Centrale Physique 1 PC 2020

Physique 1

T

PC
CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC 4 heures Calculatrice autorisée

2020

Introduction

Grâce à des faisceaux laser, les physiciens savent aujourd'hui piéger et 
contrôler des atomes un à un. La force de
van der Waals s'exerçant entre deux atomes de rubidium à ainsi pu être mesurée 
directement pour la première
fois. Ce sujet propose de comprendre les grandes étapes de la mesure de cette 
force de van der Waals s'exerçant
entre deux atomes, placés dans des états de Rydberg.

Un ensemble de valeurs numériques et un formulaire sont disponibles en fin 
d'énoncé. Il est conseillé de les lire
avant de commencer à traiter le sujet.

Les parties de ce sujet sont dépendantes entre elles mais le candidat pourra 
admettre un résultat pour aborder
la partie suivante.

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

I Étude la force de van der Waals

Lorsque deux atomes présentant un moment dipolaire électrique sont à distance 
suffisante, ils interagissent entre
eux sous forme d'interaction dipôle -- dipôle. Cette partie cherche à expliquer 
le principe de cette interaction.

LA -

Q 1. Rappeler la définition d'un dipôle électrostatique et de son moment 
dipolaire » (il est conseillé de
s'appuyer sur un dessin).

Q 2. Donner un exemple de dipôle électrostatique rencontré dans la nature ainsi 
que l'ordre de grandeur
du moment dipolaire de l'exemple choisi.

I.B - Le potentiel électrique d'un dipôle électrostatique placé à l'origine © 
évalué en un point M situé à
grande distance de O s'écrit

p°:OM
vor = DOM
Aro |OM|
Q 3. À quelle condition peut-on considérer que le point M se trouve à grande 
distance de O ?
Q 4. Déterminer dans le système de coordonnées sphériques (figure 1) le champ 
électrique créé par le dipôle

en un point M en fonction des variables r = |JOMI et 6.

M

"S!

O
Figure 1

Q 5. Tracer schématiquement sans démonstration les lignes de champ 
électrostatique associées au dipôle.

IC -  Polarisabilité d'un atome

Lorsqu'un atome est soumis à un champ électrique extérieur Æ,.. uniforme à 
l'échelle de l'atome on constate
qu'il acquiert alors un moment dipolaire p,4, dit moment dipolaire induit 
vérifiant

Dina -- QE ext (11)

où à s'appelle la polarisabilité de l'atome.

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Q 6. Justifier qualitativement la relation (1.1) et donner l'unité de à dans le 
système international d'unités.
Justifier que a est une grandeur positive.

Pour déterminer un ordre de grandeur de &, on peut utiliser le modèle de 
l'atome d'hydrogène proposé en 1904

par le physicien anglais Sir Joseph John Thomson (1856-1940) :

-- l'atome est assimilé à une sphère de centre © et de rayon a ;

-- Ja charge positive e de l'atome est répartie uniformément dans le volume 
intérieur de cette sphère ;

-- Ja sphère est supposée fixe dans un référentiel galiléen propre à l'étude, 
auquel on associe le repère orthonormé
direct (O,EUR,, EUR, EUR,) ;

-- l'électron se déplace librement à l'intérieur de la sphère :

-- on néglige l'interaction gravitationnelle devant l'interaction 
électromagnétique.

Q 7. Quelle est l'expression de la force ressentie par l'électron en fonction 
des données du problème et de
la position de l'électron ? Commenter.

Q 8. On ajoute maintenant un champ extérieur E supposé uniforme sur la 
dimension de l'atome. En
admettant que l'électron reste dans la sphère de rayon a, déterminer sa 
position d'équilibre.

Q 9. En déduire une expression de a dans le cadre de ce modèle et proposer un 
ordre de grandeur.

I.D -- Interactions entre atomes de rubidium

Les atomes de rubidium (7 = 37) servant à l'étude des interactions de van der 
Waals, ne possèdent pas

de moment dipolaire propre, tout comme l'atome d'hydrogène étudié précédemment. 
Néanmoins, ils peuvent
posséder des moments dipolaires induits et la force qui existe entre deux 
atomes, résulte de l'interaction entre
ces deux moments dipolaires induits.

Q 10. Proposer une explication qualitative de ce phénomène.

Pour modéliser le phénomène, on considère deux dipôles alignés sur un axe (Ox) 
et espacés d'une distance
x = O,0, (figure 2).

Figure 2

Q 11. À partir de l'expression de l'énergie potentielle d'un dipôle dans un 
champ extérieur, montrer que la
force exercée par le premier dipôle sur le second dipôle peut s'écrire sous la 
forme

: dE, _
F /2 -- P2 dr EUR
où Æ, est la composante selon EUR, du champ électrique créé par le dipôle p, à 
l'abscisse + (au niveau de p;).

Q 12. En déduire que cette force peut se mettre sous la forme

_ K .
F5 ,2 T-- a Ca

où K est une constante dont on précisera le signe.
Q 13. Cette force est-elle attractive ou répulsive ? Comment pouvait-on prévoir 
ce résultat sans calcul ?
Q 14. En déduire l'énergie potentielle d'interaction entre les deux dipôles.

On admettra par la suite que dans le cas général l'énergie d'interaction entre 
dipôles induits se met sous la

À . .
forme E, = 5 OÙ À est une constante positive.
T

IT Atomes de Rydberg

IT. À --- Atome d'hydrogène

On s'intéresse dans cette sous-partie à l'atome d'hydrogène dans le cadre du 
modèle de Bohr : dans ce modèle,
l''électron suit une trajectoire circulaire autour du proton.

On rappelle que le noyau est un proton de charge +e supposé fixe dans le 
référentiel galiléen d'étude. L'électron
est une particule non-relativiste de masse m,,, très faible devant celle du 
proton et de charge --e. L'électron
est soumis à la force électrostatique attractive due au proton. L'énergie de 
l'atome d'hydrogène correspond
à l'éncrgie mécanique de son électron et elle ne peut varier que lors du 
processus d'absorption ou d'émission
lumineuse.

Bohr fait également l'hypothèse que, parmi tous les mouvements de l'électron 
que la mécanique classique recon-
nait comme possibles, seuls sont stables ct réalisés dans la nature ceux qui 
sont circulaires.

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On note r le rayon de la trajectoire circulaire permise, v la vitesse sur cette 
trajectoire et À la constante de
Planck.

Q 15. Pourquoi dans ce modèle l'électron admet-il un mouvement circulaire 
uniforme ?

Q 16. Quelle propriété possède le moment cinétique de l'électron par rapport au 
noyau ?

Q 17.  Bohr a posé la condition de quantification du moment cinétique de 
l'électron qui s'écrit L = nh où

h
h -- -- est la constante réduite de Planck et n est un entier strictement 
positif, appelé nombre quantique
T

principal. Pourquoi le modèle de Bohr est-il qualifié de « semi-quantique » ou 
« semi-classique » ?
Q 18. Montrer que les rayons r,, des orbites envisageables pour l'électron 
vérifient r,, = n'a, et exprimer 4
(rayon de Bohr) en fonction des données. La valeur numérique de a, est indiquée 
en fin d'énoncé.

Er
2

X

Q 19. Montrer que les énergies mécaniques Æ,, correspondantes s'expriment sous 
la forme E, -- où

FE, sera exprimé en fonction des données. Calculer Æ}, en eV.

Q 20. Expliquer pourquoi Æ, représente l'énergie d'ionisation de l'atome 
d'hydrogène.
I

II.B - État de Rydberg d'un atome hydrogénoïde

On appelle état de Rydberg de l'hydrogène un état très excité de cet atome, 
avec un nombre quantique principal
n > 1.

Q 21. Calculer la valeur numérique du rayon de la trajectoire de l'electron 
d'un atome d'hydrogène dans un
état de Rydberg n = 100.

Q 22. Quelle est la longueur d'onde du photon nécessaire pour placer un atome 
d'hydrogène dans un état
de Rydberg n = 100 ? À quel type de rayonnement électromagnétique cela 
correspond-il ?

On peut également préparer d'autres espèces atomiques dans un état de Rydberg. 
Par exemple, dans le cas du
sodium (nombre de masse À = 23, numéro atomique Z = 11), on peut placer 
l'électron de valence dans un état
très excité, les 10 électrons de coeur restant au voisinage du noyau.

Q 23. Justifier que les niveaux d'énergie de ce système sont voisins des 
niveaux de Rydberg de l'hydrogène.
On envoie des atomes de sodium préparés dans un état de Rydberg à incidence 
normale sur une plaque métallique
percée de fentes de largeur d = 2 pm (figure 3), en faisant varier le nombre 
quantique n des atomes. La mesure
de la transmission du réseau de fentes est représentée sur la figure 3.

1
10 pm 0,9
oi 0,8 e
0,7 no
0,6 se à

0,5 \

0,4 >. e
0,3 \
0,2 e e°
0.1 e°

transmission relative

Û
0 500 1000 1500 2000 2500 5000 5500 4000

n?

Figure 3 Gauche : réseau de fentes de largeur moyenne de 2 1m (dispersion +25 
%). Droite : trans-
mission relative du réseau de fentes en fonction du carré du nombre quantique 
(la transmission est
prise égale à 1 pour des atomes dans l'état fondamental)

Q 24. À l'aide d'un modèle simple, expliquer qualitativement pourquoi la 
transmission du réseau de fentes
diminue quand n augmente.

Q 25. Discuter le résultat obtenu pour la valeur de n au dessus de laquelle la 
transmission devient négligeable
Proposer un mécanisme qui permet d'expliquer que la diminution de la 
transmission avec n° est plus rapide que
celle que prévoit un modèle simple s'appuyant seulement sur la taille de 
l'atome prévue par le modèle de Bohr.

ITI.C --- Moment dipolaire induit d'un atome de Rydberg

Pour comprendre la polarisabilité des atomes de Rydberg dans un modèle 
semi-classique, il est possible d'adapter
le modèle de Bohr en admettant que la trajectoire d'un électron est elliptique, 
avec une excentricité qui dépend

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de deux nombres quantiques, n et { , vérifiant n > 1 et 0 <{< n. Les cinq documents suivants introduisent les caractéristiques principales de ce modèle. Q 26. À la lecture de ces documents, expliquer comment un atome de Rydberg acquiert un moment dipolaire électrique sous l'action d'un champ électrique extérieur et, dans le cas où le nombre quantique { n'est pas trop faible, donner un ordre de grandeur du moment dipolaire maximal induit. --_-- Document 1 : Évolution de la trajectoire en fonction du nombre quantique d'après « Physique Atomique », Tomel, B. Cagnac Ellipses décrites par l'électron autour du noyau pour le même nombre quantique principal n, en fonction, du nombre quantique secondaire (ou azimutal) {. On a pris ici n = 5. ---- Document 2 : Excentricité d'une ellipse O : centre Feet F": foyers a : demi grand axe b : demi petit axe c : distance centre-foyer e = c/a: excentricité Pour tout point de l'ellipse, on a MF + MF" = 2a. L'excentricité rend compte de l'aplatissement de l'ellipse, plus elle est grande, plus l'ellipse est aplatie. Pour un cercle, EUR = 0. L'excentricité maximale est EUR = 1, l'ellipse est alors réduite au segment de droite joignant ses deux foyers. ---- Document 3 : Dynamique de l'interaction dipôle-dipôle dans un gaz de Rydberg froid ------ extrait de la thèse de doctorat en physique atomique et moléculaire de Nassim Zahzam (Paris 7, 2005) Le traitement classique d'une particule de Rydberg dans un champ coulombien comme l'électron de l'atome d'hydrogène, conduit à trouver une trajectoire d'excentricité donnée approximativement par la relation où n est le nombre quantique principal et { le nombre quantique relatif au moment cinétique orbital. Les orbites pour { grand sont alors quasi-circulaires et l'électron de valence voit donc un potentiel coulombien. Par contre, les orbites pour { petit se rapprochent du foyer de l'ellipse et peuvent donc pénétrer dans le coeur. La barrière centrifuge n'est plus suffisamment grande pour interdire l'accès à cette région. Les perturbations sont donc d'autant plus importantes que { est petit. On doit donc distinguer les orbites non pénétrantes (grandes valeurs de !) et les orbites pénétrantes (petites valeurs de {) pour lesquelles la vision hydrogénoïde n'est plus valide. Pour tenir compte des orbites pénétrantes, une théorie, développée surtout par Seaton, a vu le jour : la méthode du défaut quantique. L'interaction entre le coeur et l'électron de valence est limitée à une partie de l'espace autour du noyau. En dehors de cette région, le potentiel est coulombien et la fonction est par conséquent connue. Pour des états de Rydberg autres que pour l'atome d'hydrogène, quand la distance r entre l'électron et le coeur est plus grande que le rayon du coeur r.., le potentiel est coulombien. À grandes distances (r > r.), l'électron
voit une charge écrantée identique à celle vue par un électron de Rydberg d'un 
atome d'hydrogène. Par contre,
pour r < r,, le potentiel est généralement plus profond que dans le cas coulombien. [... 2020-06-29 11:34:57 Page 4/8 CJEXES Pour tenir compte de ce phénomène dans l'expression de l'énergie des états de Rydberg, on introduit le défaut quantique 0,. Le défaut quantique dépend donc principalement du moment cinétique orbital !. L'énergie des états propres des atomes de Rydberg alcalins s'écrit alors --E E, = -------. "  (n--û) ---- Document 4: Classical view of the properties of Rydberg Atoms extrait d'un article de T.P. Hezel et al. publié dans l'American Journal of Physics, volume 60 n°4, avril 1992 Precession of a nearly Keplerian elliptical Precession of a nearly Keplerian elliptical orbit of the Rydberg electron about a posi- orbit of the Rydberg electron about a po- tively charged nucleus sitively charged nucleus in an electric field E = 1000 V-cm ! ---- Document 5 : La force entre deux atomes enfin mesurée extrait d'un article de A. Browaeys, publié dans La Recherche n°509, mars 2016 « Le dipôle d'un atome dans l'état fondamental (à gauche) devient plus grand dans un état de Rydberg (à droite). III Mesure de l'énergie potentielle d'interaction de van der Waals à l'aide d'atomes de Rydberg piégés ITT. À -- Interaction d'un atome de rubidium avec un laser Nous nous intéressons aux interactions d'un atome de rubidium avec une onde électromagnétique dans le modèle de l'électron élastiquement lié. Q 27. On considère que chaque atome est soumis à un champ électrique du type E = E, cos(wt -- kz)u,,, créé par un laser. On néglige tout phénomène magnétique. À quelle condition peut-on remplacer l'expression précédente du champ auquel est soumis un atome placé à l'origine par la forme E = E, cos(wt)u,, ? On considère cette condition respectée par la suite. Q 28. Déterminer le champ magnétique de l'onde (en assimilant le milieu au vide). Relier l'intensité de l'onde électromagnétique plane dans le vide (puissance électromagnétique moyenne transportée par unité de surface) à l'amplitude Æ, du champ électrique de l'onde. L'atome de rubidium (Z = 37, masse M) est modélisé sous sa forme hydrogénoïde si bien que l'on considère que les 36 électrons de coeur restent au voisinage du noyau et que seul l'électron de valence est sensible au champ électrique extérieur et « voit » un noyau de charge +e. 2020-06-29 11:34:57 Page 5/8 CJEXES On admet que l'on peut modéliser le mouvement de cet électron de valence par un oscillateur harmonique amorti dont l'équation du mouvement (charge élastiquement liée) est dx dx --EUR de + VX UT = 7 Eo cos(wt). EUR La pulsation w, est caractéristique de l'atome, 7 est le coefficient d'amortissement et À = w -- w, est l'écart à la résonance. On prendra + = 6,2 x 107$ !. On suppose que 7  wy. On pose la solution en régime sinusoïdal forcé x(t) = xp cos(wt -- 4). Q 29.  Exprimer dans ces conditions %, et & en fonction des données. Q 30. Pourquoi l'atome absorbe-t-il de l'énergie à chaque cycle du champ électrique ? Q 31. Déterminer la puissance moyenne absorbée que l'on notera ({P). Représenter graphiquement les varia- tions de (P) en fonction de w. Ww Lorsque la fréquence du laser est égale à la fréquence propre a l'absorption est dite résonante. T Q 32. Déterminer, dans le cas résonant, l'expression du déplacement x(t) et de la vitesse v(t) de l'électron. Q 33. Déterminer, dans le cas résonant, la valeur moyenne de la force de Lorentz agissant sur l'électron. Pré- ciser le sens de cette force moyenne et exprimer sa valeur en fonction de l'intensité de l'onde électromagnétique. Q 34. Quelle interprétation corpusculaire qualitative peut-on donner à cette force ? Pour comprendre l'origine de la force exercée par la pince optique sur un atome, nous considérons un atome de petites dimensions par rapport à l'extension spatiale du faisceau laser et à la longueur d'onde de celui-ci, placé en un point de coordonnées (r,0, 2) dans le faisceau laser précédent. Q 35. En tenant compte des conditions w < w, et [A] > 7, déterminer la 
polarisabilité à, définie par la
relation (1.1).

Q 36. Montrer que l'énergie potentielle moyenne d'interaction de l'atome avec 
le laser est proportionnelle à
l'intensité du faisceau laser Z(r,2) et que le facteur de proportionnalité, que 
l'on ne demande pas de déterminer
explicitement, est négatif.

Dans cette situation hors résonance, la composante selon ü, de la force exercée 
par l'onde sur l'atome est
négligeable.

À l'aide de plusieurs paires de lasers se propageant dans des directions 
opposées et de fréquences légèrement
désaccordées par rapport à la résonance, on peut considérablement ralentir des 
atomes de rubidium de façon à
les amener à une température de l'ordre de 50 nK.

Dans ces conditions, il est possible de manipuler un par un les atomes placés 
dans un état de Rydberg à l'aide
de faisceaux lasers non résonants vérifiant w < w, et [A] > 7, qui jouent le 
rôle de « pinces » (d'où le nom
de pinces optiques donné à ce dispositif). Le principe de ces pinces optiques 
repose sur les inhomogénéités de
l'intensité du faisceau laser.

Dans un faisceau laser gaussien de longueur d'onde À et d'axe (O2), l'intensité 
dépend de r (distance à l'axe)

et de z suivant la relation
W 2 2r?
Î -- 0 »
2-0 (pe) (52)

où J, est l'intensité maximale du faisceau laser, W, est une quantité positive 
caractéristique du faisceau laser

2 W2
appelée rayon minimal et W(z) = Wouf 1 + ra avec LR = " x Y Ja longueur de 
Rayleigh.
R

Q 37. 'Lracer schématiquement cette intensité en fonction de r, la distance à 
l'axe, pour z fixé.
Q 38. Quelle est la signification physique de W(2) ?

Q 39. Tracer la forme du faisceau laser dans un plan contenant l'axe (O2), en 
identifiant deux zones suivant
que z EUR LR ou z > LR.

À
Q 40. Que représente la quantité TT ? Quelle analogie peut-on faire avec la 
diffraction obtenue par un
T

0
trou de dimension W, ?

Q 41. À quoi correspond la longueur de Rayleigh ?

Q 42. Déterminer la position d'équilibre de l'atome dans le faisceau et étudier 
sa stabilité. Expliquer en quoi
le laser agit comme une pince optique sur l'atome.

Q 43. On focalise le faisceau laser à l'aide d'une lentille convergente de 
distance focale f", placée en z = 0.
On ne tient pas compte de la diffraction par cette lentille. En s'appuyant sur 
un schéma, déterminer le diamètre
du faisceau dans le plan focal. Faire l'application numérique pour f" = W, et À 
= 850 nm.

Q 44. Pourquoi ce dispositif permet-il de sélectionner un seul atome de 
rubidium placé dans un état de
Rydberg ?

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ITI.B --- Mesure de l'énergie potentielle d'interaction de van der Waals

À l'aide du dispositif précédent, on peut placer des atomes de Rydberg à des 
distances contrôlables de l'ordre
de quelques micromètres. L'énergie potentielle d'interaction de van der Waals 
peut alors être mesurée (par une
méthode non décrite). Le résultat obtenu à l'aide de paires d'atomes de 
rubidium dans des états de Rydberg
identiques est donné sur la figure 4 où U désigne l'énergie potentielle de van 
der Wals et d la distance entre
les atomes. L'expérience est réalisée pour des atomes se trouvant dans 
plusieurs états de Rydberg de nombre
quantique principal n différent.

n = 93

10

KR
FL
a
=
D I
0.1 =
J 4 D 6 1 8 9 10 20
d (yum)

Figure 4 Mesure de l'énergie potentielle d'interaction de van der Waals entre 
deux atomes de rubidium
pour n = 53, n -- 62 et n -- 82. Les traits continus correspondent aux attendus 
théoriques, les bandes aux
incertitudes à 5 % sur d. D'après L. Béhguin et al., Physical Review Letters, 
18 juin 2013.

Q 45. Pourquoi est-il nécessaire de se placer à très basse température et à 
très basse pression pour effectuer
ces MCSUrES ?

Q 46. Les résultats de la figure 4 sont-ils compatibles avec l'expression de 
l'énergie potentielle de van der
Waals donnée en question 14 ?

Q 47. Justifier qualitativement qu'à d donné l'énergie potentielle 
d'interaction augmente avec n. Selon les
données expérimentales de la figure 4, l'énergie potentielle dépend-elle de n 
selon une simple loi de puissance
en n° ?

2020-06-29 11:34:57 Page 7/8 CJEXES
Données et formulaire

Vitesse de la lumière dans le vide
Perméabilité magnétique du vide
Permittivité diélectrique du vide

Charge élémentaire

Constante de Planck

Constante de Blotzman

Constante d'Avogadro

Masse de l'électron

Rayon de Bohr

Énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène

Masse molaire du rubidium

Énergie potentielle d'un dipôle électrique de moment dipolaire » dans un champ 
extérieur Ë

Expression du gradient en coordonnées sphériques

grad(U) =

= U,. +

Lo,
r 00°

c = 2,998 x 10° ms |

Lo = 1,257 x 10° H-m |
En = 8,854 x 10 2 Fm !
e = 1,602 x 10 °C

h = 6,626 x 10 %J:s |
kp = 1,381 x 10  JK |
N 1 = 6,022 x 10 mol |
m, = 9,109 x 10 °1 kg
ap = 92,92 pm

E; = 13,60 eV

Ma, = 85,5 gmol |

1 OU,

r sin 0 D *

ee eFINee.e

2020-06-29 11:34:57

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CIEL