Centrale Physique 1 PC 2022

Physique 1 EN
ys"q SR
PC ©

4 heures Calculatrice autorisée ON

Capteurs photovoltaïques

Ce problème traite de quelques aspects du fonctionnement d'un capteur 
photovoltaïque. Il se compose de quatre
parties. La première traite de la production d'électricité à l'aide de tels 
capteurs. La deuxième s'intéresse au
mécanisme électronique de l'effet photovoltaïque. La troisième concerne le 
traitement antireflet des vitres de
protection des panneaux photovoltaïques. Enfin, la quatrième partie aborde 
certains aspects quantiques des
semi-conducteurs.

Ce sujet est accompagné d'un document réponse fournissant certaines données 
utiles.

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche et les choix effectués et de
les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise 
d'initiative et tient compte du temps
nécessaire à la résolution de ces questions.

I Energie photovoltaïque

Une cellule photovoltaïque est un dipôle électrique qui, lorsqu'il reçoit de la 
lumière, est susceptible de produire
de l'énergie électrique grâce à l'effet photovoltaïque. La figure 1 présente 
des données relatives au fonctionnement
d'une telle cellule.

Valeurs sous éclairement

E; = 1000 W-m ?

£ Caractéristique Valeur
! Tension à vide U,, = 0,60 V
{#4 I Courant de court-circuit|Z, = 3,0 A
X | Po Puissance nominale P, =1,32W
h Tension nominale U,, = 0,47 V
Courant nominal 1, = 2,8 À
Caractéristiques pour &; allant de 200 à 1000 W-m?

a -- 1000 W-m°?
--- 800 W-m ?
ere m2

2,5 600 W:m
=: 400 W:m?
9 - - 200 W-m ?

courant 1 (A)
&

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
tension U (V)

Figure 1 Caractéristiques d'une cellule photovoltaïque de 100 cm?

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Q 1. En utilisant les données de la figure 1, déterminer à l'aide d'un graphe 
les valeurs de ÜU et I qui
maximisent la puissance électrique fournie pour un éclairement EUR; = 1000 W:m 
*. Comparer ces résultats aux
valeurs nominales données en figure 1 et commenter.

Q 2. Évaluer et commenter l'efficacité énergétique de la cellule en régime 
nominal.
I
Le facteur de forme de la cellule est FF -- Unin. Il indique la qualité de la 
cellule photovoltaïque.
VTC
Q 3. En reproduisant l'allure de la caractéristique Z(U) de la cellule, 
illustrer graphiquement les produits

présents au numérateur et au dénominateur de ce rapport et proposer une 
majoration très simple de FF.
Q 4. Quelle est la valeur du facteur de forme FF pour la cellule étudiée ?

IT Conduction, jonction, effet photovoltaïque

IT.ÀA -- Conduction électrique

Dans une approche classique, un milieu est conducteur s'il contient des charges 
mobiles. Aïnsi, des électrons, de
masse " et de charge --e, peu liés aux noyaux, peuvent se déplacer dans le 
réseau cristallin : ce sont les électrons
de conduction. Lors de l'application d'un champ électrique E au matériau, les 
électrons sont soumis à la force
de Lorentz correspondante qui entraine leur déplacement à la vitesse U par 
rapport au réseau cristallin. Dans
le modèle de Drude, les électrons sont également soumis à une force de 
frottement fluide exercée par le réseau
cristallin. Ainsi, en négligeant l'effet du poids et de la force de Lorentz 
magnétique, l'évolution d'un électron de
conduction est décrite par l'équation

dv _, --
me = _eE --m--.
dt T
Q 5. Indiquer la signification de chacun des trois termes de cette équation.
Q 6. Montrer qu'en régime permanent la vitesse v des électrons est 
proportionnelle au champ électrique EË.

On définit ainsi la mobilité des électrons y, en posant U -- LE. On note n, la 
densité volumique d'électrons de
conduction dans le matériau.

Q 7. Calculer la conductivité 7 du conducteur en fonction de n., e, T et m.

Quand un électron de conduction est libéré par les atomes de silicium pour se 
déplacer dans le réseau cristallin,
son départ crée un trou, ou défaut électronique, de charge +e, qui peut lui 
aussi se déplacer de proche en proche
entre atomes voisins. La mobilité d'un trou est notée 4. Pour du silicium pur, 
la conductivité intrinsèque est
assurée par les électrons de conduction et par les trous, qui ont ici même 
densité n, -- n,. Pour simplifier, on
admet que la masse des trous est identique à celle des électrons.

Q 8. Déterminer la densité électronique n, à partir des données figurant en 
annexe, à la température de
25 °C. En déduire la proportion d'atomes de silicium qui libèrent un électron 
de conduction.

II.B -- Semi-conducteur dopé

Dans un cristal de silicium dopé, des atomes d'un autre élément (dit dopant) se 
substituent à des atomes de
silicium. Dans le cas d'un dopant de type N (dit donneur), le nombre 
d'électrons de valence de l'élément dopant
est supérieur à celui du silicium. Le ou les électrons supplémentaires 
deviennent des électrons de conduction.
De façon symétrique, un dopant de type P (dit accepteur) possède un nombre 
d'électrons de valence inférieur
à celui du silicium. Le ou les électrons manquants deviennent des trous. Aïnsi, 
la présence de dopants peut
modifier fortement les densités d'électrons et de trous de conduction, qui 
peuvent alors être très différentes l'une
de l'autre.

Q 9. Le bore (B), le phosphore (P), l'arsenic (As), le gallium (Ga) sont 
souvent utilisés comme dopants
pour le silicium. Classer ceux-ci en types N ou P.

Q 10.  Dusilicium est dopé au bore à raison de 10*° atomes de substitution par 
unité de volume. Quel est le
taux de dopage (ou pourcentage de substitution) obtenu ?

Q 11. Proposer, en précisant les choix utilisés pour cela, une évaluation de la 
conductivité de ce silicium
dopé. Commenter cette valeur.

Q 12. Quel intérêt présente ce dopage pour un générateur électrique comme une 
cellule photovoltaïque ?

ITIC --- Jonction PN

Une feuille de silicium a été dopée P. Un traitement de surface permet de créer 
une couche dopée N dont
l'épaisseur est typiquement de 0,5 pm. Dans la zone P (respectivement N), n} 
(respectivement nN) est le
nombre d'atomes dopants par unité de volume.

L'interface entre la zone P et la zone N constitue la jonction PN : de part et 
d'autre, les porteurs de charge
mobiles majoritaires sont de signes opposés, de concentrations n} et n\ dans 
les zones P et N respectivement.
Des porteurs de charge migrent d'une zone à l'autre, engendrant une zone de 
charge d'espace (ou zone de
déplétion) et un champ électrique de jonction. La figure 2 donne une 
représentation simplifiée de cette situation
dans une modélisation unidimensionnelle.

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photon

Z Z Z
contact À N À
LA HT. mie
s | È
© 0 SO
E am |. | eo sum
© électron es TS
DT ©
_ trou © T
D D
Se A Zo 5
Q, D) | |. N..........
o A Pa
© N
contact
Figure 2

On associe le milieu à un diélectrique linéaire homogène et isotrope. On admet 
que dans un tel milieu, les
équations de Maxwell pour le vide restent valables en remplaçant la 
permittivité diélectrique du vide EUR, par
EUR = EnEUR,. Où EUR, est appelé permittivité relative du milieu. Pour le 
silicium, EUR, = 11.8.

Q 13. Quel peut-être le phénomène physique responsable d'une migration des 
porteurs majoritaires, électrons
ou trous, d'une zone vers l'autre ?

Q 14. Dans un modèle simplifié de jonction abrupte, tous les atomes accepteurs 
situés dans une zone d'épais-
seur --2, au voisinage de la jonction captent les électrons venus d'atomes 
donneurs de la zone N sur une
épaisseur z.. Déterminer les densités de charge p, et p, associées à cette 
modélisation (figure 2).

Q 15. Déterminer une relation liant np, Nw, 21 et 20.

Q 16. Expliquer pourquoi, dans ce modèle unidimensionnel, le champ 
électrostatique est parallèle à l'axe
(Oz). Justifier la forme de la représentation graphique de E(2) donnée figure 2.

Q 17. Relier la valeur maximale Æ£,,.,, de la norme du champ électrique à e, 
EUR, nù et z, d'une part, à EUR, EUR,
n? et à d'autre part.

Q 18. Déterminer la différence de potentiel électrostatique V, = V(2,)--V(z2,) 
en fonction de E

max: 21 ET 29.

- 2EV.
Q 19. Etablir l'expression de l'épaisseur de la jonction w = 2, -- 2, -- | °70 
e + a)
EUR np NN

Q 20. Évaluer numériquement l'épaisseur de jonction w si V, = 0,84 V, ny = 1 x 
10**m * -- 100np.

ITI.D -- Effet photovoltaïque

L'absorption d'un photon incident crée au niveau de la jonction une paire 
électron-trou. On admet que l'énergie
minimale nécessaire à cette création est comparable à celle permettant à un 
électron (ou à un trou) de franchir
une barrière de potentiel associée à une tension de valeur V.,.

Q 21. Quelles sont les longueurs d'onde susceptibles de créer une paire 
électron-trou ? Cette jonction PN
convient-elle à la conversion photovoltaïque du rayonnement solaire ?

Q 22.  Reproduire le schéma de la cellule, avec sa jonction PN, reliée à un 
récepteur électrique. En complétant
ce schéma, décrire qualitativement les évolutions de l'électron et du trou 
créés dans la zone de déplétion, expliquer
le rôle de générateur électrique réalisé par la cellule photovoltaïque, en 
précisant sa polarité et le sens du courant
électrique délivré par celle-ci.

III Traitement antireflet de la cellule

Le capteur est constitué de silicium, placé sous une vitre en verre. Il est 
recouvert d'un film de nitrure de
silicium (formule SiN,.) participant à son reflet bleu. Cette partie propose 
une analyse du rôle de ce dépôt dans
l'amélioration de l'efficacité énergétique de la cellule.

Pour une longueur d'onde de 600 nm, l'indice de réfraction du verre est n,, = 
1,5, celui du silicium, supposé réel,
est n, = 4,0.
On admettra qu'à l'interface de deux milieux, les composantes tangentielles des 
champs électrique et magnétique

sont ici continues.
Mi -- No

Si n. et n, sont les indices de deux milieux notés 1 et 2, on note rj2 -- En
ni +n
1 2

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Ej Ej 1 .
k; k; ki;

incidente ê j. incidente è j.
t t
E NAARAAAARASISE E AVAVAYAYA:
1: r | transmise L. 2 | transmise
Tr ny . 2
non réfléchie
RANAARARAAIN TN, 77 LAN A IN
réfléchie
VEITE 0 silicium 7 VEITE 0 dépôt EUR silicium 7
Réflexion simple Couche antireflet

Figure 3 Réflexion sur le silicium et traitement antireflet

III. À -- Réflexion sur le silicium

Une onde électromagnétique sinusoïdale arrive, sous incidence normale, sur le 
capteur dont la surface est assimilée
au plan d'équation z = (0.

Les champs électriques des ondes réfléchie et transmise (figure 3, réflexion 
simple) seront exprimés en notation
complexe,

E (2,t) -- Eeitwt-hiz) E (2,t) _ E, eitwtthr2), E (, t) = E,jeilwt-kez),

7?

Q 23.  Exprimer les vecteurs d'onde k.. k. et k, à l'aide de w, c, n, , n. et 
EUR.
Q 24.  Exprimer les champs magnétiques des trois ondes, en notation complexe, 
en précisant leurs amplitudes
By; Bo et Bo en fonction de Eÿ,, En, Et: nn. c et ë, (vecteur unitaire de l'axe 
(Oz)).

Q 25. En traduisant les conditions aux limites, exprimer le coefficient de 
réflexion pour l'amplitude du champ
électrique en fonction de r,..

Q 26.  Exprimer le coefficient de réflexion énergétique. Calculer et commenter 
sa valeur numérique.

ITI.B -- Couche antirefiet

Les traitements antireflet réalisés utilisent des dépôts en couches minces 
multiples, combinées avec une micro-
structuration de la surface. Nous envisageons ici simplement le cas d'une 
couche antireflet simple, qui occupe
la zone 0 < z < e (zone z < 0: verre, z > e : silicium). Les indices n, et n, 
sont supposés réels et on pose
y = 2nyew/c.

Les notations précédentes sont conservées pour les champs électromagnétiques, 
en y ajoutant les champs élec-
triques complexes

E (z:t) -- E,eitut-kaz) et E\ (2. t) -- Ejei(wt+kaz)

des ondes se propageant, respectivement dans la direction des z croissants des 
z décroissant, dans la couche
antireflet.

Par hypothèse, la fonction antireflet est idéalement réalisée : l'onde 
réfléchie est annulée (figure 3, couche anti-
reflet).

Q 27. Établir la relation Es = rs Eoie
Q 28. En déduire que la fonction antireflet n'est réalisée que si 6 = (2p + 
1)r, avec p entier, et ny = 4/n,n,.

Q 29.  Justifer que l'on a intérêt à se placer dans ces conditions pour la 
conversion photovoltaïque du rayon-
nement solaire.

IV Bandes d'énergie dans un semi-conducteur

IV.A - Équation de Schrüdinger à une dimension
Pour un problème à une dimension, l'équation de Shchrôüdinger vérifiée par la 
fonction d'onde #(x,t) d'une
particule de masse m évoluant dans un potentiel d'énergie V(x) s'écrit

, OY(x, À) h? O2v(x,t)

LA 2 = © + V(x)v(x,t).

Ôt 2m Or' æ)# (at)

Q 30. Pour quel type de potentiel V(x) une onde plane sinusoïdale (x,t) -- pye 
et ka) est-elle solution de
cette équation ? Quelle est alors la relation de dispersion de cette onde ?
Q 31.  Interpréter les résultats de la question précédente en relation avec 
l'expression de l'énergie en méca-
nique classique et les relations de de Broglie et de Planck-Einstein.

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Q 32. Pour une solution stationnaire Y(x,t) = w(x)x(t), établir l'équation 
vérifiée par la fonction d'ampli-
tude &(x) en faisant apparaitre l'énergie Æ de la particule.

IV.B - Gaz d'électrons sur un segment

Les électrons contenus dans un milieu conducteur sont assimilés à des 
particules évoluant dans une boite à une
dimension de longueur L : V(x) = 0 pour 0 < x < L, V(x) = + en dehors. La densité d'électrons libres est N, & 1 x 10%° m * dans un métal. On considérera donc qu'il y en a environ N, 3 électrons libres par unité de longueur dans cette boite de longueur L. Q 33. Avec ce choix d'origine de l'énergie potentielle, l'énergie Æ de la particule peut-elle être négative ? Q 34.  Justifier que les valeurs prises par la grandeur 4 = 1/2mE/h° sont de la forme k,, = nk,, où n est un entier strictement positif. Exprimer complètement, à un facteur de phase près, les fonctions d'ondes #,, (x,t) associées à ces états stationnaires dont les énergies sont notées E,,. Q 35.  Représenter graphiquement la relation E = f(k) en faisant figurer avec une échelle adaptée les trois états stationnaires de plus faible énergie. NB. Pour les applications numériques qui suivent, les énergies devront être exprimées en eV. Q 36. Calculer la valeur numérique de Æ,, pour L = 1 1m. Comparer cette valeur à l'ordre de grandeur de l'énergie d'agitation thermique à T° = 300 K. Pourquoi parle-t-on de quasi-continuum d'énergie au sein du matériau ? Q 37. ÀT=0 K, les électrons peuplent les états obtenus par énergie croissante, avec au plus deux électrons dans le même état d'énergie d'après le principe d'exclusion de Wolfgang Pauli. En déduire le nombre de Fermi np, défini par la valeur maximale atteinte par l'entier n à T = OK. Exprimer l'énergie de Fermi Æ;, associée en fonction de N,, Let E.. IV.C --- Potentiel périodique, bandes d'énergie Le modèle précédent permet de rendre compte d'un quasi-continuum des niveaux d'énergie (on adoptera par la suite la limite L -- ©), mais pas de l'existence de bandes d'énergie interdites dont on sait qu'elles conditionnent la conductivité électrique du matériau. L'utilisation d'un modèle de potentiel périodique en permet ici une approche simplifiée adaptée à un solide cristallin (figure 4). V(x) À LL LL 2 2 y, Vne Z V(x)=0 si(2n--1)a < x < 2na V(xæ)=VW, si2na  V,. Justifier, en précisant
les expressions des grandeurs positives k et K, la forme des solutions w(x), où 
n est un entier quelconque :

o(x) = A,e Pt + Bei si (2n -- la < x < 2na o(x) = Che it + D eift si 2na < x < (2n + 1j)a Q 40. En rappelant les conditions aux limites vérifiées par la fonction d'onde pour une particule évoluant dans un potentiel fini, justifier le système homogène suivant : À, +B, _C, _D, 0 A, je a + B,,,e"° in Ce i#a _ D, ei -- ( kA,. kB, -- KC, +KD,  =0 kA, je 0 kB, et -- KC,e #0 + KD, ea = 0 P004/2022-04-28 08:11:31 Page 5/6 (cc) BY-NC-SA Les solutions obtenues sont physiquement acceptables lorsque l'une des relations suivantes, où à = K/k, est vérifiée : a) --1< F,(ka) = cos(ka) cos(aka) -- : (a + 2) sin(ka) sin(aka) < +1 : a b) --1< F, (ka) = cos(ka) cos(aka) -- : (a + 2) sin(ka) sin(ka) < +1 ; a c) --1< FE, (ka) = cos(ka) cos(aka) -- : (a + 2) sin(ka) sin(aka) < +1. Q 41. En analysant l'effet sur le système d'une translation de a, indiquer, sans calcul, l'expression correcte de F, (ka). Les fonctions F,(ka) et E(ka) (unité arbitraire) ont été tracées sur la figure À du document réponse pour a = 0,2. Q 42. Compléter avec soin la figure À du document réponse et expliquer en quoi ce modèle permet de rendre compte de l'existence de bandes d'énergie, soit permises, soit interdites. Q 43. Que deviennent ces résultats lorsque & = 1 ? Justifier votre réponse. Q 44. En prenant pour valeur le paramètre de maille du silicium 2a = 0,54 nm, calculer dans ce modèle et pour & = 0,2 la largeur en énergie de la première bande d'énergie interdite. Q 45. On sait que pour le silicium, la largeur de bande interdite est de l'ordre de 1 eV. Commenter. ee oerFINeee P004/2022-04-28 08:11:31 Page 6/6 (cc) BY-NC-SA OFAO Numéro de place DE Numéro d'inscription Signature , (, Nom 5 « Prénom CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC Épr euve : Physique | PC Ne rien porter sur cette feuille avant d'avoir complètement rempli l'entête Feuille / Question 42 F, (ka) SU 60 40 20 0 2 À 6 8 10 ka Figure À Fonction F,(ka) et énergie E(ka) (unité arbitraire) tracés pour a = 0,2 Ne rien écrire luametatex 2.0932 20211203 LMTX dans la partie barrée P004-DR/2022-03-14 15:05:12 Extrait du tableau périodique des éléments Hydrogène | -- Nom de l'élément Hélium 1 <-- Numéro atomique 2 H <-- Symbole chimique He 1,0080 |<-- Masse molaire atomique 4,0026 Lithium Béryllium Bore Carbone Azote Oxygène Fluor Néon 3 4 5 6 7 8 9 10 Li Be B C N O F Ne 6,9395 9,0122 10,814 12,011 14,007 15,999 18,998 20,180 Sodium Magnésium Aluminium | Silicium Phosphore Soufre Chlore Argon 11 12 13 14 15 16 17 18 Na Mg Al Si P S CI Ar 22,990 24,306 26,982 28,085 30,974 32,068 39,452 39,948 Potassium Calcium Scandium Titane Vanadium Chrome Manganèse Fer Cobalt Nickel Cuivre Zinc Gallium |Germanium|| Arsenic Sélénium Brome Krypton 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr 39,098 | 40,078 | 44956 | 47,867 | 50,941 | 51,996 | 54938 | 55,845 | 58933 | 58,693 | 63,546 | 65,38 | 69,723 | 72,630 | 74921 | 78,971 | 79,904 | 83,798 Rubidium || Strontium Yttrium Zirconium Niobium || Molybdène | Technétium || Ruthénium | Rhodium | Palladium Argent Cadmium Indium Étain Antimoine Tellure Iode Xénon 37 38 39 40 A1 42 43 44 45 46 A7 48 49 50 51 52 53 54 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe 85,467 87,62 88,906 91,224 92,906 95,95 [98] 101,07 102,91 106,42 107,87 112,41 114,82 118,71 121,76 127,60 126,90 131,29 Césium Baryum Hafnium Tantale Tungstène || Rhénium Osmium Iridium Platine Or Mercure Thallium Plomb Bismuth Polonium Astate Radon 55 56 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg T1 Pb Bi Po At Rn 132,91 137,33 178,49 | 180,948 | 183,84 186,21 190,23 192,22 195,08 196,97 200,59 204,38 207,2 208,98 [209] [210] [222] Constantes physiques Célérité de la lumière dans le vide Masse de l'électron Charge élémentaire Permittivité diélectrique du vide Constante d'Avogadro Constante de Boltzmann Constante de Planck Données et formulaire c = 3.00 x 10° ms ! m = 9,11 x 10 °1 kg e = 1.62 x 10 1 C En = 8,85 x 10 12 F:m ! N 1 = 6,02 x 10° mol | kh = 1,38 x 10  JK | h = 6,63 x 10 *% J:s Données sur le silicium (à 20 °C) Structure électronique Masse molaire Masse volumique Mobilité des électrons Mobilité des trous Conductivité intrinsèque Formulaire Soient (ü,,ü,, ------ rot(A) = Oy OZ [Ne]3s23p° M = 28,1 gmol | p = 2,33 x 10% kg-m * | = 1,5 x 107! m2.V-ts"l a, = 4,5 X 10 *m°.V ls! 7 = 4,3 x 10 S:m ! ü,) un repère orthonormé direct et A = Al + AU, + A,üù, un champ vectoriel _ DA div(4) = Ar 4 Eu 4 dE Ox y. Oz 04, ÔA4,\.  [dA, DA\. 04, OA,)\. (Re (nn) 02 Or Ôx  Ôy