction entre ces ions Er3+ et le rayonnement se fait suivant les trois 
processus quantiques illustrés par la

figure 3 :

-- l'absorption d'un photon du faisceau lumineux incident par un ion Er3+ dans 
le niveau fondamental 1 qui
produit un ion excité dans le niveau 2. La puissance par unité de volume 
absorbée par les ions au cours de
ce processus est a"nl(z)H(z) où a" est une constante caractéristique de l'ion 
Er3+, appelée section efficace
d'absorption ;

-- l'émission spontanée d'un photon par les ions dans le niveau excité 2. Si T 
désigne la durée de vie du niveau

dn n2
6 : --. L
dt 7' a

excité 2, le nombre de photons émis selon ce processus par unité de volume et 
de temps est
direction d'émission des photons ainsi produits est complètement aléatoire ;

-- l'émission stimulée d'un photon par interaction résonnante avec le faisceau 
incident. Ce processus trans--
fère au faisceau incident une puissance par unité de volume égale à 
oen2(z)H(z), où 06 est une constante
caractéristique de l'ion Er3', appelée section efficace d'émission.

52 --O-- 52
photon
photo"
_.-- 51 _ 51
Absorption Émission spontanée Émission stimulée

Figure 3 Interaction matière rayonnement

II.A.1) Rappeler la relation entre l'énergie EUR,, du photon, la constante de 
Planck, la vitesse de la lumière dans
le vide et la longueur d'onde du photon.

2017--03--15 08:47:58 Page 2/8 ÎCÔ BY--NC-SA

II.A.2) Quelle est la condition sur l'énergie du photon pour qu'il y ait 
absorption '?
II.A.3) Quelle est la longueur d'onde du photon émis par émission spontanée ?

II.A.4) En effectuant un bilan d'énergie de l'onde électromagnêtique dans la 
tranche de fibre comprise entre
2 et 2 + dz, montrer que

dH(z)
dz

: (Gen2 -- U"nl)lÏ(z) (11.1)

II.A.5) Justifier qu'il n'y a pas lieu de prendre en compte l'émission 
spontanée dans ce bilan d'énergie.
II.A.6) Déduire de l'équation (11.1) la condition d'amplification du faisceau.
II.A.7) Quelle est la dimension de a" et 06 '?

II.A.8) Les sections efficaces sont du même ordre de grandeur: a" æ crc. 
Compte--tenu de la loi de Boltz--
mann, qui indique qu'à l'équilibre thermodynamique, la probabilité d'occupation 
d'un état d'énergie 5 est
5
thermodynamique et que l'amplification nécessite d'exciter une fraction 
importante des ions Er3+ dans le niveau

2, voire de réaliser une inversion de population entre les niveaux 1 et 2 (n2 > 
nl).

proportionnelle à exp (-- ), montrer que la condition d'amplification ne peut 
être satisfaite à l'équilibre

II.B * Amplification par pompage optique

Le pompage optique des ions Er3+ est réalisé par une diode laser (cf figure 4).

? Fibre dopée à l'erbium fibre

S

0 L
? (0) « pompage »

Diode laser

Figure 4 Amplification par pompage optique

Le faisceau pompe, produit par la diode laser, excite les ions Er3+ du niveau 1 
vers un niveau 3. Ces ions se
désexcitent très rapidement vers le niveau excité 2 par un processus de 
relaxation non radiatif de durée de vie
7" très courte. Comme précédemment, le faisceau portant le signal induit des 
transitions entre les niveaux 1 et
2 des ions Er3+

EUR
7 7 7 7 3 désexcitations non

7À' L' L' L' 13 L' 5 radiatives (T'æ0)

absorption / émission stimulée
induites par 115

pompage

51
Figure 5 Schéma a 3 niveaux de l'ion Er3+

Les grandeurs associées à l'onde électromagnëtique pompe issue de la diode 
laser seront indicées « p » et celles
associées à l'onde électromagnêtique représentant le signal seront indicées « 5 
>>. Les sections efiicaces d'absorp--
tion et d'émission stimulée de l'ion Er3+ dépendent de la longueur d'onde et 
seront donc également indicées s
ou p. L'équation (11.1) devient ainsi

d11S 2
(12EUR ) (0 n2 --0 n1)l_1 (2)
De même
dH (z)
dÿz : (UZn3 _ U;"1)Hp(z)

II.B.1) L'onde pompe issue de la diode laser a une longueur d'onde Àp : 1,48 
pm. Déterminer la différence
53 -- 52 et montrer qu'elle est négligeable devant 52 -- EUR 1-

Dans la suite on considèrera 53 -- 51 = 52 -- EUR 1.
II.B.2) Sachant que la désexcitati0n non radiative du niveau 3 vers le niveau 2 
est extrêmement rapide, que
vaut 713 '?

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II.B.3) On s'intéresse dans cette question à l'équation gouvernant l'évolution 
temporelle de n2 (qui dépend
ici à priori de z et de t).

a ) Calculer le nombre d'ions Er3+ produits par unité de temps et de volume 
dans le niveau 2 par l'absorption
du faisceau pompe (par Hp) suivie de la relaxation non radiative de 3 vers 2.

b) Sachant que la puissance du faisceau pompe est partout très supérieure a 
celle du faisceau porteur du signal,
soit H,,(z) >> Hs(z), quels sont les processus contribuant de façon 
significative à la formation ou a la disparition
des ions Er3+ dans le niveau 2 '?

0) En déduire que

ôn2 _ 1 aux) "2
Î""ÎÊ--? (H-2)

II.B.4) On se place désormais en régime permanent. Exprimer n2 (z) et nl (z) en 
fonction de U;, Hp(z), EUR,,,
7' et "0- Montrer que pour qu'il y ait inversion de population il faut que 
Hp(z) dépasse un seuil H; que l'on
déterminera.

II.B.5) En déduire une relation caractérisant la dépendance spatiale de la 
puissance de l'onde pompe dans la
@@
H* '

fibre dopée a l'erbium et montrer, en notant W(z) : que

où D est une longueur caractéristique que l'on déterminera.
II.B.6) Amplification du signal

a ) Déduire des relations 11.1 et 11.2 une équation caractérisant la dépendance 
spatiale de la puissance de l'onde
portant le signal (Hs) et montrer que

mOE:Eâä>

en précisant l'expression de la constante H*.

np (0) _ Hp (Z)
H*

Il

_ a
agnoz+

Hs(2)
Hs(0)

b) La dépendance spatiale du gain en puissance du signal utile, défini en dB 
par G(z) : 10 log est

représentée sur la figure 6. Justifier qualitativement l'évolution observée 
pour G (2)

. G (dB)
35
30
25
20
15
10

Figure 6 Représentation du
gain en fonction de la position 2

6) Quelle longueur a--t--on intérêt à donner a la portion amplificatrice '? 
Comparer alors son gain à l'effet de
l'atténuation naturelle de la fibre non dopée sur une telle longueur.

III Filtre optique accordable

L'opération de démultiplexage consiste à séparer l'onde issue de la fibre 
contenant toutes les longueurs d'onde
en une ou plusieurs ondes ne comportant qu'une seule longueur d'onde. Chacune 
de ces ondes est ensuite soit
directement démodulée par le récepteur, soit véhiculée par d'autres fibres vers 
plusieurs récepteurs différents.
Le démultiplexage est souvent confié à un élément dispersif passif, en 
l'occurrence un réseau, qui sépare les
n longueurs d'onde en autant de signaux optiques distincts. Mais d'autres 
configurations de démultiplexage
existent. Nous allons étudier ici un filtre accordable en longueur d'onde qui 
permet de n'extraire qu'une seule
onde dont la longueur d'onde peut être choisie par une commande externe.

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Les cristaux liquides sont des matériaux biréfringents dont le comportement 
dépend de la tension appliquée aux
bornes de deux électrodes contrôlant le comportement d'une cellule de géométrie 
appropriée. Cette propriété
est utilisée lors de la conception du filtre qui est constitué d'une 
association de cellules formées d'une lame de
calcite biréfringente suivie d'une lame à cristaux liquides.

Dans toute la suite, l'espace est repéré par le système de coordonnées 
cartésiennes (O,üoe, üy, üz).

III.A + Propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu diélectrique

III.A.1) On considère un milieu diélectrique, linéaire, homogène, isotrope, 
magnétiquement parfait, de permit--
tivité diélectrique relative eT réelle. On rappelle que les équation de 
l'électromagnétisme dans un tel milieu sont
analogues à celles écrites dans le vide en remplaçant la permittivité du vide 
50 par ere,). Écrire les équations de
Maxwell dans un tel milieu, dépourvu de charges et de courants libres.

En déduire l'équation différentielle de propagation satisfaite par le champ 
électrique É (M , t).

III.A.2) On s'intéresse à la propagation dans un tel milieu d'une onde plane 
sinus0i'dale, dont la représentation
complexe du champ électrique s'écrit É : EO exp ( j(wt -- kz)). Établir la 
relation de dispersion de cette onde.
Quelle est sa vitesse de propagation '? Définir l'indice optique n du milieu et 
le relier à la permittivité diélectrique
relative eT.

III.A.3) Pourquoi le champ électrique de l'onde plane est--il transverse '? 
Discuter de l'état général de polarisa--
tion de cette onde.

III.B -- Lame biréfringente

Un matériau biréfringent est un matériau anisotrope dont la permittivité 
diélectrique relative dépend de la
direction du champ électrique. Les matériaux biréfringents utilisés ici sont 
tels que la vitesse de propagation
d'une onde électromagnétique se propageant selon üz diffère selon la direction 
du champ électrique et donc selon
la polarisation de l'onde. Les lames biréfringentes utilisées ici sont telles 
que les ondes lumineuses polarisées
linéairement selon deux directions orthogonales, appelées axes neutres de la 
lame, se propagent selon 112 comme
elles le feraient dans un milieu isotrope (cf III.A), mais avec des indices 
optiques différents. Les deux axes neutres
de la lame sont notés (033) et (Oy) et on désigne par 11,6 (respectivement ny) 
l'indice optique de la lame pour
l'onde électromagnétique se propageant selon fil et polarisée selon 1196 
(respectivement selon fly). On néglige tout
phénomène d'absorption dans le milieu biréfringent et on choisit nm > ny.
III.B.1) L'axe neutre de la lame biréfringente pour lequel la vitesse de 
propagation de l'onde est plus élevée
est appelé axe rapide. L'autre axe neutre est appelé axe lent. Dans le cas où 
n,, > ny, déterminer l'axe rapide.

III.B.2) La lame d'épaisseur e occupe l'espace 0 g 2 < 6. L'onde traverse la lame perpendiculairement, a ;; croissant. On représente son champ électrique à l'entrée de la lame par : É(z : 0+,t) : (E...üoe + E0yejwüy) ejlm+Xl : E0m (üOE + aejfiûy) ej 0 et en z : 0+. Pourquoi parle--t--on de « 
lame à retard » '?

III.B.4) Dans toute la suite, on admet que la transmission sous incidence 
normale d'une onde plane progressive
sinusoidale entre deux diélectriques transparents, d'indices réels différents, 
n'affecte pas les valeurs de cp et de

oz : la transmission n'affecte pas l'état de polarisation. Exprimer 90' a la 
sortie de la lame biréfringente sous la

, 27T5 \ \ . .
forme 
< 108 m-sÏ1 Masse de l'électron m : 9,11 >< 10*31 kg Charge élémentaire @ = 1,60 >< 1049 C Perméabihté magnétique du vide #0 : 47r >< 104 HmÎ1 Permittivité diélectrique du vide 50 = 8,85 >< 1042 F-mÎ1 Constante des gaz parfaits R = 8,31 J -Kfl'molfl Constante d'Av0gadro NA : 6,02 >< 1023 molf1 Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10*23 JOEÇ1 Constante de Planck h : 6,63 >< 10f34k Js Formulaire _» Îot(rÎ>t /Î) : grad(div Â) -- AA

Annexe : Polarisations circulaires (ou elliptiques) droite et gauche

Une onde plane monochr0matique qui se propage selon l'axe (Oz) est dite avoir 
une polarisation circulaire (ou
elliptique) gauche si, en un point donné de l'espace (2 : zo), le champ 
électrique Ë(z... t) de cette onde tourne
dans le sens trigonométrique direct (figure 10). Si le champ électrique Ê(z... 
t) tourne dans le sens opposé, l'onde
a une polarisation circulaire (ou elliptique) droite.

Ay

E

sens de propagation /

d04%
Z

Figure 10

oooFlNooo

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