Centrale Physique 2 PC 2013

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EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Les diélectriques dans la nature et au laboratoire

Ce problème s'intéresse à quelques propriétés des diélectriques. Il est 
constitué de trois parties, très largement
indépendantes.

I Propriétés générales des diélectriques

Un milieu diélectrique ne possède pas de charges libres (contrairement aux 
conducteurs), les électrons sont liés
à un atome, c'est--à--dire qu'ils ne se déplacent que de la taille d'un atome 
sous l'action d'un champ électro--
magnétique. Pour caractériser l'interaction d'une onde électromagnétique avec 
la matière on utilise le modèle
du physicien britannique Joseph John Thomson (1856--1940) appelé aussi << modèle de l'électron élastiquement lié >>.

LA -- Le modèle de l 'électron élastiquement lié

On étudie un électron situé en un point M, de charge --e et de masse me, dans 
le référentiel lié au noyau
de l'atome, de centre 0. Ce référentiel est supposé galiléen. L'atome interagit 
avec les champs E et B d'une
onde électromagnétique plane, monochromatique, de pulsation w. L'électron subit 
la force électromagnétique de

Lorentz Fe... : --eE -- eÎf /\ B. En outre, dans le cadre du modèle, l'électron 
est supposé soumis a une force de
--» _) --»

rappel élastique F,. : --kOM et a une force de frottement de la forme F f : 
--oÆ , où k et oz sont des constantes

positives.

I.A.1) Donner l'origine physique de la force de rappel et de la force de 
frottement.
I.A.2) J ustifier pourquoi on peut négliger la force magnétique --eÎf /\ Ë 
devant la force électrique --eË.

I.A.3)

a ) À quelle condition peut--on considérer que le champ Ë de l'onde 
électromagnétique est uniforme à l'échelle
de l'atome ?

Par la suite, on admet que cette condition est satisfaite. On pose donc Ë : ËO 
cos(wt) où ËO est un vecteur
uniforme.

--» _)
b) Montrer que le vecteur position de l'électron R : OM s'écrit, en notation 
complexe :

--eEoe3°"t

k -- mew2 + jaw

É:

où j est un nombre complexe tel que j2 = --1.

c) Rappeler la définition du moment dipolaire de l'atome ainsi que du vecteur 
polarisation du milieu en notant
n* la densité volumique de dipôles. En déduire que la susceptibilité complexe 
du milieu se met sous la forme

x(w) = XO
-- 1--w2/wâ+jQw/wo

On exprimera XO» wo et Q en fonction de e, me, if, oz, n* et 50.

LE -- Propagation d'une onde plane progressive harmonique ( OPPH ) dans un 
diélectrique
Les champs électrique et magnétique associés à une OPPH se propageant dans la 
direction 096 s'écrivent
E : Æ0ej(°"t--Ëoe) et E : EOeÎ(WÈ_ËOE) avec w réel et & a priori complexe. Les 
équations de Maxwell dans le
milieu s'écrivent :

--» --» Ë
divÆ=0 £ÎtÆ=--Ô----
Ôt
_, ----> _, ÔË
divâ : 0 rotâ : MOÊÔ_Î

avec 5 : eo(1 + X)'
I.B.1) Comparer ces équations aux équations de Maxwell dans le vide. Commenter.

I.B.2) Déterminer l'équation de propagation vérifiée par le champ électrique.

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I.B.3) En déduire la relation de dispersion exprimant E2 en fonction de au, c = 
1/, /,aon et & .
I.B.4) Montrer alors que l'on peut définir un indice optique complexe de la 
forme : n2 = 1 + & .

I.B.5) L'indice complexe se met sous la forme @ = n' -- jn' ' . Montrer que, 
dans le cas d'un milieu qualifié de
<< peu dense >>, c'est--à--dire très transparent tel que le << 1, on a / ?(1 _ w2/wâ) // ?(Qw/wo) " = 1 + 2 et n = 2 2 2 2 (1 -- w2/wo)2 + (Qui/WO)2 (1 -- w /wo) + (Qui/we) I.B.6) Le milieu est--il dispersif ? Est--il absorbant ? Justifier. I.B.7 ) Pour le verre flint : XO : 1,86 dans le domaine visible et n* = 8,1 >< 1028 m_3. Déterminer la valeur de la longueur d'onde AG de la transition de résonance. Peut--on bronzer a travers une vitre ? I.C -- La polarisation dans la vie courante I.C.1) On donne lgl : 8050 pour l'eau (a w = O). Expliquer pourquoi le sel de cuisine se dissout dans l'eau. I.C.2) La capacité C d'un condensateur plan constitué de deux plaques parallèles, de surface S et séparées par du vide sur une distance e s'écrit C : eOS / e en négligeant tout effet de bord. La quantité S / e caractérise la géométrie du condensateur et 50 caractérise les propriétés électriques du milieu situé entre les plaques, ici le vide. Comment augmenter la capacité du condensateur sans modifier sa géométrie ? Donner des exemples et des ordres de grandeur. II Un phénomène de dispersion On néglige le phénomène d'absorption et on note n la partie réelle de l'indice complexe. Pour des milieux transparents tels que l'air, le verre ou l'eau, wo se situe dans l'ultraviolet lointain, de sorte que dans le domaine visible au << wo. II.A -- La loi de Cauchy Montrer que l'indice n dépend de la longueur d'onde À de la manière suivante : n(À) : a + b/À2 et exprimer a et b en fonction de wo et À0 : Zac/wo. II.B -- L'arc-en--ciel : observation de l'arc primaire Lorsqu'on aperçoit un arc--en--ciel on remarque immédiatement un arc coloré appelé << arc primaire >>. C'est le
philosophe grec Aristote (--384----322) qui le premier tenta une explication 
rationnelle de ce phénomène Le
premier physicien a s'y être intéressé est Isaac Newton (1643--1727). Dès les 
premières lignes de son ouvrage
<< Opticks >> publié en 1704, il rappelle que le principe de l'explication de 
l'arc--en--ciel repose sur l'idée que ce
dernier << est produit par les rayons solaires réfractés et réfléchis dans les gouttes de pluie >>.

En suivant l'interprétation d'Isaac Newton, on considère une goutte d'eau 
éclairée par le soleil. L'eau est considé--
rée comme un milieu transparent d'indice n = 1,333. La goutte est assimilée a 
une sphère de centre O baignant
dans l'air (d'indice égal a 1). Elle est éclairée par un faisceau de lumière 
parallèle, considéré comme monochro--
matique dans un premier temps, dont un rayon atteint la sphère en [ où se 
produit une réfraction. Soit i l'angle
d'incidence en I et r l'angle de réfraction correspondant. Le rayon réfracté 
recoupe la goutte en ] où la lumière
peut être soit réfractée, soit réfléchie, mais on ne considère ici que le rayon 
réfléchi. Oe rayon réfléchi en ]
ressort de la goutte en K où on ne considèrera que le rayon réfracté. On 
appelle D l'angle de déviation du rayon
lumineux par la goutte (cf figure 1).

Figure 1

II.B.1) Que valent les angles d'incidence, de réflexion et/ou de réfraction en 
J et K ? Peut--il y avoir réflexion
totale en J ? Justifier.

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II.B.2) Exprimer l'angle de déviation totale D du rayon en fonction de 75 et 
7°, puis en fonction de 75 et n
uniquement.

II.B.3) Montrer que l'angle de déviation D(i) admet un minimum D... : D(i...) 
lorsqu'on fait varier le point
[ d'incidence du rayon lumineux sur la goutte, donc l'angle 75. On appelle i... 
l'angle d'incidence auquel ce
minimum correspond. Exprimer i... et D... en fonction de n.

II.B.4) En supposant toujours la lumière solaire monochromatique, que doit--on 
observer lorsqu'une pluie est
éclairée directement par le soleil ?

II.B.5) On prend maintenant en compte le fait que la lumière est 
polychromatique (lumière blanche). Sachant

dD 2 /4 -- 712
que _... = -- 2--1 et que l'eau vérifie la loi de Cauchy, déterminer l'ordre 
des couleurs observé dans
" _

dn n
l'arc--en--c1el primaire.

II.B.6) Compte--tenu de cette étude, répondre aux questions pratiques suivantes.

a) Pourquoi observe--t--on un cercle limité a un arc ? Quel est le rayon 
angulaire de ce cercle ? L'arc primaire
est--il coloré de rouge ou de violet a l'intérieur ?

b) Préciser les circonstances météorologiques nécessaires a l'observation. 
Faire un schéma montrant le soleil,
l'observateur, la pluie et l'arc--en--ciel.

c) Le ciel parait--il plus ou moins lumineux a l'extérieur de l'arc--en--ciel 
qu'à l'intérieur ? Pourquoi ?

II.C -- Formation des arcs surnuméraires

Lorsqu'on observe un arc--en--ciel primaire, on peut parfois observer un 
deuxième arc, plus grand que le premier,
moins lumineux et dont l'ordre des couleurs est inversé, appelé << arc secondaire >>. Une observation beaucoup
plus fine montre (très rarement) une série d'arcs pâles, en général 
alternativement vert--jaune et violacé, situés
juste en--dessous de l'arc primaire, ils sont appelés << arcs surnuméraires >>.

C'est le médecin et physicien anglais Thomas Young (1773--1829) qui découvrit 
le phénomène optique responsable
des arcs surnuméraires en appliquant sa théorie sur les interférences a deux 
ondes aux gouttes de très petite
taille. Il considère que deux rayons émergents parallèles a la sortie de la 
goutte, après avoir suivi des chemins
différents dans la goutte, interférent pour donner un maximum ou un minimum de 
lumière suivant la valeur de
leur différence de marche. Ces deux rayons, très proches, ont des angles 
d'incidence et d'émergence pratiquement
égaux a la valeur 75... de l'arc primaire ; on supposera que la goutte d'eau 
est équivalente localement a une lame
d'eau a faces parallèles (figure 2), d'indice n = 1,333 et d'épaisseur e = 1 am.

Figure 2

II.C.1) Montrer que la différence de marche entre les rayons (1) et (2) est 6 : 
2ne cos r... + À/ 2 où r... est
l'angle de réfraction en I .

4 / 2 -- 1 1
II.C.2) Montrer alors que l'ordre d'interférence peut s'écrire }) : { n 3 + 5'

II.C.3) Calculer les deux valeurs de }) correspondant aux bornes du spectre 
visible violet et rouge (Àviolet :
400 nm et À...uge : 780 nm), que l'on notera 19400 et 19780. Quelles sont les 
valeurs de l'ordre d'interférence })
présentes dans l'intervalle [p780, 19400] qui permettent d'obtenir des 
interférences constructives ?

II.C.4) Calculer les longueurs d'onde correspondant a ces valeurs de 19. À 
quelles couleurs correspondent--elles ?
Commenter.

II.C.5) Le fait de considérer des gouttes d'eau de très petite taille fait 
intervenir un autre phénomène, lequel ?

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III Deux applications surprenantes de la réflexion totale

Cette partie présente le phénomène de réflexion totale ainsi que quelques unes 
de ses conséquences.

III.A -- Le phénomène de réfleoez'on totale frustrée

La figure 3 précise le principe d'un capteur d'empreintes digitales. Un 
faisceau laser illumine un prisme dans
des conditions de réflexion totale ; en l'absence de l'index, la caméra située 
en sortie d'appareil visualise une
zone d'éclairement uniforme. En présence de l'index, la caméra fait apparaitre 
les empreintes digitales. Le but
de cette question est de présenter la théorie permettant d'interpréter le 
principe de ce capteur.

index

laser | caméra numérique

Figure 3

On considère une onde plane progressive monochromatique (de pulsation w) se 
propageant dans un diélectrique,
magnétiquement parfait. On s'intéresse à l'évolution de cette onde lorsqu'elle 
atteint une interface avec l'air
dont l'indice sera pris égal à l'unité. L'interface est située dans le plan 
(Ooey). Elle est non chargée et n'est le
siège d'aucun courant.

..z
Air (indice 1) ® y
> $
Milieu d'indice n / O
E@ : TLk'Q'LÏ//Î
Ë, : E,ûy @ M

Figure 4

L'onde incidente dans le diélectrique arrive sous incidence oblique repérée par 
l'angle 75 et l'on se place dans le
cas d'une polarisation perpendiculaire au plan d'incidence (voir figure 4) :

--» . E _, _) . . , _) _)

E, : E0,eî(w'_ "")uy avec E... ch01s1 reel et 7° : OM
On se place dans le cas où 75 > ig, où ig désigne l'angle limite de réflexion 
totale.
III.A.1) Déterminer, en tout point M du diélectrique de coordonnées (ac, y, z), 
l'expression du champ magné--
tique E, de l'onde incidente.

III.A.2) On note E.... l'amplitude (éventuellement complexe) du champ 
électrique de l'onde réfléchie. Détermi--
ner les expressions du vecteur d'onde et des champs électrique et magnétique de 
l'onde réfléchie, en tout point
M du diélectrique, en fonction des données du problème.

III.A.3) Écrire les conditions de continuité des composantes des champs 
électrique et magnétique de part et
d'autre de l'interface.

III.A.4) On suppose dans un premier temps, puisqu'il y a réflexion totale, 
qu'il n'y a pas d'onde transmise
dans l'air. Montrer alors que les conditions de passage des champs 
électromagnétiques au niveau du dioptre ne
peuvent pas être satisfaites.

III.A.5) On postule alors l'existence d'un champ électrique transmis, que l'on 
écrira sous la forme :
E,, : E0tg(z)ej(w'_ktoe)ûy avec E... éventuellement complexe

où g est une fonction de la seule variable z, telle que g(0) : 1.

Montrer que la condition de passage pour le champ électrique fixe la valeur de 
kt et qu'elle impose en outre une
relation entre E..., E.... et E....

III.A.6)

a) En déduire alors l'expression de la fonction g sous la forme g(z) : e_Z/" où 
5 est une distance que l'on
exprimera en fonction de ÀO, n et 75.

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b) Donner une interprétation physique pour cette distance.
c) Comment qualifier l'onde transmise ?

d) Application numérique

Calculer 5 pour i : 45°, n = 1,5 et )... = 700 nm.

III.A.7 ) Montrer que les champs électriques réfléchi et transmis ont pour 
amplitude complexe :

5
27rn-- cosi +j 4nn-- cosi
Æ0r : 50 E0i et Æ0t : 5 0 E0i
2 n--cosi--' 27rn--cosi--'
" )... ] AO ]

III.A.8) On souhaite écrire le coefficient de réflexion complexe, défini par [ 
: EG,/E..., sous la forme [ : lple"".

Déterminer @ et go en fonction de n et de l'angle d'incidence i.

III.B -- Une première application : le capteur d'empreintes digitales

III.B.1) L'expérience de Newton est présentée sur la figure 5.

onde transmise due a la

amplitude décroissante frustration de la réflexion totale
de l'onde évanescente /
onde totalement réfléchie / onde réfléchie
onde incidente onde incidente

Figure 5 Expérience de Newton avec deux prismes

a ) Interpréter qualitativement cette expérience. Pourquoi parle--t--on de << frustration de la réflexion totale >> ?

b) Dans la gamme des longueurs d'onde du visible, avec quelle couleur cette 
expérience sera--t--elle la plus
convaincante ? Pourquoi ?

c) Comment réaliser avec ce dispositif des ondes stationnaires évanescentes ?

III.B.2) Comment, qualitativement, expliquer le principe du capteur 
d'empreintes digitales présenté au début
de la question III.A ?

III.C -- Un deuoeième efiet : le déplacement de Goos--Hänchen

III.C.1) Étude énergétique

Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting de l'onde transmise, en 
fonction notamment de l'amplitude
initiale E... de l'onde incidente, de i et de l'indice n ; commenter la 
direction de propagation de l'énergie dans
le milieu d'incide 1.

En 1947, Hermann Coos et Hilda Hänchen ont mis en évidence un déplacement 
longitudinal du faisceau lors
de la réflexion totale : comme dans l'image des poissons volants, le point 
d'incidence 0 (celui où les poissons
sortent de l'eau) n'est pas confondu avec le point de réflexion [ (où les 
poissons regagnent leur milieu initial).

, 27
Air (indice 1) y ® & I
\ > $
Milieu d'indice n O// \\ \
E -- nk ü //\. \ \3nde réfléchie
@ _ 0 i @ \ _)
_, / \ \]çt
Ei : Ezûy ® \ \

Figure 6 Déplacement de Coos--Hänchen

L'analyse de la réflexion totale au moyen d'une onde plane ne peut permettre de 
prédire ce phénomène puisqu'une
onde plane ne peut être localisée et par conséquent un déplacement a la 
réflexion ne peut pas l'être non plus.

III.C.2) On considère le faisceau laser utilisé pour réaliser l'expérience 
comme une superposition d'ondes planes
dont les amplitudes dépendent de l'angle d'incidence i par l'intermédiaire 
d'une fonction amplitude A(i), dont
la connaissance n'est pas nécessaire pour la suite du problème. Le champ 
électrique de l'onde résultante peut
alors s'écrire :

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|OE1

?; = / max A(i)6j(wt_ÿi.f)di Üy : / max A(i)EURj(wt--(nko sin i)oe--(nko cos 
')Z)di Üy

Zmin Zmin
L'angle d'incidence i varie entre les valeurs extrêmes (le faisceau laser 
utilisé est très peu divergent) :

i...... : io -- Î et imaX : io + Î avec Ai << io Montrer que le champ électrique résultant peut s'écrire, sur le di0ptre ; n +Ai/2 ' . Æ'É : ä'LO/ A('L0 + 5)6_3(nk0 COS 'LQ)OEE (iEUR --Ai/2 où on a posé äi0 : EURj(wt--oenko sin io) Üy III.C.3) a) En utilisant l'expression du coefficient de réflexion complexe obtenue a la question III.A.8 et en utilisant la condition Ai << io, montrer que le champ électrique réfléchi au niveau du dioptre peut s'écrire sous la forme : --) . . +Ai/2 . . ET : äi06390(10)/ A(ÏO + 5)EUR--J(OE--OEo)(nko COS îo)EUR d£ --Ai/2 g0' désigne la dérivée de @ par rapport a l'angle d'incidence i. b) Exprimer 900 en fonction de g0'(io), n, )... et cos io. c) Quelle est l'interprétation physique de 960 ? d) Montrer que 960 peut encore s'écrire : À0 tan 'i0 fig:-- 7 n2sin2iO--1 @) Application numérique Calculer 960 avec io : 45°, n = 1,5 et À0 : 700 nm. Conclure. Données numériques Célérité de la lumière dans le vide 0 = 3,00 >< 108 m - s--1 Masse de l'électron me : 9,11 >< 10_31 kg Charge de l'électron q = --e = --1,60 >< 10_19 C Permittivité diélectrique du vide 50 = 8,85 >< 10_12 F - m--1 Formulaire --+ --+ a --> a
rot(r E) : grad(div E) -- AE

--» --»--»--»

ot
AA(ËAÜ)=(Â")Ë_( )C

oooFINooo

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