Centrale Physique 2 PC 2022

Physique 2
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2022

NASA's Mars Exploration Program

Un demi-siècle après avoir marché sur la Lune, l'exploration spatiale semble se 
fixer à moyen terme l'objectif de
l'exploration de la planète Mars par l'homme. Une telle expédition suppose de 
résoudre un très grand nombre
de problèmes concernant aussi bien les aspects techniques que les aspects 
humains.

Ce sujet propose d'étudier la cohérence de l'un des nombreux scénarios élaborés 
par la NASA pour un vol habité
vers Mars.

Les deux parties du problème ainsi que les sous-parties sont largement 
indépendantes, mais les données numé-
riques fournies dans les différentes parties sont susceptibles d'être utilisées 
ailleurs.

Certaines questions, repérées par une barre en marge, ne sont pas ou peu 
guidées. Elles nécessitent plus de
temps pour élaborer un modèle ou un raisonnement, le barème en tient compte.

Ce sujet est accompagné d'un document réponse à rendre avec la copie (même s'il 
n'a pas été utilisé). Les
principales données numériques sont regroupées dans le document réponse.

I Le voyage entre la Terre et Mars

Dans toute cette partie du problème, les orbites des planètes autour du Soleil 
sont assimilées à des cercles de
rayon égal au demi-grand axe a des ellipses. On se place dans le référentiel 
héliocentrique supposé galiléen.

IA -- Vitesse de la Terre et de Mars dans le référentiel héliocentrique

Q 1. Donner les dimensions de la constante gravitationnelle G ainsi que son 
unité dans le système interna-
tional.

Q 2. Montrer que le moment cinétique Le en O, centre du Soleil, d'un objet de 
masse m est une constante

du mouvement.
Q 3. On utilise les coordonnées cylindriques (O,é,,é9,é,) avec EUR, tel que Lo 
= Loë.. Justifier que le

bé

. dô .
mouvement est plan et exprimer C = Fe en fonction de L,, et m. Quel est le nom 
de cette grandeur ?

Q 4. Déterminer, dans le cas d'une orbite circulaire de rayon R, la vitesse V 
de l'objet en fonction de G,
Ms, R et m. Calculer les valeurs numériques de V,, la vitesse orbitale de la 
Terre et de V,,, celle de Mars, dans
le référentiel héliocentrique.

I.B --- Aspect énergétique et troisième loi de Kepler

Q 5. Déduire l'expression de l'énergie cinétique, puis de l'énergie mécanique 
de l'objet de masse m sur son
orbite circulaire autour du Soleil en fonction de G, Ms, R et m.

Q 6. Exprimer la période de rotation T de l'objet en fonction &, M4 et R 
(troisième loi de Kepler).

Il est rappelé que les expressions de l'énergie mécanique et de la troisième 
loi de Kepler obtenues pour un
mouvement circulaire peuvent être généralisées au cas d'une orbite elliptique 
en remplaçant le rayon À par le
demi-grand axe de la trajectoire.

IC --- Voyage aller Terre --- Mars, orbite de transfert

D'un point de vue énergétique, la méthode la plus efficace pour envoyer un 
vaisseau d'une orbite circulaire à
une autre orbite circulaire coplanaire est de le placer sur une trajectoire de 
transfert elliptique tangente aux
deux orbites circulaires, donc ici aux orbites de Mars et de la Terre (ellipse 
de Hohmann). On admet que seule
l'attraction solaire agit sur le vaisseau pendant son mouvement.

Q 7. Représenter, sur la figure À du document réponse, montrant les orbites de 
la Terre et de Mars, l'allure
de l'orbite de transfert (trajectoire de Hohmann).

La position de la Terre au temps t = 0 du départ du vaisseau est prise comme 
origine angulaire (9 (t = 0) = 0).
Q 8. Au départ de l'orbite de la Terre, exprimer en fonction de V7, ay, et ar 
la vitesse V, que doit avoir
le vaisseau sur sa trajectoire de transfert. En déduire la variation de vitesse 
AV, = V5 -- Vr. Calculer la valeur
numérique de AV7.

En pratique, la variation de vitesse requise est plus importante en raison de 
la nécessité de se libérer de l'attrac-
tion de la planète à partir d'une orbite basse.

Q 9. Exprimer puis calculer la durée At du voyage jusqu'à l'orbite de Mars.

P043/2022-03-18 09:59:09 Page 1/6 CIEL
Q 10. Quel doit être l'angle a, = 6y(t = 0) -- 0,(t = 0) (Terre - Soleil - 
Mars) formé par les directions de
Mars et de la Terre, vus du Soleil, au moment du lancement afin que Mars soit 
au rendez-vous à l'arrivée du
vaisseau ? Calculer la valeur numérique de a, et indiquer la position de Mars 
au moment du lancement sur la
figure À du document réponse.

Q 11. Dans l'hypothèse d'un problème survenu pendant le voyage aller 
nécessitant de ne pas explorer la
planète, le vaisseau ne modifie pas sa vitesse lors du passage de l'orbite de 
Mars. Déterminer la position angulaire
de la Terre au bout d'une révolution complète de celui-ci sur son orbite de 
transfert. Commenter.

ID -- Durée de la mission

Toujours pour minimiser le cout énergétique, le voyage retour emprunte le même 
type d'orbite de transfert qu'à
l'aller.

Q 12. Déterminer l'angle a, (Terre - Soleil - Mars) au moment du départ de Mars.

Q 13. En déduire le nombre de jours que les astronautes vont pouvoir passer sur 
la planète rouge, la durée
totale de la mission (en jours) et la période entre deux fenêtres de lancement 
depuis la Terre.

Moyennant une plus grande dépense énergétique, il est possible de modifier ce 
scénario de mission, et ce en
fonction des objectifs voulus (réduction du temps de trajet aller ou retour, 
modification du temps global de
mission en sont des exemples). Ainsi, une variation de vitesse AV; colinéaire à 
Ve plus importante au départ
permet de réduire le temps du voyage aller.

Dans la suite, on cherche une réduction de 25% de l'angle balayé par le 
vaisseau pour atteindre l'orbite de
Mars autour du Soleil. On se place de nouveau avec la position de la Terre au 
lancement prise comme origine
angulaire (4,-(t = 0) = 0) et on souhaite que le vaisseau atteigne Mars à un 
instant At' tel que 0,,(At') = 37/4.

On admet que la nouvelle trajectoire du vaisseau est une conique dont l'un des 
foyers est le Soleil et d'équation

polaire r(0) = à p est appelé paramètre de la conique et e son excentricité.

_ 1+ecos
Q 14. Placer sur la figure B du document réponse la position de Mars à 
l'arrivée du vaisseau.

Q 15.  Justifier que rh, le périhélie de la trajectoire du vaisseau (distance 
minimale du Soleil au vaisseau),
vérifle Tp = Gr.

e e # # e a a # e
Q 16. Montrer que l'excentricité s'écrit e -- Ni et calculer sa valeur 
numérique. Tracer sur la
Vif Ter

figure B l'allure de la trajectoire.
Q 17.  Exprimer l'énergie mécanique EE}, du vaisseau sur cette trajectoire en 
fonction de m, V- et e.

Q 18. En déduire la vitesse Vs que doit avoir le vaisseau au départ pour se 
placer sur sa nouvelle orbite,
toujours en fonction de V. et e.

Q 19. Donner, en fonction de V7 et e, la variation de vitesse AV, = V} -- V; 
qu'il faut communiquer au
vaisseau pour le mettre sur sa nouvelle trajectoire de transfert. Calculer la 
valeur numérique de AV.

Q 20.  Exprimer C = PT en fonction de ar et V,.

Q 21. Évaluer le temps At' du transfert entre la Terre et Mars.

O0 (At)
On donne : | 1 d0 = 2,15 avec l'excentricité calculée en question 16.
(1 +ecos0)?
0
II Le projet NERVA (Nuclear Engine for Rocket Vehicle Applica-

tion)
Pour les phases d'insertion sur les trajectoires de transferts, la NASA 
préconise la propulsion nucléaire qui
permet de réduire considérablement la masse de carburant par rapport à une 
propulsion chimique. Ce type de

technologie a été mis au point dès les années 1960 pour le NERVA, elle repose 
sur l'éjection à grande vitesse
d'hydrogène réchauffé par un réacteur nucléaire.

Le scénario propose l'utilisation d'un vaisseau assemblé en orbite basse 
terrestre constitué en modules indépen-
dants afin de répondre à diverses exigences nécessaires au voyage 
interplanétaire. Ce vaisseau, d'un diamètre
de 10 m et de près de 100 m de long a une masse d'environ 360 tEUR. Il est 
équipé de deux moteurs NERVA dotés
chacun d'une source thermique nucléaire d'une puissance P,, = 1,00 GW et 
fournissant une poussée unitaire de
220 KkN.

De l'hydrogène liquide, noté LH, est stocké à la température 7, et à la 
pression F,.,, dans des réservoirs.

On note my -- 360 x 10° kg la masse initiale du vaisseau, m(t) sa masse à 
l'instant {, D -- TT > 0 le débit

P

massique des gaz éjectés par les propulseurs NERVA (supposé constant jusqu'à 
épuisement du LH,) et v, la
vitesse des gaz en sortie de tuyère par rapport au vaisseau.

P043/2022-03-18 09:59:09 Page 2/6 (cc) BY-NC-SA

(1) Étage de propulsion nucléaire (2) Réservoir d'hydrogène liquide fixe (3) 
Réservoir d'hydrogène liquide lar-
gable (4) Habitat utilisé pour le transit Terre-Mars (5) Vaisseau Orion (6) 
Système de télécommunication,
cryorefroidisseurs et panneaux solaires (7) Port d'amarrage pour le vaisseau 
décollant de Mars

Figure 1 Architecture du vaisseau

Dans la suite, le temps de poussée des moteurs est suffisamment court par 
rapport au temps des transferts pour
considérer la trajectoire rectiligne dans le référentiel héliocentrique pendant 
une phase de propulsion. De plus,
les forces de gravitation sont négligeables devant la poussée des moteurs.

II.A -- Étude dynamique

Q 22. À partir d'une étude dynamique sur le système fermé {vaisseau + gaz 
éjecté} entre les instants t et

t + dt, justifier l'équation différentielle suivante, dans laquelle F = -- Düv, 
représente la force de poussée,
du
mt)-- =F.

Afin de pouvoir comparer l'efficacité des systèmes de propulsion ayant des 
débits, des vitesses d'éjection, ou des
sources d'énergie différentes, on utilise généralement la notion d'impulsion 
spécifique notée 1,, s'exprimant en
seconde. On peut la définir comme le temps pendant lequel une masse initiale m; 
d'ergol est capable de donner
une poussée égale à son poids à la surface de la Terre.

Q 23. Établir I, en fonction de g et v,. Pour le vaisseau envisagé par la NASA, 
on à /,, -- 825s. Calculer
la vitesse v, d'éjection des gaz du moteur NERVA.

Q 24. Pour une injection sur une trajectoire de Hohmann vers Mars depuis 
l'orbite basse terrestre, une
variation de vitesse AV, = 3,70 km:s ! est requise. Déterminer la masse m, de 
LH, consommée. Le résultat
est-il cohérent avec le dimensionnement proposé du vaisseau ?

Q 25. Quel sera le surplus de consommation dans l'hypothèse du voyage raccourci 
évoqué dans la sous-
partie LD ?

II.B -- Approche thermodynamique

Schématiquement, la technologie du NERVA utilise un coeur de réacteur nucléaire 
de section $, = 0,28 m°
(correspondant à un diamètre d, -- 60 cm) dont le rôle est de produire les gaz 
chauds à la température
T, = 2500 K et à la pression P, = 70,0 x 10° Pa nécessaires à la propulsion.

Ligne d'alimentation du réacteur (Section s S, )

NN Coeur de réacteur nucléaire (Section S, )
--
\ Les 4" Éd |
sl 6 Jupe d'extension
Réservoir de la tuyère
LH2 Fr Be
(Section S, ) o
F . # on. | LL Él Li
27 Col de tuyère
Turbopompe Ke À
+
Tuyère

Figure 2 Plan du moteur NERVA

Des turbopompes placées entre le réservoir et le coeur du réacteur permettent 
d'alimenter celui-ci en LE, avec un
débit massique constant D,,. On néglige les variations d'énergie cinétique de 
l'hydrogène devant les variations
d'enthalpie dans le coeur du réacteur.

P043/2022-03-18 09:59:09 Page 3/6 (C9) By-Nc-SA
Lorsque l'hydrogène pénètre dans le coeur du réacteur, il est sous forme 
liquide à la température 7,,,, et à la
pression F,,, d'équilibre liquide-gaz.

Q 26. En appliquant le premier principe de la thermodynamique pour un système 
ouvert au coeur du réacteur,
établir l'expression du débit massique D, en fonction de P,,, 16, T My,, AH k 
et 7.

Vap ? Vap ?
Q 27. Cette expression permet de calculer un débit massique D,, = 27,4 kg:s {. 
Compte tenu des données
proposées par la NASA, cette valeur vous semble-t-elle réaliste ?

Q 28. En l'absence de tuyère, déterminer la vitesse v, en sortie de coeur de 
réacteur en fonction de F,,

# e e SN R e SN
To: So, D,, et de la constante spécifique du dihydrogène r -- 1. puis calculer 
sa valeur. La tuyère est-elle

Ho

m

indispensable ?

ITI.C -- La tuyère

La tuyère du moteur NERVA présente une géométrie particulière dite tuyère de 
Laval comprenant trois parties
distinctes :

-- Île convergent ;

-- le col où la section est minimale :

-- le divergent.

col de section S!

I
]
| S
| |
|
I I |
l | Il
I I |
l Il
| x
Î L I Ï A
I ] I |
l Î |]
I I l |
l | l |
| I | a
| I |
PT  P(x), T(x) PT
| EH > V | HCx): v(x) A, > "

Figure 3 Tuyère de Laval

On cherche dans un premier temps à comprendre pourquoi cette forme est adaptée 
à l'éjection dans l'espace du
dihydrogène issu du coeur de réacteur et ensuite à étudier les conséquences sur 
la vitesse des gaz en sortie de
tuyère.

On rappelle l'équation d'Euler décrivant les évolutions spatiales et 
temporelles du champ de vitesse ü(x,t) d'un
fluide de masse volumique u(x,t) soumis uniquement à la pression P(x,t) dans le 
référentiel d'étude supposé
galiléen :

Lu (e + (D: grad)à) -- -- grad P.

L'écoulement du dihydrogène, se comportant comme un gaz parfait, dans la tuyère 
d'axe (Ox) est stationnaire
et supposé adiabatique réversible. De plus, la section S(x) est lentement 
variable, ce qui permet de considérer
l'écoulement unidirectionnel (colinéaire à l'axe (Ox)) et unidimensionnel (les 
paramètres physiques ne dépendent
que de l'abscisse x).

Les grandeurs caractéristiques du gaz sont indicées par 0 à l'entrée de la 
tuyère et par 1 à la sortie.
II.C.1) La forme de la tuyère

Q 29. Quelle condition nécessaire relie F, et P, pour avoir un écoulement dans 
le sens des x croissants ?

Q 30. Montrer que pue = K où À est une constante dont on donnera la valeur.
x x

Q 31. La transformation étant adiabatique réversible, quelle relation lie 4(x) 
à 19, P(x) et P, ?

Q 32.  Déduire des deux précédentes questions la relation

P 7
2 2
0° -- ve = Ci (5)

où l'on exprimera la constante C; en fonction de PF, 4 et 7.

P043/2022-03-18 09:59:09 Page 4/6 (cc) BY-NC-SA
P
Q 33. En posant a -- ro) et en supposant que v, est négligeable devant v, 
établir l'expression du débit

massique dans la tuyère sous la forme

D = CS(x)f(a)
où f(a) est une fonction de a seul, à déterminer, et C, une constante à 
exprimer en fonction de P,, Ho et 7.
Q 34.  Justifier que l'on a nécessairement à EUR [0,1]. Après avoir indiqué les 
limites, étudier la fonction f(a@)

>
; : ue 1\7-1
et préciser sa particularité en ay; = (5) = 0,928.

La tuyère doit avoir une forme adaptée aux conditions d'utilisation.
Q 35. Expliquer en quoi la valeur du rapport P. influence sa géométrie et 
associer, parmi les formes proposées

0
sur la figure 4, celles correspondant aux différents cas possibles.

(1) divergente (2) convergente-divergente

DS RS
2 TT

(3) convergente (4) divergente-convergente

------ DR
ne ne

Figure 4 Les quatre géométries différentes des tuyères

Q 36. Afin d'éviter une trop forte détente des gaz après la sortie de la tuyère 
(ce qui peut conduire à la
génération d'une onde de choc), on cherche à avoir une pression PF, proche de 
la pression extérieure. Le choix
d'une tuyère de Laval pour le moteur NERVA est-il le plus judicieux ?

II.C.2) La vitesse des gaz dans la tuyère

On se place dans la situation d'une propagation unidimensionnelle (selon &,). 
Dans un premier temps, on
cherche à établir la célérité des ondes acoustiques dans un fluide supposé 
parfait et soumis aux seules forces
de pression. Celui-ci est caractérisé à l'équilibre par des valeurs uniformes F 
de la pression et 4, de la masse
volumique. Du point de vue thermodynamique, ses évolutions sont considérées 
comme isentropiques, auxquelles
correspond le coefficient de compressibilité x.. Le passage d'une onde sonore 
crée une perturbation et le fluide se
déplace en de petits mouvements autour de l'équilibre, les champs de pression 
et de masse volumique devenant :
P(x,t) = P; +p(x;t) et u(x,t) = po + Art).

Q 37. Qu'appelle-t-on approximation acoustique ? Quel est l'ordre de grandeur 
de la surpression » pour des
ondes acoustiques dans l'air ?

Q 38. Écrire et linéariser les équations locales de la mécanique des fluides et 
l'équation traduisant l'hypo-
thèse thermodynamique effectuée. Établir l'équation de propagation des ondes 
acoustiques pour la surpression.
Exprimer la célérité c de ces ondes en fonction de *, et Lo.

Q 39. Dans le modèle du gaz parfait, établir la loi de variation de la célérité 
avec la température. Calculer
C, dans le dihydrogène en sortie du coeur de réacteur.

On définit le nombre de Mach M = © avec v la vitesse et c la célérité des ondes 
acoustiques. Un écoulement est
C

dit subsonique pour M < IT et supersonique pour M > I.

Q 40. Préciser la nature subsonique ou supersonique de l'écoulement de 
dihydrogène en sortie du coeur de
réacteur.

Q 41. À partir de la relation établie à la question 32 et en tenant compte du 
caractère isentropique de

l'évolution, établir une relation entre la température et la vitesse dans la 
tuyère. À quelle loi de conservation
peut-on associer cette relation ? Justifier alors l'expression :

dT -- _121,9d0
T U

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42. En déduire la température en sortie de tuyère T1} ainsi que la nature 
subsonique ou supersonique de
l
l'écoulement.

Dans la tuyère, les évolutions de la section S(x) et de la vitesse v(x) sont 
liées par la relation d''Hugoniot,
admise :

dv
= -- {M2 -- 1) --
S ( 7

où M est le nombre de Mach.

Q 43. Au vu de la nature subsonique ou supersonique de l'écoulement à l'entrée 
et à la sortie de la tuyère,
justifier que seule la tuyère de Laval permet une augmentation continue de la 
vitesse. Préciser la condition
nécessaire sur le nombre de Mach A7, au niveau du col pour un fonctionnement 
optimal de celle-ci.

II.C.3) Les dimensions de la tuyère

Connaissant le nombre de Mach au col et à la sortie de la tuyère, il est 
possible de déterminer les diamètres de
celle-ci en ces points.

Q 44.  Déduire de la question 41 la relation
T(1+C;M°) =C,

où l'on exprimera les constantes C', et C', en fonction de 7 et 7.

Q 45. Déterminer les diamètres de la tuyère au col et à la sortie. Commenter 
vos résultats à l'aide de la
figure 2.

Q 46. La pression en sortie de tuyère semble-t-elle respecter la condition 
évoquée à la question 36 ? Le
dihydrogène subit-il un changement d'état à la sortie ?

eeoeFrINeee

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CONCOURS CENTRALE-SUPÉLEC

Numéro de place

Numéro d'inscription Signature

Nom

Prénom

Épreuve : Phusique à FC
Ne rien porter sur cette feuille avant d'avoir complètement rempli l'entête

Données

Masse du Soleil

Demi-grand axe de l'orbite de la Terre

Demi-grand axe de l'orbite de Mars

Constante gravitationnelle

Champ de pesanteur terrestre

Période de révolution de la Terre

Période de révolution de Mars

Pression de vapeur saturante de H, à T,,, = ---253 °C
Enthalpie molaire de vaporisation

Masse volumique de LH, (hydrogène liquide)

Masse molaire du dihydrogène

Rapport des capacités cL/c, du dihydrogène gazeux
Constante des gaz parfaits

Constante spécifique du dihydrogène

Capacité thermique massique à pression constante de l'hydrogène gazeux

Diagramme (P,T') du dihydrogène

Feuille

Ma = 2,00 x 10% kg
ar = 150 x 10 km
ay = 228 X 105 km
G = 6,67 x 10711 SI
g =9,8l1mess

Tr = 365 jours

Ty = 687 jours
Pyap = 1:00 x 10° Pa

AH ap -- 0,900 kJ-mol {

Ua, = 71,0 kg-m *

My, = 2,00 g-mol

y = 1,4

R =8,31J-K !-mol {

r = R/Ma, = 416kJK "kg

= rl D

10°
10? -- solide
liquide point
& 101 -- critique
F
-- 0 _}
= 10
2
PA 1071 -- . .
à point triple
1072 -- gazeux
10 * | | |
--260 --250 --240

température (°C)

luametatex 2.0932 20211203 LMTX

Ne rien écrire dans la partie barrée

P043-DR/2022-03-18 09:35:08

Formulaire

L'équation polaire d'une conique d'axe focal (Ox), de paramètre p et 
d'excentricité e s'écrit

0) = --1
r(@) 1 +ecosb

La nature de la courbe dépend de l'excentricité. On distingue 4 cas.

y y
i

d

>

KL

e = 0, la courbe est un cercle 0  1, la courbe est une hyperbole
Questions 7 et 10

_ -- _

J
X
SA
| CL \
| _ = = X
| \
| \
| \
/ \
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
l
--
|
| Vr \
| \
| | | |
I | |
I | | |
| |
| | . |
| 1
| | Soleil . Terre
| | |
| |
| |
| / |
|
|
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\ 2
\ D /
/
/
X 4
J

Figure A
Questions 14 et 16

_ -- _

f
X
| NX
| X
| CL \
| _ = = X
| \
| \
| \
/ \
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
l
--
|
| Vr \
| \
| | | |
| | | |
I | | |
|
CIN
| | D
| | Soleil | lerre
| | |
| |
| |
| / |
|
|
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\ 2
: = 2 /
À _ -- LL --_ _-- /
/
X 4
J

Figure B