Centrale Physique 1 PC 2024

Physique 1
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2024

A propos de l'environnement marin

Le problème comporte deux parties indépendantes. Le formulaire et les données 
sont regroupés en fin d'énoncé.
Un document réponse est à rendre avec la copie.

Partie À --- L'énergie thermique des mers

En 1869, dans son livre, Vingt mille lieues sous les mers, Jules Verne fait 
référence aux « eaux de surface
et les eaux profondes des océans pour produire de l'électricité ». Cette idée 
d'utiliser la différence de température
entre les eaux de surface et les eaux profondes afin de produire de 
l'électricité est appelée ETM (énergie thermique
des mers) en français et OTEC (Ocean Thermal Energy Conversion) en anglais.

L'IFREMER considère que le coût du pompage des eaux profondes n'est rentable 
que pour une différence de
température d'au moins 20 °C entre l'eau de mer chaude prélevée à la surface et 
l'eau de mer froide prélevée en
profondeur.

I Généralités

Q 1. Représenter le diagramme synoptique d'une machine ditherme produisant du 
travail en précisant les
signes des différents échanges énergétiques.

Q 2. Exprimer et calculer le rendement de Carnot de cette machine fonctionnant 
entre des sources de
températures 77, = 26 °C et 7; = 5 °C. Commenter le résultat.

On envisage l'installation d'une centrale ETM à La Réunion. Le profil de 
température de l'eau de l'océan autour
de cette île est donné sur la figure 1.

30
25
20

15

Température (°C)

10

0 500 1000 1500 2000 2500 3000
Profondeur (m)

Figure 1 Température de l'eau de l'océan en fonction de la profondeur à La 
Réunion.

Q 3. Déterminer la profondeur à laquelle on devra prélever l'eau profonde pour 
qu'une installation à La
Réunion soit rentable.

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Q 4. Estimer la pression P à cette profondeur en explicitant la démarche suivie 
et toute hypothèse effectuée.

Q 5. Indiquer quelques avantages et quelques inconvénients d'une installation 
ETM.

IT Centrale ETM en cycle fermé

Un prototype de centrale ETM est installé à La Réunion. Il n'est pas raccordé à 
l'océan et une pompe à
chaleur simule les sources d'eau chaude et d'eau froide. L'ammoniac est le 
fluide de travail et son évolution est
représentée sur la partie centrale de la figure 2. Le cycle réel de l'ammoniac 
est également représenté figure 3(a),
ainsi qu'un cycle virtuel figure 3(b) expliqué ensuite.

| Boucle d'eau chaude | J Fluide de travail | |] Boucle d'eau froide

à LT D |

CV3

HV1

HV2 X3

) obe) |.
10

D.
>»

WV1 y 1

CV2
es |
7

À

ie

Figure 2 Schéma global du prototype ETM. Hal open science,
Étude expérimentale d'un prototype ETM à La Réunion.

-- L'ammoniac passe dans un évaporateur E adiabatique et isobare à double flux 
sous la pression de 9 bar où
l'eau chaude le fait s'évaporer en vapeur juste saturante (point 1 à point 2).

-- La vapeur produite est détendue de manière isenthalpique dans la vanne WV2 
jusqu'à la pression de 6 bar
(point 2 à point 2'). Une petite quantité de liquide froid, prélevée avant la 
vanne WV1, est injectée dans
la vapeur chaude de façon à diminuer sa température (désurchauffe isobare) 
(point 2' à point 3). Ces trans-
formations (détente et désurchauffe) sont contrôlées de telle sorte qu'elles 
donnent les mêmes propriétés au
fluide que s'il avait été soumis à une détente isentropique dans une turbine 
jusqu'à la pression de 6 bar
(point 2 au point 3 figure 3(b)).

-- Le fluide de travail est ensuite condensé en liquide juste saturant par un 
condenseur C adiabatique et isobare
à double flux grâce à l'eau froide (point 3 à point 4) puis ramené vers 
l'évaporateur avec une pompe à la
pression de 9 bar (point 4 à point 1) en fonctionnement isentropique (la pompe 
est notée P, sur la figure 3).

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Y

Y

WV2

Y M3 Y
À M] À M]

P: P:

Ôô - 0 Ôô _- '0

Figure 3 Cycle réel (a) à gauche et cycle virtuel (b) à droite de l'ammoniac.
Hal open science, Étude expérimentale d'un prototype ETM à La Réunion.

La centrale fonctionne en régime stationnaire et on néglige les variations 
d'énergies potentielle et cinétique.
Les liquides sont considérés comme incompressibles. Eau chaude et eau froide 
ont même débit massique. Les
transformations isentropiques sont supposées adiabatiques et réversibles.

Données [Débit massique| Température d'entrée (en °C)|Température de sortie (en 
°C)
Eau chaude me T: = 26 Ts = 24,5
Eau froide mn Tr = 5 Te

EUR

Tableau 1 Données et notations relatives aux circuits d'eau.

On note x la fraction massique en vapeur de l'ammoniac. On donne le tableau 
suivant :

Point à | T;(°C) | P;(bar) T, h;(kJ-kg *) |s;(kJ-K 'kg ')
1 12 9 240 1,15

2° 6

Tableau 2 Quelques paramètres pour deux points du cycle.

Les diagrammes d'état de l'ammoniac, nommé R717 en tant que fluide frigorigène, 
sont fournis dans les docu-
ments réponses 1 et 2, respectivement dans les systèmes de coordonnées (P,h) et 
(T',5).

Q 6. Sur les diagrammes (P,h) et (T',s) des documents réponses 1 et 2, 
mentionner les noms des courbes
de saturation, puis indiquer la phase stable associée à chaque domaine. Faire 
apparaître le point critique que
l'on définira et donner sa température et sa pression.

On utilise désormais les diagrammes des documents réponses 3 et 4 qui 
présentent des agrandissements de
parties des diagrammes des documents réponses 1 et 2 sans les courbes isochores 
pour plus de lisibilité :

-- le document réponse 3 contient le diagramme (P,h) sur lequel figurent en 
tirets et points alternés les
isothermes graduées en degrés Celsius et en tirets les isentropes graduées en 
kJ-K"t-kg"t :

-- le document réponse 4 contient le diagramme (T,s) sur lequel figurent en en 
tirets et points alternés les
isobares graduées en bars et en tirets les isenthalpes graduées en kJ-kg"{.

Q 7. Déterminer 1, mp EURt Zap Bp: les températures de vaporisation aux 
pressions respectives de 9 bar et
6 bar.

Q 8. Déterminer les valeurs numériques des enthalpies massiques de vaporisation 
Ah,,,, gp = Ah,,,(9 bar)
et Ah,ap.BP -- Ah yap(6 bar).

Q 9. La compression isentrope entre les points 4 et 1 est représentée sur le 
diagramme (P,h) du document

réponse 3. Justifier sa forme.

Q 10. La détente isenthalpe entre les points 2 et 2' est représentée sur le 
diagramme (T,s) du document

réponse 4. À l'aide des deux diagrammes, déterminer la température 7, 
l'enthalpie massique h.. et l'entropie
massique 8,. Préciser sous quelle(s) phase(s) se trouve l'ammoniac au point 2°

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Q 11. La détente isentrope entre les points 2 et 3 est représentée sur le 
diagramme (P,h) du document

réponse 3. À l'aide des deux diagrammes, déterminer la température 7,, 
l'enthalpie massique À, et l'entropie
massique 853.

Q 12.  Représenter sur les diagrammes (P,h) et (T,s) des documents réponses 3 
et 4 le cycle effectué par
l'ammoniac dans le dispositif ETM. On fera apparaître en particulier les points 
1, 2, 2", 3, 4 et 1' (liquide juste
saturant à 9 bar).

Q 13. Compléter le tableau du document réponse 5.
Q 14. En déduire la valeur de EUR,, capacité thermique massique de l'ammoniac 
liquide.

Q 15. Expliquer pourquoi on utilise l'ammoniac comme fluide de travail et non 
de l'eau. Donner néanmoins
un inconvénient de l'utilisation de l'ammoniac.

Q 16. Établir l'expression suivante du premier principe industriel dans le cas 
d'un système ouvert à une entrée
et une sortie, en écoulement permanent avec un débit massique D, en explicitant 
bien toutes les hypothèses :

D,(b,-h)=?P,+P;

où À, désigne l'enthalpie massique de sortie, h, l'enthalpie massique d'entrée, 
P, la puissance utile reçue par le
système due aux pièces mobiles et P,, la puissance thermique reçue par le 
système.

En raison de la taille réduite du prototype, une véritable turbine capable de 
produire la puissance nécessaire
n'était pas disponible. Néanmoins, en considérant le cycle virtuel représenté 
sur la figure 3(b), où la détente
isentropique du point 2 au point 3 est attribuée à une turbine virtuelle, on 
peut calculer le rendement du cycle.

Q 17.  Exprimer et calculer P,, KR EURt Pin rv. les puissances thermiques 
reçues par l'ammoniac au niveau
de l'évaporateur lors des cycles respectivement réel et virtuel, puis commenter 
leur signe.

Q 18.  Exprimer, en fonction des températures, Pc la puissance reçue par l'eau 
chaude au niveau de
l'évaporateur (cf. figure 2).

Q 19. En déduire l'expression et la valeur numérique de mn...
Q 20. Justifier que l'évolution de l'ammoniac traversant la vanne WV2 est 
isenthalpique.

Q 21. Au niveau du surchauffeur, situé entre les points 2" et 3, donner une 
relation entre 7, ro et Ma.
Calculer 73.

22. Exprimer et calculer P et P uissances reçues par l'ammoniac au niveau du 
condenseur lors
C,R C,V
des cycles respectivement réel et virtuel, puis commenter leur signe.

23. Ex rimer dans le Cas réel J la uISsance TecUue ar l'eau froide alu niveau 
du condenseur UIS en
ef: ;
déduire la valeur de Ta.

Q 24.  Exprimer et calculer P, y, puissance utile reçue par l'ammoniac dans la 
turbine T entre les points 2
et 3 du cycle virtuel. Commenter son signe.

Q 25.  Exprimer et calculer PP R et PP v: puissances utiles reçues par 
l'ammoniac au niveau de la pompe P,
lors des cycles respectivement réel et virtuel.

Q 26.  Déduire de l'étude précédente le rendement 7, du cycle virtuel.

Q 27. Le rendement obtenu est surestimé. Proposer des justifications.

P069/2024-05-03 11:32:13 Page 4/10 (Cc)ELTETE
Partie B --- Naissance et propagation de la houle

Lorsque le vent souffle suffisamment fort sur la surface de l'océan, on 
observe, sous certaines conditions, la
formation de vagues qui se propagent. Cette partie étudie la naissance des 
oscillations de la surface de l'eau
sous l'effet du vent.

L'eau (fluide (1)) et l'air (fluide (2)) sont considérés comme des fluides 
parfaits, homogènes et incompressibles,
de masses volumiques respectives p, et Po.

L'espace est rapporté à un repère de coordonnées cartésiennes (O,u,,u,, ü;). À 
l'état de repos, l'eau occupe
l'espace compris entre z = 0 et z = --h et qui est infini selon les directions 
Ox et Oy ; la quantité À > 0 désigne
la hauteur d'eau au repos par rapport au fond solide. L'eau est surmontée de 
l'air atmosphérique (figure 4).

On supposera pour simplifier que les écoulements dans l'air et l'eau sont 
invariants par toute translation selon Oy
et que le mouvement des fluides s'effectue parallèlement à un plan vertical.

On désigne par Uu. la vitesse uniforme et constante de l'air associée au vent 
dans un état de base non perturbé
et la présence de petites oscillations de la surface induit celle d'une 
perturbation. Le champ des vitesses dans l'air
devient alors V, = Vu; +3 où ü = u (x,z,t)u,; +uw, (x, 2,t)u; traduit l'effet 
de perturbation. Les composantes
scalaires de la perturbation v,, ainsi leurs dérivées spatiales et temporelles, 
sont des infiniment petits du premier
ordre.

À partir de l'état de base de repos, en présence des petites oscillations de la 
surface, l'eau subit également une
perturbation dont le champ des vitesses est noté 0j = u;(x,2,t}u; + 
w,(x,z,t}u;. De même, les composantes
scalaires de v,, ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles, sont 
également des infiniment petits du premier
ordre.

La surface à l'air libre de l'eau, d'équation z = 0 au repos, présente alors 
une petite déformation et on note
n(x,t) le déplacement vertical du point d'abscisse + par rapport à la position 
de repos que l'on considérera
comme un infiniment petit du premier ordre, ainsi que ses dérivées spatiales et 
temporelles.

On suppose de plus que les écoulements dans les deux fluides sont 
irrotationnels ce qui permet de définir les
potentiels des vitesses 4, (x,2,t) et w(x,z,t) tels que vu; = grad (4.,) et V, 
= grad (Ux +4).

Enfin, on note ÿ l'accélération de la pesanteur (de norme g) et p,(x,2,t) et 
pox,z,t) les champs de pression
respectivement dans les fluides (1) et (2). On suppose le champ de pression 
continu au passage de la surface à
l'air libre de l'eau (effet de tension superficielle négligé).

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TL
Figure 4

III Mise en équation et linéarisation

Q 28. En tenant compte de l'incompressibilité des fluides, montrer que Av, = 0 
et Ag; = 0.

L'écoulement du fluide (1) respecte l'équation d'Euler, équation aux dérivées 
partielles d'écriture similaire à
celle de l'équation de Navier-Stokes sans terme de viscosité :

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Du,

Pi, Dit = -- gradp, + p1g

Q 29. Montrer que la linéarisation de cette équation, en ne conservant que les 
termes en vitesse d'ordres
inférieurs ou égaux à l, conduit à l'égalité :

où C,(t) est une fonction du temps.

Q 30. De même, écrire l'équation d'Euler vérifiée par le champ des vitesses V, 
en tout point du fluide (2).
Montrer que la linéarisation de cette équation, en ne conservant que les termes 
en vitesse d'ordres inférieurs ou
égaux à 1, conduit à l'égalité :

09 OP
2 42 = CO, (t
= +US ++ Co(t).

où C,(t) est une fonction du temps.
On choisit pour la suite une pression de référence p.., telle que les champs de 
pression dans les fluides s'écrivent :

P1 -- Préf -- PA (2: )
o o
Pa = Pier -- Po (À Ce +U 2 +92)

IV Conditions limites

Q 31.  Exprimer les composantes de v, en fonction de &,. Déduire d'une 
condition limite satisfaite en z = --h
par le champ des vitesses une condition sur la fonction 4.

Q 32.  Exprimer les composantes de vw, en fonction de Ü et &,. Déduire d'une 
condition limite lorsque z -- +co,
en supposant l'écoulement d'air non perturbé loin de la surface de l'eau, des 
conditions limites sur la fonction

Po:

La coordonnée verticale z,(x,t) des points situés sur la surface vérifie 
z,(x%,t) = n(x,t). Lors du démarrage

des petites oscillations, leur vitesse verticale w,(x,n(x,t),t) peut être 
assimilée à w,(x,0,t) où à EUR {1,2}. Dans

chaque milieu #, on peut donc écrire l'égalité w,(x,0,t) = D.

Q 33.  Déduire de cette égalité, après linéarisation, deux équations au premier 
ordre, l'une faisant intervenir
n et 4, l'autre 7 et @».

Q 34. Expliquer, sans calcul, comment obtenir l'équation suivante en précisant 
son origine physique et les
éventuelles approximations effectuées :

0: ... 09 09
LÉ 0.0 mt) = 2 (2,00 + EE (00,0 + gr

V Condition de démarrage des oscillations

On cherche les solutions de l'ensemble des équations précédentes sous forme de 
représentations complexes :

pi(x,2,t) = d,(2) exp (j(wt -- kx)), w(x, 2,t) = p2(2) exp (j(wt -- kx)) et 
n(x,t) = n,, exp (j(wt -- kx)),

où 7° = --1, k est une constante réelle positive, w = w' + jw" est une 
constante complexe dont les parties réelle
et imaginaire sont respectivement w' et w", @,(z) et #,(z) sont des fonctions 
de la variable z a priori complexes
et l'amplitude »,, est une constante réelle non nulle.

Q 35. Établir l'équation différentielle satisfaite par P2(z). En déduire la 
solution Pa (z) uniquement en fonc-
tion de k, z et de la constante ps -- (2 = 0) en tenant compte d'une condition 
limite établie précédemment.

Q 36. Établir l'équation différentielle satisfaite par ®,(z). En déduire que 
d,(2) = @° cosh (k(z + h)) où

g1(2=0) »

NE en tenant compte d'une condition limite établie précédemment.
COS

intervient la constante d? --

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Q 37. Montrer que les deux équations établies à la question Q 33, traduisant 
les propriétés de la surface de
séparation, conduisent aux deux égalités :

--k®, = j(w--kU}n, et ksinh (kh) 6? = j07,, :

Q 38. En utilisant l'équation de la question Q 34, établir la relation suivante 
notée V.1 :

0)
ps ES Gin + 9

= pa [kg -- (ju -- RU) |: (V.1)

Q 39. Indiquer, justification à l'appui, quel doit être le signe de w" 
permettant, à partir de l'état de repos,
le démarrage des oscillations de la surface de séparation en présence du vent 
de vitesse U.

Q 40. Montrer que, dans le cas limite d'une profondeur À infinie et en notant 
que p:/p, & 1, le démarrage

9 P1

des oscillations s'observe lorsque la vitesse du vent U vérifie U*? > k po

Q 41. Toujours dans le cas limite d'une profondeur À infinie, calculer la 
longueur d'onde maximale observable
lorsque la vitesse du vent vaut 100 km/h. Proposer en conséquence dans ce cas 
une discussion quantitative de
l'approximation de profondeur infinie.

VI Propagation de la houle sans vent

On revient désormais dans le cas où la profondeur À est quelconque, non 
nécessairement infinie. Lorsque le vent
est tombé ou lorsque les vagues s'éloignent de la zone de tempête, la houle 
devient périodique : la relation V.1
établie à la question Q 38 se simplifie.

Lorsque ÜU = (0. en présence d'une houle périodique. on pose w" = 0 et w = ww = 
w.
9 9 Lu

Q 42. Le rapport des masses volumiques vérifiant p,/p, < 1, montrer la relation de dispersion de l'onde associée à la houle sans vent s'écrit : w* = gk tanh (kh). Q 43. On parle de houle en eau profonde lorsque kh > 1. Simplifier dans ce cas 
la relation de dispersion
précédente, puis calculer la vitesse de phase et la vitesse de groupe en 
fonction de g et k. Indiquer, en justifiant,
si le phénomène de propagation est dispersif.

On considère un paquet d'ondes gaussien centré autour d'une valeur k, de k qui 
se propage selon la direction des
x croissants. Les figures 5(a) et 5(b) représentent deux évolutions différentes 
envisagées pour ce paquet d'ondes
lors de sa propagation. Chaque courbe à correspond au profil spatial de 7(x,t,) 
à l'instant t,, l'abscisse et le
temps étant représentés respectivement par leurs valeurs réduites x,. et t,. 
sans unités.

n(Xr, tr)
=
Es
I
ND
=
nr, tr)
I
ND
=

25 0 25 50 75 100 125 150 175 200 25 0 25 50 75 100 125 150 175 200
Tr Tr

Figure 5 Deux évolutions différentes d'un paquet d'ondes : cas (a) à gauche et 
cas (b) à droite.

Q 44.  Justifications à l'appui, préciser si les figures 5(a) et 5(b) 
correspondent toutes deux à un phénomène
de propagation dispersif et déterminer celle qui peut correspondre à la 
relation de dispersion de la houle en eau
profonde.

Q 45. Au voisinage des rivages, pour des hauteurs d'eau suffisamment faibles, 
on peut adopter cette fois
le modèle de la houle en eau peu profonde suivant la condition kh << 1. Simplifier dans ce cas la relation de dispersion de la houle sans vent, puis exprimer les vitesses de phase et de groupe. P069/2024-05-03 11:32:13 Page 7/10 (cc) BY-NC-SA Le document réponse 6 contient la figure du profil spatial à 4, = 0 du même paquet d'ondes gaussien que celui étudié à la question Q 44. Q 46. Compléter cette figure pour une houle en eau peu profonde en représentant le profil spatial à #,. = 300 sachant que son centre est situé à l'abscisse réduite +, = 150. VII Réfraction de la houle par la bathymétrie Au voisinage des rivages, la houle est réfractée comme le montre la figure 6. _- 52550 On se place dans le cas de la houle sans vent et en eau peu profonde introduit à la question Q 45. Lorsque la profondeur varie, la célérité de l'onde varie. On note alors Co la célérité pour une profondeur de référence h,,. Q 47. Montrer que la vitesse de phase peut s'écrire EUR -- Un où Tv n(h), fonction de h sans dimension, joue le rôle d'indice de réfraction. Exprimer n(h) en fonction de h et h4. Lorsque le sol passe de façon discontinue en x = 0 d'une hauteur À, à une hauteur h,, le changement de célérité entre ces deux milieux homogènes engendre un phénomène de réfraction qui suit une loi de Snell-Descartes. En notant 0, l'angle d'incidence de l'onde plane de houle par rapport à la normale du plan d'équation x = 0 séparant les deux domaines d'indices respectifs n, et n,, puis 0, l'angle de l'onde plane de houle réfractée (figure 7), la loi de Snell-Decartes s'écrit : Figure 6 Bahia San Juanico au n, Sin (0,) = n, sin (6). Mexique. Crédits : Charles Chandler. hauteur h, 1? hauteur h,; et indice n;, = n(h;) et indice n2 = n(ho) Va x Û; DL Figure 7 On étudie dans la suite le cas d'une variation continue de profondeur définie par le profil suivant, supposé invariant par toute translation selon la direction y : Ce pour æ < 0: h h(x)=h;--B6x pour xEURe LE a | 5 est une constante positive sans dimension désignant la pente du fond en pourcentage. On note que l'indice de réfraction vaut l'unité pour x < 0. Q 48. Déterminer l'expression de l'indice de réfraction n(x) pour x EUR 10 "a | en fonction de x, Bet h,. Afin d'établir, pour x EUR LE |, l'équation de la trajectoire de la houle correspondant à une ligne de champ du vecteur d'onde, en appliquant la loi de Snell-Descartes, on assimile le profil de profondeur continu à une succession de domaines homogènes de longueurs élémentaires dx, tels que la hauteur entre x -- dx et x reste constante, égale à (x). Selon la loi de Snell-Descartes, le passage d'un domaine à l'autre engendre une variation de l'angle d'incidence qui passe de la valeur 0(x -- dx) juste avant l'abscisse x -- dx à la valeur O(x) juste après (figure 8). Les deux angles 0(x) et 0(x -- dx) sont très proches et, dans un souci de clarté, la figure 8 ne respecte pas les échelles. P069/2024-05-03 11:32:13 Page 8/10 ()EXTET: & Y x -- dx Figure 8 L'onde plane incidente qui se propage dans le domaine + < 0 arrive en x = 0 en un point M, avec un angle d'incidence 6,. Q 49. Montrer que pour tout x EUR LE a}, l'angle 0(x) vérifie l'égalité : sin (4(x)) = sin (45) 4/1 -- Be | Q 50. Montrer que la position y(x) de la trajectoire de l'onde réfractée passant par le point M, de coordon- nées (0,0) s'obtient à partir de la résolution d'une relation de la forme (x) -- f(x) où f(x) est une fonction à exprimer en fonction de x, 5, ho et 66. On souhaite tracer la trajectoire issue du point M, de coordonnées (0,0) pour 4, -- 7, B = 0,01 et Rj = 2m grâce à une résolution numérique. On découpe pour ce faire l'intervalle LE | de l'abscisse x en N intervalles et on note le pas p -- +. Pour le n-ième intervalle, l'ordonnée en début d'intervalle est y, _. et l'ordonnée en fin d'intervalle est y,,. Q 51.  Expliciter une relation de récurrence entre y,,, et y, faisant intervenir notamment le pas p et la fonction f, puis compléter les lignes 13 et 22 du programme Python du document réponse 7 en conséquence. La trajectoire obtenue par cette résolution numérique est représentée dans le document réponse 8, après ajout des intitulés des axes. Q 52. Compléter soigneusement le document réponse 8 de sorte à y faire apparaître quelques courbes équi- phases correspondant à la crête d'une vague pour divers instants. Commenter l'évolution de ces courbes équi- phases au cours de l'approche du rivage en relation avec les courbes d'iso-profondeur (ou courbes isobathes), ainsi qu'avec la figure 6. Données et formulaire Données numériques partie À Pression atmosphérique P9 = 1,0 x 10° Pa Accélération de la pesanteur g=9.8ms Masse volumique de l'eau de mer p = 1,0 x 10° kg-m * Capacité thermique massique de l'eau liquide ce. = 4,0 x 10° Jkg .K°! Débits massiques de l'ammoniac in = 4,0 X 10 1 kgs let sn, = 5,0 x 10 * kg-s | Données numériques partie B Masse volumique de l'air ps = 1,2 kg-m * Formulaire -- Pour & un champ scalaire, div(grad) = A. P069/2024-05-03 11:32:13 Page 9/10 (CO) BY-Nc-SA | -- Pour à un champ vectoriel, (d : grad }ü = grad (+) + rot (ü) A ü. -- Dérivée particulaire d'une grandeur intensive scalaire f(x, y, z,t) : Df _ of (ro, 0 Hu +). où (v,,v,,v,) sont les coordonnées du champ des vitesses eulérien. -- Dérivée particulaire d'une grandeur intensive vectorielle f(x, y, z,t) : _ of Of Of Of En (ess tu ton): où (v,,v,,v,) sont les coordonnées du champ des vitesses eulérien. eceoelrINeee P069/2024-05-03 11:32:13 Page 10/10 CHERE .P*lJ1Lh _úSPLa1 d R k j 9 8 e d 3 N Ry RR Rk Rj R9 R8 Re Rd R3 RN BKTQ`i Ki? b Ki BKTQ`i KiTHQiHB#XTvTHQi b THi ?y 4 k $O K ; 4 NX3 $O Kfb #2i 4 yXyR i?2iy 4 k KiXTB f 8 tKBM 4 y $O K tKt 4 ?y f #2i $O K $O `/ /27 7UtV, `2im`M $#+FbHb? MmHH /27 `2bQHmiBQMUtKBM- vKBM- tKt- L- 7V, T 4 UtKt @ tKBMV f L s 4 (tKBM) u 4 (vKBM) 7Q` M BM `M;2ULV, t 4 s(M) Y T ky v 4 kR kk kj k9 k8 ke kd k3 kN sXTT2M/UtV uXTT2M/UvV `2im`M Us- uV THiX+HQb2UV Us- uV 4 `2bQHmiBQMUtKBM- y- tKt- kyy- 7V THiXTHQiUs- u- +QHQ`4^#H+F^V THiX;`B/UV THiXb?QrUV .P*lJ1Lh _úSPLa1 3 luatex 1.14 20210305 MKIV Ne rien écrire dans la partie barrée P069-DR/2024-03-21 11:54:58 DOCUMENT RÉPONSE 3 S Y pl S OEhssuuin AXFARLET EXTELELEN Pressure [Bar] -- HR PÉYRENIEUENT ARRET EN OT OO ENTER TEEET RENTREE EEN PEL LORIENT HIITONOITETENNUT DERLENTIENEIENT EE | x=(,10 020 0% 0,40 0,50 0@ 00 0,80 090 _ T-0 10 0 % s=100 120 140 160 L80 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 48 50 52 540 5460 150 250 350 450 550 650 750 850 950 1050 1150 1250 1350 1450 1550 Enthalpy [kJ/kg] Agrandissement d'une partie du diagramme de l'ammoniac ( P,h). DTU, Department of Energy Engineering, s en (kJ - KT kg), vu en m° - kg7?, T'en °C, M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen (23-10-03). DOCUMENT RÉPONSE 4 60 HART IN, CPI NON ON ON É Pipipirhnon SR RER RES || 40 /  ) | fat _ | CRU î pri Eat D A ER ER pPapifiho Ed CUY T7 Pour \ | A f Lil \ \ A A A A A | 1000 500 " 000 3500 | 3000 | 3500 "4000 _ 1500 5000 500 6000 6500 Entropy [J/(kg K)] Agrandissement d'une partie du diagramme de l'ammoniac ( T,s). DTU, Department of Energy Engineering, À en kJ : kg", v en m° -kg !, p en bar, M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen (23-10-03). Hmi2t RXR9 kykRyjy8 JEAo L2 `B2M û+`B`2 /Mb H T`iB2 #``û2 SyeN@._fkyk9@yj@kR RR,89,83 2 s =5 ,80 Pressure [Bar] 1 s =5 ,40 s = 5 s = 5,50 s =5 ,60 ,70 s =5 ,10 s =5 s =5 ,20 ,30 .P*lJ1Lh _úSPLa1 j 4 s =6 ,00 s =5 ,90 3 x= 0,10 s = 1,00 1,20 1,40 1,60 0,20 1,80 2,00 250 350 450 150 2,20 0,30 2,40 550 2,60 0,40 2,80 3,00 0,50 3,20 3,40 3,60 750 850 Enthalpy [kJ/kg] 650 0,60 3,80 4,00 950 0,70 4,20 4,40 4,60 0,80 4,80 1050 1150 5,00 0,90 5,20 5,40 1250 1350 5,60 T= 1450 1550 ;`M/Bbb2K2Mi /mM2 T`iB2 /m /B;`KK2 /2 HKKQMB+ X .hl- .2T`iK2Mi Q7 1M2`;v 1M;BM22`BM;-  2M L+  ,  LH -  2M N  LH -  2M  $- JXCX aFQp`mT  >XCX> EMm/b2M 
Ukj@Ry@yjVX

.P*lJ1Lh _úSPLa1 9

Temperature [ºC]

h=

1

2

2

x= 0,10
h = 300

1000

1500

0,20
400

500

2000

0,30
600

2500

0,40
700

0,50
800

3000

0,60
900

1000

3500
4000
Entropy [J/(kg K)]

0,70
1100

0,80
1200

4500

0
150

1

h=

12

16
00

0,90
1300

5000

1400

5500

6000

6500

;`M/Bbb2K2Mi /mM2 T`iB2 /m /B;`KK2 /2 HKKQMB+ 
 X .hl- .2T`iK2Mi Q7 1M2`;v
1M;BM22`BM;-  2M L+  LH -  2M N  LH -  2M CBS- JXCX aFQp`mT  >XCX> EMm/b2M 
Ukj@Ry@yjVX

DOCUMENT RÉPONSE 7

I import math as mt

2 import matplotlib.pyplot as plt

3

4 h0 = 2 \# m

5 g=9.8 \# m/s°

6 beta = 0.01

7 theta0O = 2 *x mt.pi / 5 \# rad

e xmin = O0 \#m

9 xmax = h0 / beta \# m

10

11 def f(x):

12 return < » 13 &\backslash null» 14 def resolution(xmin, ymin, xmax, N, f): 15 p = (xmax - xmin) / N 16 X = [xmin] 17 Y = [ymin] 18 for n in range(N): 19 x = X[n]l +p 20 y = 21 X.append(x) 22 Y.append(y) 23 return (X, YY) 24 29 plt.close() 26 (X, Y) = resolution(xmin, O0, xmax, 200, f) 27 plt.plot(X, Y, color='black') 28  plt.grid() 29 plt.show() DOCUMENT RÉPONSE 8 200: 150: 0 - 0 25 50 75 100 125 150 175 200 x (m) 2