Centrale Physique 2 PC 2023

Physique 2
PC

4 heures Calculatrice autorisée

2023

Une révolution tranquille du
système international d'unités

La révision du système international d'unités (ST) a été adoptée par la 
Convention Génerale des Poids et Mesures
(CGPM) en novembre 2018 et les nouvelles définitions ont pris effet à compter 
du 20 mai 2019, date anniversaire
de la signature de la Convention du Mètre.

Le SI est un système d'unités cohérent qui est utilisé dans tous les aspects de 
la vie, que ce soit le commerce
international, la production industrielle, la santé, la sécurité, la protection 
de l'environnement ou les sciences
fondamentales. Il doit être pérenne, uniforme et accessible. Cet idéal 
d'universalité porté par le SI se retrouve
dans sa devise « À tous les temps, à tous les peuples ».

Les nouvelles définitions des unités du SI sont établies à partir d'un ensemble 
de sept constantes de la physique.
Deux expériences ou effets sont abordés : la balance de Kibble ou balance du 
watt (partie I) et la thermométrie
acoustique dans un résonateur (partie IT).

Des données numériques et un formulaire sont disponibles en fin d'énoncé.

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part 
du candidat. Leur énoncé est repéré
par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la 
démarche, les choix et de les illustrer,
le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et 
tient compte du temps nécessaire à la
résolution de ces questions.

Ce sujet s'inspire du dossier sur le nouveau système international d'unités 
tiré de Reflets de la Physique n°62,
2019, pp. 11-31.

I Redéfinition du kilogramme
IA --- Prototype international du kilogramme
Avant 2019, le kilogramme était défini comme « la masse du prototype 
international du kilogramme ». C'était

un artéfact en platine iridié, conservé par le bureau international des poids 
et mesures au pavillon de Breteuil.
La dernière comparaison avec la moyenne de ses copies en 2014 à confirmé une 
différence de 35 png.

Q 1. Quelle différence de masse cela fait-il en valeur relative ? Quelles 
peuvent être les causes de ces diffé-
rences ?
Q 2. Quels peuvent être les inconvénients d'un artéfact ?

I.B --- Principe de la balance de Kibble

La balance de Kibble est l'un des deux dispositifs qui ont permis, avant 2019, 
de mesurer la constante de Planck
à partir du prototype international du kilogramme. À présent, elle permet 
d'étalonner des artéfacts. L'artéfact
de masse m est placé sur l'un des plateaux. On suppose la balance parfaitement 
équilibrée (fléau horizontal)
en l'absence de masse m. Son principe de fonctionnement est donné figure 1. On 
supposera que la balance est
symétrique par rapport au plan (xC2).

L.B.1) Phase statique

La bobine comporte N spires horizontales, circulaires et concentriques. Elle 
est placée dans l'entrefer d'un
aimant. Dans la zone des spires, le champ magnétique est horizontal, radial 
sortant par rapport à leur axe de
révolution (Oz) et de valeur B uniforme. L'axe (Oz) est vertical, orienté vers 
le bas. Soit { la longueur totale du
fil des spires.

Q 3. Indiquer sur un schéma simplifié l'orientation du courant permettant 
l'équilibrage de la balance une
fois la masse m posée comme sur la figure 1. Déterminer la force qui agit sur 
la bobine.

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Phase statique

Phase dynamique

Figure 1 Principe de la balance de Kibble. En phase statique, le courant Z est
imposé par une source idéale de courant réglable. En phase dynamique, le fléau 
est
bloqué dans la position horizontale et déplacé avec sa suspension à la vitesse v

Q 4. On règle l'intensité du courant dans la bobine à une valeur Ï pour 
équilibrer la balance en présence
de la masse m posée. Établir l'expression de m en fonction de J, g. B, et L.

Q 5. La bobine comporte 600 spires réparties sur un cylindre de diamètre moyen 
égal à 260 mm. On prendra
B=1,0Tet |7} = 10 mA. Calculer m.

En réalité, la masse m est placée du même côté du fléau que la bobine. Une tare 
de masse M est déposée sur le
plateau à l'opposé de la bobine pour équilibrer la balance en l'absence de 
masse m et de courant 7. En pratique,
après avoir équilibré la balance avec la tare de masse M, on ajoute une masse 
m" sur le même plateau que la
tare et on équilibre l'ensemble avec un courant 7,. On ajoute ensuite la masse 
m du côté de la bobine et on
équilibre avec un courant 1.

Q 6. Établir la relation qui remplace celle de la question 4. Quels sont les 
intérêts de cette nouvelle opéra-
tion ?
Q 7. Si on prend m' = m/2, quelle relation a-t-on entre les intensités ?

L.B.2) Phase dynamique

Dans la phase dynamique, le fléau est bloqué dans la position horizontale et 
déplacé avec sa suspension à la
vitesse Üü = vü,. On suppose que v est une constante positive.

On admet qu'alors, la bobine est le siège d'une force électromotrice Æ induite 
par son mouvement dans le champ
électromagnétique :

E = -- Biv.

Q 8. Montrer que, dans ces conditions, on peut écrire ET + mgvu = 0. Pourquoi 
parle-t-on également de
« balance du watt » à la place de balance de Kibble ?

Q 9. Détailler un protocole expérimental simple, basé sur la mesure de la 
fréquence de défilement de franges
devant un capteur CCD, qui permet de mesurer v par interférométrie. Dans le cas 
d'un laser Nd-YAG dont
la longueur d'onde vaut À -- 1064 nm, calculer la vitesse qui correspond à une 
fréquence de défilement de
fa = 3,76 kHz pour le dispositif choisi.

Q 10. Calculer la force électromotrice ÆE attendue.
L.B.3) Effet d'une dilatation

Pour simplifier, nous supposons que, dans le dispositif précédent, la bobine ne 
comporte qu'une seule spire
horizontale, circulaire de rayon À. Nous allons étudier l'effet d'une 
augmentation dR << R du rayon de la spire, toutes choses égales par ailleurs. En particulier, on suppose que la spire reste circulaire et horizontale. P032/2023-04-04 08:58:10 Page 2/6 (cc) BY-NC-SA Une perturbation du système peut faire apparaitre une composante axiale du champ magnétique. On note B, et B, les valeurs des composantes radiale et axiale du champ magnétique : B(r,0,2) = B,(r,z)u, + B,(r,z2)ü, (figure 2). On note par ailleurs F(R, z) = F,(R, z)ü, la force sur la spire de rayon À situé dans le plan de cote z. B(R, 0,0) Figure 2 Système de coordonnées cylindriques, spire de rayon À située dans le plan z = 0 Q 11. Qu'est-ce qui pourrait provoquer l'augmentation du rayon de la spire ? Q 12. Dans la phase statique, calculer l'expression de 0F,Ur.2) en fonction notamment de SRB, (R:2)) Q 13. Donner une propriété fondamentale du champ magnétique et rappeler l'équation locale qui traduit cette propriété. En déduire une nouvelle expression pour OF;Ur.2) en fonction notamment de OBAUR2) Montrer que R  OF,(R,2) À OB,(R,2) F,(R,2) OR B,(R,z) Oz Q 14. Comment peut-on à partir de 2 spires identiques planes, créer un champ magnétique radial sortant dans un plan ? Faire un schéma du dispositif en supposant que ce plan est le plan z = 0. Dessiner les lignes de champ en faisant une coupe du dispositif dans le plan (xO2). Q 15. Donner les caractéristiques de B dans le plan z = 0. Quel est le signe de z(r,z = 0) au voisinage de r = 0 et pour r --  ? Q 16. Tracer approximativement la courbe de F'(R, z = 0) en fonction de À. Montrer qu'il existe une valeur de À, qu'on appellera À,,,:, autour de laquelle F (R,z = 0) dépend peu de À. Q 17.  Déduire de la question 16 une façon permettant de minimiser les problèmes posés par la dilatation de la spire. IC --- Mise en pratique de la nouvelle définition du kilogramme En tirant parti d'effets quantiques, il est possible d'accéder à des valeurs de résistance et de tension avec une précision extrême. Il est désormais possible de mesurer des tensions avec une précision relative de 10° et les / R | / résistances peuvent s'exprimer au moyen de la constante de Planck : R° -- Ce? où (EE R se mesure, également, avec une précision relative de 10 ?. Q 18. Établir la relation simple entre la constante de Planck et la masse m dans l'expérience de la balance de Kibble en faisant intervenir v, g et d'autres grandeurs mesurables. Q 19. Si les mesures de v et g sont effectuées avec une précision relative de 10Y, quelle précision relative a-t-on sur une mesure du kilogramme en théorie ? Q 20. À partir de l'unité de , expliquer pourquoi fixer définitivement la valeur de la constante de Planck permet de redéfinir le kilogramme. IT Redéfinition du kelvin IT. À -- Rapide historique Q 21.  Rappeler la définition du degré Celsius et du kelvin en vigueur jusqu'en 2018. À combien de kelvins correspond 0 °C ? Q 22. Avant la réforme de 2018, la référence de température était un artéfact, une cellule au point triple de l'eau (figure 3). Quelles pouvaient être les sources d'incertitude dans cette expérience ? P032/2023-04-04 08:58:10 Page 3/6 (cc) BY-NC-SA Figure 3 Cellule point triple de l'eau II.B --- Méthode de la thermométrie acoustique à gaz La méthode de la thermométrie acoustique à gaz est celle qui a donné les résultats les plus précis pour la mesure de la constante de Boltzmann avant 2018. Q 23.  Rappeler le lien entre la constante des gaz parfaits À et la constante de Boltzmann k3. Nous allons étudier la propagation des ondes sonores dans un gaz. Dans un premier temps on se limite au cas d'une propagation unidimensionnelle suivant l'axe (Ox). L'écoulement est supposé parfait et l'influence de la pesanteur est négligée. Au repos, les champs de masse volumique y, et de pression p, sont uniformes et le champ des vitesses est nul. On note p,, u, et v., les écarts à ces valeurs de repos. On appelle Y£4 le coefficient de compressibilité isentropique. On se place dans le cadre de l'approximation acoustique. Q 24.  Rappeler la signification de cette approximation. Q 25. Donner l'équation d'Euler et la linéariser. Q 26.  Rappeler l'équation de conservation de la masse et la linéariser. Q 27. À partir de la définition de y s, obtenir une relation entre 4, et p.. Q 28. Établir l'équation de propagation pour la surpression p,. Comment s'exprime la célérité c., des ondes sonores ? Q 29. En supposant que le gaz est parfait et que le coefficient adiabatique 7 est constant, établir la nouvelle expression de la célérité c, en fonction de T°. Faire l'application numérique pour de l'air à 7 = 300 K. Pour mesurer c,, on peut utiliser les modes propres d'une sphère creuse et une mesure précise du rayon r, de cette sphère. C'est le dispositif mis en oeuvre au LNE (figure 4). Q 30. Au LNE, le gaz utilisé est un gaz rare tel que l'hélium ou l'argon. Calculer la valeur numérique de EUR, pour l'hélium à la température du point triple de l'eau. Q 31. Comment peut-on déduire de la mesure de EUR, et de la relation établie à la question 29, une valeur pour la constante de Boltzmann ? Q 32. On cherche à résoudre l'équation de propagation pour la surpression p, dans le cas de la sphère. Que devient cette équation dans le cas général ? Q 33. Montrer que, en l'absence de dépendance angulaire, les fonctions solutions r p.(r,t) peuvent se mettre sous la forme d'une combinaison linéaire de deux termes. Donner la signification physique de chacun des termes. P032/2023-04-04 08:58:10 Page 4/6 ()EXTET pe 7 à É Figure 4 Résonateur quasi sphérique utilisé par l'équipe du LNE-CNAM (Laboratoire National de métrologie et d'Essais - Conservatoire National des Arts et Métiers) pour mesurer la constante de Boltzmann par thermométrie acoustique. Le résonateur, de volume intérieur D & 3,1 L, est rempli de gaz rare (hélium ou argon) et placé dans un cryostat pour maintenir sa température constante. Q 34. Pourquoi peut-on se limiter à l'étude des solutions de la forme, en notation complexe, A B p (r, t)=-- exp(i(wt : kr)) -- exp(i(wt -- kr)), -- r r où À, B,w et k sont des constantes ? Q 35. En déduire le champ des vitesses correspondant, en fonction de À, B,w, ket r. Q 36. Vers quoi tend le débit volumique à travers une sphère de rayon r quand r tend vers 0 ? Que peut-on en déduire ? Q 37. Établir l'équation vérifiée par les modes propres. Cs Ar Cs .(2n +1) re S S avec n EUR N* et Q 38. Montrer qu'il y a une fréquence de résonance f,, par intervalle |2n r, le rayon de la sphère. Pour n > 1, exprimer de façon approchée f,.

Q 39. Calculer approximativement la fréquence du mode fondamental pour la 
sphère du LNE.
IT.C -- Mise en pratique de la nouvelle définition du kelvin

Q 40. Citer quelques sources d'incertitude de la méthode utilisée au LNE.

Q 41. En fait, il y a cinq sources principales d'incertitude et leurs valeurs 
relatives respectives sont pratique-
ment toutes égales. Expliquer pourquoi la thermométrie acoustique des gaz a 
atteint une limite qu'il sera très
difficile de dépasser.

Cette mesure a permis de connaître la constante de Boltzmann avec une précision 
relative de l'ordre de 4,8 x
1077 dans l'ancien SI.

Q 42. À partir de l'unité de kA, expliquer pourquoi fixer définitivement la 
valeur de la constante de Boltz-
mann, permet de redéfinir le kelvin.

Q 43. Les valeurs de h, e, k£ et N 4 étant fixées, rassembler dans un tableau 
les grandeurs qui sont à présent
mesurables, alors qu'elles étaient fixées par convention avant la réforme du SI 
de 2018.

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Données et formulaire

Valeurs numériques

Charge électrique élémentaire e & 1,60 x 10 © C
Constante de Planck h & 6.63 x 107% Je
Constante de Boltzmann kp © 1,38 x 10 J-K° 1
Constante d'Avogadro N, & 6,02 x 10° mol !
Célérité de la lumière dans le vide ce & 3,00 x 10 mes |

Fréquence de la transition hyperfine de l'état fondamental de l'atome de césium

NU 9
133 non perturbé Aves © 9,19 X 10° Hz

Masse de l'électron m, & 9,11 x 10 1 kg
Accélération de la pesanteur à Paris g = 9.81ms
Température du point triple de l'eau T'& 273,16 K

Masse molaire de l'hélium Mye © 4,0 g-mol |
Masse molaire de l'azote MX & 14 gmol !
Masse molaire de l'oxygène M, & 16 g-mol |
Formulaire

En coordonnées cylindriques

are (h Se (de-djurL(R Ga

En coordonnées sphériques

Af(r,0,6) = LD (ep) + ù (mod) + 1 of

7 r Or? r2 sin 0 00 00 r2 sin? 0 0?
Définition de la seconde

On pose Az. -- 9192631770 s !, ce qui permet de définir la seconde qui 
correspond donc à la durée de
9192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition hyperfine 
de l'état fondamental de l'atome
de césium 133 non perturbé.

eeoeFrINeee

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