Centrale Physique 2 PC 2005

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Les bulles du champagne sont constituées de dioxyde de carbone. Elles naissent 
à la sur--
face du verre (partie I ). Après une phase de croissance sur place, elles se 
détachent et mon-
tent dans le verre en poursuivant leur croissance (parties II et III). Arrivées 
à la surface,
elles explosent en laissant derrière elles un cratère et en provoquant 
l'émission d'un jet ver--
tical (partie IV). Ce jet se brise finalement en fines gouttelettes (partie V). 
Les cinq parties
du problème sont largement indépendantes. Dans tout le problème, le champ de 
pesanteur

ê= --guz est uniforme avec g= 9, 8 m 5--2. Pour une fonction y(t) ne dépendant 
que

du temps, on note y sa dérivée d y/ dt

Partie I - Formation des bulles

Dans cette partie, on considère le système fermé,

de volume V, constitué de deux sous-systèmes (cf. gaz
figure 1) : (Pg, Vg» ng)
' Une unique bulle de dioxyde de carbone, suppo--
sée sphérique de rayon a et de volume V g , for--
mée de n g moles de dioxyde de carbone assimilé
à un gaz parfait; _
F1gure 1

° Le liquide, de volume Vl= V--Vg, assimilé à
une solution aqueuse diluée de dioxyde de carbone, contenant n [ moles de
dioxyde de carbone dissous ; on note C le nombre de molécules de dioxyde de

carbone dissoutes par unité de volume dans cette solution et on suppose,
dans cette partie, C uniforme.

Le liquide est au contact d'une atmosphère imposant une pression extérieure pe
constante. On ne tient pas compte, dans cette partie, de la pesanteur. On note
p Z la pression dans la phase liquide et p 8, la pression dans la phase gazeuse 
;
ces pressions sont supposées uniformes, a priori différentes entre elles et 
diffé--
rentes de pe . La température du système est maintenue uniforme, via un con-
tact avec un thermostat de température T constante. Le nombre total de moles
de dioxyde de carbone n n EUR + n 1 dans le système est supposé constant.

I.A - Soit U l'énergie interne du système et S son entropie. Démontrer que la
fonction G* = U + Pe_V -- TS est un potentiel thermodynamique.

LB - On choisit comme variables indépendantes, le rayon a de la bulle, le
volume VZ de la phase liquide et le nombre de moles n g dans la bulle. Compte

tenu du phénomène de tension superficielle, la différentielle de la fonction G*
s'écrit alors :

dG' : ugdng + ...an + (pe --pl)dVl + (pe --pg)dVg+ Ad2

° où 2 est la surface de la bulle de gaz de rayon a et A une constante positive
appelée coefficient de tension superficielle;

° Où ug-- -- ug+RTln(pg/p0 ) et "l : ul 00+RTln(C/C ) ,
p0 est une pression de référence;

C8 est un nombre volumique de référence;
ug et W ne dépendent que de T, donc sont constantes.

I.B.1) On envisage une variation dVl de V1 , à n
l'équilibre on a p l : pe et interpréter concrètement.

g et a fixés. Montrer qu'à

I.B.2) On envisage une variation da de a , à n
l'équilibre on a p g -- --pe + 2A/a.

g et V1 fixés. Montrer qu'à

I...B 3) On envisage une variation dng de n
l'équilibre on a Mg _ '-W

g, à a et Vl fixés. Montrer qu'à
I.B.4) Déduire des questions précédentes l'équation (E) donnant implicite--

ment le rayon d'équilibre ae eq en fonction de la pression pe , du nombre 
volumi--
que C et des constantes 112,0... , R, T, A ,p0 ,pe et C.

I.B.5) Soit poe la valeur de la pression extérieure
pe telle qu'une bulle de rayon a infini soit en équili-
bre avec la phase liquide pour le même nombre volu--
mique C.

*

G Figure 2

Montrer que la condition d'équilibre (E) s'écrit aussi
bien aeq : 2A/(poe--pe) .

I.C - On suppose dans cette question que le nombre
volumique C en dioxyde de carbone dissous est fixé eq

et que la relation pg : pe+2A/a est vérifiée; en

revanche, l'égalité des potentiels chimiques n'est pas forcément réalisée. Dans
ces conditions, la fonction C'!' n 'est plus fonction que de a. La figure 2 
fournit
l'allure du graphe de G* (a) pour 0 _s a s 2aeq , qu' on ne demande pas de 
justifier.

I.C.1) Ce graphe est-il compatible avec l'étude précédente ? Quel renseigne-

ment supplémentaire en tire-t-on sur l'état d'équilibre a : a,,q ?

I.C.2) Justifier que seules les bulles de champagne ayant un rayon initial
supérieur à une valeur critique ac , à préciser, peuvent croître spontanément.

I.C.3) On donne A = 7- 10--2N-m"1 , p°° : 3 bars et pe : 1bar. Calculer ac.
Comment expliquer la présence initiale de bulles de rayon supérieur à ac à la
surface du verre ?

Partie II - Croissance et ascension des bulles

II.A - Croissance initiale des bulles

On envisage une bulle de champagne unique, sphérique de centre B fixe et de
rayon variable a(t) contenant N (t) molécules de dioxyde de carbone assimilé
à un gaz parfait; on note C g(t) lge nombre, supposé uniforme, de molécules de
dioxyde de carbone par unité de volume dans cette bulle. On repère un point M '
par ses coordonnées sphériques (r, @, cp) de centre B. Le champagne liquide
occupe le reste de l'espace et on y note C(r, t) le nombre volumique de 
molécules
de dioxyde de carbone, supposé indépendant de 6 et cp. Dans cette partie, on
néglige les phénomènes de tension superficielle et la pesanteur, de telle sorte
que la pression p est uniforme dans tout le système, avec la même valeur dans
la phase gazeuse et dans la phase liquide. L'équilibre chimique entre une bulle
de champagne et la solution aqueuse qui l'entoure dans une bouteille fermée où
la pression initiale vaut p = p,-- , impose la relation C = X pi/ k BT entre le 
nom-
bre volumique de molécules C dans la phase liquide et la pression p,-- dans la
phase gazeuse ; x ne dépend que de la température (c'est donc une constante) ;
k B est la constante de Boltzmann. Lorsqu'on ouvre la bouteille de champagne,
la pression chute brutalement jusqu'à la pression atmosphérique p : pe avec
pe < p,. La condition d'équilibre chimique n'est plus assurée qu'à l'interface entre la bulle et la solution, elle s'écrit C(r-- -- a, t) = x p/ k BT Loin de la bulle, on suppose qu' on a toujours C(r-- -- 00 ,t) : xp,/kBT. Ainsi C(r, t) n 'est plus uni- forme et le dioxyde de carbone diffuse dans la solution: on note j : j(r, t)u,... le vecteur--densité de flux de particules, il satisfait a la loi de Fick avec un coeffi- cient de diffusion D. II. A. 1) Soit une couronne de champagne liquide, comprise entre les rayons r et r + dr. Exprimer le nombre 6 2,,N de molécules de dioxyde de carbone qui entrent dans cette couronne entre les instants t et t + dt en fonction de ô(r 2j)/ôr, dr et dt. II.A.2) On se place en régime stationnaire. En déduire que C(r) est de la forme C(r) : a + B/r où a et B sont deux constantes. II.A.3) Bien que le régime réel ne soit pas stationnaire puisque le rayon a dépend du temps, on utilise la forme de C(r) ci--dessus avec a(t) . Exprimer a et B en fonction de a(t), x, p,, pe kB et T. II. A. 4) En déduire le taux de variation ng / dt du nombre Ng de molécules de dioxyde de carbone dans la bulle de gaz en gfonction de D, a , xg, p,-- , pe k 3 et T. II.A.5) Montrer que a(t) est solution d'une équation différentielle de la forme: * a(t) d(t) : K ' (1) où K est une constante qu'on exprimera en fonction de pe , p, , X et D . Vérifier l'homogénéité de l'équation (1). II. A. 6) En déduire l'expression de a(t). Lors de la croissance de la bulle à la surface du verre sur son s6ite de naissance posur p 8 =1 bar et pi : 3 bars ,le rayon des bulles croît de "(> = 106 m jusqu'à al = 105 m. Vérifier que dans ces 
conditions
on a K z4 10"9 m2 s*1 sachant que Des 3 10"9 m2 S"1 et xæO, 7. Évaluer la
durée 11 de cette phase.

II.B - Croissance et ascension des bulles

H. B. 1) On suppose tout d'abord que a(t) est une constante au cours de l'ascen-
sion. On modélise les actions du champagne liquide assimilé' a de l'eau de masse
volumique M = 1 0 103 kg m 3 , par la poussée d'Archimède et une force de traî-

née de Stokes F-- : --6nanv où 71 = 1,0 10 3P1 est la viscosité dynamique du
champagne.

a) Justifier que le poids de la bulle est négligeable devant la poussée d'Archi-
mède.

b) On néglige par ailleurs la variation de quantité de mouvement de la bulle.
En déduire l'expression, numérotée (2), de sa vitesse d'ascension U en fonction
de 71 , M , g et a .

0) Calculer numériquement cette vitesse pour a = O, 1 mm . Justifier le choix de
l'expression ci-dessus de la traînée en évaluant un nombre sans dimension.

II.B.2) On admet en outre que l'expression de a(t) établie en II.A.6 reste 
vala--
ble en dépit du mouvement de la bulle. En déduire le mouvement de la bulle et
évaluer numériquement la durée 12 de son ascension dans une flûte de hauteur
H = 8 cm. On adoptera les données numériques de la question II.A.6.

Partie III . Effet de masse ajoutée

Le modèle de la partie Il (poussée d'Archimède et traînée de Stokes) ne tient 
pas
bien compte de la dépendance temporelle du rayon a et de la vitesse U . On se
propose ici de préciser l'effet de ces variations sur la force subie par la 
bulle de
champagne. Le référentiel (Ro) : (Oxyz) du verre dans lequel la vitesse de la
bulle est U(t)uz est galiléen. On étudie le mouvement du champagne liquide

autour de la bulle dans le référentiel (R B) : (Bxyz) dont l'origine est placée 
au
centre de la bulle.

_)
On note v(M, t) le champ des vitesses dans 2
le référentiel R B où M est repéré par ses
coordonnées sphériques (r, 6, cp) de centre B
(cf. figure 3). On adopte dans toute cette par--
tie le modèle suivant :

° l'écoulement du champagne autour de la
bulle est supposé parfait et on néglige la
pesanteur (on espère que l'effet dominant
des variations temporelles de a et U
n'est pas de modifier la poussée d'Archi-
mède et la traînée de Stokes, mais d'ajou--
ter de nouveaux termes dépendant de d
et U ) ;

. l'écoulement du champagne autour de la bulle est incompressible ;

. . . . --> -->
0 Il ex1ste un potent1el des v1tesses <|>(M, t) tel que v : grad par analogie avec des problèmes d'électros-
tatique dans le domaine r 2 a situé à l'extérieur de la bulle.

a) Rappeler les équations de Maxwell de l'électrostatique. En déduire l'équation
aux dérivées partielles dont est solution le potentiel V créé par une 
distribution
de charges p connue. Vérifier qu'on obtient l'équation (3) établie en III.A.1 
dans
le domaine r > a si les sources sont entièrement contenues dans la boule de
rayon a.

b) Rappeler sans démonstration l'expression du potentiel électrique V1 créé
par une charge ponctuelle q placée à l'origine B en fonction de q , 80 et de la
distance r . En déduire que la fonction q>1 : a/ r est solution de (3).

c) Opérer de manière analogue en exhibant une distribution classique de char--
ges pour justifier que % : [5cos9/r2 est solution de l'équation (3).

(1) Chercher par ailleurs une solution q>3(z) de l'équation (3) ne dépendant que
de z en coordonnées cartésiennes.

e) Justifier que la fonction

s6 + yrcos6 + 6

vérifie l'équation (3). On adopte cette expression avec 6 = 0 dans la suite.

III. A. 3) Exprimer les composantes v,. , v9 et "
n2 _n1+n2°

On éclaire sous incidence normale par une onde
air

air

Figure 5

On prendra na : 1 pour l'air et nc : 1, 33 pour le
champagne liquide du film. On considère que les
coefficients de transmission sont approximative--
ment égaux à 1.

IV.A.1) En invoquant un phénomène d'interfé-
rences à deux ondes qu'on précisera, établir
l'expression de l'éclairement % (t) en fonction de k , e(t) , na , nc et de 
l'éclaire-

Figure 6

ment go du laser. Déduire du graphe de % (t) l'évolution qualitative de la
vitesse de variation é de l'épaisseur du film.

IV.A.2) Interpréter le fait que l'éclairement est nul juste avant que le film
n'éclate.

IV.A.3) Lorsqu'on observe le film en lumière blanche, on observe des franges
colorées. Par analogie avec les observations sur un interféromètre de Michelson,
donner une borne supérieure pour l'épaisseur initiale e() du film.

IV.B - Disparition du film

La pesanteur a pour effet de fragiliser le
film au sommet S de la bulle, de telle sorte
qu'il finit par se percer en ce point à un ins-

tant qu'on prend dans cette partie comme M' x
origine des temps. Pour étudier la phase """" ' ' ' ' """" '
suivante correspondant à la croissance du

trou, on adopte le modèle de Culik (of. Figure 7 _ÏÎÜ)
figure 7) :

'bourrelets AZ film d'épaisseur e

° le film liquide' est compris entre les plans de cotes z = = e/ 2 et son 
épaisseur
e est indépendante du temps ;

° le problème est symétrique par rapport au plan x = 0 et invariant par trans-
lation selon îîy ; on note b la largeur du film dans cette direction ;

0 à l'instant t> 0 , le film a disparu entre les abscisses : X (t) et il s'est 
formé
des bourrelets centrés en M ' et M" ; le bourrelet centré en M' (respective-
ment M" ) contient tout le liquide qui était contenu à t = 0 dans la partie du

_ film initialement comprise entre les abscisses 0 et X (t) (resp.(--X)(t) et 
O) ;

0 à l'instant t, le liquide est au repos dans les domaines |xl > X (t) et 
possède
une vitesse 3== X (t)îîx dans le bourrelet centré en M' ;

° on ne prend en compte parmi les forces appliquées au 1--3, : A b {?
bourrelet centré en M ' que les deux forces de tension '"
superficielle appliquées sur chacune des coupures liant (>;
le bourrelet aux faces planes du film ,chacune de ces for-- F : Abû--ï
ces vaut F= Abux (cf. figure 8). Figure 8

IV.B.1) Considérons le système fermé constitué de la

masse m(t) de liquide contenue à l'instant t dans le bourrelet et de la masse ôm
contenue à l'instant t dans la partie plane du film et qui va entrer dans le 
bour--
relet entre les instants t et t + dt. Exprimer la variation de quantité de 
mouve-
ment par unité de temps dP/ dt de ce système en fonction de e, X à b, X, p. et
X. Dans la suite on néglige le terme en XX devant le terme en X dans cette
expression.

IV.B.2) En déduire l'expression de X en fonction de e , A et u .

IV.B.3) En déduire un ordre de grandeur littéral de la durée 13 nécessaire
pour faire disparaître le film.

IV.B.4) Calculer X et 1:3 sachant que a = O, 1 mm, e = 2- 10"7 m,

u = 1,0--103kg -m'3 etA = 7=10"2N-m"1.

Partie V - Rupture du jet ascendant

Une fois que le film liquide a disparu, il laisse derrière lui un cratère 
hémisphé--
rique hors d'équilibre, qui provoque l'émission d'un fin jet de champagne 
liquide
vertical. On constate que le jet est cylindrique, ce qui conduit à négliger la
pesanteur dans toute cette partie. La pression atmosphérique pe est uniforme
autour du jet. Ce jet se brise en fines gouttelettes, ce que l'on se propose 
d'inter--
préter par deux modèles concurrents.

V.A - Premier modèle Az

On envisage un jet de liquide initialement cylindrique d'axe Oz
et de rayon a. On adopte dans cette partie un système de coor--

données cylindriques (r, 6, z) d'axe Oz et le trièdre local associé. _ .C--
Pour discuter la stabilité du jet, on imagine qu'on lui impose à I
t = 0 une perturbation telle que sa surface libre ait pour équa-- - ' ' ' .B ' '

tion r = a + bcos(2nz/k) avec b << a et on se demande si la pertur-- bation se résorbe ou s'amplifie. _ On considère les points B et C sur la figure 9 de cotes respectives )» et 3)»/ 2. On admet que la pression en ces points vaut : A d2 % d2 pB=pe+----A(--ÎZ') etpc=pe+----A(----z) ' B C où A est le coefficient de tension superficielle, constant et positif introduit dans la partie I ; les dérivées secondes sont évaluées respectivement aux points B et C V.A.1) Exprimer pc --- p B en fonction deA , a , b et >» en limitant les 
calculs à
l'ordre-un en b/a .

V.A.2) En déduire que le jet est instable si )» est supérieur à une valeur 
criti-
que l.c qu'on exprimera en fonction de a . Quelle est alors l'ordre de grandeur 
de
la longueur minimale Lc de jet nécessaire pour que l'instabilité se développe ?

V.B - Deuxième modèle

On se propose de retrouver le résultat précédent sachant que Ray]eigh a obtenu
des solutions analytiques de la forme :

2 2 2 2
"(z, t) : a+æe(bexp(joet_jkz)) avec ...2 = k a (k a3-- 1)A
2ua

Où ?)'îe désigne l'opérateur partie réelle ; k est un nombre réel et m est un 
nom-
bre a priori complexe noté (» = m' + joe" .

V.B.1) Explioiter r(z, t). À quelle condition sur ou" le jet cylindrique est-il
instable ? Pour quel domaine de valeurs de k cette situation se produit-elle ?-

V.B.2) Tracer le graphe de (02 en fonction de la variable u : k2a2 pour
0 < u < oo . Pour un rayon a donné, quelle est la valeur particulière k M de k don- nant lieu à l'explosion la plus rapide ? Comparer au résultat de V.A.2. V.C - Validité du modèle du jet cylindrique On se propose de tester la validité de l'approximation « pesanteur négligeable » utilisée dans la partie V, pour un jet de rayon typique a = O, 1 mm et de vitesse typique v : 1m-s"'. V.C.l) Former un nombre sans dimension à cet effet, l'évaluer et conclure. V.C.2) Indiquer sans calcul pourquoi lorsqu'on prend en compte la pesanteur le rayon a du jet varie avec l'altitude z . Préciser si a croît ou décroît lorsque 2 croît. ooo FIN 000 Ce sujet est inspiré d'un article de Gérard Ligier--Eclair paru dans le Bulletin de la Société Fran- çaise de Physique (décembre 2000) rendant compte de recherches actuelles dans ce domaine. Ces recher- ches sont notamment motivées par l'importance du rôle joué par les bulles du champagne dans sa dégustation : lors de leur éclatement, elles libèrent, outre du dioxyde de carbone, des composés aromati- ques.