Centrale Physique 2 PC 2010

Concours Centrale - Supélec 2010

Épreuve :

PHYSIQUE II

Filière

PC

PHYSIQUE II

Filière PC

PHYSIQUE II
Calculatrices autorisées.
Quelques situations physiques liées aux explosions nucléaires
Les recherches sur le noyau d'uranium ont mis en évidence le phénomène de 
fission
nucléaire en 1939 ; ces travaux ont trouvé leur première application lors de 
l'explosion
de la bombe d'Hiroshima, le 6 août 1945. Il va de soi que l'invention de la « 
bombe
atomique » n'est peut-être pas le plus grand progrès de l'Humanité. Mais en 
l'état actuel
des choses, cette arme existe, et il est souhaitable d'en aborder l'aspect 
physique pour
mieux en saisir les tenants et aboutissants scientifiques. Ce problème comporte 
quatre
parties totalement indépendantes.

On rappelle par ailleurs les expressions d'analyse vectorielle :
· En coordonnées sphériques :
1  2 f
 f (r) = ----2- -----  r ------
r r  r

· En coordonnées cylindriques :
1  f
 f (r) = --- -----  r ------
r r  r
U U
1 ( rU  ) U r
1  U z U
rot ( U ) =  --- ---------- ­ ---------- e r +  ---------r- ­ ---------z- e  + 
---  ----------------- ­ ---------- e z
 r 
 z
r  r
z 
r 

Partie I - La désintégration de l'uranium 235
L'élément uranium se présente essentiellement sous la forme de deux isotopes ;
238
le plus répandu à l'état naturel, U , possède 92 protons et 146 neutrons ;
235
235
l'autre isotope est U
dit isotope « fissile ». Lorsqu'un noyau U
est heurté
par un neutron (noté n ), il peut « fissionner », suivant la réaction suivante :
235
U 92 + n  X + Y + plusieurs neutrons + énergie, où X et Y sont deux noyaux
le plus souvent radioactifs.
235
Le nombre moyen de neutrons émis dans la désintégration d'un noyau d' U
est   2, 5 . On voit ainsi la possibilité d'une réaction en chaîne, utilisable 
de
manière contrôlée dans une centrale nucléaire, ou de manière explosive dans
235
une bombe. L'énergie libérée par la désintégration d'un noyau d' U
est en

Concours Centrale-Supélec 2010

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6

­ 19

moyenne de 170  10 eV ( 1eV = 1, 6  10 J ) . Lorsque la masse du bloc d'uranium
devient supérieure à une valeur critique, la réaction en chaîne s'emballe et
devient explosive.
I.A - Diffusion de neutrons
I.A.1)
Quelle serait l'énergie libérée par la désintégration totale d'un kilo235
gramme d' U
?
I.A.2)
L'énergie libérée par l'explosion d'une tonne de trinitrotoluène, un
9
explosif chimique classique encore dénommé TNT, est de 4, 2  10 Joule . En
déduire l'énergie libérée par la désintégration supposée totale d'un kilogramme
235
d' U , exprimée en équivalent tonnes de TNT. Commenter le résultat.
I.A.3)
Soit N ( x, y, z, t ) le nombre de neutrons par unité de volume, et J le
vecteur densité de flux de neutrons, tel que J  dS dt représente le nombre de
neutrons traversant la surface dS pendant l'intervalle de temps dt . On donne
l'équation fondamentale de la neutronique :
­1
N
-------- = ­ div J +  ------------ N ( x, y, z, t ) .

t

On rappelle de plus la loi de Fick J = ­ Dgrad N et la relation div ( grad N ) 
= N .
a) En vous aidant d'analogies avec d'autres domaines de la Physique, pouvezvous 
interpréter les deux termes situés à droite de l'égalité ?
b) Quelle interprétation proposez-vous pour la constante  ?
c) Expliquer, en particulier, pourquoi  ­ 1 intervient dans le terme de droite, 
et
pas  .
I.B - Masse critique
On cherche à déterminer la masse du bloc d'uranium (ou masse critique) pour
laquelle la réaction en chaîne peut s'emballer et devenir explosive.
I.B.1)
Calcul de la masse critique dans le cas d'une boule d'uranium 235 pur,
de rayon R
On suppose que le problème est à géométrie sphérique de telle sorte que l'on
puisse écrire :
N = N ( r, t ) = N 1 ( r )e

t / 

et

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N
J (r,t) = ­ D -------- e r .
r

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Dans cette situation, on a :
1 d 2d N1
 N 1 = ----2- ------  r ------------
r dr  dr 

.

a) On pose
g(r) = rN 1(r)

et

2
 ­  + 1
 = ---------------------D

;

montrer que la fonction g(r) est solution d'une équation différentielle très 
classique. On recherche une fonction r  N 1 ( r ) telle que N 1 ( r = R ) = 0 , 
que N 1 ne
s'annule pas pour r  ]0, R [ et telle que N 1 tende vers une limite finie quand 
r
tend vers zéro. Montrer que c'est possible si
2

 D
 = (  ­ 1 ) ­ -------------- .
2
R

b) Interpréter le fait que  augmente si R croît.
c) Quelle est la différence fondamentale entre les cas  > 0 et  < 0 ? d) Exprimer le rayon minimal R c tel qu'il puisse y avoir réaction en chaîne, en fonction de D ,  et  . 235 3 e) On donne pour U 92 de masse volumique  = 19  10 kg m­3 : 2 ­2 2 D = 2, 2  10 m et  = 2, 5 . Calculer la valeur du rayon critique R c , ainsi que la masse critique M c (masse de la boule d'uranium de rayon R c ). I.B.2) Mise en oeuvre d'une bombe nucléaire Pour des raisons évidentes, on ne peut pas stocker sans précautions une masse d'uranium supérieure à la masse critique. Quelle disposition raisonnable pouvez-vous suggérer pour le conditionnement d'une arme nucléaire, embarquée dans un missile ? Comment pourrait-on déclencher l'explosion ? Partie II - Principe de la séparation isotopique par diffusion gazeuse L'uranium naturel est à 99, 3% sous forme de l'isotope 238 , et à 0, 7% sous forme de l'isotope fissile 235 . Afin d'enrichir l'uranium en son isotope fissile, on peut utiliser des membranes percées de petits orifices, de sorte que les molécules les plus rapides aient plus de chance de traverser cette membrane. II.A - Diffusion gazeuse à travers une petite ouverture II.A.1) L'hexafluorure d'uranium U F 6 est assimilé à un gaz parfait. Concours Centrale-Supélec 2010 3/11 PHYSIQUE II Filière PC a) Relier la vitesse quadratique moyenne V : (V2) d'une molécule de masse m d'un gaz parfait à la température de ce gaz. b) On suppose que la paroi du récipient contenant le gaz UF6 est percée Mélange gazeux à 0uVerture d'un petit orifice, d'aire S . Cet orifice appar- la température T tient a une paroi perpendiculaire à l'axe eÎÇ , 235 Vide La pression à l'extérieur du récipient est U F 6 Jet gazeux supposée nulle. Pour simplifier, on considé-- 238UF6 rer que la projection du vecteur vitesse d'une molécule sur un des trois axes (supposés x' x equ1va en s ex, ey ou eZ ne peu pren re que deux valeurs : :V. Le récipient contient un mélange des deux gaz 235UF6 et 238UF6 sous la pression partielle respective P235 et P238 . Soit ôN235 le nombre de molécules d' U 235F6 qui traversent l'orifice pendant l'intervalle de temps dt , et ôN238 le nombre de molécules d' U 238F6 qui traversent l'orifice pendant le même intervalle de temps. Figure 2 Montrer que ôN M en P 15 . . 235 = ( 238) (-ÊÊË) ou M235 est la masse molaire du gaz U235F6 ô1VZ38 M235 P235 et M 238 est la masse molaire du gaz U 238F6 . On explicitera les exposants oc et [3 . c) On donne la masse molaire du Barrière poreuse fluor : 19 - 10--3kg - mol--1 . Le récipient a été rempli avec de l'hexafluorure UF . . 6 d'uranium « naturel >> ; la proport1on

| 238 / ' ' -
(1 U dans ce rec1p1ent va augmen- Flux appauvr1 en
ter au cours du temps. U235

Évaluer numériquement le rapport

J 235/ J 238 des flux de matière sortant U F 6
du récipient, à l'instant initial de CO:

l'ouverture de l'orifice.

UF6

Flux enrichi en
lÏ235

(1) Pourquoi utiliser de l'hexafluo-
rure d'uranium plutôt que de l'hexa-
chlorure d'uranium ?

Haute pression Basse pression

Figure 3

II.B - Mise en cascade de cellules de diffusion gazeuse

Une usine de séparation isotopique par diffusion gazeuse utilise des centaines
de cellules élémentaires de diffusion gazeuse ; chaque cellule (figure 8) se 
com-
pose essentiellement d'une membrane poreuse et d'un système de pompage. On
alimente a gauche et on pompe a droite, de sorte que, comme dans la question

Concours Centrale-Supé/ec 2010 4/11

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précédente, on peut considérer que l'espace à droite de la paroi est quasi-vide.
La pression à l'entrée est la même pour toutes les cellules. On a le schéma de 
la
figure 3 en régime stationnaire.
235
238
On a donc en amont de la cellule un mélange de deux gaz U F 6 et U F 6 .
II.B.1) Soit r 235 le rapport P 235 / P 238 à un endroit donné ; à l'entrée de 
l'usine,
on a r 235, 0 = 0, 7% . Soit r 235, 1 le rapport P 235 / P 238 à la sortie de 
la première
cellule ; justifier que
M 238
r 235, 1 = r 235, 0 ------------- .
M 235

II.B.2)
a) Une centrale nucléaire typique nécessite un uranium enrichi, tel que
r 235, nc = 3% . Déterminer n c , nombre de cellules de diffusion disposées en 
cascade pour obtenir 3% d'uranium fissile.
b) Une bombe à uranium nécessite de l'uranium hautement enrichi, tel que
r 235, nb  90% ; exprimer n m , nombre de cellules nécessaires dans une usine
d'enrichissement destinée à des fins militaires.
II.B.3) Quels autres principes physiques pourriez-vous proposer pour séparer
les deux isotopes de l'uranium ? (on se limitera à 10 lignes au maximum).

Partie III - Blindage par une feuille métallique.
Au moment de l'explosion d'une bombe nucléaire dans la haute atmosphère, les
produits de la désintégration des noyaux d'uranium se trouvent dans un état
excité. Ils se désexcitent en quelques nanosecondes en émettant des photons 
d'énergie supérieure à 1 MeV , qui vont fortement ioniser l'atmosphère en 
engendrant un courant électrique très intense. L'impulsion d'ondes 
électromagnétiques
de durée courte, quelques dizaines de nanosecondes, qui en résulte, peut 
détruire
les dispositifs électroniques même situés à grande distance du lieu de 
l'explosion.
III.A - Ordre de grandeur du champ électrique à grande distance
3
À la distance D = 10 km du centre de l'explosion, on estime que la densité 
volumique d'énergie électromagnétique engendrée par le flux de rayons  est de
3
l'ordre de 0, 2mJ / m .
III.A.1) Rappeler l'expression de la densité volumique d'énergie 
électromagnétique associée à un champ électrique E .
­ 12
III.A.2) On donne la valeur de la permittivité du vide  0 = 8, 84  10 SI . En
déduire un ordre de grandeur grossier pour la norme du champ électrique. 
Commenter.

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PHYSIQUE II Filière PC

Le problème du blindage
-- c'est-à--dire de la protec-
tion -- des appareils sen-
sibles est dans ce contexte
une question de survie.
D'une manière générale,
l'appareil à protéger est
disposé à l'intérieur d'une
enceinte métallique fermée . '

qui empêche le champ élec- î _ B0bme 1 _
tromagnétique extérieur '1(t) i '1(')
de pénétrer. Un protocole

expérimental très simple a mettre en oeuvre ( y compris dans une salle de 
travaux
pratiques) est l'objet de la suite de cette troisième partie du problème.

\...\|\\\\HHHHH / _ _
@@)..." )l ll))l)l]lll"2A<îî Bobine 2 à insérer dans la bobine 1 Figure 4 Dans une première expérience, dite expérience A , on place deux bobines cylin- driques assez longues de telle sorte qu'elles aient le même axe de révolution. La bobine la plus grande n°1 de résistance R1 et d'auto-inductance L1 est alimen- tée par un générateur de tension sinusoïdale de force électromotrice e g(t) : emcos(oet + cpe) et de résistance interne R g = 50, 0 Q . La valeur efficace de la force électromotrice du générateur vaut eEURff : 7, 31V . Par ailleurs, un voltmè- tre d'impédance infinie indique la tension efficace aux bornes de la petite bobine (notée 2) située à l'intérieur de l'autre bobine. III.B - Étude de l'expérience A III.B.1) Exploitation des données expérimentales Le tableau ci-dessous consigne des valeurs numériques de U 2 A (valeur efficace de la tension aux bornes de la bobine n°2 ) en fonction de la fréquence ;" imposée par le générateur. Fréquence f en Hz 31 50 78, 6 110 1000 2200 U2A en V O, 161 O, 242 O, 323 O, 376 O, 478 O, 480 a) On considère le filtre de tension d'entrée e g et de tension de sortie "2A . Mon- trer par une construction graphique a réaliser directement sur votre copie que ces résultats sont compatibles avec un comportement du premier ordre. b) Indiquer les valeurs numériques du gain H 0 dans la bande passante et de la fréquence de coupure f1 . III.B.2) Étude théorique de l'amplitude de l'intensité dans la bobine n°1 en régime sinusoïdal forcé. Par un choix convenable de date origine, l'intensité du courant dans la bobine n°1 vaut i1(t) : Im cosoet. Concours Centrale-Supé/ec 2010 6/11 PHYSIQUE II Filière PC a) Relier l'amplitude I m de l'intensité circulant dans cette bobine aux caracté- ristiques électriques du circuit. b) Exprimer de même la phase origine (pe de la force électromotrice du généra- teur e g(t) . III.B.3) Champ magnétique créé par la bobine cylindrique n°1 a) Rappeler les caractéristiques du champ magnétique dans un solénoïde suffi- samment long pour que l'on puisse négliger les effets de bords sachant que la bobine de longueur !1 comporte N1 spires. b) Mettre l'expression de la composante du champ magnétique suivant l'axe de la bobine sous la forme BZ : fLoe)eg On exprimera la fonctiorÎcomplefi: @ en fonction de R g , R1 , L1 , N1 et !1 . III.B.4) Tension aux bornes de la bobine n°2 de détection La bobine de détection n°2 de N 2 spires circulaires de rayon r2 est reliée à un oscilloscope de très grande impédance d'entrée aux fréquences considérées. Exprimer en notation complexe la tension u2A aux bornes de la bobine de détec- tion en fonction de BZ . On précisera sur un--schéma la convention électrocinéti- que d'orientation reÎenue. III.B.5) Fonction de transfert du filtre a) En déduire l'expression de la fonction de transfert H A du filtre de tension d'entrée e g et de tension de sortie u2A. On donnera l'e_xpression du gain H 0 dans la bande passante et de la fréqueî1ce de coupure f1 . b) À l'aide des données expérimentales, déterminer l'inductance L1 de la bobine sachant que R1 = 11, 2 Q. III.C - Étude de l'expérience B Le protocole expérimental de la seconde expérience B est quasi identique à , . . . \ * 'n...lnuHHHHH l'experience A , a ce01 pres " que l'on enveloppe la <:l'\(llËÈ)Ë))ËËËËËËËË)ËËËDËl uîB(t) î bobine de détection par plusieurs tours de papier îg' '/ li1(t) Feuille de papier aluminium bobine 2 à insérer dans la bobine 1 aluminium ménager enroulé en forme de cylin- dre d'épaisseur totale h et de rayon r1»h. Ce cylin-- dre métallique de même axe que les bobines est lui--même placé dans la bobine n°1 . Bobine 1 _ L1(t) Figure 5 III.C.1) Exploitation des données expérimentales Concours Centrale-Supé/ec 2010 7/11 PHYSIQUE II Filière PC En haute fréquence, la fonction de transfert u2 B H B = ---------- en présence de la feuille d'aluminium eg diffère notablement de l'expérience précédente. Une modélisation mathématique de la fonction H( f ) s'accorde bien avec le modèle H 0 H B = ---------------------------------------f f 1 + jQ  ----- ­ ----0- f0 f avec les valeurs numériques f 0 = 1, 10 kHz , Q = 0.0798 , H 0 = 0, 0652 . On cherche à mettre H B( f ) sous la forme 1 H B = H A  H avec H = ------------------------- . 1 + jf / f 2 a) Exprimer H 0 en fonction de H 0 , f 1 et f 2 . b) Relier le facteur de qualité Q et la fréquence centrale f 0 à f 1 et f 2 . c) Déterminer les valeurs numériques de f 1 et de f 2 . Commentaires. III.C.2) Interprétation physique de H Pour dégager le sens physique de H , on peut suivre la piste suivante. Des courants induits apparaissent dans la feuille métallique. Ce qui amène à distinguer deux zones de champ magnétique uniforme dans le volume intérieur de la bobine n°1 . · À l'intérieur du cylindre délimité par la feuille d'aluminium règne un champ magnétique B z dû à la fois aux courants induits dans la feuille et au couint rant qui circule dans la bobine n°1 . Notons que la bobine de détection est placée dans cette zone. · À l'extérieur de la feuille métallique tout en restant dans la bobine n°1 existe un champ magnétique B z créé par la bobine n°1 (du moins en première ext approximation). On ajoute l'hypothèse que l'intensité délivrée par le générateur est indépendante des courants induits dans la feuille métallique. Dans ce contexte, relier H à B z et à B z . int Concours Centrale-Supélec 2010 ext 8/11 PHYSIQUE II Filière PC Partie IV - De la difficulté de blinder efficacement La partie précédente a montré que le blindage était efficace si la cavité où se trouve le détecteur est fermée. Mais en pratique, l'appareil considéré dépend pres- que toujours de l'extérieur pour fonctionner et communiquer. On peut dire, par exemple, que le câble d'alimentation ou l'antenne sont autant de défauts à la cui- rasse. Cette partie porte sur un mécanisme possible de transfert d'énergie électro- magnétique à travers les ouvertures mêmes petites du blindage. Considérons la situation simple sui- vante. Deux résistances R1 et R2 sont OuYert}lre Boitier de reliées par deux fils. R1 est placée Cyhndr1que\ bllhËïäääEUR dans un boitier métallique fermé tan- Fil de liaison dis que R2 est à l'extérieur. Un des fils isolé du b0îtiel" ' de liaison de rayon d1 traverse le boî- tier métallique à travers une ouver- ture cylindrique de rayon d2 pratiquée dans la paroi métallique. Les autres bornes des conducteurs ohmiques sont reliées directement au boîtier. relié au boîtier IV.A - Étude électrocinétique Figure 6 L'impulsion électromagnétique entraîne une force électromotrice induite du type e(t) telle que e(t) : 0 pour t < 0 et pour t> T et e(t) : emax si 0 < t < T. Comme le fil isolé est proche de la paroi métallique, il existe un effet capacitif, que nous supposerons localisé au niveau du passage cylindrique à travers le boitier de blindage. Le schéma ci--contre traduit un modèle électroci-- nétique de la situation considérée. Schéma montage équivalent IV.A.1) Établir l'équation différentielle véri- f"\' , . U fiee par la tens1on aux bornes du condensateur e(t) Uc(t) . R2 R1 IV.A.2) En déduire U e(t) pour 0 < t < T C ---- IV.A.3) Montrer que l'intensité du courant cir-- _-- culant dans la résistance R1 durant l'impulsion se met sous la forme : 77777 //// //// . _ t . t(t) -- IM<1 --exp(--â) . F1gure 7 Cette modélisation électrocinétique montre que l'onde électromagnétique géné-- rée par l'explosion nucléaire peut pénétrer dans l'enceinte à protéger en dépit de Concours Centrale-Supé/ec 2010 9/11 PHYSIQUE II Filière PC la présence du blindage. Ceci est lié au fait que la cavité n'est pas totalement fermée. Afin de comprendre ce processus, il faut déterminer le champ magnéti- que et le champ électrique au niveau du passage du fil à travers le boîtier. IV.B - Champ magnétique créé par le fil parcouru par i IV.B.1) Donner l'expression de la densité volumique de courant ; supposée uniforme lorsque le fil de rayon al1 est parcouru par un courant d'intensité i IV.B.2) Indiquer les caractéristiques géométriques du champ magnétique créé par ce courant. IV.B.3) Calculer la norme du champ magnétique en un point situé à la dis- tance r de l'axe de révolution du fil. On distinguera les deux cas : 0 < r < d1 et d1 < r < d2 . IV.C - Champ électrostatique dans l'ouverture On CherChe à estimer le champ élec-- Paroi de blindage au potentiel V0 = 0 trique régnant dans l'espace entre le /, ....\ fil et le blindage. Le boîtier de blin- ' " / dage est porté au potentiel constant Ouverture V0 = 0, tandis que le fil de rayon d1 cy11ndr1que de est au potentiel V1 lui aussi constant. Le rayon de l'ouverture vaut d2 (d2 >d1) et l'épaisseur de la paroi
de blindage est notée h . On considé--
rera les conducteurs comme parfaits.

IV.C.1) On néglige les effets de
bords en supposant que le potentiel
V(M ) ne dépend que de la variable de
position r en coordonnées cylindri--
ques d'axe 02 suivant l'axe du fil. Figure 8
Montrer que V(r) : ocln(r)+[ä est

solution du problème.

IV.C.2) Expliciter les constantes on et [5 en fonction des données.

IV.C.3) Calculer le champ électrostatique Ê)(r) régnant dans l'espace sépa-
rant le fil de la boîte de blindage.

IV.D - Champ électrique dans le fil parcouru par un courant
IV.B.1) Indiquer les caractéristiques du champ électrique noté EC...1 existant

dans le fil de cuivre de rayon d1 : O, 5mm parcouru par un courant d'intensité
i : 10mA sachant que la conductivité du cuivre vaut YCu : 5, 88 -- 107 {I'm--1 .

Concours Centrale-Supé/ec 2010 10/11

PHYSIQUE II

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IV.D.2) Comparer ce champ électrique à E 0(r) pour d 1 < r < d 2 avec d 2 = 1 mm et V 1 = 10 V . Ce calcul montre que la distribution de charges électriques est en pratique indépendante de l'intensité du courant parcourant le fil. IV.E - Champ électrique dans l'espace inter-armatures en régime variable On se place dans l'espace inter-armatures, donc pour d 1 < r < d 2 . Lors de la charge du condensateur, un courant d'intensité variable t i ( t ) = I M  1 ­ exp  ­ -- passe dans le fil. IV.E.1) Montrer qu'en régime variable le champ électrique E diffère du champ électrostatique E 0 et présente une composante supplémentaire axiale E 1(r, t) = E 1(r, t)U z . IV.E.2) Rappeler les relations de passage pour le champ électrique. Quelles conséquences peut­on en tirer pour le champ électrique de part et d'autre de la surface du fil cylindrique parcourue par le courant ? IV.E.3) En utilisant l'équation de Maxwell-Faraday, expliciter le champ E 1(r, t) . Montrer que dans les conditions étudiées, on peut négliger E 1(r, t) devant E 0(r, t) . On pourra prendre I M = 10mA pour l'application numérique. IV.F - Transfert d'énergie électromagnétique IV.F.1) Vecteur de Poynting a) Rappeler l'expression du vecteur de Poynting  . Quelle est la signification physique de ce vecteur ? b) Montrer que le flux de  à travers une section droite perpendiculaire à l'axe du fil est nul, donc pour 0 < r < d 1 . c) En utilisant les questions précédentes, calculer le flux de  à travers une section droite de l'espace interarmatures pour d 1 < r < d 2 . IV.F.2) Transfert énergétique a) Calculer l'énergie électromagnétique entrée dans le boîtier de blindage. b) Peut-on dire que « ...L'avantage va actuellement à l'épée par rapport à la cuirasse... » ? ··· FIN ··· Concours Centrale-Supélec 2010 11/11