Centrale Physique 2 PC 2007

Concours Centrale - Supélec 2007

Épreuve :

PHYSIQUE II

Filière

PC

PHYSIQUE ll Filière PC

PHYSIQUE Il

Le sujet est composé de deux problèmes indépendants. Le premier problème, plus 
court, s'intéresse à deux techniques
de navigation côtière, l'une à l'aide d'un compas, l'autre a l'aide du signal 
émis par un radiophare. Le second pro-
blème a pour objectif la comparaison du sillage d'un avion ou d'un obus 
supersonique à celui d'un bateau.

Les calculatrices sont autorisées. On rappelle les identités

+ % + +
div(kV) : gradk-V+ÀdivV
% + % + %à
rot(kV) : gradk A V+krotV

+ % H+ % +
AV : --rot(rotV)+grad(divV)

Partie I - Navigation côtière

Un navire, à l'approche du port, doit nécessairement effectuer une navigation 
précise afin
d'éviter les dangers de la côte (rochers, haut-fonds, courants, etc...). Nous 
allons étudier
quelques outils de la navigation côtière. Les parties I.A et LE sont 
indépendantes.

I.A - Navigation à vue

Par temps clair, il est possible de repérer à l'oeil des balises (bouées ou 
phares). Une bous-
sole appelée compas de relèvement, pointée sur la balise, indique la direction 
de celle-ci
par rapport au nord magnétique.

I.A.1) Le champ magnétique terrestre
a) Représenter la terre et les lignes du champ magnétique terrestre orientées.

b) Quel est l'ordre de grandeur de l'intensité du champ magnétique terrestre ? 
À l'aide
d'un schéma, représenter ce vecteur champ en un point de l'hémisphère nord.

I.A.2) La déclinaison

a) Pour reporter sur la carte la position du navire, il faut ajouter àla valeur 
magnétique
lue sur le compas, l'angle de déclinaison. En effet le Nord magnétique et le 
Nord géogra-
phique ne sont pas confondus. On appelle déclinaison en un point, l'angle que 
fait la
direction du Nord magnétique avec celle du Nord géographique. Cet angle est 
noté posi-
tivement dans le sens Nord-Est. La valeur de la déclinaison est-elle constante ?
uniforme ? Si ce n'est pas le cas, de quoi dépend-elle ?

b) Actuellement, en Bretagne, la déclinaison est égale à --4° . À l'aide d'un 
schéma, indi-
quer les positions respectives du navire, des balises (l) et (2) sachant que 
les mesures
effectuées sur le navire à l'aide du compas donnent 49° pour la balise (l) et 
94° pour la
balise (2).

LE - Navigation par temps de brouillard

Par temps de brouillard, il n'est plus possible de repérer à vue les balises. 
Certains pha-
res importants, par exemple le phare de Cordouan à l'entrée de la Gironde, 
émettent des

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PHYSIQUE ll Filière PC

Filière PC

signaux électromagnétiques codés que l'on peut détecter et ainsi positionner le 
navire par
rapport au phare.

I.B.1) Rayonnement d'un dipôle oscillant
L'atmosphère terrestre a les propriétés électriques du vide :

_ _ _ _ >
80=(1/36n)109F'm1;u0=4n107H-m1 2 er
Un dipôle oscillant de moment dipolaire Ë(t) : Ëocosoet eq)
est placé à l'origine O de l'espace le long de l'axe Oz . On 50 ,

@

étudie le rayonnement émis en un point M repéré par ses
coordonnées sphériques r , 6, cp (figure 1).

v'< a) Sous certaines conditions, le champ magnétique créé au 0 point M par le dipôle s'écrit : 2 + x Ë(M, t) = 4310 d--2ÿ(t-- f)] A e,. H di 0 c est la vitesse de la lumière dans le vide. Cette formule est obtenue sous certaines conditions ; les préciser et dégager leur contenu physique. b) En notation complexe Ê(t) : Ëoejoe' ;donner alors l_3 (M , t) en notation complexe en introduisant le nombre d'onde k : oe/c . 0) Préciser la zone de rayonnement du phare si celui-ci émet un signal de fréquence 100 kHz . Conclure. % + d) Sachant que le champ électromagnétique (E, B) possède localement la structure d$une onde plane progressive dans la direction È... en déduire l'expression complexe E(M, t)- à e) Définir le vecteur de Poynting H(M , t) et préciser sa signification physique. % Calculer H(M , t) en notation réelle, puis sa valeur moyenne dans le temps. f) Calculer la puissance moyenne  : 20 kW . On suppose 
que
les caractéristiques d'émission du radiophare sont analogues à celles du dipôle 
oscillant
étudié en I.B.1. Calculer la valeur efficace U obtenue entre les bornes A et B .

(1 mille marin : 1852 m ).

Partie II - Ondes dans les fluides

Tout le monde a pu observer le V se formant à la surface de l'eau dans le 
sillage d'un
bateau ou d'un animal (canard...) ; d'autre part, on peut trouver de très 
belles photogra-
phies faisant apparaître un sillage en V créé par un avion rapide, un obus ou 
une balle
de fusil. L'objet de ce problème est de comparer les deux phénomènes et d'en 
fournir des
modèles théoriques élémentaires.

Photo 4 : sillage d'un catamaran

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PHYSIQUE II Filière PC

Dans les deux premières parties, on étudie les ondes qui vont servir de support 
à ces
modèles théoriques (ondes sonores pour le sillage de l'avion et ondes de 
surface libre pour
le sillage du bateau). Malgré cela, les deux dernières parties peuvent, dans 
une large
mesure, être abordées de façon indépendante.

II.A - Propagation du son

On cherche à étudier la propagation du son dans l'air que l'on assimilera à un 
gaz parfait.
On note respectivement u , P , T, 3 la masse volumique, la pression, la 
température et
la vitesse locale d'écoulement. Les valeurs correspondantes sont ...) , Po , T0 
, 0 à l'équi-
libre. Les écarts de ces grandeurs par rapport à l'équilibre sont les grandeurs 
acousti-
ques. Les effets de la pesanteur sont négligés devant ceux de l'onde sonore.

II.A.1) Approximation acoustique

a) On supposera la température uniforme à l'équilibre. Justifier que la masse 
volumique
à l'équilibre est également uniforme.

b) L'appr0ximati0n acoustique permet de se limiter à des équations d'ordre 1 . 
À quoi se
réduit alors l'équation d'Euler ?

c) Écrire de même la forme approchée à l'ordre 1 de l'équation de bilan 
massique.
d) Le coefficient de compressibilité isentropique est défini par

_ 1 6 M
XS _ " (ôP)s .
En déduire une relation de proportionnalité entre la surpression acoustique p = 
P -- Po

et l'écart de masse volumique u -- u0 .

e) Montrer que p est solution d'une équation de d'Alembert. Préciser la 
célérité (: cor--
respondante.

f) Montrer que la dérivée locale de la vitesse par rapport au temps est un 
champ de gra-
dient. En déduire que l'écoulement est potentiel.

g) Montrer que Y) est solution d'une équation de d'Alembert. Préciser la 
célérité corres-
pondante.

h) Le milieu étudié est-il dispersif ?
II.A.2) Aspect énergétique

+
a) On définit le vecteur J : pi) . Quelle est la signification du flux de J a 
travers une
surface 2 ? Quel est le vecteur jouant le même rôle pour les ondes 
électromagnétiques ?

b) On pose e : %u0v2+ ap2.

Quelle doit être la dimension physique de a pour que l'expression de e soit 
homogène ?
Indiquer la nature physique de e .

c) Montrer que l'on peut trouver a de telle sorte que ô_e + divî : 0 .

Vérifier la dimension physique de a et indiquer la signification physique de 
l'équation
ainsi établie.

II.A.3) Ordres de grandeur

L'air est assimilé à un gaz parfait diatomique ; conformément à l'usage, on 
note y le rap-
port des capacités thermiques à pression constante et à volume constant et R la 
cons-

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PHYSIQUE ll Filière PC

tante molaire des gaz parfaits. y = l, 4 et R = 8, 314 J ° K "1 ° mol"1 . La 
masse
molaire moyenne de l'air est M = 29 g ° mol_ . La température d'équilibre est
T() = 300 K et la pression d'équilibre est P0 = l, 013 ° 105 Pa.

a) Rappeler la valeur numérique de MO et préciser son unité.

b) Exprimer le coefficient de compressibilité xs en fonction de la pression et 
du coeffi-
cient y .

c) En déduire l'expression de la célérité du son dans l'air en fonction de y , 
R , T0 et M .
Calculer numériquement cette célérité.

01) On définit l'intensité sonore comme la valeur moyenne de la puissance 
sonore surfa-
cique. On choisit une valeur de référence I 0 = 10_1 W ° m--2 , valeur qui 
correspond au
seuil d'audition d'une oreille moyenne à la fréquence de 1 kHz. Déterminer, 
pour une
onde plane progressive ayant cette intensité sonore, les amplitudes de la 
surpression et
de la vitesse acoustique. Quelle est l'amplitude du déplacement du fluide lié a 
l'onde
sonore ? La comparer a la longueur d'onde. Montrer que l'approximation 
acoustique est
valable. Vérifier que les effets de la pesanteur sont bien négligeables devant 
ceux de
l'onde sonore.

e) On utilise souvent une échelle logarithmique pour indiquer un niveau sonore. 
Le
niveau sonore correspondant à une onde d'intensité I est indiqué en décibels ; 
il s'obtient
par IdB : 1010g(1/10).

Le seuil de douleur correspond à I d B = 120 dB . Comparer l'amplitude du 
déplacement
acoustique à la longueur d'onde pour une onde sonore de 120 dB à 1 kHz . 
Conclure.

II.B - Ondes à la surface libre d'un liquide

Un plan d'eau est surmonté d'une atmosphère au repos où règne une pression 
uniforme
Po . Il est soumis à un champ de pesanteur uniforme 5 : --gËZ .Au repos, la 
surface libre
est un plan horizontal d'équation z = 0. On envisage un mouvement de cette 
surface
décrit par une élongation verticale Z ; l'équation de la surface libre devient 
alors
2 : Z(x, y, t).

II.B.1) Mise en équations

a) Dans l'hypothèse d'un écoulement incompressible, donner l'équation aux 
dérivées
partielles reliant les dérivées partielles de la vitesse. À quelle condition 
cette hypothèse
est--elle valide ? On supposera dans la suite que la masse volumique p de l'eau 
est uni-
forme et indépendante du temps.

b) Montrer que, si l'on néglige les termes d'ordre 2 dans l'équation d'Euler, 
la dérivée
partielle de la vitesse par rapport au temps est un champ de gradiept. En 
déduire qu'il
est naturel d'introduire un potentiel des vitesses @ tel que Y) : grad
>, traduit la présence d'une onde de choc.

c) On donne h = 1000 m ; v = 500 m - s_1 ; c = 340 m - s_1 . On note tO' 
l'instant auquel
le bang est perçu par l'observateur et to l'instant auquel les sons perçus à 
l'instant t0'
ont été émis par l'avion. Déterminer en fonction de ces données :

° l'instant to ;

° l'instant t0' ;

0 les positions de A aux instants to et t0' .

d) L'observateur entend-il l'avion avant d'entendre le bang ? Quelle est la 
durée At
d'émission des sons perçus entre t0' et tô + At' ? (Pour répondre, on pourra 
effectuer un
développement limité de f (t) au voisinage de to ). Calculer At pour At' : 0, 1 
s et com-
menter.

e) Déterminer l'ensemble des points recevant l'onde de choc à un instant donné.

f) Quelle est la région de l'espace qui peut être atteinte à un instant donné 
par une onde
sonore provenant de l'avion ?

g) En conservant la valeur de la célérité du son de la question H.C.2-c), 
estimer la vitesse
de l'obus sur la photographie 3.

II.D - Sillage d'un bateau
II.D.1) Relation de dispersion

a) Montrer que l'on peut trouver une relation de dispersion w = f (la) telle 
que les vites-
ses de groupe et de phase sont reliées par la relation simple vg : nv ® , où n 
est une cons-
tante.

b) Pour un bateau naviguant sur un bassin suffisamment profond, on peut estimer 
que
la propagation des ondes de surface sera indépendante de la profondeur. On 
cherche alors
une relation de dispersion de la forme (0 : agak , où a est une constante sans 
dimen-
sion. Déterminer les exposants ou et [5 . Comparer la relation de dispersion 
ainsi obtenue
à celles qui ont été obtenues précédemment. Dans la suite on prendra a = 1 .

II.D.2) Forme du sillage

Le bateau est assimilé à un point matériel B de masse m . Le vent lui permet 
d'avoir un
mouvement pratiquement rectiligne uniforme de vitesse Y) . Il émet un paquet 
d'ondes,
spatialement très concentré, de pulsation moyenne 00 et dont le vecteur d'onde 
le fait un
angle 0 avec la vitesse 3 .

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PHYSIQUE ll Filière PC

On suppose que le paquet d'onde est émis vers l'avant du navire, soit

TE Tl:
---- < 6 < -- . 2 2 On admgt que ce paquet d'onde transporte une énergie H (0 et une quantité de mouve- ment H le , où H est une constante. a) Donner la dimension physique de H . Citer une constante physique fondamentale qui a la même dimension physique que H et qui apparaît dans les expressions de l'énergie et de la quantité de mouvement d'un paquet d'ondes dans un autre domaine de la physi- que. b)L'émission par le bateau d'un paquet d'ondes s'effectue avec conservation de l'énergie cinétique et conservation du vectegr quantité de mouvement. Au cours de cette émission la vitesse du bateau varie de 3 à v' . En négligeant les termes d'ordre 2 en H , montrer que w : kucosG. c) En déduire, en utilisant la relation de dispersion établie à la question II.D.1 - b), les expressions des vitesses de groupe et de phase en fonction de la vitesse v et de l'angle @ . d) Le bateau se déplace àla vitesse ?) selon l'axe Ox dans le sens des x croissants. Mon- trer qu'à l'instant t ,les paquets d'ondes émis antérieurement par le bateau dans la direc- tion 6 sont répartis sur une demi-droite de sommet B faisant avec la vitesse 3 un angle (i) tel que sin @ cos @ 0082 6 -- 2 e) Étudier la fonction cb(8) ; en déduire que le sillage du bateau est limité par deux demi--droites faisant un angle 20c que l'on exprimera et que l'on calculera numérique- ment. tancb : avec cosq) < 0 . f) Le résultat est-il en accord avec ce que l'on peut observer sur la photographie 4 ? Peut- on estimer la vitesse du catamaran ? g) Comparer ce résultat au résultat obtenu pour le sillage d'un avion supersonique. ooo FIN ooo Concours Centrale-Supélec 2007 8/8